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RA2017: Deducción natural proposicional con Isabelle/HOL

En la clase de hoy del curso de Razonamiento automático se ha presentado la deducción naturalcon Isabelle/HOL. La presentación se basa en los ejemplos del tema 2 del curso de Lógica informática que, a su vez, se basa en el capítulo 2 del libro de Huth y Ryan Logic in Computer Science (Modelling and reasoning about systems).

La página al lado de cada ejemplo indica la página de las transparencias donde se encuentra la demostración.

Para cada ejemplo se presentan distintas demostraciones. La primera intenta reflejar la demostración de las transparencias, las siguientes van eliminando detalles de la prueba hasta la última que es automática.

A los largos de los ejemplos se van comentando los elementos del lenguaje conforme van entrando en el juego.

La teoría con los ejemplos presentados en la clase es la siguiente:

chapter {* Tema 7b: Deducción natural proposicional con Isabelle/HOL *}
 
theory T7b_Deduccion_natural_en_logica_proposicional_con_Isabelle
imports Main 
begin
 
text {*
  En este tema se presentan los ejemplos del tema de deducción natural
  proposicional siguiendo la presentación de Huth y Ryan en su libro
  "Logic in Computer Science" http://goo.gl/qsVpY y, más concretamente,
  a la forma como se explica en la asignatura de "Lógica informática" (LI) 
  http://goo.gl/AwDiv
 
  La página al lado de cada ejemplo indica la página de las transparencias 
  de LI donde se encuentra la demostración. *}
 
subsection {* Reglas de la conjunción *}
 
text {* 
  Ejemplo 1 (p. 4). Demostrar que
     p ∧ q, r ⊢ q ∧ r.
  *}     
 
-- "La demostración detallada es"
lemma ejemplo_1_1:
  assumes 1: "p ∧ q" and
          2: "r" 
  shows "q ∧ r"     
proof -
  have 3: "q" using 1 by (rule conjunct2)
  show 4: "q ∧ r" using 3 2 by (rule conjI)
qed
 
text {*
  Notas sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado
  · "assumes" para indicar las hipótesis,
  · "and" para separar las hipótesis,
  · "shows" para indicar la conclusión,
  · "proof" para iniciar la prueba,
  · "qed" para terminar la pruebas,
  · "-" (después de "proof") para no usar el método por defecto,
  · "have" para establecer un paso,
  · "using" para usar hechos en un paso,
  · "by (rule ..)" para indicar la regla con la que se peueba un hecho,
  · "show" para establecer la conclusión.
 
  Notas sobre la lógica: Las reglas de la conjunción son
  · conjI:      ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q
  · conjunct1:  P ∧ Q ⟹ P
  · conjunct2:  P ∧ Q ⟹ Q  
*}
 
text {* Se pueden dejar implícitas las reglas como sigue *}
 
lemma ejemplo_1_2:
  assumes 1: "p ∧ q" and 
          2: "r" 
  shows "q ∧ r"     
proof -
  have 3: "q" using 1 .. 
  show 4: "q ∧ r" using 3 2 ..
qed
 
text {*
  Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado
  · ".." para indicar que se prueba por la regla correspondiente. *}
 
text {* Se pueden eliminar las etiquetas como sigue *}
 
lemma ejemplo_1_3:
  assumes "p ∧ q" 
          "r" 
  shows   "q ∧ r"     
proof -
  have "q" using assms(1) ..
  thus "q ∧ r" using assms(2) ..
qed
 
text {*
  Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado
  · "assms(n)" para indicar la hipótesis n y
  · "thus" para demostrar la conclusión usando el hecho anterior.
  Además, no es necesario usar and entre las hipótesis. *}
 
text {* Se puede automatizar la demostración como sigue *}
 
lemma ejemplo_1_4:
  assumes "p ∧ q" 
          "r" 
  shows   "q ∧ r"     
using assms
by auto
 
text {*
  Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado
  · "assms" para indicar las hipótesis y
  · "by auto" para demostrar la conclusión automáticamente. *}
 
text {* Se puede automatizar totalmente la demostración como sigue *}
 
lemma ejemplo_1_5:
  "⟦p ∧ q; r⟧ ⟹ q ∧ r"
by auto
 
text {*
  Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado
  · "⟦ ... ⟧" para representar las hipótesis,
  · ";" para separar las hipótesis y
  · "⟹" para separar las hipótesis de la conclusión. *}
 
text {* Se puede hacer la demostración por razonamiento hacia atrás,
  como sigue *}
 
lemma ejemplo_1_6:
  assumes "p ∧ q" 
      and "r" 
  shows   "q ∧ r"     
proof (rule conjI)
  show "q" using assms(1) by (rule conjunct2)
next
  show "r" using assms(2) by this
qed
 
text {*
  Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado
  · "proof (rule r)" para indicar que se hará la demostración con la
    regla r,
  · "next" para indicar el comienzo de la prueba del siguiente
    subobjetivo,
  · "this" para indicar el hecho actual. *}
 
text {* Se pueden dejar implícitas las reglas como sigue *}
 
lemma ejemplo_1_7:
  assumes "p ∧ q" 
          "r" 
  shows   "q ∧ r"     
proof 
  show "q" using assms(1) ..
next
  show "r" using assms(2) . 
qed
 
text {*
  Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado
  · "." para indicar por el hecho actual. *}
 
subsection {* Reglas de la doble negación *}
 
text {*
  La regla de eliminación de la doble negación es
  · notnotD: ¬¬ P ⟹ P
 
  Para ajustarnos al tema de LI vamos a introducir la siguiente regla de
  introducción de la doble negación
  · notnotI: P ⟹ ¬¬ P
  aunque, de momento, no detallamos su demostración.
*}
 
lemma notnotI [intro!]: "P ⟹ ¬¬ P"
by auto
 
text {*
  Ejemplo 2. (p. 5)
       p, ¬¬(q ∧ r) ⊢ ¬¬p ∧ r
*}
 
-- "La demostración detallada es"
lemma ejemplo_2_1:
  assumes 1: "p" and
          2: "¬¬(q ∧ r)" 
  shows      "¬¬p ∧ r"
proof -
  have 3: "¬¬p" using 1 by (rule notnotI)
  have 4: "q ∧ r" using 2 by (rule notnotD)
  have 5: "r" using 4 by (rule conjunct2)
  show 6: "¬¬p ∧ r" using 3 5 by (rule conjI)
qed        
 
-- "La demostración estructurada es"
lemma ejemplo_2_2:
  assumes "p" 
          "¬¬(q ∧ r)" 
  shows   "¬¬p ∧ r"
proof -
  have  "¬¬p" using assms(1) ..
  have  "q ∧ r" using assms(2) by (rule notnotD)
  hence "r" ..
  with `¬¬p` show  "¬¬p ∧ r" ..
qed        
 
text {*
  Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado
  · "hence" para indicar que se tiene por el hecho anterior,
  · `...` para referenciar un hecho y
  · "with P show Q" para indicar que con el hecho anterior junto con el
    hecho P se demuestra Q. *}
 
-- "La demostración automática es"
lemma ejemplo_2_3:
  assumes "p" 
          "¬¬(q ∧ r)" 
  shows   "¬¬p ∧ r"
using assms
by auto
 
text {* Se puede demostrar hacia atrás *}
 
lemma ejemplo_2_4:
  assumes "p" 
          "¬¬(q ∧ r)" 
  shows   "¬¬p ∧ r"
proof  (rule conjI)
  show "¬¬p" using assms(1) by (rule notnotI)
next
  have "q ∧ r" using assms(2) by (rule notnotD) 
  thus "r" by (rule conjunct2)
qed 
 
text {* Se puede eliminar las reglas en la demostración anterior, como
  sigue: *}
 
lemma ejemplo_2_5:
  assumes "p" 
          "¬¬(q ∧ r)" 
  shows   "¬¬p ∧ r"
proof 
  show "¬¬p" using assms(1) ..
next
  have "q ∧ r" using assms(2) by (rule notnotD) 
  thus "r" .. 
qed
 
subsection {* Regla de eliminación del condicional *}
 
text {*
  La regla de eliminación del condicional es la regla del modus ponens
  · mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q 
*}
 
text {* 
  Ejemplo 3. (p. 6) Demostrar que
     ¬p ∧ q, ¬p ∧ q ⟶ r ∨ ¬p ⊢ r ∨ ¬p
*}
 
-- "La demostración detallada es"
lemma ejemplo_3_1:
  assumes 1: "¬p ∧ q" and 
          2: "¬p ∧ q ⟶ r ∨ ¬p" 
  shows      "r ∨ ¬p"
proof -
  show "r ∨ ¬p" using 2 1 by (rule mp)
qed    
 
-- "La demostración estructurada es"
lemma ejemplo_3_2:
  assumes "¬p ∧ q"
          "¬p ∧ q ⟶ r ∨ ¬p" 
  shows   "r ∨ ¬p"
proof -
  show "r ∨ ¬p" using assms(2,1) ..
qed    
 
-- "La demostración automática es"
lemma ejemplo_3_3:
  assumes "¬p ∧ q"
          "¬p ∧ q ⟶ r ∨ ¬p" 
  shows   "r ∨ ¬p"
using assms
by auto
 
text {* 
  Ejemplo 4 (p. 6) Demostrar que
     p, p ⟶ q, p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ r
 *}
 
-- "La demostración detallada es"
lemma ejemplo_4_1:
  assumes 1: "p" and 
          2: "p ⟶ q" and 
          3: "p ⟶ (q ⟶ r)" 
  shows "r"
proof -
  have 4: "q" using 2 1 by (rule mp)
  have 5: "q ⟶ r" using 3 1 by (rule mp)
  show 6: "r" using 5 4 by (rule mp)
qed
 
-- "La demostración estructurada es"
lemma ejemplo_4_2:
  assumes "p"
          "p ⟶ q"
          "p ⟶ (q ⟶ r)" 
  shows "r"
proof -
  have "q" using assms(2,1) .. 
  have "q ⟶ r" using assms(3,1) ..
  thus "r" using `q` ..
qed
 
-- "La demostración automática es"
lemma ejemplo_4_3:
  "⟦p; p ⟶ q; p ⟶ (q ⟶ r)⟧ ⟹ r"
by auto
 
subsection {* Regla derivada del modus tollens *}
 
text {*
  Para ajustarnos al tema de LI vamos a introducir la regla del modus
  tollens
  · mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F 
  aunque, de momento, sin detallar su demostración.
*}
 
lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F"
by auto
 
text {*
  Ejemplo 5 (p. 7). Demostrar
     p ⟶ (q ⟶ r), p, ¬r ⊢ ¬q
 *}
 
-- "La demostración detallada es"
lemma ejemplo_5_1:
  assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)" and 
          2: "p" and 
          3: "¬r" 
  shows "¬q"
proof -
  have 4: "q ⟶ r" using 1 2 by (rule mp)
  show "¬q" using 4 3 by (rule mt)
qed    
 
-- "La demostración estructurada es"
lemma ejemplo_5_2:
  assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"
          "p"
          "¬r" 
  shows   "¬q"
proof -
  have "q ⟶ r" using assms(1,2) ..
  thus "¬q" using assms(3) by (rule mt)
qed    
 
-- "La demostración automática es"
lemma ejemplo_5_3:
  assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"
          "p"
          "¬r" 
  shows   "¬q"
using assms
by auto
 
text {* 
  Ejemplo 6. (p. 7) Demostrar 
     ¬p ⟶ q, ¬q ⊢ p
*}
 
-- "La demostración detallada es"
lemma ejemplo_6_1:
  assumes 1: "¬p ⟶ q" and 
          2: "¬q" 
  shows "p"
proof -
  have 3: "¬¬p" using 1 2 by (rule mt)
  show "p" using 3 by (rule notnotD)
qed
 
-- "La demostración estructurada es"
lemma ejemplo_6_2:
  assumes "¬p ⟶ q"
          "¬q" 
  shows   "p"
proof -
  have "¬¬p" using assms(1,2) by (rule mt)
  thus "p" by (rule notnotD)
qed
 
-- "La demostración automática es"
lemma ejemplo_6_3:
  "⟦¬p ⟶ q; ¬q⟧ ⟹ p"
by auto
 
text {* 
  Ejemplo 7. (p. 7) Demostrar
     p ⟶ ¬q, q ⊢ ¬p
  *}
 
-- "La demostración detallada es"
lemma ejemplo_7_1:
  assumes 1: "p ⟶ ¬q" and 
          2: "q" 
  shows "¬p"
proof -
  have 3: "¬¬q" using 2 by (rule notnotI)
  show "¬p" using 1 3 by (rule mt)
qed
 
-- "La demostración detallada es"
lemma ejemplo_7_2:
  assumes "p ⟶ ¬q"
          "q" 
  shows   "¬p"
proof -
  have "¬¬q" using assms(2) by (rule notnotI)
  with assms(1) show "¬p" by (rule mt)
qed
 
-- "La demostración estructurada es"
lemma ejemplo_7_3:
  "⟦p ⟶ ¬q; q⟧ ⟹ ¬p"
by auto
 
subsection {* Regla de introducción del condicional *}
 
text {*
  La regla de introducción del condicional es
  · impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q
*}
 
text {* 
  Ejemplo 8. (p. 8) Demostrar
     p ⟶ q ⊢ ¬q ⟶ ¬p
*}
 
-- "La demostración detallada es"
lemma ejemplo_8_1:
  assumes 1: "p ⟶ q" 
  shows "¬q ⟶ ¬p"
proof -
  { assume 2: "¬q"
    have "¬p" using 1 2 by (rule mt) } 
  thus "¬q ⟶ ¬p" by (rule impI)
qed    
 
text {*
  Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado
  · "{ ... }" para representar una caja. *}
 
-- "La demostración estructurada es"
lemma ejemplo_8_2:
  assumes "p ⟶ q" 
  shows "¬q ⟶ ¬p"
proof 
  assume "¬q"
  with assms show "¬p" by (rule mt)
qed    
 
-- "La demostración automática es"
lemma ejemplo_8_3:
  assumes "p ⟶ q" 
  shows "¬q ⟶ ¬p"
using assms
by auto
 
text {* 
  Ejemplo 9. (p. 9) Demostrar
     ¬q ⟶ ¬p ⊢ p ⟶ ¬¬q
*}
 
-- "La demostración detallada es"
lemma ejemplo_9_1: 
  assumes 1: "¬q ⟶ ¬p" 
  shows "p ⟶ ¬¬q"   
proof -
  { assume 2: "p"
    have 3: "¬¬p" using 2 by (rule notnotI)
    have "¬¬q" using 1 3 by (rule mt) } 
  thus "p ⟶ ¬¬q" by (rule impI)
qed
 
-- "La demostración estructurada es"
lemma ejemplo_9_2:
  assumes "¬q ⟶ ¬p" 
  shows    "p ⟶ ¬¬q"   
proof 
  assume "p"
  hence "¬¬p" by (rule notnotI)
  with assms show "¬¬q" by (rule mt)
qed
 
-- "La demostración automática es"
lemma ejemplo_9_3:
  assumes "¬q ⟶ ¬p" 
  shows "p ⟶ ¬¬q"   
using assms
by auto
 
text {* 
  Ejemplo 10 (p. 9). Demostrar
     ⊢ p ⟶ p
*}
 
-- "La demostración detallada es"
lemma ejemplo_10_1:
  "p ⟶ p"
proof -
  { assume 1: "p"
    have "p" using 1 by this }
  thus "p ⟶ p" by (rule impI) 
qed
 
-- "La demostración estructurada es"
lemma ejemplo_10_2:
  "p ⟶ p"
proof (rule impI)
qed
 
-- "La demostración automática es"
lemma ejemplo_10_3:
  "p ⟶ p"
by auto
 
text {*
  Ejemplo 11 (p. 10) Demostrar
     ⊢ (q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))
 *}
 
-- "La demostración detallada es"
lemma ejemplo_11_1:
  "(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))"
proof -
  { assume 1: "q ⟶ r"
    { assume 2: "¬q ⟶ ¬p"
      { assume 3: "p"
        have 4: "¬¬p" using 3 by (rule notnotI)
        have 5: "¬¬q" using 2 4 by (rule mt)
        have 6: "q" using 5 by (rule notnotD)
        have "r" using 1 6 by (rule mp) } 
      hence "p ⟶ r" by (rule impI) } 
    hence "(¬q ⟶ ¬p) ⟶ p ⟶ r" by (rule impI) } 
  thus "(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ p ⟶ r)" by (rule impI)
qed
 
-- "La demostración hacia atrás es"
lemma ejemplo_11_2:
  "(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))"
proof (rule impI)
  assume 1: "q ⟶ r"
  show "(¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r)"
  proof (rule impI)
    assume 2: "¬q ⟶ ¬p"
    show "p ⟶ r"
    proof (rule impI)
      assume 3: "p"
      have 4: "¬¬p" using 3 by (rule notnotI)
      have 5: "¬¬q" using 2 4 by (rule mt)
      have 6: "q" using 5 by (rule notnotD)
      show "r" using 1 6 by (rule mp)
    qed
  qed
qed
 
-- "La demostración hacia atrás con reglas implícitas es"
lemma ejemplo_11_3:
  "(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))"
proof
  assume 1: "q ⟶ r"
  show "(¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r)"
  proof
    assume 2: "¬q ⟶ ¬p"
    show "p ⟶ r"
    proof
      assume 3: "p"
      have 4: "¬¬p" using 3 ..
      have 5: "¬¬q" using 2 4 by (rule mt)
      have 6: "q" using 5 by (rule notnotD)
      show "r" using 1 6 ..
    qed
  qed
qed
 
-- "La demostración sin etiquetas es" 
lemma ejemplo_11_4:
  "(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))"
proof
  assume "q ⟶ r"
  show "(¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r)"
  proof
    assume "¬q ⟶ ¬p"
    show "p ⟶ r"
    proof
      assume "p"
      hence "¬¬p" ..
      with `¬q ⟶ ¬p` have "¬¬q" by (rule mt)
      hence "q" by (rule notnotD)
      with `q ⟶ r` show "r" ..
    qed
  qed
qed
 
-- "La demostración automática es"
lemma ejemplo_11_5:
  "(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))"
by auto
 
subsection {* Reglas de la disyunción *}
 
text {*
  Las reglas de la introducción de la disyunción son
  · disjI1: P ⟹ P ∨ Q
  · disjI2: Q ⟹ P ∨ Q
  La regla de elimación de la disyunción es
  · disjE:  ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R 
*}
 
text {* 
  Ejemplo 12 (p. 11). Demostrar
     p ∨ q ⊢ q ∨ p
*}
 
-- "La demostración detallada es"
lemma ejemplo_12_1:
  assumes "p ∨ q" 
  shows "q ∨ p"
proof -
  have "p ∨ q" using assms by this
  moreover
  { assume 2: "p"
    have "q ∨ p" using 2 by (rule disjI2) }
  moreover
  { assume 3: "q"
    have "q ∨ p" using 3 by (rule disjI1) }
  ultimately show "q ∨ p" by (rule disjE) 
qed    
 
text {*
  Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado
  · "moreover" para separar los bloques y
  · "ultimately" para unir los resultados de los bloques. *}
 
-- "La demostración detallada con reglas implícitas es"
lemma ejemplo_12_2:
  assumes "p ∨ q" 
  shows "q ∨ p"
proof -
  note `p ∨ q`
  moreover
  { assume "p"
    hence "q ∨ p" .. }
  moreover
  { assume "q"
    hence "q ∨ p" .. }
  ultimately show "q ∨ p" ..
qed    
 
text {*
  Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado
  · "note" para copiar un hecho. *}
 
-- "La demostración hacia atrás es"
lemma ejemplo_12_3:
  assumes 1: "p ∨ q" 
  shows "q ∨ p"
using 1
proof (rule disjE)
  { assume 2: "p"
    show "q ∨ p" using 2 by (rule disjI2) }
next
  { assume 3: "q"
    show "q ∨ p" using 3 by (rule disjI1) }
qed    
 
-- "La demostración hacia atrás con reglas implícitas es"
lemma ejemplo_12_4:
  assumes "p ∨ q" 
  shows "q ∨ p"
using assms
proof 
  { assume  "p"
    thus "q ∨ p" .. }
next
  { assume "q"
    thus "q ∨ p" .. }
qed    
 
-- "La demostración automática es"
lemma ejemplo_12_5:
  assumes "p ∨ q" 
  shows "q ∨ p"
using assms
by auto
 
text {* 
  Ejemplo 13. (p. 12) Demostrar
     q ⟶ r ⊢ p ∨ q ⟶ p ∨ r
*}
 
-- "La demostración detallada es" 
lemma ejemplo_13_1:
  assumes 1: "q ⟶ r"
  shows "p ∨ q ⟶ p ∨ r"
proof (rule impI)
  assume 2: "p ∨ q"
  thus "p ∨ r"
  proof (rule disjE)
    { assume 3: "p"
      show "p ∨ r" using 3 by (rule disjI1) }
  next
    { assume 4: "q"
      have 5: "r" using 1 4 by (rule mp)
      show "p ∨ r" using 5 by (rule disjI2) }
  qed
qed    
 
-- "La demostración estructurada es" 
lemma ejemplo_13_2:
  assumes "q ⟶ r"
  shows "p ∨ q ⟶ p ∨ r"
proof 
  assume "p ∨ q"
  thus "p ∨ r"
  proof 
    { assume "p"
      thus "p ∨ r" .. }
  next
    { assume "q"
      have "r" using assms `q` ..
      thus "p ∨ r" .. }
  qed
qed    
 
-- "La demostración automática es" 
lemma ejemplo_13_3:
  assumes "q ⟶ r"
  shows "p ∨ q ⟶ p ∨ r"
using assms
by auto
 
subsection {* Regla de copia *}
 
text {* 
  Ejemplo 14 (p. 13). Demostrar
     ⊢ p ⟶ (q ⟶ p)
*}
 
-- "La demostración detallada es"
lemma ejemplo_14_1:
  "p ⟶ (q ⟶ p)"
proof (rule impI)
  assume 1: "p"
  show "q ⟶ p" 
  proof (rule impI)
    assume "q"
    show "p" using 1 by this
  qed
qed
 
-- "La demostración estructurada es"
lemma ejemplo_14_2:
  "p ⟶ (q ⟶ p)"
proof 
  assume "p"
  thus "q ⟶ p" ..
qed
 
-- "La demostración automática es"
lemma ejemplo_14_3:
  "p ⟶ (q ⟶ p)"
by auto
 
subsection {* Reglas de la negación *}
 
text {*
  La regla de eliminación de lo falso es
  · FalseE: False ⟹ P
  La regla de eliminación de la negación es
  · notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R
  La regla de introducción de la negación es
  · notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P
*}
 
text {*
  Ejemplo 15 (p. 15). Demostrar
     ¬p ∨ q ⊢ p ⟶ q
*}
 
-- "La demostración detallada es"
lemma ejemplo_15_1:
  assumes 1: "¬p ∨ q" 
  shows "p ⟶ q"
proof (rule impI)
  assume 2: "p"
  note 1
  thus "q"
  proof (rule disjE)
    { assume 3: "¬p"
      show "q" using 3 2 by (rule notE) }
  next
    { assume 4: "q"
      show "q" using 4 by this}
  qed
qed    
 
-- "La demostración estructurada es"
lemma ejemplo_15_2:
  assumes "¬p ∨ q" 
  shows "p ⟶ q"
proof 
  assume "p"
  note `¬p ∨ q`
  thus "q"
  proof
    assume "¬p"
    thus "q" using `p` .. 
  next
    assume "q"
      thus "q" .
  qed
qed    
 
-- "La demostración automática es"
lemma ejemplo_15_3:
  assumes "¬p ∨ q" 
  shows "p ⟶ q"
using assms
by auto
 
text {* 
  Ejemplo 16 (p. 16). Demostrar
     p ⟶ q, p ⟶ ¬q ⊢ ¬p
*}
 
-- "La demostración detallada es"
lemma ejemplo_16_1:
  assumes 1: "p ⟶ q" and 
          2: "p ⟶ ¬q" 
  shows "¬p"    
proof (rule notI)
  assume 3: "p"
  have 4: "q" using 1 3 by (rule mp)
  have 5: "¬q" using 2 3 by (rule mp)
  show False using 5 4 by (rule notE)
qed
 
-- "La demostración estructurada es"
lemma ejemplo_16_2:
  assumes "p ⟶ q"
          "p ⟶ ¬q" 
  shows "¬p"    
proof 
  assume "p"
  have "q" using assms(1) `p` ..
  have "¬q" using assms(2) `p` ..
  thus False using `q` ..
qed
 
-- "La demostración automática es"
lemma ejemplo_16_3:
  assumes "p ⟶ q"
          "p ⟶ ¬q" 
  shows "¬p"    
using assms
by auto
 
subsection {* Reglas del bicondicional *}
 
text {*
  La regla de introducción del bicondicional es
  · iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P ⟷ Q
  Las reglas de eliminación del bicondicional son
  · iffD1: ⟦Q ⟷ P; Q⟧ ⟹ P 
  · iffD2: ⟦P ⟷ Q; Q⟧ ⟹ P
*}
 
text {* 
  Ejemplo 17 (p. 17) Demostrar
     (p ∧ q) ⟷ (q ∧ p)
*}
 
-- "La demostración detallada es"
lemma ejemplo_17_1:
  "(p ∧ q) ⟷ (q ∧ p)" 
proof (rule iffI)
  { assume 1: "p ∧ q"
    have 2: "p" using 1 by (rule conjunct1)
    have 3: "q" using 1 by (rule conjunct2)
    show "q ∧ p" using 3 2 by (rule conjI) }
next
  { assume 4: "q ∧ p"
    have 5: "q" using 4 by (rule conjunct1)
    have 6: "p" using 4 by (rule conjunct2)
    show "p ∧ q" using 6 5 by (rule conjI) }
qed
 
-- "La demostración estructurada es"
lemma ejemplo_17_2:
  "(p ∧ q) ⟷ (q ∧ p)"
proof 
  { assume 1: "p ∧ q"
    have "p" using 1 ..
    have "q" using 1 ..
    show "q ∧ p" using `q` `p` .. }
next
  { assume 2: "q ∧ p"
    have "q" using 2 ..
    have "p" using 2 ..
    show "p ∧ q" using `p` `q`  .. }
qed
 
-- "La demostración automática es"
lemma ejemplo_17_3:
  "(p ∧ q) ⟷ (q ∧ p)"
by auto
 
text {*
  Ejemplo 18 (p. 18). Demostrar
     p ⟷ q, p ∨ q ⊢ p ∧ q
*}
 
-- "La demostración detallada es"
lemma ejemplo_18_1:
  assumes 1: "p ⟷ q" and 
          2: "p ∨ q"  
  shows "p ∧ q"
using 2
proof (rule disjE)
  { assume 3: "p"
    have 4: "q" using 1 3 by (rule iffD1)
    show "p ∧ q" using 3 4 by (rule conjI) }
next
  { assume 5: "q"
    have 6: "p" using 1 5 by (rule iffD2)
    show "p ∧ q" using 6 5 by (rule conjI) }
qed
 
-- "La demostración estructurada es"
lemma ejemplo_18_2:
  assumes "p ⟷ q"
          "p ∨ q"  
  shows  "p ∧ q"
using assms(2)
proof
  { assume "p"
    with assms(1) have "q" ..
    with `p` show "p ∧ q" .. }
next
  { assume "q"
    with assms(1) have "p" ..
    thus "p ∧ q" using `q` .. }
qed
 
-- "La demostración automática es"
lemma ejemplo_18_3:
  assumes "p ⟷ q"
          "p ∨ q"  
  shows "p ∧ q"
using assms
by auto
 
subsection {* Reglas derivadas *}
 
subsubsection {* Regla del modus tollens *}
 
text {* 
  Ejemplo 19 (p. 20) Demostrar la regla del modus tollens a partir de
  las reglas básicas. 
*}
 
-- "La demostración detallada es"
lemma ejemplo_20_1:
  assumes 1: "F ⟶ G" and 
          2: "¬G" 
  shows "¬F"
proof (rule notI)
  assume 3: "F"
  have 4: "G" using 1 3 by (rule mp)
  show False using 2 4 by (rule notE)
qed    
 
-- "La demostración estructurada es"
lemma ejemplo_20_2:
  assumes "F ⟶ G"
          "¬G" 
  shows   "¬F"
proof 
  assume "F"
  with assms(1) have "G" ..
  with assms(2) show False ..
qed    
 
-- "La demostración automática es"
lemma ejemplo_20_3:
  assumes "F ⟶ G"
          "¬G" 
  shows "¬F"
using assms
by auto
 
subsubsection {* Regla de la introducción de la doble negación *}
 
text {*
  Ejemplo 21 (p. 21) Demostrar la regla de introducción de la doble
  negación a partir de las reglas básicas.
*}
 
-- "La demostración detallada es"
lemma ejemplo_21_1:
  assumes 1: "F" 
  shows "¬¬F"
proof (rule notI)
  assume 2: "¬F"
  show False using 2 1 by (rule notE)
qed    
 
-- "La demostración estructurada es"
lemma ejemplo_21_2:
  assumes "F" 
  shows "¬¬F"
proof 
  assume "¬F"
  thus False using assms ..
qed    
 
-- "La demostración automática es"
lemma ejemplo_21_3:
  assumes "F" 
  shows "¬¬F"
using assms
by auto
 
subsubsection {* Regla de reducción al absurdo *}
 
text {*
  La regla de reducción al absurdo en Isabelle se correponde con la
  regla clásica de contradicción 
  · ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P
*}
 
subsubsection {* Ley del tercio excluso *}
 
text {*
  La ley del tercio excluso es 
  · excluded_middle: ¬P ∨ P
*}
 
text {*
  Ejemplo 22 (p. 23). Demostrar la ley del tercio excluso a partir de
  las reglas básicas.  
*}
 
-- "La demostración detallada es"
lemma ejemplo_22_1:
  "F ∨ ¬F"
proof (rule ccontr)
  assume 1: "¬(F ∨ ¬F)"
  thus False
  proof (rule notE)
    show "F ∨ ¬F"
    proof (rule disjI2)
      show "¬F"
      proof (rule notI)
        assume 2: "F"
        hence 3: "F ∨ ¬F" by (rule disjI1)
        show False using 1 3 by (rule notE)
      qed
    qed
  qed
qed
 
-- "La demostración estructurada es"
lemma ejemplo_22_2:
  "F ∨ ¬F"
proof (rule ccontr)
  assume "¬(F ∨ ¬F)"
  thus False
  proof (rule notE)
    show "F ∨ ¬F"
    proof (rule disjI2)
      show "¬F"
      proof (rule notI)
        assume "F"
        hence "F ∨ ¬F" ..
        with `¬(F ∨ ¬F)`show False ..
      qed
    qed
  qed
qed
 
-- "La demostración automática es"
lemma ejemplo_22_3:
  "F ∨ ¬F"
using assms
by auto
 
text {* 
  Ejemplo 23 (p. 24). Demostrar
     p ⟶ q ⊢ ¬p ∨ q
*}
 
-- "La demostración detallada es"
lemma ejemplo_23_1:
  assumes 1: "p ⟶ q" 
  shows "¬p ∨ q"
proof -
  have "¬p ∨ p" by (rule excluded_middle)
  thus "¬p ∨ q"
  proof (rule disjE)
    { assume "¬p"
      thus "¬p ∨ q" by (rule disjI1) }
  next
    { assume 2: "p"
      have "q" using 1 2 by (rule mp)
      thus "¬p ∨ q" by (rule disjI2) }
  qed
qed    
 
-- "La demostración estructurada es"
lemma ejemplo_23_2:
  assumes "p ⟶ q" 
  shows "¬p ∨ q"
proof -
  have "¬p ∨ p" ..
  thus "¬p ∨ q"
  proof 
    { assume "¬p"
      thus "¬p ∨ q" .. }
  next
    { assume "p"
      with assms have "q" ..
      thus "¬p ∨ q" .. }
  qed
qed    
 
-- "La demostración automática es"
lemma ejemplo_23_3:
  assumes "p ⟶ q" 
  shows "¬p ∨ q"
using assms
by auto
 
subsection {* Demostraciones por contradicción *}
 
text {* 
  Ejemplo 24. Demostrar que 
     ¬p, p ∨ q ⊢ q
*}
 
-- "La demostración detallada es"
lemma ejemplo_24_1:
  assumes "¬p"
          "p ∨ q"
  shows   "q"
using `p ∨ q`
proof (rule disjE)
  assume "p"
  with assms(1) show "q" by contradiction 
next
  assume "q"
  thus "q" by assumption
qed
 
-- "La demostración estructurada es"
lemma ejemplo_24_2:
  assumes "¬p"
          "p ∨ q"
  shows "q"
using `p ∨ q`
proof 
  assume "p"
  with assms(1) show "q" ..
next
  assume "q"
  thus "q" .
qed
 
-- "La demostración automática es"
lemma ejemplo_24_3:
  assumes "¬p"
          "p ∨ q"
  shows "q"
using assms
by auto
 
end
RA2017