RA2016: Verificación de la ordenación por inserción con Isabelle/HOL
En la primera parte de la clase de hoy del curso de Razonamiento automático se ha estudiado cómo demostrar la corrección del algoritmo de inserción.
La correspondiente teoría Isabelle/HOL se muestra a continuación
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chapter {* T6a: Verificación de la ordenación por inserción *} theory T6a imports Main begin text {* En este de tema se define el algoritmo de ordenación de listas por inserción y se demuestra que es correcto. Se plantea como una ❙sucesión de ejercicios. *} text {* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 1. Definir la función inserta :: int ⇒ int list ⇒ int list tal que (inserta a xs) es la lista obtenida insertando a delante del primer elemento de xs que es mayor o igual que a. Por ejemplo, inserta 3 [2,5,1,7] = [2,3,5,1,7] ------------------------------------------------------------------ *} fun inserta :: "int ⇒ int list ⇒ int list" where "inserta a [] = [a]" | "inserta a (x#xs) = (if a ≤ x then a#x#xs else x # inserta a xs)" value "inserta 3 [2,5,1,7]" -- "= [2,3,5,1,7]" text {* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 2. Definir la función ordena :: int list ⇒ int list tal que (ordena xs) es la lista obtenida ordenando xs por inserción. Por ejemplo, ordena [3,2,5,3] = [2,3,3,5] ------------------------------------------------------------------ *} fun ordena :: "int list ⇒ int list" where "ordena [] = []" | "ordena (x#xs) = inserta x (ordena xs)" value "ordena [3,2,5,3]" -- "[2,3,3,5]" text {* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 3. Definir la función menor :: int ⇒ int list ⇒ bool tal que (menor a xs) se verifica si a es menor o igual que todos los elementos de xs.Por ejemplo, menor 2 [3,2,5] = True menor 2 [3,0,5] = False ------------------------------------------------------------------ *} fun menor :: "int ⇒ int list ⇒ bool" where "menor a [] = True" | "menor a (x#xs) = (a ≤ x ∧ menor a xs)" value "menor 2 [3,2,5]" -- "= True" value "menor 2 [3,0,5]" -- "= False" text {* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 4. Definir la función ordenada :: int list ⇒ bool tal que (ordenada xs) se verifica si xs es una lista ordenada de manera creciente. Por ejemplo, ordenada [2,3,3,5] = True ordenada [2,4,3,5] = False ------------------------------------------------------------------ *} fun ordenada :: "int list ⇒ bool" where "ordenada [] = True" | "ordenada (x#xs) = (menor x xs & ordenada xs)" value "ordenada [2,3,3,5]" -- "= True" value "ordenada [2,4,3,5]" -- "= False" text {* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 5. Demostrar que si y es una cota inferior de zs y x ≤ y, entonces x es una cota inferior de zs. ------------------------------------------------------------------ *} -- "La demostración automática es" lemma menor_menor: assumes "x ≤ y" shows "menor y zs ⟶ menor x zs" using assms by (induct zs) auto -- "La demostración estructurada es" lemma menor_menor_2: assumes "x ≤ y" shows "menor y zs ⟶ menor x zs" proof (induct zs) show "menor y [] ⟶ menor x []" by simp next fix z zs assume HI: "menor y zs ⟶ menor x zs" show "menor y (z # zs) ⟶ menor x (z # zs)" proof assume sup: "menor y (z # zs)" show "menor x (z # zs)" proof (simp only: menor.simps(2)) show "x ≤ z ∧ menor x zs" proof have "x ≤ y" using assms . also have "y ≤ z" using sup by simp finally show "x ≤ z" . next have "menor y zs" using sup by simp with HI show "menor x zs" by simp qed qed qed qed text {* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 6. Demostrar el siguiente teorema de corrección: x es una cota inferior de la lista obtenida insertando y en zs syss x ≤ y y x es una cota inferior de zs. ------------------------------------------------------------------ *} -- "La demostración automática es" lemma menor_inserta: "menor x (inserta y zs) = (x ≤ y ∧ menor x zs)" by (induct zs) auto -- "La demostración estructurada es" lemma menor_inserta_2: "menor x (inserta y zs) = (x ≤ y ∧ menor x zs)" proof (induct zs) show "menor x (inserta y []) = (x ≤ y ∧ menor x [])" by simp next fix z zs assume HI: "menor x (inserta y zs) = (x ≤ y ∧ menor x zs)" show "menor x (inserta y (z#zs)) = (x ≤ y ∧ menor x (z#zs))" proof (cases "y ≤ z") assume "y ≤ z" hence "menor x (inserta y (z#zs)) = menor x (y#z#zs)" by simp also have "… = (x ≤ y ∧ menor x (z#zs))" by simp finally show ?thesis by simp next assume "¬(y ≤ z)" hence "menor x (inserta y (z#zs)) = menor x (z # inserta y zs)" by simp also have "… = (x ≤ z ∧ menor x (inserta y zs))" by simp also have "… = (x ≤ z ∧ x ≤ y ∧ menor x zs)" using HI by simp also have "… = (x ≤ y ∧ menor x (z#zs))" by auto finally show ?thesis by simp qed qed text {* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 6. Demostrar que al insertar un elemento la lista obtenida está ordenada syss lo estaba la original. ------------------------------------------------------------------ *} -- "La demostración automática es" lemma ordenada_inserta: "ordenada (inserta a xs) = ordenada xs" by (induct xs) (auto simp add: menor_menor menor_inserta) -- "La demostración estructurada es" lemma ordenada_inserta_2: "ordenada (inserta a xs) = ordenada xs" proof (induct xs) show "ordenada (inserta a []) = ordenada []" by simp next fix x xs assume HI: "ordenada (inserta a xs) = ordenada xs" show "ordenada (inserta a (x # xs)) = ordenada (x # xs)" proof (cases "a ≤ x") assume "a ≤ x" hence "ordenada (inserta a (x # xs)) = ordenada (a # x # xs)" by simp also have "… = (menor a (x#xs) ∧ ordenada (x # xs))" by simp also have "… = ordenada (x # xs)" using `a ≤ x` by (auto simp add: menor_menor) finally show "ordenada (inserta a (x # xs)) = ordenada (x # xs)" by simp next assume "¬(a ≤ x)" hence "ordenada (inserta a (x # xs)) = ordenada (x # inserta a xs)" by simp also have "… = (menor x (inserta a xs) ∧ ordenada (inserta a xs))" by simp also have "… = (menor x (inserta a xs) ∧ ordenada xs)" using HI by simp also have "… = (menor x xs ∧ ordenada xs)" using `¬(a ≤ x)` by (simp add: menor_inserta) also have "… = ordenada (x # xs)" by simp finally show "ordenada (inserta a (x # xs)) = ordenada (x # xs)" by simp qed qed text {* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 7. Demostrar que, para toda lista xs, (ordena xs) está ordenada. ------------------------------------------------------------------ *} -- "La demostración automática es" theorem ordenada_ordena: "ordenada (ordena xs)" by (induct xs) (auto simp add: ordenada_inserta) -- "La demostración estructurada es" theorem ordenada_ordena_2: "ordenada (ordena xs)" proof (induct xs) show "ordenada (ordena [])" by simp next fix x xs assume "ordenada (ordena xs)" then have "ordenada (inserta x (ordena xs))" by (simp add: ordenada_inserta) then show "ordenada (ordena (x # xs))" by simp qed text {* --------------------------------------------------------------------- Nota. El teorema anterior no garantiza que ordena sea correcta, ya que puede que (ordena xs) no tenga los mismos elementos que xs. Por ejemplo, si se define (ordena xs) como [] se tiene que (ordena xs) está ordenada pero no es una ordenación de xs. Para garantizarlo, definimos la función cuenta. ------------------------------------------------------------------ *} text {* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 8. Definir la función cuenta :: int list ⇒ int ⇒ nat tal que (cuenta xs y) es el número de veces que aparece el elemento y en la lista xs. Por ejemplo, cuenta [1,3,4,3,5] 3 = 2 ------------------------------------------------------------------ *} fun cuenta :: "int list ⇒ int ⇒ nat" where "cuenta [] y = 0" | "cuenta (x#xs) y = (if x=y then Suc(cuenta xs y) else cuenta xs y)" value "cuenta [1,3,4,3,5] 3" -- "= 2" text {* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 9. Demostrar que el número de veces que aparece y en (inserta x xs) es * uno más el número de veces que aparece en xs, si y = x; * el número de veces que aparece en xs, si y ≠ x; ------------------------------------------------------------------ *} -- "La demostración automática es" lemma cuenta_inserta: "cuenta (inserta x xs) y = (if x=y then Suc (cuenta xs y) else cuenta xs y)" by (induct xs) auto text {* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 10. Demostrar que el número de veces que aparece y en (ordena xs) es el número de veces que aparece en xs. ------------------------------------------------------------------ *} -- "La demostración automática es" theorem cuenta_ordena: "cuenta (ordena xs) y = cuenta xs y" by (induct xs) (auto simp add: cuenta_inserta) -- "La demostración estructurada es" theorem cuenta_ordena_2: "cuenta (ordena xs) y = cuenta xs y" proof (induct xs) show "cuenta (ordena []) y = cuenta [] y" by simp next fix x xs assume HI: "cuenta (ordena xs) y = cuenta xs y" show "cuenta (ordena (x # xs)) y = cuenta (x # xs) y" proof (cases "x = y") assume "x = y" have "cuenta (ordena (x # xs)) y = cuenta (inserta x (ordena xs)) y" by simp also have "… = Suc (cuenta (ordena xs) y)" using `x = y` by (simp add: cuenta_inserta) also have "… = Suc (cuenta xs y)" using HI by simp also have "… = cuenta (x # xs) y" using `x = y` by simp finally show "cuenta (ordena (x # xs)) y = cuenta (x # xs) y" by simp next assume "x ≠ y" have "cuenta (ordena (x # xs)) y = cuenta (inserta x (ordena xs)) y" by simp also have "… = cuenta (ordena xs) y" using `x ≠ y` by (simp add: cuenta_inserta) also have "… = cuenta xs y" using HI by simp also have "… = cuenta (x # xs) y" using `x ≠ y` by simp finally show "cuenta (ordena (x # xs)) y = cuenta (x # xs) y" by simp qed qed end |