RA2015: Razonamiento automático sobre programas con Isabelle/HOL
En la clase de hoy del curso de Razonamiento automático se ha presentado cómo se puede demostrar propiedades de programas funcionales con Isabelle/HOL.
Para ello, se ha visto cómo representar en Isabelle/HOL las demostraciones de propiedades de programas estudiadas en el tema 8 del curso de Informática.
Los métodos de demostración utilizados son razonamiento ecuacional, inducción sobre los números naturales, inducción sobre listas e inducción sobre esquemas correspondientes a definiciones recursivas.
La teoría con los ejemplos presentados en la clase es la siguiente:
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header {* Tema 2: Razonamiento automático sobre programas en Isabelle/HOL *} theory T2_Razonamiento_sobre_programas imports Main begin text {* En este tema se demuestra con Isabelle las propiedades de los programas funcionales como se expone en el tema 8 del curso "Informática" que puede leerse en http://goo.gl/Imvyt *} section {* Razonamiento ecuacional *} text {* ---------------------------------------------------------------- Ejemplo 1. Definir, por recursión, la función longitud :: 'a list ⇒ nat tal que (longitud xs) es la longitud de la listas xs. Por ejemplo, longitud [4,2,5] = 3 ------------------------------------------------------------------- *} fun longitud :: "'a list ⇒ nat" where "longitud [] = 0" | "longitud (x#xs) = 1 + longitud xs" value "longitud [4,2,5]" -- "= 3" text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 2. Demostrar que longitud [4,2,5] = 3 ------------------------------------------------------------------- *} lemma "longitud [4,2,5] = 3" by simp text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 3. Definir la función fun intercambia :: 'a × 'b ⇒ 'b × 'a tal que (intercambia p) es el par obtenido intercambiando las componentes del par p. Por ejemplo, intercambia (u,v) = (v,u) ------------------------------------------------------------------ *} fun intercambia :: "'a × 'b ⇒ 'b × 'a" where "intercambia (x,y) = (y,x)" value "intercambia (u,v)" -- "= (v,u)" text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 4. (p.6) Demostrar que intercambia (intercambia (x,y)) = (x,y) ------------------------------------------------------------------- *} lemma "intercambia (intercambia (x,y)) = (x,y)" by simp text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 5. Definir, por recursión, la función inversa :: 'a list ⇒ 'a list tal que (inversa xs) es la lista obtenida invirtiendo el orden de los elementos de xs. Por ejemplo, inversa [a,d,c] = [c,d,a] ------------------------------------------------------------------ *} fun inversa :: "'a list ⇒ 'a list" where "inversa [] = []" | "inversa (x#xs) = inversa xs @ [x]" value "inversa [a,d,c]" -- "= [c,d,a]" text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 6. (p. 9) Demostrar que inversa [x] = [x] ------------------------------------------------------------------- *} lemma "inversa [x] = [x]" by simp section {* Razonamiento por inducción sobre los naturales *} text {* [Principio de inducción sobre los naturales] Para demostrar una propiedad P para todos los números naturales basta probar que el 0 tiene la propiedad P y que si n tiene la propiedad P, entonces n+1 también la tiene. ⟦P 0; ⋀n. P n ⟹ P (Suc n)⟧ ⟹ P m En Isabelle el principio de inducción sobre los naturales está formalizado en el teorema nat.induct y puede verse con thm nat.induct *} thm nat.induct text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 7. Definir la función repite :: nat ⇒ 'a ⇒ 'a list tal que (repite n x) es la lista formada por n copias del elemento x. Por ejemplo, repite 3 a = [a,a,a] ------------------------------------------------------------------ *} fun repite :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where "repite 0 x = []" | "repite (Suc n) x = x # (repite n x)" value "repite 3 a" -- "= [a,a,a]" text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 8. (p. 18) Demostrar que longitud (repite n x) = n ------------------------------------------------------------------- *} lemma "longitud (repite n x) = n" by (induct n) auto section {* Razonamiento por inducción sobre listas *} text {* Para demostrar una propiedad para todas las listas basta demostrar que la lista vacía tiene la propiedad y que al añadir un elemento a una lista que tiene la propiedad se obtiene otra lista que también tiene la propiedad. En Isabelle el principio de inducción sobre listas está formalizado mediante el teorema list.induct que puede verse con thm list.induct *} thm list.induct text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 9. Definir la función conc :: 'a list ⇒ 'a list ⇒ 'a list tal que (conc xs ys) es la concatención de las listas xs e ys. Por ejemplo, conc [a,d] [b,d,a,c] = [a,d,b,d,a,c] ------------------------------------------------------------------ *} fun conc :: "'a list ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where "conc [] ys = ys" | "conc (x#xs) ys = x # (conc xs ys)" value "conc [a,d] [b,d,a,c]" -- "= [a,d,b,d,a,c]" text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 10. (p. 24) Demostrar que conc xs (conc ys zs) = (conc xs ys) zs ------------------------------------------------------------------- *} lemma "conc xs (conc ys zs) = conc (conc xs ys) zs" by (induct xs) auto text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 11. Refutar que conc xs ys = conc ys xs ------------------------------------------------------------------- *} lemma "conc xs ys = conc ys xs" quickcheck oops text {* Encuentra el contraejemplo, xs = [a⇣2] ys = [a⇣1] *} text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 12. (p. 28) Demostrar que conc xs [] = xs ------------------------------------------------------------------- *} lemma "conc xs [] = xs" by (induct xs) auto text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 13. (p. 30) Demostrar que longitud (conc xs ys) = longitud xs + longitud ys ------------------------------------------------------------------- *} lemma "longitud (conc xs ys) = longitud xs + longitud ys" by (induct xs) auto section {* Inducción correspondiente a la definición recursiva *} text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 14. Definir la función coge :: nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list tal que (coge n xs) es la lista de los n primeros elementos de xs. Por ejemplo, coge 2 [a,c,d,b,e] = [a,c] ------------------------------------------------------------------ *} fun coge :: "nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where "coge n [] = []" | "coge 0 xs = []" | "coge (Suc n) (x#xs) = x # (coge n xs)" value "coge 2 [a,c,d,b,e]" -- "= [a,c]" text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 15. Definir la función elimina :: nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list tal que (elimina n xs) es la lista obtenida eliminando los n primeros elementos de xs. Por ejemplo, elimina 2 [a,c,d,b,e] = [d,b,e] ------------------------------------------------------------------ *} fun elimina :: "nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where "elimina n [] = []" | "elimina 0 xs = xs" | "elimina (Suc n) (x#xs) = elimina n xs" value "elimina 2 [a,c,d,b,e]" -- "= [d,b,e]" text {* La definición coge genera el esquema de inducción coge.induct: ⟦⋀n. P n []; ⋀x xs. P 0 (x#xs); ⋀n x xs. P n xs ⟹ P (Suc n) (x#xs)⟧ ⟹ P n x Puede verse usando "thm coge.induct". *} text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 16. (p. 35) Demostrar que conc (coge n xs) (elimina n xs) = xs ------------------------------------------------------------------- *} lemma "conc (coge n xs) (elimina n xs) = xs" by (induct rule: coge.induct) auto section {* Razonamiento por casos *} text {* Distinción de casos sobre listas: · El método de distinción de casos se activa con (cases xs) donde xs es del tipo lista. · "case Nil" es una abreviatura de "assume Nil: xs =[]". · "case Cons" es una abreviatura de "fix ? ?? assume Cons: xs = ? # ??" donde ? y ?? son variables anónimas. *} text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 17. Definir la función esVacia :: 'a list ⇒ bool tal que (esVacia xs) se verifica si xs es la lista vacía. Por ejemplo, esVacia [] = True esVacia [1] = False ------------------------------------------------------------------ *} fun esVacia :: "'a list ⇒ bool" where "esVacia [] = True" | "esVacia (x#xs) = False" value "esVacia []" -- "= True" value "esVacia [1]" -- "= False" text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 18 (p. 39) . Demostrar que esVacia xs = esVacia (conc xs xs) ------------------------------------------------------------------- *} lemma "esVacia xs = esVacia (conc xs xs)" by (cases xs) auto section {* Heurística de generalización *} text {* Heurística de generalización: Cuando se use demostración estructural, cuantificar universalmente las variables libres (o, equivalentemente, considerar las variables libres como variables arbitrarias). *} text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 19. Definir la función inversaAc :: 'a list ⇒ 'a list tal que (inversaAc xs) es a inversa de xs calculada usando acumuladores. Por ejemplo, inversaAc [a,c,b,e] = [e,b,c,a] ------------------------------------------------------------------ *} fun inversaAcAux :: "'a list ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where "inversaAcAux [] ys = ys" | "inversaAcAux (x#xs) ys = inversaAcAux xs (x#ys)" fun inversaAc :: "'a list ⇒ 'a list" where "inversaAc xs = inversaAcAux xs []" value "inversaAc [a,c,b,e]" -- "= [e,b,c,a]" text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 20. (p. 44) Demostrar que inversaAcAux xs ys = (inversa xs) @ ys ------------------------------------------------------------------- *} lemma inversaAcAux_es_inversa: "inversaAcAux xs ys = (inversa xs)@ys" by (induct xs arbitrary: ys) auto text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 21. (p. 43) Demostrar que inversaAc xs = inversa xs ------------------------------------------------------------------- *} -- "La demostración automática es" corollary "inversaAc xs = inversa xs" by (simp add: inversaAcAux_es_inversa) section {* Demostración por inducción para funciones de orden superior *} text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 22. Definir la función sum :: nat list ⇒ nat tal que (sum xs) es la suma de los elementos de xs. Por ejemplo, sum [3,2,5] = 10 ------------------------------------------------------------------ *} fun sum :: "nat list ⇒ nat" where "sum [] = 0" | "sum (x#xs) = x + sum xs" value "sum [3,2,5]" -- "= 10" text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 23. Definir la función map :: ('a ⇒ 'b) ⇒ 'a list ⇒ 'b list tal que (map f xs) es la lista obtenida aplicando la función f a los elementos de xs. Por ejemplo, map (λx. 2*x) [3,2,5] = [6,4,10] ------------------------------------------------------------------ *} fun map :: "('a ⇒ 'b) ⇒ 'a list ⇒ 'b list" where "map f [] = []" | "map f (x#xs) = (f x) # map f xs" value "map (λx. 2*x) [3::nat,2,5]" -- "= [6,4,10]" text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 24. (p. 45) Demostrar que sum (map (λx. 2*x) xs) = 2 * (sum xs) ------------------------------------------------------------------- *} lemma "sum (map (λx. 2*x) xs) = 2 * (sum xs)" by (induct xs) auto text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 25. (p. 48) Demostrar que longitud (map f xs) = longitud xs ------------------------------------------------------------------- *} lemma "longitud (map f xs) = longitud xs" by (induct xs) auto section {* Referencias *} text {* · J.A. Alonso. "Razonamiento sobre programas" http://goo.gl/R06O3 · G. Hutton. "Programming in Haskell". Cap. 13 "Reasoning about programms". http://bit.ly/1gMqK0X · S. Thompson. "Haskell: the Craft of Functional Programming, 3rd Edition. Cap. 8 "Reasoning about programms". · L. Paulson. "ML for the Working Programmer, 2nd Edition". Cap. 6. "Reasoning about functional programs". http://bit.ly/1gMqFKI *} end |
Como tarea para la próxima clase se propuso la resolución de los ejercicios de la 2ª relación.