RA2013: Razonamiento automático sobre programas con Isabelle/HOL
En la clase de hoy del curso de Razonamiento automático se ha presentado cómo se puede demostrar automáticamente propiedades de programas funcionales con Isabelle/HOL.
En primer lugar, se ha estudiado cómo se pueden demostrar manualmente propiedades de programas Haskell. Para ello, se han usado las transparencias del tema 7 del curso de Programación declarativa (de 3º del Grado en Informática). Como lectura complementaria se recomienda el capítulo 13 del libro de G. Hutton Programming in Haskell.
A continuación se ha explicado cómo demostrar automáticamente las propiedades anteriores con Isabelle/HOL.
El enunciado de las propiedades es inmediato: basta escribir la palabra lemma y a continuación la propiedad entre comillas dobles; por ejemplo,
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1 |
lemma "longitud (repite n x) = n" |
También se puede poner un nombre al lema, por ejemplo,
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1 2 |
lemma inversaAcAux_es_inversa: "inversaAcAux xs ys = (inversa xs)@ys" |
La demostración es la palabra by seguida por el método de demostración. Los métodos que hemos usado son
- by simp: que es el método de simplificación por reescritura,
- by (induct x) auto: que es por inducción en x (donde x es un número natural o una lista) y simplificación automática de ambos casos,
- by (induct rule: fn.induct) auto: que es por inducción según la definición de la función fn y simplificación automática de todos los casos,
- by (cases x) auto: que hace distinción de casos según el tipo x y simplificación automática de todos los casos,
- by (induct x arbitrary: y) auto: que es por inducción en x (donde y se considera una variable arbitraria) y simplificación automática de todos los casos y
- by (simp add: lema_auxiliar): que es el método de simplificación por reescritura añadiéndole a las reglas de reescritura la correspondiente al lema_auxiliar,
La teoría con los ejemplos presentados en la clase es la siguiente:
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 |
header {* Tema 2: Razonamiento automático sobre programas en Isabelle/HOL *} theory T2_Razonamiento_sobre_programas imports Main begin text {* En este tema se demuestra con Isabelle las propiedades de los programas funcionales como se expone en el tema 8 del curso "Informática" que puede leerse en http://goo.gl/Imvyt *} section {* Razonamiento ecuacional *} text {* ---------------------------------------------------------------- Ejemplo 1. Definir, por recursión, la función longitud :: 'a list ⇒ nat tal que (longitud xs) es la longitud de la listas xs. Por ejemplo, longitud [4,2,5] = 3 ------------------------------------------------------------------- *} fun longitud :: "'a list ⇒ nat" where "longitud [] = 0" | "longitud (x#xs) = 1 + longitud xs" value "longitud [4,2,5]" -- "= 3" text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 2. Demostrar que longitud [4,2,5] = 3 ------------------------------------------------------------------- *} lemma "longitud [4,2,5] = 3" by simp text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 3. Definir la función fun intercambia :: 'a × 'b ⇒ 'b × 'a tal que (intercambia p) es el par obtenido intercambiando las componentes del par p. Por ejemplo, intercambia (u,v) = (v,u) ------------------------------------------------------------------ *} fun intercambia :: "'a × 'b ⇒ 'b × 'a" where "intercambia (x,y) = (y,x)" value "intercambia (u,v)" -- "= (v,u)" text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 4. (p.6) Demostrar que intercambia (intercambia (x,y)) = (x,y) ------------------------------------------------------------------- *} lemma "intercambia (intercambia (x,y)) = (x,y)" by simp text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 5. Definir, por recursión, la función inversa :: 'a list ⇒ 'a list tal que (inversa xs) es la lista obtenida invirtiendo el orden de los elementos de xs. Por ejemplo, inversa [a,d,c] = [c,d,a] ------------------------------------------------------------------ *} fun inversa :: "'a list ⇒ 'a list" where "inversa [] = []" | "inversa (x#xs) = inversa xs @ [x]" value "inversa [a,d,c]" -- "= [c,d,a]" text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 6. (p. 9) Demostrar que inversa [x] = [x] ------------------------------------------------------------------- *} lemma "inversa [x] = [x]" by simp section {* Razonamiento por inducción sobre los naturales *} text {* [Principio de inducción sobre los naturales] Para demostrar una propiedad P para todos los números naturales basta probar que el 0 tiene la propiedad P y que si n tiene la propiedad P, entonces n+1 también la tiene. ⟦P 0; ⋀n. P n ⟹ P (Suc n)⟧ ⟹ P m En Isabelle el principio de inducción sobre los naturales está formalizado en el teorema nat.induct y puede verse con thm nat.induct *} thm nat.induct text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 7. Definir la función repite :: nat ⇒ 'a ⇒ 'a list tal que (repite n x) es la lista formada por n copias del elemento x. Por ejemplo, repite 3 a = [a,a,a] ------------------------------------------------------------------ *} fun repite :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where "repite 0 x = []" | "repite (Suc n) x = x # (repite n x)" value "repite 3 a" -- "= [a,a,a]" text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 8. (p. 18) Demostrar que longitud (repite n x) = n ------------------------------------------------------------------- *} lemma "longitud (repite n x) = n" by (induct n) auto section {* Razonamiento por inducción sobre listas *} text {* Para demostrar una propiedad para todas las listas basta demostrar que la lista vacía tiene la propiedad y que al añadir un elemento a una lista que tiene la propiedad se obtiene otra lista que también tiene la propiedad. En Isabelle el principio de inducción sobre listas está formalizado mediante el teorema list.induct que puede verse con thm list.induct *} thm list.induct text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 9. Definir la función conc :: 'a list ⇒ 'a list ⇒ 'a list tal que (conc xs ys) es la concatención de las listas xs e ys. Por ejemplo, conc [a,d] [b,d,a,c] = [a,d,b,d,a,c] ------------------------------------------------------------------ *} fun conc :: "'a list ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where "conc [] ys = ys" | "conc (x#xs) ys = x # (conc xs ys)" value "conc [a,d] [b,d,a,c]" -- "= [a,d,b,d,a,c]" text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 10. (p. 24) Demostrar que conc xs (conc ys zs) = (conc xs ys) zs ------------------------------------------------------------------- *} lemma "conc xs (conc ys zs) = conc (conc xs ys) zs" by (induct xs) auto text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 11. Refutar que conc xs ys = conc ys xs ------------------------------------------------------------------- *} lemma "conc xs ys = conc ys xs" quickcheck oops text {* Encuentra el contraejemplo, xs = [a⇣2] ys = [a⇣1] *} text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 12. (p. 28) Demostrar que conc xs [] = xs ------------------------------------------------------------------- *} lemma "conc xs [] = xs" by (induct xs) auto text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 13. (p. 30) Demostrar que longitud (conc xs ys) = longitud xs + longitud ys ------------------------------------------------------------------- *} lemma "longitud (conc xs ys) = longitud xs + longitud ys" by (induct xs) auto section {* Inducción correspondiente a la definición recursiva *} text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 14. Definir la función coge :: nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list tal que (coge n xs) es la lista de los n primeros elementos de xs. Por ejemplo, coge 2 [a,c,d,b,e] = [a,c] ------------------------------------------------------------------ *} fun coge :: "nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where "coge n [] = []" | "coge 0 xs = []" | "coge (Suc n) (x#xs) = x # (coge n xs)" value "coge 2 [a,c,d,b,e]" -- "= [a,c]" text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 15. Definir la función elimina :: nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list tal que (elimina n xs) es la lista obtenida eliminando los n primeros elementos de xs. Por ejemplo, elimina 2 [a,c,d,b,e] = [d,b,e] ------------------------------------------------------------------ *} fun elimina :: "nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where "elimina n [] = []" | "elimina 0 xs = xs" | "elimina (Suc n) (x#xs) = elimina n xs" value "elimina 2 [a,c,d,b,e]" -- "= [d,b,e]" text {* La definición coge genera el esquema de inducción coge.induct: ⟦⋀n. P n []; ⋀x xs. P 0 (x#xs); ⋀n x xs. P n xs ⟹ P (Suc n) (x#xs)⟧ ⟹ P n x Puede verse usando "thm coge.induct". *} text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 16. (p. 35) Demostrar que conc (coge n xs) (elimina n xs) = xs ------------------------------------------------------------------- *} lemma "conc (coge n xs) (elimina n xs) = xs" by (induct rule: coge.induct) auto section {* Razonamiento por casos *} text {* Distinción de casos sobre listas: · El método de distinción de casos se activa con (cases xs) donde xs es del tipo lista. · "case Nil" es una abreviatura de "assume Nil: xs =[]". · "case Cons" es una abreviatura de "fix ? ?? assume Cons: xs = ? # ??" donde ? y ?? son variables anónimas. *} text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 17. Definir la función esVacia :: 'a list ⇒ bool tal que (esVacia xs) se verifica si xs es la lista vacía. Por ejemplo, esVacia [] = True esVacia [1] = False ------------------------------------------------------------------ *} fun esVacia :: "'a list ⇒ bool" where "esVacia [] = True" | "esVacia (x#xs) = False" value "esVacia []" -- "= True" value "esVacia [1]" -- "= False" text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 18 (p. 39) . Demostrar que esVacia xs = esVacia (conc xs xs) ------------------------------------------------------------------- *} lemma "esVacia xs = esVacia (conc xs xs)" by (cases xs) auto section {* Heurística de generalización *} text {* Heurística de generalización: Cuando se use demostración estructural, cuantificar universalmente las variables libres (o, equivalentemente, considerar las variables libres como variables arbitrarias). *} text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 19. Definir la función inversaAc :: 'a list ⇒ 'a list tal que (inversaAc xs) es a inversa de xs calculada usando acumuladores. Por ejemplo, inversaAc [a,c,b,e] = [e,b,c,a] ------------------------------------------------------------------ *} fun inversaAcAux :: "'a list ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where "inversaAcAux [] ys = ys" | "inversaAcAux (x#xs) ys = inversaAcAux xs (x#ys)" fun inversaAc :: "'a list ⇒ 'a list" where "inversaAc xs = inversaAcAux xs []" value "inversaAc [a,c,b,e]" -- "= [e,b,c,a]" text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 20. (p. 44) Demostrar que inversaAcAux xs ys = (inversa xs) @ ys ------------------------------------------------------------------- *} lemma inversaAcAux_es_inversa: "inversaAcAux xs ys = (inversa xs)@ys" by (induct xs arbitrary: ys) auto text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 21. (p. 43) Demostrar que inversaAc xs = inversa xs ------------------------------------------------------------------- *} -- "La demostración automática es" corollary "inversaAc xs = inversa xs" by (simp add: inversaAcAux_es_inversa) section {* Demostración por inducción para funciones de orden superior *} text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 22. Definir la función sum :: nat list ⇒ nat tal que (sum xs) es la suma de los elementos de xs. Por ejemplo, sum [3,2,5] = 10 ------------------------------------------------------------------ *} fun sum :: "nat list ⇒ nat" where "sum [] = 0" | "sum (x#xs) = x + sum xs" value "sum [3,2,5]" -- "= 10" text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 23. Definir la función map :: ('a ⇒ 'b) ⇒ 'a list ⇒ 'b list tal que (map f xs) es la lista obtenida aplicando la función f a los elementos de xs. Por ejemplo, map (λx. 2*x) [3,2,5] = [6,4,10] ------------------------------------------------------------------ *} fun map :: "('a ⇒ 'b) ⇒ 'a list ⇒ 'b list" where "map f [] = []" | "map f (x#xs) = (f x) # map f xs" value "map (λx. 2*x) [3::nat,2,5]" -- "= [6,4,10]" text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 24. (p. 45) Demostrar que sum (map (λx. 2*x) xs) = 2 * (sum xs) ------------------------------------------------------------------- *} lemma "sum (map (λx. 2*x) xs) = 2 * (sum xs)" by (induct xs) auto text {* --------------------------------------------------------------- Ejemplo 25. (p. 48) Demostrar que longitud (map f xs) = longitud xs ------------------------------------------------------------------- *} lemma "longitud (map f xs) = longitud xs" by (induct xs) auto section {* Referencias *} text {* · J.A. Alonso. "Razonamiento sobre programas" http://goo.gl/R06O3 · G. Hutton. "Programming in Haskell". Cap. 13 "Reasoning about programms". http://bit.ly/1gMqK0X · S. Thompson. "Haskell: the Craft of Functional Programming, 3rd Edition. Cap. 8 "Reasoning about programms". · L. Paulson. "ML for the Working Programmer, 2nd Edition". Cap. 6. "Reasoning about functional programs". http://bit.ly/1gMqFKI *} end |
Como tarea para la próxima clase se propuso la resolución de los ejercicios de la relación 2.