RA2013: Deducción natural en lógica proposicional con Isabelle/HOL

En la clase de hoy del curso de Razonamiento automático se ha presentado la deducción natural en lógica proposicional con Isabelle/HOL. La presentación se basa en los ejemplos de tema 2 del curso LI (Lógica informática), que a su vez se basa en el libro de de Huth y Ryan Logic in Computer Science. La página al lado de cada ejemplo indica la página de las transparencias de LI donde se encuentra la demostración.

Para cada ejemplo se presentan distintas demostraciones. La primera intenta reflejar la demostración de la transparencia, las siguientes van eliminando detalles de la prueba hasta la última que es automática.

A los largos de los ejemplos se van comentando los elementos del lenguaje conforme van entrando en el juego.

La teoría con los ejemplos presentados en la clase es la siguiente:

header {* Tema 6b: Deducción natural proposicional con Isabelle/HOL *}

theory T6b
imports Main 
begin

text {*
  En este tema se presentan los ejemplos del tema de deducción natural
  proposicional siguiendo la presentación de Huth y Ryan en su libro
  "Logic in Computer Science" http://goo.gl/qsVpY y, más concretamente,
  a la forma como se explica en la asignatura de "Lógica informática" (LI) 
  http://goo.gl/AwDiv
 
  La página al lado de cada ejemplo indica la página de las transparencias 
  de LI donde se encuentra la demostración. *}

subsection {* Reglas de la conjunción *}

text {* 
  Ejemplo 1 (p. 4). Demostrar que
     p ∧ q, r ⊢ q ∧ r.
  *}     

-- "La demostración detallada es"
lemma ejemplo_1_1:
  assumes 1: "p ∧ q" and
          2: "r" 
  shows "q ∧ r"     
proof -
  have 3: "q" using 1 by (rule conjunct2)
  show 4: "q ∧ r" using 3 2 by (rule conjI)
qed
thm ejemplo_1_1
text {*
  Notas sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado
  · "assumes" para indicar las hipótesis,
  · "and" para separar las hipótesis,
  · "shows" para indicar la conclusión,
  · "proof" para iniciar la prueba,
  · "qed" para terminar la pruebas,
  · "-" (después de "proof") para no usar el método por defecto,
  · "have" para establecer un paso,
  · "using" para usar hechos en un paso,
  · "by (rule ..)" para indicar la regla con la que se peueba un hecho,
  · "show" para establecer la conclusión.

  Notas sobre la lógica: Las reglas de la conjunción son
  · conjI:      ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q
  · conjunct1:  P ∧ Q ⟹ P
  · conjunct2:  P ∧ Q ⟹ Q  
*}

text {* Se pueden dejar implícitas las reglas como sigue *}

lemma ejemplo_1_2:
  assumes 1: "p ∧ q" and 
          2: "r" 
  shows "q ∧ r"     
proof -
  have 3: "q" using 1 .. 
  show 4: "q ∧ r" using 3 2 ..
qed

text {*
  Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado
  · ".." para indicar que se prueba por la regla correspondiente. *}

text {* Se pueden eliminar las etiquetas como sigue *}

lemma ejemplo_1_3:
  assumes "p ∧ q" 
          "r" 
  shows   "q ∧ r"     
proof -
  have "q" using assms(1) ..
  thus "q ∧ r" using assms(2) ..
qed

text {*
  Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado
  · "assms(n)" para indicar la hipótesis n y
  · "thus" para demostrar la conclusión usando el hecho anterior.
  Además, no es necesario usar and entre las hipótesis. *}

text {* Se puede automatizar la demostración como sigue *}
  
lemma ejemplo_1_4:
  assumes "p ∧ q" 
          "r" 
  shows   "q ∧ r"     
using assms
by auto

text {*
  Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado
  · "assms" para indicar las hipótesis y
  · "by auto" para demostrar la conclusión automáticamente. *}

text {* Se puede automatizar totalmente la demostración como sigue *}

lemma ejemplo_1_5:
  "⟦p ∧ q; r⟧ ⟹ q ∧ r"
by auto

text {*
  Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado
  · "⟦ ... ⟧" para representar las hipótesis,
  · ";" para separar las hipótesis y
  · "⟹" para separar las hipótesis de la conclusión. *}

text {* Se puede hacer la demostración por razonamiento hacia atrás,
  como sigue *}

lemma ejemplo_1_6:
  assumes "p ∧ q" 
      and "r" 
  shows   "q ∧ r"     
proof (rule conjI)
  show "q" using assms(1) by (rule conjunct2)
next
  show "r" using assms(2) by this
qed

text {*
  Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado
  · "proof (rule r)" para indicar que se hará la demostración con la
    regla r,
  · "next" para indicar el comienzo de la prueba del siguiente
    subobjetivo,
  · "this" para indicar el hecho actual. *}

text {* Se pueden dejar implícitas las reglas como sigue *}

lemma ejemplo_1_7:
  assumes "p ∧ q" 
          "r" 
  shows   "q ∧ r"     
proof 
  show "q" using assms(1) ..
next
  show "r" using assms(2) . 
qed

text {*
  Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado
  · "." para indicar por el hecho actual. *}

subsection {* Reglas de la doble negación *}

text {*
  La regla de eliminación de la doble negación es
  · notnotD: ¬¬ P ⟹ P

  Para ajustarnos al tema de LI vamos a introducir la siguiente regla de
  introducción de la doble negación
  · notnotI: P ⟹ ¬¬ P
  aunque, de momento, no detallamos su demostración.
*}

lemma notnotI [intro!]: "P ⟹ ¬¬ P"
by auto

text {*
  Ejemplo 2. (p. 5)
       p, ¬¬(q ∧ r) ⊢ ¬¬p ∧ r
*}

-- "La demostración detallada es"
lemma ejemplo_2_1:
  assumes 1: "p" and
          2: "¬¬(q ∧ r)" 
  shows      "¬¬p ∧ r"
proof -
  have 3: "¬¬p" using 1 by (rule notnotI)
  have 4: "q ∧ r" using 2 by (rule notnotD)
  have 5: "r" using 4 by (rule conjunct2)
  show 6: "¬¬p ∧ r" using 3 5 by (rule conjI)
qed        

-- "La demostración estructurada es"
lemma ejemplo_2_2:
  assumes "p" 
          "¬¬(q ∧ r)" 
  shows   "¬¬p ∧ r"
proof -
  have  "¬¬p" using assms(1) ..
  have  "q ∧ r" using assms(2) by (rule notnotD)
  hence "r" ..
  with `¬¬p` show  "¬¬p ∧ r" ..
qed        

text {*
  Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado
  · "hence" para indicar que se tiene por el hecho anterior,
  · `...` para referenciar un hecho y
  · "with P show Q" para indicar que con el hecho anterior junto con el
    hecho P se demuestra Q. *}

-- "La demostración automática es"
lemma ejemplo_2_3:
  assumes "p" 
          "¬¬(q ∧ r)" 
  shows   "¬¬p ∧ r"
using assms
by auto

text {* Se puede demostrar hacia atrás *}

lemma ejemplo_2_4:
  assumes "p" 
          "¬¬(q ∧ r)" 
  shows   "¬¬p ∧ r"
proof  (rule conjI)
  show "¬¬p" using assms(1) by (rule notnotI)
next
  have "q ∧ r" using assms(2) by (rule notnotD) 
  thus "r" by (rule conjunct2)
qed 

text {* Se puede eliminar las reglas en la demostración anterior, como
  sigue: *}

lemma ejemplo_2_5:
  assumes "p" 
          "¬¬(q ∧ r)" 
  shows   "¬¬p ∧ r"
proof 
  show "¬¬p" using assms(1) ..
next
  have "q ∧ r" using assms(2) by (rule notnotD) 
  thus "r" .. 
qed

subsection {* Regla de eliminación del condicional *}

text {*
  La regla de eliminación del condicional es la regla del modus ponens
  · mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q 
*}

text {* 
  Ejemplo 3. (p. 6) Demostrar que
     ¬p ∧ q, ¬p ∧ q ⟶ r ∨ ¬p ⊢ r ∨ ¬p
*}

-- "La demostración detallada es"
lemma ejemplo_3_1:
  assumes 1: "¬p ∧ q" and 
          2: "¬p ∧ q ⟶ r ∨ ¬p" 
  shows      "r ∨ ¬p"
proof -
  show "r ∨ ¬p" using 2 1 by (rule mp)
qed    

-- "La demostración estructurada es"
lemma ejemplo_3_2:
  assumes "¬p ∧ q"
          "¬p ∧ q ⟶ r ∨ ¬p" 
  shows   "r ∨ ¬p"
proof -
  show "r ∨ ¬p" using assms(2,1) ..
qed    

-- "La demostración automática es"
lemma ejemplo_3_3:
  assumes "¬p ∧ q"
          "¬p ∧ q ⟶ r ∨ ¬p" 
  shows   "r ∨ ¬p"
using assms
by auto

text {* 
  Ejemplo 4 (p. 6) Demostrar que
     p, p ⟶ q, p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ r
 *}

-- "La demostración detallada es"
lemma ejemplo_4_1:
  assumes 1: "p" and 
          2: "p ⟶ q" and 
          3: "p ⟶ (q ⟶ r)" 
  shows "r"
proof -
  have 4: "q" using 2 1 by (rule mp)
  have 5: "q ⟶ r" using 3 1 by (rule mp)
  show 6: "r" using 5 4 by (rule mp)
qed

-- "La demostración estructurada es"
lemma ejemplo_4_2:
  assumes "p"
          "p ⟶ q"
          "p ⟶ (q ⟶ r)" 
  shows "r"
proof -
  have "q" using assms(2,1) .. 
  have "q ⟶ r" using assms(3,1) ..
  thus "r" using `q` ..
qed

-- "La demostración automática es"
lemma ejemplo_4_3:
  "⟦p; p ⟶ q; p ⟶ (q ⟶ r)⟧ ⟹ r"
by auto

subsection {* Regla derivada del modus tollens *}

text {*
  Para ajustarnos al tema de LI vamos a introducir la regla del modus
  tollens
  · mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F 
  aunque, de momento, sin detallar su demostración.
*}

lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F"
by auto

text {*
  Ejemplo 5 (p. 7). Demostrar
     p ⟶ (q ⟶ r), p, ¬r ⊢ ¬q
 *}

-- "La demostración detallada es"
lemma ejemplo_5_1:
  assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)" and 
          2: "p" and 
          3: "¬r" 
  shows "¬q"
proof -
  have 4: "q ⟶ r" using 1 2 by (rule mp)
  show "¬q" using 4 3 by (rule mt)
qed    

-- "La demostración estructurada es"
lemma ejemplo_5_2:
  assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"
          "p"
          "¬r" 
  shows   "¬q"
proof -
  have "q ⟶ r" using assms(1,2) ..
  thus "¬q" using assms(3) by (rule mt)
qed    

-- "La demostración automática es"
lemma ejemplo_5_3:
  assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"
          "p"
          "¬r" 
  shows   "¬q"
using assms
by auto

text {* 
  Ejemplo 6. (p. 7) Demostrar 
     ¬p ⟶ q, ¬q ⊢ p
*}

-- "La demostración detallada es"
lemma ejemplo_6_1:
  assumes 1: "¬p ⟶ q" and 
          2: "¬q" 
  shows "p"
proof -
  have 3: "¬¬p" using 1 2 by (rule mt)
  show "p" using 3 by (rule notnotD)
qed

-- "La demostración estructurada es"
lemma ejemplo_6_2:
  assumes "¬p ⟶ q"
          "¬q" 
  shows   "p"
proof -
  have "¬¬p" using assms(1,2) by (rule mt)
  thus "p" by (rule notnotD)
qed

-- "La demostración automática es"
lemma ejemplo_6_3:
  "⟦¬p ⟶ q; ¬q⟧ ⟹ p"
by auto

text {* 
  Ejemplo 7. (p. 7) Demostrar
     p ⟶ ¬q, q ⊢ ¬p
  *}

-- "La demostración detallada es"
lemma ejemplo_7_1:
  assumes 1: "p ⟶ ¬q" and 
          2: "q" 
  shows "¬p"
proof -
  have 3: "¬¬q" using 2 by (rule notnotI)
  show "¬p" using 1 3 by (rule mt)
qed

-- "La demostración detallada es"
lemma ejemplo_7_2:
  assumes "p ⟶ ¬q"
          "q" 
  shows   "¬p"
proof -
  have "¬¬q" using assms(2) by (rule notnotI)
  with assms(1) show "¬p" by (rule mt)
qed

-- "La demostración estructurada es"
lemma ejemplo_7_3:
  "⟦p ⟶ ¬q; q⟧ ⟹ ¬p"
by auto

subsection {* Regla de introducción del condicional *}

text {*
  La regla de introducción del condicional es
  · impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q
*}

text {* 
  Ejemplo 8. (p. 8) Demostrar
     p ⟶ q ⊢ ¬q ⟶ ¬p
*}

-- "La demostración detallada es"
lemma ejemplo_8_1:
  assumes 1: "p ⟶ q" 
  shows "¬q ⟶ ¬p"
proof -
  { assume 2: "¬q"
    have "¬p" using 1 2 by (rule mt) } 
  thus "¬q ⟶ ¬p" by (rule impI)
qed    

text {*
  Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado
  · "{ ... }" para representar una caja. *}

-- "La demostración estructurada es"
lemma ejemplo_8_2:
  assumes "p ⟶ q" 
  shows "¬q ⟶ ¬p"
proof 
  assume "¬q"
  with assms show "¬p" by (rule mt)
qed    

-- "La demostración automática es"
lemma ejemplo_8_3:
  assumes "p ⟶ q" 
  shows "¬q ⟶ ¬p"
using assms
by auto

text {* 
  Ejemplo 9. (p. 9) Demostrar
     ¬q ⟶ ¬p ⊢ p ⟶ ¬¬q
*}

-- "La demostración detallada es"
lemma ejemplo_9_1: 
  assumes 1: "¬q ⟶ ¬p" 
  shows "p ⟶ ¬¬q"   
proof -
  { assume 2: "p"
    have 3: "¬¬p" using 2 by (rule notnotI)
    have "¬¬q" using 1 3 by (rule mt) } 
  thus "p ⟶ ¬¬q" by (rule impI)
qed

-- "La demostración estructurada es"
lemma ejemplo_9_2:
  assumes "¬q ⟶ ¬p" 
  shows    "p ⟶ ¬¬q"   
proof 
  assume "p"
  hence "¬¬p" by (rule notnotI)
  with assms show "¬¬q" by (rule mt)
qed

-- "La demostración automática es"
lemma ejemplo_9_3:
  assumes "¬q ⟶ ¬p" 
  shows "p ⟶ ¬¬q"   
using assms
by auto

text {* 
  Ejemplo 10 (p. 9). Demostrar
     ⊢ p ⟶ p
*}

-- "La demostración detallada es"
lemma ejemplo_10_1:
  "p ⟶ p"
proof -
  { assume 1: "p"
    have "p" using 1 by this }
  thus "p ⟶ p" by (rule impI) 
qed

-- "La demostración estructurada es"
lemma ejemplo_10_2:
  "p ⟶ p"
proof (rule impI)
qed

-- "La demostración automática es"
lemma ejemplo_10_3:
  "p ⟶ p"
by auto

text {*
  Ejemplo 11 (p. 10) Demostrar
     ⊢ (q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))
 *}

-- "La demostración detallada es"
lemma ejemplo_11_1:
  "(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))"
proof -
  { assume 1: "q ⟶ r"
    { assume 2: "¬q ⟶ ¬p"
      { assume 3: "p"
        have 4: "¬¬p" using 3 by (rule notnotI)
        have 5: "¬¬q" using 2 4 by (rule mt)
        have 6: "q" using 5 by (rule notnotD)
        have "r" using 1 6 by (rule mp) } 
      hence "p ⟶ r" by (rule impI) } 
    hence "(¬q ⟶ ¬p) ⟶ p ⟶ r" by (rule impI) } 
  thus "(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ p ⟶ r)" by (rule impI)
qed

-- "La demostración hacia atrás es"
lemma ejemplo_11_2:
  "(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))"
proof (rule impI)
  assume 1: "q ⟶ r"
  show "(¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r)"
  proof (rule impI)
    assume 2: "¬q ⟶ ¬p"
    show "p ⟶ r"
    proof (rule impI)
      assume 3: "p"
      have 4: "¬¬p" using 3 by (rule notnotI)
      have 5: "¬¬q" using 2 4 by (rule mt)
      have 6: "q" using 5 by (rule notnotD)
      show "r" using 1 6 by (rule mp)
    qed
  qed
qed

-- "La demostración hacia atrás con reglas implícitas es"
lemma ejemplo_11_3:
  "(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))"
proof
  assume 1: "q ⟶ r"
  show "(¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r)"
  proof
    assume 2: "¬q ⟶ ¬p"
    show "p ⟶ r"
    proof
      assume 3: "p"
      have 4: "¬¬p" using 3 ..
      have 5: "¬¬q" using 2 4 by (rule mt)
      have 6: "q" using 5 by (rule notnotD)
      show "r" using 1 6 ..
    qed
  qed
qed

-- "La demostración sin etiquetas es" 
lemma ejemplo_11_4:
  "(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))"
proof
  assume "q ⟶ r"
  show "(¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r)"
  proof
    assume "¬q ⟶ ¬p"
    show "p ⟶ r"
    proof
      assume "p"
      hence "¬¬p" ..
      with `¬q ⟶ ¬p` have "¬¬q" by (rule mt)
      hence "q" by (rule notnotD)
      with `q ⟶ r` show "r" ..
    qed
  qed
qed

-- "La demostración automática es"
lemma ejemplo_11_5:
  "(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))"
by auto

subsection {* Reglas de la disyunción *}

text {*
  Las reglas de la introducción de la disyunción son
  · disjI1: P ⟹ P ∨ Q
  · disjI2: Q ⟹ P ∨ Q
  La regla de elimación de la disyunción es
  · disjE:  ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R 
*}

text {* 
  Ejemplo 12 (p. 11). Demostrar
     p ∨ q ⊢ q ∨ p
*}

-- "La demostración detallada es"
lemma ejemplo_12_1:
  assumes "p ∨ q" 
  shows "q ∨ p"
proof -
  have "p ∨ q" using assms by this
  moreover
  { assume 2: "p"
    have "q ∨ p" using 2 by (rule disjI2) }
  moreover
  { assume 3: "q"
    have "q ∨ p" using 3 by (rule disjI1) }
  ultimately show "q ∨ p" by (rule disjE) 
qed    

text {*
  Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado
  · "moreover" para separar los bloques y
  · "ultimately" para unir los resultados de los bloques. *}

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header {* Tema 6b: Deducción natural proposicional con Isabelle/HOL *}

theory T6b

imports Main

begin

text {*

En este tema se presentan los ejemplos del tema de deducción natural

proposicional siguiendo la presentación de Huth y Ryan en su libro

"Logic in Computer Science" http://goo.gl/qsVpY y, más concretamente,

a la forma como se explica en la asignatura de "Lógica informática" (LI)

http://goo.gl/AwDiv

La página al lado de cada ejemplo indica la página de las transparencias

de LI donde se encuentra la demostración. *}

subsection {* Reglas de la conjunción *}

text {*

Ejemplo 1 (p. 4). Demostrar que

p ∧ q, r ⊢ q ∧ r.

-- "La demostración detallada es"

lemma ejemplo_1_1:

assumes 1: "p ∧ q" and

2: "r"

shows "q ∧ r"

proof -

have 3: "q" using 1 by (rule conjunct2)

show 4: "q ∧ r" using 3 2 by (rule conjI)

qed

thm ejemplo_1_1

text {*

Notas sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado

· "assumes" para indicar las hipótesis,

· "and" para separar las hipótesis,

· "shows" para indicar la conclusión,

· "proof" para iniciar la prueba,

· "qed" para terminar la pruebas,

· "-" (después de "proof") para no usar el método por defecto,

· "have" para establecer un paso,

· "using" para usar hechos en un paso,

· "by (rule ..)" para indicar la regla con la que se peueba un hecho,

· "show" para establecer la conclusión.

Notas sobre la lógica: Las reglas de la conjunción son

· conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q

· conjunct1: P ∧ Q ⟹ P

· conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q

text {* Se pueden dejar implícitas las reglas como sigue *}

lemma ejemplo_1_2:

assumes 1: "p ∧ q" and

2: "r"

shows "q ∧ r"

proof -

have 3: "q" using 1 ..

show 4: "q ∧ r" using 3 2 ..

qed

text {*

Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado

· ".." para indicar que se prueba por la regla correspondiente. *}

text {* Se pueden eliminar las etiquetas como sigue *}

lemma ejemplo_1_3:

assumes "p ∧ q"

"r"

shows "q ∧ r"

proof -

have "q" using assms(1) ..

thus "q ∧ r" using assms(2) ..

qed

text {*

Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado

· "assms(n)" para indicar la hipótesis n y

· "thus" para demostrar la conclusión usando el hecho anterior.

Además, no es necesario usar and entre las hipótesis. *}

text {* Se puede automatizar la demostración como sigue *}

lemma ejemplo_1_4:

assumes "p ∧ q"

"r"

shows "q ∧ r"

using assms

by auto

text {*

Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado

· "assms" para indicar las hipótesis y

· "by auto" para demostrar la conclusión automáticamente. *}

text {* Se puede automatizar totalmente la demostración como sigue *}

lemma ejemplo_1_5:

"⟦p ∧ q; r⟧ ⟹ q ∧ r"

by auto

text {*

Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado

· "⟦ ... ⟧" para representar las hipótesis,

· ";" para separar las hipótesis y

· "⟹" para separar las hipótesis de la conclusión. *}

text {* Se puede hacer la demostración por razonamiento hacia atrás,

como sigue *}

lemma ejemplo_1_6:

assumes "p ∧ q"

and "r"

shows "q ∧ r"

proof (rule conjI)

show "q" using assms(1) by (rule conjunct2)

show "r" using assms(2) by this

qed

text {*

Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado

· "proof (rule r)" para indicar que se hará la demostración con la

regla r,

· "next" para indicar el comienzo de la prueba del siguiente

subobjetivo,

· "this" para indicar el hecho actual. *}

text {* Se pueden dejar implícitas las reglas como sigue *}

lemma ejemplo_1_7:

assumes "p ∧ q"

"r"

shows "q ∧ r"

proof

show "q" using assms(1) ..

show "r" using assms(2) .

qed

text {*

Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado

· "." para indicar por el hecho actual. *}

subsection {* Reglas de la doble negación *}

text {*

La regla de eliminación de la doble negación es

· notnotD: ¬¬ P ⟹ P

Para ajustarnos al tema de LI vamos a introducir la siguiente regla de

introducción de la doble negación

· notnotI: P ⟹ ¬¬ P

aunque, de momento, no detallamos su demostración.

lemma notnotI [intro!]: "P ⟹ ¬¬ P"

by auto

text {*

Ejemplo 2. (p. 5)

p, ¬¬(q ∧ r) ⊢ ¬¬p ∧ r

-- "La demostración detallada es"

lemma ejemplo_2_1:

assumes 1: "p" and

2: "¬¬(q ∧ r)"

shows "¬¬p ∧ r"

proof -

have 3: "¬¬p" using 1 by (rule notnotI)

have 4: "q ∧ r" using 2 by (rule notnotD)

have 5: "r" using 4 by (rule conjunct2)

show 6: "¬¬p ∧ r" using 3 5 by (rule conjI)

qed

-- "La demostración estructurada es"

lemma ejemplo_2_2:

assumes "p"

"¬¬(q ∧ r)"

shows "¬¬p ∧ r"

proof -

have "¬¬p" using assms(1) ..

have "q ∧ r" using assms(2) by (rule notnotD)

hence "r" ..

with `¬¬p` show "¬¬p ∧ r" ..

qed

text {*

Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado

· "hence" para indicar que se tiene por el hecho anterior,

· `...` para referenciar un hecho y

· "with P show Q" para indicar que con el hecho anterior junto con el

hecho P se demuestra Q. *}

-- "La demostración automática es"

lemma ejemplo_2_3:

assumes "p"

"¬¬(q ∧ r)"

shows "¬¬p ∧ r"

using assms

by auto

text {* Se puede demostrar hacia atrás *}

lemma ejemplo_2_4:

assumes "p"

"¬¬(q ∧ r)"

shows "¬¬p ∧ r"

proof (rule conjI)

show "¬¬p" using assms(1) by (rule notnotI)

have "q ∧ r" using assms(2) by (rule notnotD)

thus "r" by (rule conjunct2)

qed

text {* Se puede eliminar las reglas en la demostración anterior, como

sigue: *}

lemma ejemplo_2_5:

assumes "p"

"¬¬(q ∧ r)"

shows "¬¬p ∧ r"

proof

show "¬¬p" using assms(1) ..

have "q ∧ r" using assms(2) by (rule notnotD)

thus "r" ..

qed

subsection {* Regla de eliminación del condicional *}

text {*

La regla de eliminación del condicional es la regla del modus ponens

· mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q

text {*

Ejemplo 3. (p. 6) Demostrar que

¬p ∧ q, ¬p ∧ q ⟶ r ∨ ¬p ⊢ r ∨ ¬p

-- "La demostración detallada es"

lemma ejemplo_3_1:

assumes 1: "¬p ∧ q" and

2: "¬p ∧ q ⟶ r ∨ ¬p"

shows "r ∨ ¬p"

proof -

show "r ∨ ¬p" using 2 1 by (rule mp)

qed

-- "La demostración estructurada es"

lemma ejemplo_3_2:

assumes "¬p ∧ q"

"¬p ∧ q ⟶ r ∨ ¬p"

shows "r ∨ ¬p"

proof -

show "r ∨ ¬p" using assms(2,1) ..

qed

-- "La demostración automática es"

lemma ejemplo_3_3:

assumes "¬p ∧ q"

"¬p ∧ q ⟶ r ∨ ¬p"

shows "r ∨ ¬p"

using assms

by auto

text {*

Ejemplo 4 (p. 6) Demostrar que

p, p ⟶ q, p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ r

-- "La demostración detallada es"

lemma ejemplo_4_1:

assumes 1: "p" and

2: "p ⟶ q" and

3: "p ⟶ (q ⟶ r)"

shows "r"

proof -

have 4: "q" using 2 1 by (rule mp)

have 5: "q ⟶ r" using 3 1 by (rule mp)

show 6: "r" using 5 4 by (rule mp)

qed

-- "La demostración estructurada es"

lemma ejemplo_4_2:

assumes "p"

"p ⟶ q"

"p ⟶ (q ⟶ r)"

shows "r"

proof -

have "q" using assms(2,1) ..

have "q ⟶ r" using assms(3,1) ..

thus "r" using `q` ..

qed

-- "La demostración automática es"

lemma ejemplo_4_3:

"⟦p; p ⟶ q; p ⟶ (q ⟶ r)⟧ ⟹ r"

by auto

subsection {* Regla derivada del modus tollens *}

text {*

Para ajustarnos al tema de LI vamos a introducir la regla del modus

tollens

· mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F

aunque, de momento, sin detallar su demostración.

lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F"

by auto

text {*

Ejemplo 5 (p. 7). Demostrar

p ⟶ (q ⟶ r), p, ¬r ⊢ ¬q

-- "La demostración detallada es"

lemma ejemplo_5_1:

assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)" and

2: "p" and

3: "¬r"

shows "¬q"

proof -

have 4: "q ⟶ r" using 1 2 by (rule mp)

show "¬q" using 4 3 by (rule mt)

qed

-- "La demostración estructurada es"

lemma ejemplo_5_2:

assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"

"p"

"¬r"

shows "¬q"

proof -

have "q ⟶ r" using assms(1,2) ..

thus "¬q" using assms(3) by (rule mt)

qed

-- "La demostración automática es"

lemma ejemplo_5_3:

assumes "p ⟶ (q ⟶ r)"

"p"

"¬r"

shows "¬q"

using assms

by auto

text {*

Ejemplo 6. (p. 7) Demostrar

¬p ⟶ q, ¬q ⊢ p

-- "La demostración detallada es"

lemma ejemplo_6_1:

assumes 1: "¬p ⟶ q" and

2: "¬q"

shows "p"

proof -

have 3: "¬¬p" using 1 2 by (rule mt)

show "p" using 3 by (rule notnotD)

qed

-- "La demostración estructurada es"

lemma ejemplo_6_2:

assumes "¬p ⟶ q"

"¬q"

shows "p"

proof -

have "¬¬p" using assms(1,2) by (rule mt)

thus "p" by (rule notnotD)

qed

-- "La demostración automática es"

lemma ejemplo_6_3:

"⟦¬p ⟶ q; ¬q⟧ ⟹ p"

by auto

text {*

Ejemplo 7. (p. 7) Demostrar

p ⟶ ¬q, q ⊢ ¬p

-- "La demostración detallada es"

lemma ejemplo_7_1:

assumes 1: "p ⟶ ¬q" and

2: "q"

shows "¬p"

proof -

have 3: "¬¬q" using 2 by (rule notnotI)

show "¬p" using 1 3 by (rule mt)

qed

-- "La demostración detallada es"

lemma ejemplo_7_2:

assumes "p ⟶ ¬q"

"q"

shows "¬p"

proof -

have "¬¬q" using assms(2) by (rule notnotI)

with assms(1) show "¬p" by (rule mt)

qed

-- "La demostración estructurada es"

lemma ejemplo_7_3:

"⟦p ⟶ ¬q; q⟧ ⟹ ¬p"

by auto

subsection {* Regla de introducción del condicional *}

text {*

La regla de introducción del condicional es

· impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q

text {*

Ejemplo 8. (p. 8) Demostrar

p ⟶ q ⊢ ¬q ⟶ ¬p

-- "La demostración detallada es"

lemma ejemplo_8_1:

assumes 1: "p ⟶ q"

shows "¬q ⟶ ¬p"

proof -

{ assume 2: "¬q"

have "¬p" using 1 2 by (rule mt) }

thus "¬q ⟶ ¬p" by (rule impI)

qed

text {*

Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado

· "{ ... }" para representar una caja. *}

-- "La demostración estructurada es"

lemma ejemplo_8_2:

assumes "p ⟶ q"

shows "¬q ⟶ ¬p"

proof

assume "¬q"

with assms show "¬p" by (rule mt)

qed

-- "La demostración automática es"

lemma ejemplo_8_3:

assumes "p ⟶ q"

shows "¬q ⟶ ¬p"

using assms

by auto

text {*

Ejemplo 9. (p. 9) Demostrar

¬q ⟶ ¬p ⊢ p ⟶ ¬¬q

-- "La demostración detallada es"

lemma ejemplo_9_1:

assumes 1: "¬q ⟶ ¬p"

shows "p ⟶ ¬¬q"

proof -

{ assume 2: "p"

have 3: "¬¬p" using 2 by (rule notnotI)

have "¬¬q" using 1 3 by (rule mt) }

thus "p ⟶ ¬¬q" by (rule impI)

qed

-- "La demostración estructurada es"

lemma ejemplo_9_2:

assumes "¬q ⟶ ¬p"

shows "p ⟶ ¬¬q"

proof

assume "p"

hence "¬¬p" by (rule notnotI)

with assms show "¬¬q" by (rule mt)

qed

-- "La demostración automática es"

lemma ejemplo_9_3:

assumes "¬q ⟶ ¬p"

shows "p ⟶ ¬¬q"

using assms

by auto

text {*

Ejemplo 10 (p. 9). Demostrar

⊢ p ⟶ p

-- "La demostración detallada es"

lemma ejemplo_10_1:

"p ⟶ p"

proof -

{ assume 1: "p"

have "p" using 1 by this }

thus "p ⟶ p" by (rule impI)

qed

-- "La demostración estructurada es"

lemma ejemplo_10_2:

"p ⟶ p"

proof (rule impI)

qed

-- "La demostración automática es"

lemma ejemplo_10_3:

"p ⟶ p"

by auto

text {*

Ejemplo 11 (p. 10) Demostrar

⊢ (q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))

-- "La demostración detallada es"

lemma ejemplo_11_1:

"(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))"

proof -

{ assume 1: "q ⟶ r"

{ assume 2: "¬q ⟶ ¬p"

{ assume 3: "p"

have 4: "¬¬p" using 3 by (rule notnotI)

have 5: "¬¬q" using 2 4 by (rule mt)

have 6: "q" using 5 by (rule notnotD)

have "r" using 1 6 by (rule mp) }

hence "p ⟶ r" by (rule impI) }

hence "(¬q ⟶ ¬p) ⟶ p ⟶ r" by (rule impI) }

thus "(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ p ⟶ r)" by (rule impI)

qed

-- "La demostración hacia atrás es"

lemma ejemplo_11_2:

"(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))"

proof (rule impI)

assume 1: "q ⟶ r"

show "(¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r)"

proof (rule impI)

assume 2: "¬q ⟶ ¬p"

show "p ⟶ r"

proof (rule impI)

assume 3: "p"

have 4: "¬¬p" using 3 by (rule notnotI)

have 5: "¬¬q" using 2 4 by (rule mt)

have 6: "q" using 5 by (rule notnotD)

show "r" using 1 6 by (rule mp)

qed

-- "La demostración hacia atrás con reglas implícitas es"

lemma ejemplo_11_3:

"(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))"

proof

assume 1: "q ⟶ r"

show "(¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r)"

proof

assume 2: "¬q ⟶ ¬p"

show "p ⟶ r"

proof

assume 3: "p"

have 4: "¬¬p" using 3 ..

have 5: "¬¬q" using 2 4 by (rule mt)

have 6: "q" using 5 by (rule notnotD)

show "r" using 1 6 ..

qed

-- "La demostración sin etiquetas es"

lemma ejemplo_11_4:

"(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))"

proof

assume "q ⟶ r"

show "(¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r)"

proof

assume "¬q ⟶ ¬p"

show "p ⟶ r"

proof

assume "p"

hence "¬¬p" ..

with `¬q ⟶ ¬p` have "¬¬q" by (rule mt)

hence "q" by (rule notnotD)

with `q ⟶ r` show "r" ..

qed

-- "La demostración automática es"

lemma ejemplo_11_5:

"(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))"

by auto

subsection {* Reglas de la disyunción *}

text {*

Las reglas de la introducción de la disyunción son

· disjI1: P ⟹ P ∨ Q

· disjI2: Q ⟹ P ∨ Q

La regla de elimación de la disyunción es

· disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R

text {*

Ejemplo 12 (p. 11). Demostrar

p ∨ q ⊢ q ∨ p

-- "La demostración detallada es"

lemma ejemplo_12_1:

assumes "p ∨ q"

shows "q ∨ p"

proof -

have "p ∨ q" using assms by this

moreover

{ assume 2: "p"

have "q ∨ p" using 2 by (rule disjI2) }

moreover

{ assume 3: "q"

have "q ∨ p" using 3 by (rule disjI1) }

ultimately show "q ∨ p" by (rule disjE)

qed

text {*

Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado

· "moreover" para separar los bloques y

· "ultimately" para unir los resultados de los bloques. *}

end

Como tarea se propuso los ejercicios de la relación 9.

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