RA2011: Patrones de inducción en Isabelle: casos, inducción y otros
En la clase de hoy del curso de Razonamiento automático se han presentado los principales patrones de inducción en
La primera parte de la clase se ha basado en la siguiente teoría Isabelle
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header {* Tema 8: Distinción de casos e inducción *} theory Tema_8 imports Main Parity begin section {* Razonamiento por distinción de casos *} subsection {* Distinción de casos booleanos *} text {* Lema. [Demostración por distinción de casos booleanos] ¬A ∨ A *} lemma "¬A ∨ A" proof cases assume "A" thus ?thesis .. next assume "¬A" thus ?thesis .. qed text {* Lema. [Demostración por distinción de casos booleanos nominados] ¬A ∨ A *} lemma "¬A ∨ A" proof (cases "A") case True thus ?thesis .. next case False thus ?thesis .. qed text {* El método "cases" sobre una fórmula: · El método (cases F) es una abreviatura de la aplicación de la regla ⟦F ⟹ Q; ¬F ⟹ Q⟧ ⟹ Q · La expresión "case True" es una abreviatura de F. · La expresión "case False" es una abreviatura de ¬F. · Ventajas de "cases" con nombre: · reduce la escritura de la fórmula y · es independiente del orden de los casos. *} subsection {* Distinción de casos sobre otros tipos de datos *} text {* Lema. [Distinción de casos sobre listas] La longitud del resto de una lista es la longitud de la lista menos 1. *} lemma "length(tl xs) = length xs - 1" proof (cases xs) case Nil thus ?thesis by simp next case Cons thus ?thesis by simp qed text {* Distinción de casos sobre listas: · El método de distinción de casos se activa con (cases xs) donde xs es del tipo lista. · "case Nil" es una abreviatura de "assume Nil: xs =[]". · "case Cons" es una abreviatura de "fix ? ?? assume Cons: xs = ? # ??" donde ? y ?? son variables anónimas. Lema. [Ejemplo de análisis de casos] El resultado de eliminar los n+1 primeros elementos de xs es el mismo que eliminar los n primeros elementos del resto de xs. *} lemma "drop (n + 1) xs = drop n (tl xs)" proof (cases xs) case Nil thus "drop (n + 1) xs = drop n (tl xs)" by simp next case Cons thus "drop (n + 1) xs = drop n (tl xs)" by simp qed text {* La función drop está definida en la teoría List de forma que (drop n xs) la lista obtenida eliminando en xs} los n primeros elementos. Su definición es la siguiente primrec drop:: "nat => 'a list => 'a list" where drop_Nil: "drop n [] = []" | drop_Cons: "drop n (x#xs) = (case n of 0 => x#xs | Suc(m) => drop m xs)" *} section {* Inducción matemática *} thm nat.induct text {* [Principio de inducción matemática] Para demostrar una propiedad P para todos los números naturales basta probar que el 0 tiene la propiedad P y que si n tiene la propiedad P, entonces n+1 también la tiene. ⟦P 0; ⋀n. P n ⟹ P (Suc n)⟧ ⟹ P m Ejemplo de demostración por inducción: Usaremos el principio de inducción matemática para demostrar que 1 + 3 + ... + (2n-1) = n^2 Definición. [Suma de los primeros impares] (suma_impares n) la suma de los n números impares. *} primrec suma_impares :: "nat ⇒ nat" where "suma_impares 0 = 0" | "suma_impares (Suc n) = (2*(Suc n) - 1) + suma_impares n" text {* Lema. [Ejemplo de suma de impares] La suma de los 3 primeros números impares es 9. *} lemma "suma_impares 2 = 4" by (simp add: suma_impares_def) text {* La suma de los 3 primero número impares se puede calcular mediante "value". *} value "suma_impares 3" text {* Lema. [Ejemplo de demostración por inducción matemática] La suma de los n primeros números impares es n^2. Demostración automática: Por inducción en n. *} lemma "suma_impares n = n * n" by (induct n) simp_all text {* En la demostración "by (induct n) simp_all" se aplica inducción en n y los dos casos se prueban por simplificación. Demostración del lema anterior usando patrones. *} lemma "suma_impares n = n * n" (is "?P n") proof (induct n) show "?P 0" by simp next fix n assume "?P n" thus "?P (Suc n)" by simp qed text {* Patrones: Cualquier fórmula seguida de (is patrón) equipara el patrón con la fórmula. Demostración del lema anterior con patrones y razonamiento ecuacional. *} lemma "suma_impares n = n * n" (is "?P n") proof (induct n) show "?P 0" by simp next fix n assume HI: "?P n" have "suma_impares (Suc n) = (2 * (Suc n) - 1) + suma_impares n" by simp also have "… = (2 * (Suc n) - 1) + n * n" using HI by simp also have "… = n * n + 2 * n + 1" by simp finally show "?P (Suc n)" by simp qed text {* Demostración del lema anterior por inducción y razonamiento ecuacional. *} lemma "suma_impares n = n * n" proof (induct n) show "suma_impares 0 = 0 * 0" by simp next fix n assume HI: "suma_impares n = n * n" have "suma_impares (Suc n) = (2 * (Suc n) - 1) + suma_impares n" by simp also have "… = (2 * (Suc n) - 1) + n * n" using HI by simp also have "… = n * n + 2 * n + 1" by simp finally show "suma_impares (Suc n) = (Suc n) * (Suc n)" by simp qed text {* Definición. [Números pares] Un número natural n es par si existe un natural m tal que n=m+m. *} definition par :: "nat ⇒ bool" where "par n ≡ ∃m. n=m+m" text {* Lema. [Ejemplo de inducción y existenciales] Para todo número natural n, se verifica que n*(n+1) par. *} lemma fixes n :: "nat" shows "par (n*(n+1))" proof (induct n) show "par (0*(0+1))" by (simp add:par_def) next fix n assume "par (n*(n+1))" hence "∃m. n*(n+1) = m+m" by (simp add:par_def) then obtain m where m: "n*(n+1) = m+m" by (rule exE) hence "(Suc n)*((Suc n)+1) = (m+n+1)+(m+n+1)" by auto hence "∃m. (Suc n)*((Suc n)+1) = m+m" by (rule exI) thus "par ((Suc n)*((Suc n)+1))" by (simp add:par_def) qed text {* En Isabelle puede demostrarse de manera más simple un lema equivalente usando en lugar de la función "par" la función "even" definida en la teoría Parity. *} lemma fixes n :: "nat" shows "even (n*(n+1))" by auto text {* Para completar la demostración basta demostrar la equivalencia de las funciones "par" y "even". *} lemma fixes n :: "nat" shows "par n = even n" proof - have "par n = (∃m. n = m+m)" by (simp add:par_def) thus "par n = even n" by presburger qed text {* En la demostración anterior hemos usado la táctica "presburger" que corresponde a la aritmética de Presburger. *} section {* Inducción estructural *} thm list.induct text {* Inducción estructural] · En Isabelle puede hacerse inducción estructural sobre cualquier tipo recursivo. · La inducción matemática es la inducción estructural sobre el tipo de los naturales. · El esquema de inducción estructural sobre listas es · list.induct: ⟦P []; ⋀x ys. P ys ⟹ P (x # ys)⟧ ⟹ P zs · Para demostrar una propiedad para todas las listas basta demostrar que la lista vacía tiene la propiedad y que al añadir un elemento a una lista que tiene la propiedad se obtiene una lista que también tiene la propiedad. Concatenación de listas: En la teoría List.thy está definida la concatenación de listas (que se representa por @) como sigue primrec append_Nil: "[]@ys = ys" append_Cons: "(x#xs)@ys = x#(xs@ys)" Lema. [Ejemplo de inducción sobre listas] La concatenación de listas es asociativa. Demostración automática del lema. *} lemma conc_asociativa_1: "xs @ (ys @ zs) = (xs @ ys) @ zs" by (induct xs) simp_all text {* Demostración estructurada del lema anterior. *} lemma conc_asociativa: "xs @ (ys @ zs) = (xs @ ys) @ zs" proof (induct xs) show "[] @ (ys @ zs) = ([] @ ys) @ zs" proof - have "[] @ (ys @ zs) = ys @ zs" by simp also have "… = ([] @ ys) @ zs" by simp finally show ?thesis . qed next fix x xs assume HI: "xs @ (ys @ zs) = (xs @ ys) @ zs" show "(x#xs) @ (ys @ zs) = ((x#xs) @ ys) @ zs" proof - have "(x#xs) @ (ys @ zs) = x#(xs @ (ys @ zs))" by simp also have "… = x#((xs @ ys) @ zs)" using HI by simp also have "… = (x#(xs @ ys)) @ zs" by simp also have "… = ((x#xs) @ ys) @ zs" by simp finally show ?thesis . qed qed text {* Ejercicio. [Árboles binarios] Definir un tipo de dato para los árboles binarios. *} datatype 'a arbol = Hoja "'a" | Nodo "'a" "'a arbol" "'a arbol" text {* Ejercicio. [Imagen especular] Definir la función "espejo" que aplicada a un árbol devuelve su imagen especular. *} primrec espejo :: "'a arbol ⇒ 'a arbol" where "espejo (Hoja a) = (Hoja a)" | "espejo (Nodo f x y) = (Nodo f (espejo y) (espejo x))" text {* Ejercicio. [La imagen especular es involutiva] Demostrar que la función "espejo" involutiva; es decir, para cualquier árbol t, se tiene que espejo (espejo(t)) = t. Demostración automática del lema. *} lemma espejo_involutiva_1: "espejo(espejo(t)) = t" by (induct t) auto text {* Demostración estructurada del lema. *} lemma espejo_involutiva: "espejo(espejo(t)) = t" (is "?P t") proof (induct t) fix x :: 'a show "?P (Hoja x)" by simp next fix t1 :: "'a arbol" assume h1: "?P t1" fix t2 :: "'a arbol" assume h2: "?P t2" fix x :: 'a show "?P (Nodo x t1 t2)" proof - have "espejo(espejo(Nodo x t1 t2)) = espejo(Nodo x (espejo t2) (espejo t1))" by simp also have "… = Nodo x (espejo (espejo t1)) (espejo (espejo t2))" by simp also have "… = Nodo x t1 t2" using h1 h2 by simp finally show ?thesis . qed qed text {* Ejercicio. [Aplanamiento de árboles] Definir la función "aplana" que aplane los árboles recorriéndolos en orden infijo. *} primrec aplana :: "'a arbol ⇒ 'a list" where "aplana (Hoja a) = [a]" | "aplana (Nodo x t1 t2) = (aplana t1)@[x]@(aplana t2)" text {* Ejercicio. [Aplanamiento de la imagen especular] Demostrar que aplana (espejo t) = rev (aplana t) Demostración automática del lema. *} lemma "aplana (espejo t) = rev (aplana t)" by (induct t) auto text {* Demostración estructurada del lema anterior. *} lemma "aplana (espejo t) = rev (aplana t)" (is "?P t") proof (induct t) fix x :: 'a show "?P (Hoja x)" by simp next fix t1 :: "'a arbol" assume h1: "?P t1" fix t2 :: "'a arbol" assume h2: "?P t2" fix x :: 'a show "?P (Nodo x t1 t2)" proof - have "aplana (espejo (Nodo x t1 t2)) = aplana (Nodo x (espejo t2) (espejo t1))" by simp also have "… = (aplana(espejo t2))@[x]@(aplana(espejo t1))" by simp also have "… = (rev(aplana t2))@[x]@(rev(aplana t1))" using h1 h2 by simp also have "… = rev((aplana t1)@[x]@(aplana t2))" by simp also have "… = rev(aplana (Nodo x t1 t2))" by simp finally show ?thesis . qed qed end |
La segunda parte de la clase se ha basado en la siguiente teoría Isabelle
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header {* Tema 9: Patrones de demostración *} theory Tema_9 imports Main begin section {* Demostraciones por casos *} text {* Nota. [Regla de eliminación de la disyunción] · disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R Lema. [Ejemplo de demostración por casos] P ∨ Q ⟹ Q ∨ P *} lemma disj_conmutativa: "P ∨ Q ⟹ Q ∨ P" proof - assume "P ∨ Q" thus "Q ∨ P" proof (rule disjE) assume P thus ?thesis by (rule disjI2) next assume Q thus ?thesis by (rule disjI1) qed qed text {* Nota. El lema anterior puede demostrarse automáticamente como se muestra a continuación. *} lemma disj_conmutativa_auto: "P ∨ Q ⟹ Q ∨ P" by auto section {* Negación *} text {* Reglas de la negación: · notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P · notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R Lema. [Ejemplo de demostración con negaciones] Si x\<^bsup>2\<^esup>+y=13 e y ≠ 4, entonces x ≠ 3. *} lemma fixes x :: "nat" assumes 1: "x * x + y = 13" and 2: "y ≠ 4" shows "x ≠ 3" proof (rule notI) assume "x = 3" with 1 have "y = 4" by simp with 2 show "False" by (rule notE) qed text {* La demostración puede hacerse automáticamente como se muestra a continuación. *} lemma fixes x :: "nat" assumes 1: "x * x + y = 13" and 2: "y ≠ 4" shows "x ≠ 3" proof (rule notI) assume "x = 3" with 1 2 show "False" by auto qed text {* El lema anterior puede demostrarse más automáticamente como se muestra a continuación. *} lemma fixes x :: "nat" assumes 1: "x * x + y = 13" and 2: "y ≠ 4" shows "x ≠ 3" using assms by auto section {* Contradicciones *} text {* Regla de contradicción: · FalseE: False ⟹ P Lema. [Ejemplo de uso de la regla de contradicción] Si 1=2, entonces 3=7. *} lemma assumes "1 = (2::nat)" shows "3 = (7::nat)" proof - have "False" using assms by simp thus "3 = (7::nat)" by (rule FalseE) qed text {* El lema puede demostrarse automáticamente, como sigue. *} lemma assumes "1 = (2::nat)" shows "3 = (7::nat)" using assms by auto text {* Lema. [Ejemplo de demostración por casos y contradicción] ¬P, P ∨ Q ⊢ Q *} lemma disjCE: assumes "¬P" and "P ∨ Q" shows "Q" using `P ∨ Q` proof (rule disjE) assume "P" thus "Q" using `¬P` by contradiction next assume "Q" thus "Q" by assumption qed section {* Equivalencias *} text {* Reglas de equivalencia: · iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q · iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P · iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P Lema. [Ejemplo de introducción de equivalencia] La fórmula (R ⟶ C) ∧ (S ⟶ C)) es equivalente a R ∨ S ⟶ C *} lemma "((R ⟶ C) ∧ (S ⟶ C)) = (R ∨ S ⟶ C)" proof (rule iffI) assume "(R ⟶ C) ∧ (S ⟶ C)" thus "R ∨ S ⟶ C" by blast next assume "R ∨ S ⟶ C" thus "(R ⟶ C) ∧ (S ⟶ C)" by blast qed text {* El método "blast": En la demostración anterior es la primera vez que se usa el método de razonamiento automático "blast". Nota. El lema anterior puede demostrarse automáticamente como se muestra a continuación. *} lemma "((R ⟶ C) ∧ (S ⟶ C)) = (R ∨ S ⟶ C)" by auto text {* Lema. [Ejemplo de eliminación de equivalencia] · A ⟷ B, A ⊢ B · A ⟷ B, B ⊢ A *} lemma assumes "A = B" and "A" shows "B" using assms by (rule iffD1) lemma assumes "A = B" and "B" shows "A" using assms by (rule iffD2) end |
Como trabajo se ha propuesto la realización de los ejercicios de las relaciones de razonamiento sobre listas.