RA2011: El lenguaje de demostración Isar
En la clase de hoy del curso de Razonamiento automático se ha presentado el lenguaje de demostración de
La clase se ha basado en la siguiente teoría Isabelle
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header {* Tema 7: El lenguaje de demostración Isar *} theory Tema_7 imports Main begin text {* Este tema describe los elementos básicos del lenguaje de demostración Isar (Intelligible semi-automated reasoning). *} section {* Panorama de la sintaxis (simplificada) de Isar *} text {* Representación de lemas (y teoremas) · Un lema (o teorema) comienza con una etiqueta seguida por algunas premisas y una conclusión. · Las premisas se introducen con la palabra "assumes" y se separan con "and". · Cada premisa puede etiquetarse para referenciarse en la demostración. · La conclusión se introduce con la palabra "shows". Gramática (simplificada) de las demostraciones en Isar <demostración> ::= proof <método> <declaración>* qed | by <método> <declaración> ::= fix <variable>+ | assume <proposición>+ | (from <hecho>+)? have <proposición>+ <demostración> | (from <hecho>+)? show <proposición>+ <demostración> <proposición> ::= (<etiqueta>:)? <cadena> hecho ::= <etiqueta> método ::= - | this | rule <hecho> | simp | blast | auto | induct <variable> La declaración "show" demuestra la conclusión de la demostración mientras que la declaración "have" demuestra un resultado intermedio. *} section {* Razonamiento proposicional *} text {* Regla de introducción de la conjunción: · conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q Nota: Se puede consultar mediante thm conjI Lema. [Ejemplo de introducción de conjunción con razonamiento progresivo] P, Q ⊢ P ∧ (Q ∧ P) Demostración. Estamos suponiendo P (1) y Q (2) De (2) y (1), por introducción de la conjunción, se tiene Q ∧ P (3) De (1) y (3), por introducción de la conjunción, se tiene P ∧ (Q ∧ P) *} lemma conj2: assumes 1: P and 2: "Q" shows "P ∧ (Q ∧ P)" proof - from 2 1 have 3: "Q ∧ P" by (rule conjI) from 1 3 show "P ∧ (Q ∧ P)" by (rule conjI) qed text {* Razonamiento progresivo y regresivo en Isabelle: · Isabelle soporta razonamiento progresivo. La anterior demostración es una muestra. · Isabelle soporta razonamiento regresivo. La siguiente demostración es una muestra. Lema. [Ejemplo de introducción de la conjunción con razonamiento regresivo] P, Q ⊢ P ∧ (Q ∧ P) Demostración. Estamos suponiendo P (1) y Q (2) Para demostrar el lema, por introducción de la conjunción, basta probar P y Q ∧ P (3) La condición 'P' se tiene por la hipótesis (1). Para demostrar la condición (3), por introducción de la conjunción, basta probar Q y P La condición 'Q' se tiene por la hipótesis (2) y la condición 'P' se tiene por la hipótesis (1). *} lemma assumes 1: "P" and 2: "Q" shows "P ∧ (Q ∧ P)" proof (rule conjI) from 1 show "P" by this next show "Q ∧ P" proof (rule conjI) from 2 show "Q" by this next from 1 show "P" by this qed qed text {* El método "this" demuestra el objetivo usando el hecho actual; es decir, el de la cláusula "from". Reglas de eliminación de la conjunción: · conjunct1: P ∧ Q ⟹ P · conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q Regla de introducción de la implicación: · impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q Lema. [Ejemplo de razonamiento híbrido] Sean a y b dos números naturales. Si 0 < a y a < b, entonces a*a < b*b. *} lemma fixes a b :: "nat" shows "0 < a ∧ a < b ⟶ a * a < b * b" proof (rule impI) assume x: "0 < a ∧ a < b" from x have za: "0 < a" by (rule conjunct1) from x have ab: "a < b" by (rule conjunct2) from za ab have aa: "a*a < a*b" by simp from ab have bb: "a*b < b*b" by simp from aa bb show "a*a < b*b" by arith qed text {* Modus ponens: · mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q Reglas de introducción de la disyunción: · disjI1: P ⟹ P ∨ Q · disjI2: Q ⟹ P ∨ Q Regla de eliminación de la disyunción: . disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R Lema. [Razonamiento por casos] A ∨ B, A ⟶ C, B ⟶ C ⊢ C *} lemma assumes ab: "A ∨ B" and ac: "A ⟶ C" and bc: "B ⟶ C" shows "C" proof - note ab moreover { assume a: "A" from ac a have "C" by (rule mp) } moreover { assume b: "B" from bc b have "C" by (rule mp) } ultimately show "C" by (rule disjE) qed text {* Resumen de reglas proposicionales: · TrueI: True · FalseE: False ⟹ P · conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q · conjunct1: P ∧ Q ⟹ P · conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q · conjE: ⟦P ∧ Q; ⟦P; Q⟧ ⟹ R⟧ ⟹ R · disjI1: P ⟹ P ∨ Q · disjI2: Q ⟹ P ∨ Q · disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R · notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P · notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R · impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q · impE: ⟦P ⟶ Q; P; Q ⟹ R⟧ ⟹ R · mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q · iff: (P ⟶ Q) ⟶ (Q ⟶ P) ⟶ P = Q · iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q · iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P · iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P · iffE: ⟦P = Q; ⟦P ⟶ Q; Q ⟶ P⟧ ⟹ R⟧ ⟹ R · ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P · classical: (¬P ⟹ P) ⟹ P · exlude_middle: ¬P ∨ P · disjCI: (¬Q ⟹ P) ⟹ P ∨ Q · impCE: ⟦P ⟶ Q; ¬P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R · iffCE: ⟦P = Q; ⟦P; Q⟧ ⟹ R; ⟦¬P; ¬Q⟧ ⟹ R⟧ ⟹ R · notnotD: ¬¬P ⟹ P · swap: ⟦¬P; ¬R ⟹ P⟧ ⟹ R Referencia de reglas de inferencia: Más información sobre las reglas de inferencia se encuentra en la sección 2.2 de "Isabelle's Logics: HOL". *} section {* Atajos de Isar *} text {* Isar tiene muchos atajos, como los siguientes: this | éste | el hecho probado en la declaración anterior then | entonces | from this hence | por lo tanto | then have thus | de esta manera | then show with hecho+ | con | from hecho+ and this . | por ésto | by this .. | trivialmente | by regla (Isabelle adivina la regla) Razonamiento acumulativo: Una sucesión de hechos que se van a usar como premisa en una declaración puede agruparse usando "moreover" (además) y usarse en la declaración usando "ultimately" (finalmente). Lema. [Ejemplo de uso de atajos y razonamiento acumulativo] A ∧ B ⊢ B ∧ A. *} lemma "A ∧ B ⟶ B ∧ A" proof (rule impI) assume ab: "A ∧ B" hence "B" by (rule conjunct2) moreover from ab have "A" .. ultimately show "B ∧ A" by (rule conjI) qed section {* Cuantificadores universal y existencial *} thm allE text {* Reglas del cuantificador universal: · allI: (⋀x. P x) ⟹ ∀x. P x · allE: ⟦∀x. P x; P x ⟹ R⟧ ⟹ R En la regla allI la nueva variable se introduce mediante la palabra "fix". Lema. [Ejemplo con cuantificadores universales] ∀x. P ⟶ Q x ⊢ P ⟶ (∀x. Q x) *} lemma assumes a: "∀ x. P ⟶ Q x" shows "P ⟶ (∀ x. Q x)" proof (rule impI) assume p: "P" show "∀ x. Q x" proof (rule allI) fix y from a have pq: "P ⟶ Q y" by (rule allE) from pq p show "Q y" by (rule mp) qed qed text {* Reglas del cuantificador existencial: · exI: P x ⟹ ∃x. P x · exE: ⟦∃x. P x; ⋀x. P x ⟹ Q⟧ ⟹ Q En la regla exE la nueva variable se introduce mediante la declaración "obtain ... where ... by (rule exE)" Lema. [Ejemplo con cuantificador existencial y demostración progresiva] ∃x. P ∧ Q(x) ⊢ P ∧ (∃x. Q(x)) *} lemma assumes e: "∃ x. P ∧ Q(x)" shows "P ∧ (∃ x. Q(x))" proof - from e obtain y where f: "P ∧ Q(y)" by (rule exE) from f have p: "P" by (rule conjunct1) from f have q: "Q(y)" by (rule conjunct2) from q have eq: "∃ x. Q(x)" by (rule exI) from p eq show "P ∧ (∃ x. Q(x))" by (rule conjI) qed text {* Lema. [Ejemplo con cuantificador existencial y demostración automática] ∃x. P ∧ Q(x) ⊢ P ∧ (∃x. Q(x)) *} lemma assumes e: "∃ x. P ∧ Q(x)" shows "P ∧ (∃ x. Q(x))" proof - from e obtain y where f: "P ∧ Q(y)" .. from f have p: "P" .. from f have q: "Q(y)" .. from q have eq: "∃x. Q(x)" .. from p eq show "P ∧ (∃x. Q(x))" .. qed text {* Lema. [Ejemplo con cuantificador existencial y demostración regresiva] ∃x. P ∧ Q(x) ⊢ P ∧ (∃x. Q(x))" *} lemma assumes e: "∃x. P ∧ Q(x)" shows "P ∧ (∃x. Q(x))" proof (rule conjI) show "P" proof - from e obtain y where p: "P ∧ Q(y)" by (rule exE) from p show "P" by (rule conjunct1) qed show "∃x. Q(x)" proof - from e obtain y where p: "P ∧ Q(y)" by (rule exE) from p have q: "Q(y)" by (rule conjunct2) from q show "∃x. Q(x)" by (rule exI) qed qed text {* Definición. [Ejemplo de definición existencial] El número natural x divide al número natural y si existe un natural k tal que k×x = y. Se representa por x | y. *} definition divide :: "nat ⇒ nat ⇒ bool" ("_ | _" [80,80] 80) where "x | y ≡ ∃k. k*x = y" text {* Ejemplo de activación automática de regla de simplificación: La definición de divide se añade a las reglas de simplificación. *} declare divide_def[simp] text {* Lema. [Transitividad de la divisibilidad] Sean a, b y c números naturales. Si b es divisible por a y c es divisible por b, entonces c es divisible por a. *} lemma divide_trans: fixes a b c :: "nat" assumes ab: "a | b" and bc: "b | c" shows "a | c" proof simp from ab obtain m where m: "m*a = b" by auto from bc obtain n where n: "n*b = c" by auto from m n have "m*n*a = c" by auto thus "∃k. k*a = c" by (rule exI) qed text {* Método auto: En el lema anterior es la primera vez que se usa el método automático "auto". Lema. [CNS de divisibilidad] Sean a y b dos números naturales. Entonces a es divisible por b syss el resto de dividir a entre b es cero. *} lemma CNS_divisibilidad: "(a | b) = (b mod a = 0)" by auto section {* Razonamiento ecuacional *} text {* Elementos para el razonamiento ecuacional: El razonamiento ecuacional se realiza de manera más concisa usando la combinación de "also" (además) y "finally" (finalmente). Lema. [Ejemplo de razonamiento ecuacional] Si a=b, b=c y c=d, entonces a=d. *} lemma assumes 1: "a = b" and 2: "b = c" and 3: "c = d" shows "a = d" proof - have "a = b" by (rule 1) also have "… = c" by (rule 2) also have "… = d" by (rule 3) finally show "a = d" . qed text {* El lema anterior puede demostrarse automáticamente con la maza ("sledgehammer"). *} lemma assumes 1: "a = b" and 2: "b = c" and 3: "c = d" shows "a = d" proof - show "a=d" by (metis 1 2 3) qed end |