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PFH: La semana en Exercitium (4 de noviembre de 2022)

José A. Alonso-

Esta semana he publicado en Exercitium las soluciones de los siguientes problemas:

A continuación se muestran las soluciones.

1. Número a partir de sus dígitos

Definir la función

   listaNumero :: [Integer] -> Integer

tal que listaNumero xs es el número formado por los dígitos xs. Por ejemplo,

   listaNumero [5]        == 5
   listaNumero [1,3,4,7]  == 1347
   listaNumero [0,0,1]    == 1

1.1. Soluciones en Haskell

import Data.List (foldl')
import Data.Digits (unDigits)
import Test.QuickCheck
 
-- 1ª solución
-- ===========
 
listaNumero1 :: [Integer] -> Integer
listaNumero1 = aux . reverse
  where
    aux :: [Integer] -> Integer
    aux []     = 0
    aux (x:xs) = x + 10 * aux xs
 
-- 2ª solución
-- ===========
 
listaNumero2 :: [Integer] -> Integer
listaNumero2 = aux 0
  where
    aux :: Integer -> [Integer] -> Integer
    aux r []     = r
    aux r (x:xs) = aux (x+10*r) xs
 
-- 3ª solución
-- ===========
 
listaNumero3 :: [Integer] -> Integer
listaNumero3 = aux 0
  where
    aux :: Integer -> [Integer] -> Integer
    aux = foldl (\ r x -> x + 10 * r)
 
-- 4ª solución
-- ===========
 
listaNumero4 :: [Integer] -> Integer
listaNumero4 = foldl' (\ r x -> x + 10 * r) 0
 
-- 5ª solución
-- ===========
 
listaNumero5 :: [Integer] -> Integer
listaNumero5 xs = sum [y*10^n | (y,n) <- zip (reverse xs) [0..]]
 
-- 6ª solución
-- ===========
 
listaNumero6 :: [Integer] -> Integer
listaNumero6 xs = sum (zipWith (\ y n -> y*10^n) (reverse xs) [0..])
 
-- 7ª solución
-- ===========
 
listaNumero7 :: [Integer] -> Integer
listaNumero7 = unDigits 10
 
-- 7ª solución
-- ===========
 
listaNumero8 :: [Integer] -> Integer
listaNumero8 = read . concatMap show
 
-- Comprobación de equivalencia
-- ============================
 
-- La propiedad es
prop_listaNumero :: NonEmptyList Integer -> Bool
prop_listaNumero (NonEmpty xs) =
  all (== listaNumero1 ys)
      [listaNumero2 ys,
       listaNumero3 ys,
       listaNumero4 ys,
       listaNumero5 ys,
       listaNumero6 ys,
       listaNumero7 ys,
       listaNumero8 ys]
  where ys = map (`mod` 10) xs
 
-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_listaNumero
--    +++ OK, passed 100 tests.
 
-- Comparación de eficiencia
-- =========================
 
-- La comparación es
--    λ> length (show (listaNumero1 (replicate (10^5) 9)))
--    100000
--    (4.01 secs, 4,309,740,064 bytes)
--    λ> length (show (listaNumero2 (replicate (10^5) 9)))
--    100000
--    (4.04 secs, 4,307,268,856 bytes)
--    λ> length (show (listaNumero3 (replicate (10^5) 9)))
--    100000
--    (4.08 secs, 4,300,868,816 bytes)
--    λ> length (show (listaNumero4 (replicate (10^5) 9)))
--    100000
--    (0.42 secs, 4,288,480,208 bytes)
--    λ> length (show (listaNumero4 (replicate (10^5) 9)))
--    100000
--    (0.41 secs, 4,288,480,208 bytes)
--    λ> length (show (listaNumero5 (replicate (10^5) 9)))
--    100000
--    (43.35 secs, 10,702,827,328 bytes)
--    λ> length (show (listaNumero6 (replicate (10^5) 9)))
--    100000
--    (46.89 secs, 10,693,227,280 bytes)
--    λ> length (show (listaNumero7 (replicate (10^5) 9)))
--    100000
--    (4.33 secs, 4,297,499,344 bytes)
--    λ> length (show (listaNumero8 (replicate (10^5) 9)))
--    100000
--    (0.03 secs, 60,760,360 bytes)

1.2. Soluciones en Python

from functools import reduce
from sys import setrecursionlimit
from timeit import Timer, default_timer
 
from hypothesis import given
from hypothesis import strategies as st
 
setrecursionlimit(10**6)
 
# 1ª solución
# ===========
 
def listaNumero1(xs: list[int]) -> int:
    def aux(ys: list[int]) -> int:
        if ys:
            return ys[0] + 10 * aux(ys[1:])
        return 0
    return aux(list(reversed(xs)))
 
# 2ª solución
# ===========
 
def listaNumero2(xs: list[int]) -> int:
    def aux(r: int, ys: list[int]) -> int:
        if ys:
            return aux(ys[0] + 10 * r, ys[1:])
        return r
    return aux(0, xs)
 
# 3ª solución
# ===========
 
def listaNumero3(xs: list[int]) -> int:
    return reduce((lambda r, x: x + 10 * r), xs)
 
# 4ª solución
# ===========
 
def listaNumero4(xs: list[int]) -> int:
    r = 0
    for x in xs:
        r = x + 10 * r
    return r
 
# 5ª solución
# ===========
 
def listaNumero5(xs: list[int]) -> int:
    return sum((y * 10**n
                for (y, n) in zip(list(reversed(xs)), range(0, len(xs)))))
 
# 6ª solución
# ===========
 
def listaNumero6(xs: list[int]) -> int:
    return int("".join(list(map(str, xs))))
 
# Comprobación de equivalencia
# ============================
 
# La propiedad es
@given(st.lists(st.integers(min_value=0, max_value=9), min_size=1))
def test_listaNumero(xs: list[int]) -> None:
    r = listaNumero1(xs)
    assert listaNumero2(xs) == r
    assert listaNumero3(xs) == r
    assert listaNumero4(xs) == r
    assert listaNumero5(xs) == r
    assert listaNumero6(xs) == r
 
# La comprobación es
#    src> poetry run pytest -q numero_a_partir_de_sus_digitos.py
#    1 passed in 0.27s
 
# Comparación de eficiencia
# =========================
 
def tiempo(e: str) -> None:
    """Tiempo (en segundos) de evaluar la expresión e."""
    t = Timer(e, "", default_timer, globals()).timeit(1)
    print(f"{t:0.2f} segundos")
 
# La comparación es
#    >>> tiempo('listaNumero1([9]*(10**4))')
#    0.28 segundos
#    >>> tiempo('listaNumero2([9]*(10**4))')
#    0.16 segundos
#    >>> tiempo('listaNumero3([9]*(10**4))')
#    0.01 segundos
#    >>> tiempo('listaNumero4([9]*(10**4))')
#    0.01 segundos
#    >>> tiempo('listaNumero5([9]*(10**4))')
#    0.41 segundos
#    >>> tiempo('listaNumero6([9]*(10**4))')
#    0.00 segundos
#
#    >>> tiempo('listaNumero3([9]*(2*10**5))')
#    3.45 segundos
#    >>> tiempo('listaNumero4([9]*(2*10**5))')
#    3.29 segundos
#    >>> tiempo('listaNumero6([9]*(2*10**5))')
#    0.19 segundos

2. Exponente de la mayor potencia de x que divide a y

Definir la función

   mayorExponente :: Integer -> Integer -> Integer

tal que mayorExponente a b es el exponente de la mayor potencia de a que divide a b. Por ejemplo,

   mayorExponente 2 8    ==  3
   mayorExponente 2 9    ==  0
   mayorExponente 5 100  ==  2
   mayorExponente 2 60   ==  2

Nota: Se supone que a > 1 y b > 0.

2.1. Soluciones en Haskell

import Test.QuickCheck
 
-- 1ª solución
-- ===========
 
mayorExponente1 :: Integer -> Integer -> Integer
mayorExponente1 a b
  | rem b a /= 0 = 0
  | otherwise    = 1 + mayorExponente1 a (b `div` a)
 
-- 2ª solución
-- ===========
 
mayorExponente2 :: Integer -> Integer -> Integer
mayorExponente2 a b = aux b 0
  where
    aux c r | rem c a /= 0 = r
            | otherwise    = aux (c `div` a) (r + 1)
 
-- 3ª solución
-- ===========
 
mayorExponente3 :: Integer -> Integer -> Integer
mayorExponente3 a b = head [x-1 | x <- [0..], mod b (a^x) /= 0]
 
-- 4ª solución
-- ===========
 
mayorExponente4 :: Integer -> Integer -> Integer
mayorExponente4 a b =
  fst (until (\ (_,c) -> rem c a /= 0)
             (\ (r,c) -> (r+1, c `div` a))
             (0,b))
 
-- Comprobación de equivalencia
-- ============================
 
-- La propiedad es
prop_mayorExponente :: Integer -> Integer -> Property
prop_mayorExponente a b =
  a > 1 && b > 0 ==>
  all (== mayorExponente1 a b)
      [mayorExponente2 a b,
       mayorExponente3 a b,
       mayorExponente4 a b]
 
-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_mayorExponente
--    +++ OK, passed 100 tests; 457 discarded.
 
-- Comparación de eficiencia
-- =========================
 
-- La comparación es
--    λ> mayorExponente1 2 (2^(5*10^4))
--    50000
--    (0.12 secs, 179,578,424 bytes)
--    λ> mayorExponente2 2 (2^(5*10^4))
--    50000
--    (0.13 secs, 181,533,376 bytes)
--    λ> mayorExponente3 2 (2^(5*10^4))
--    50000
--    (3.88 secs, 818,319,096 bytes)
--    λ> mayorExponente4 2 (2^(5*10^4))
--    50000
--    (0.13 secs, 181,133,344 bytes)
--
--    λ> mayorExponente1 2 (2^(3*10^5))
--    300000
--    (2.94 secs, 5,762,199,064 bytes)
--    λ> mayorExponente2 2 (2^(3*10^5))
--    300000
--    (2.91 secs, 5,773,829,624 bytes)
--    λ> mayorExponente4 2 (2^(3*10^5))
--    300000
--    (3.70 secs, 5,771,396,824 bytes)

2.2. Soluciones en Python

from itertools import islice
from sys import setrecursionlimit
from timeit import Timer, default_timer
from typing import Iterator
 
from hypothesis import given
from hypothesis import strategies as st
 
setrecursionlimit(10**6)
 
# 1ª solución
# ===========
 
def mayorExponente1(a: int, b: int) -> int:
    if b % a != 0:
        return 0
    return 1 + mayorExponente1(a, b // a)
 
# 2ª solución
# ===========
 
def mayorExponente2(a: int, b: int) -> int:
    def aux(c: int, r: int) -> int:
        if c % a != 0:
            return r
        return aux(c // a, r + 1)
    return aux(b, 0)
 
# 3ª solución
# ===========
 
# naturales es el generador de los números naturales, Por ejemplo,
#    >>> list(islice(naturales(), 5))
#    [0, 1, 2, 3, 4]
def naturales() -> Iterator[int]:
    i = 0
    while True:
        yield i
        i += 1
 
def mayorExponente3(a: int, b: int) -> int:
    return list(islice((x - 1 for x in naturales() if b % (a**x) != 0), 1))[0]
 
# 4ª solución
# ===========
 
def mayorExponente4(a: int, b: int) -> int:
    r = 0
    while b % a == 0:
        b = b // a
        r = r + 1
    return r
 
# Comprobación de equivalencia
# ============================
 
def prueba1() -> None:
    for x in range(2, 11):
        for y in range(1, 11):
            print(x, y, mayorExponente4(x, y))
 
 
# La propiedad es
@given(st.integers(min_value=2, max_value=10),
       st.integers(min_value=1, max_value=10))
def test_mayorExponente(a: int, b: int) -> None:
    r = mayorExponente1(a, b)
    assert mayorExponente2(a, b) == r
    assert mayorExponente3(a, b) == r
    assert mayorExponente4(a, b) == r
 
# La comprobación es
#    src> poetry run pytest -q exponente_mayor.py
#    1 passed in 0.16s
 
# Comparación de eficiencia
# =========================
 
def tiempo(e: str) -> None:
    """Tiempo (en segundos) de evaluar la expresión e."""
    t = Timer(e, "", default_timer, globals()).timeit(1)
    print(f"{t:0.2f} segundos")
 
# La comparación es
#    >>> tiempo('mayorExponente1(2, 2**(2*10**4))')
#    0.13 segundos
#    >>> tiempo('mayorExponente2(2, 2**(2*10**4))')
#    0.13 segundos
#    >>> tiempo('mayorExponente3(2, 2**(2*10**4))')
#    1.81 segundos
#    >>> tiempo('mayorExponente4(2, 2**(2*10**4))')
#    0.12 segundos
#
#    >>> tiempo('mayorExponente4(2, 2**(2*10**5))')
#    12.19 segundos

3. Producto cartesiano de dos conjuntos

Definir la función

   producto :: [a] -> [b] -> [(a,b)]

tal que producto xs ys es el producto cartesiano de xs e ys. Por ejemplo,

   producto [1,3] [2,4] == [(1,2),(1,4),(3,2),(3,4)]

Comprobar con QuickCheck que el número de elementos de producto xs y es el producto del número de elementos de xs y de ys.

3.1. Soluciones en Haskell

import Test.QuickCheck
 
-- 1ª solución
-- ===========
 
producto1 :: [a] -> [a] -> [(a,a)]
producto1 xs ys = [(x,y) | x <- xs, y <- ys]
 
-- 2ª solución
-- ===========
 
producto2 :: [a] -> [a] -> [(a,a)]
producto2 []     _  = []
producto2 (x:xs) ys = [(x,y) | y <- ys] ++ producto2 xs ys
 
-- Comprobación de equivalencia
-- ============================
 
-- La propiedad es
prop_producto :: [Int] -> [Int] -> Bool
prop_producto xs ys =
  producto1 xs ys `iguales` producto2 xs ys
 
-- (iguales xs ys) se verifica si xs e ys son iguales. Por ejemplo,
--    iguales [3,2,3] [2,3]    ==  True
--    iguales [3,2,3] [2,3,2]  ==  True
--    iguales [3,2,3] [2,3,4]  ==  False
--    iguales [2,3] [4,5]      ==  False
iguales :: Ord a => [a] -> [a] -> Bool
iguales xs ys =
  subconjunto xs ys && subconjunto ys xs
 
-- (subconjunto xs ys) se verifica si xs es un subconjunto de ys. por
-- ejemplo,
--    subconjunto [3,2,3] [2,5,3,5]  ==  True
--    subconjunto [3,2,3] [2,5,6,5]  ==  False
subconjunto :: Ord a => [a] -> [a] -> Bool
subconjunto xs ys =
  [x | x <- xs, x `elem` ys] == xs
 
-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_producto
--    +++ OK, passed 100 tests.
 
-- Comparación de eficiencia
-- =========================
 
-- La comparación es
--    λ> length (producto1 [1..4000] [1..4000])
--    16000000
--    (2.33 secs, 1,537,551,208 bytes)
--    λ> length (producto2 [1..4000] [1..4000])
--    16000000
--    (2.87 secs, 2,434,095,160 bytes)
 
-- Comprobación de la propiedad
-- ============================
 
-- La propiedad es
prop_elementos_producto :: [Int] -> [Int] -> Bool
prop_elementos_producto xs ys =
  length (producto1 xs ys) == length xs * length ys
 
-- La comprobación es
--    λ> quickCheck prop_elementos_producto
--    +++ OK, passed 100 tests.

3.2. Soluciones en Python

from sys import setrecursionlimit
from timeit import Timer, default_timer
from typing import TypeVar
 
from hypothesis import given
from hypothesis import strategies as st
 
setrecursionlimit(10**6)
 
A = TypeVar('A')
B = TypeVar('B')
 
# 1ª solución
# ===========
 
def producto1(xs: list[A], ys: list[B]) -> list[tuple[A, B]]:
    return [(x, y) for x in xs for y in ys]
 
# 2ª solución
# ===========
 
def producto2(xs: list[A], ys: list[B]) -> list[tuple[A, B]]:
    if xs:
        return [(xs[0], y) for y in ys] + producto2(xs[1:], ys)
    return []
 
# Comprobación de equivalencia
# ============================
 
# La propiedad es
@given(st.lists(st.integers()),
       st.lists(st.integers()))
def test_producto(xs: list[int], ys: list[int]) -> None:
    assert sorted(producto1(xs, ys)) == sorted(producto2(xs, ys))
 
# La comprobación es
#    src> poetry run pytest -q producto_cartesiano_de_dos_conjuntos.py
#    1 passed in 0.31s
 
# Comparación de eficiencia
# =========================
 
def tiempo(e: str) -> None:
    """Tiempo (en segundos) de evaluar la expresión e."""
    t = Timer(e, "", default_timer, globals()).timeit(1)
    print(f"{t:0.2f} segundos")
 
# La comparación es
#    >>> tiempo('len(producto1(range(0, 1000), range(0, 500)))')
#    0.03 segundos
#    >>> tiempo('len(producto2(range(0, 1000), range(0, 500)))')
#    2.58 segundos
 
# Comprobación de la propiedad
# ============================
 
# La propiedad es
@given(st.lists(st.integers()),
       st.lists(st.integers()))
def test_elementos_producto(xs: list[int], ys: list[int]) -> None:
    assert len(producto1(xs, ys)) == len(xs) * len(ys)
 
# La comprobación es
#    src> poetry run pytest -q producto_cartesiano_de_dos_conjuntos.py
#    2 passed in 0.48s

4. Subconjuntos de un conjunto

Definir la función

   subconjuntos :: [a] -> [[a]]

tal que subconjuntos xs es la lista de las subconjuntos de la lista xs. Por ejemplo,

   λ> subconjuntos [2,3,4]
   [[2,3,4],[2,3],[2,4],[2],[3,4],[3],[4],[]]
   λ> subconjuntos [1,2,3,4]
   [[1,2,3,4],[1,2,3],[1,2,4],[1,2],[1,3,4],[1,3],[1,4],[1],
      [2,3,4],  [2,3],  [2,4],  [2],  [3,4],  [3],  [4], []]

Comprobar con QuickChek que el número de elementos de subconjuntos xs es 2 elevado al número de elementos de xs.

4.1. Soluciones en Haskell

import Data.List (sort, subsequences)
import Test.QuickCheck
 
-- 1ª solución
-- ===========
 
subconjuntos1 :: [a] -> [[a]]
subconjuntos1 []     = [[]]
subconjuntos1 (x:xs) = [x:ys | ys <- sub] ++ sub
  where sub = subconjuntos1 xs
 
-- 2ª solución
-- ===========
 
subconjuntos2 :: [a] -> [[a]]
subconjuntos2 []     = [[]]
subconjuntos2 (x:xs) = map (x:) sub ++ sub
  where sub = subconjuntos2 xs
 
-- 3ª solución
-- ===========
 
subconjuntos3 :: [a] -> [[a]]
subconjuntos3 = subsequences
 
-- Comprobación de equivalencia
-- ============================
 
-- La propiedad es
prop_subconjuntos :: [Int] -> Bool
prop_subconjuntos xs =
  all (== sort (subconjuntos1 xs))
      [sort (subconjuntos2 xs),
       sort (subconjuntos3 xs)]
 
-- La comprobación es
--    λ> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=7}) prop_subconjuntos
--    +++ OK, passed 100 tests.
 
-- Comparación de eficiencia
-- =========================
 
-- La comparación es
--    λ> length (subconjuntos1 [1..23])
--    8388608
--    (2.05 secs, 1,476,991,840 bytes)
--    λ> length (subconjuntos2 [1..23])
--    8388608
--    (0.87 secs, 1,208,555,312 bytes)
--    λ> length (subconjuntos3 [1..23])
--    8388608
--    (0.09 secs, 873,006,608 bytes)
 
-- Comprobación de la propiedad
-- ============================
 
-- La propiedad es
prop_length_subconjuntos :: [Int] -> Bool
prop_length_subconjuntos xs =
  length (subconjuntos1 xs) == 2 ^ length xs
 
-- La comprobación es
--    λ> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=7}) prop_length_subconjuntos
--    +++ OK, passed 100 tests.

4.2. Soluciones en Python

from itertools import combinations
from sys import setrecursionlimit
from timeit import Timer, default_timer
from typing import TypeVar
 
from hypothesis import given
from hypothesis import strategies as st
from sympy import FiniteSet
 
setrecursionlimit(10**6)
 
A = TypeVar('A')
 
# 1ª solución
# ===========
 
def subconjuntos1(xs: list[A]) -> list[list[A]]:
    if xs:
        sub = subconjuntos1(xs[1:])
        return [[xs[0]] + ys for ys in sub] + sub
    return [[]]
 
# 2ª solución
# ===========
 
def subconjuntos2(xs: list[A]) -> list[list[A]]:
    if xs:
        sub = subconjuntos1(xs[1:])
        return list(map((lambda ys: [xs[0]] + ys), sub)) + sub
    return [[]]
 
# 3ª solución
# ===========
 
def subconjuntos3(xs: list[A]) -> list[list[A]]:
    c = FiniteSet(*xs)
    return list(map(list, c.powerset()))
 
# 4ª solución
# ===========
 
def subconjuntos4(xs: list[A]) -> list[list[A]]:
    return [list(ys)
            for r in range(len(xs)+1)
            for ys in combinations(xs, r)]
 
# Comprobación de equivalencia
# ============================
 
# La propiedad es
@given(st.lists(st.integers(), max_size=5))
def test_subconjuntos(xs: list[int]) -> None:
    ys = list(set(xs))
    r = sorted([sorted(zs) for zs in subconjuntos1(ys)])
    assert sorted([sorted(zs) for zs in subconjuntos2(ys)]) == r
    assert sorted([sorted(zs) for zs in subconjuntos3(ys)]) == r
    assert sorted([sorted(zs) for zs in subconjuntos4(ys)]) == r
 
# La comprobación es
#    src> poetry run pytest -q subconjuntos_de_un_conjunto.py
#    1 passed in 0.89s
 
# Comparación de eficiencia
# =========================
 
def tiempo(e: str) -> None:
    """Tiempo (en segundos) de evaluar la expresión e."""
    t = Timer(e, "", default_timer, globals()).timeit(1)
    print(f"{t:0.2f} segundos")
 
# La comparación es
#    >>> tiempo('subconjuntos1(range(14))')
#    0.00 segundos
#    >>> tiempo('subconjuntos2(range(14))')
#    0.00 segundos
#    >>> tiempo('subconjuntos3(range(14))')
#    6.01 segundos
#    >>> tiempo('subconjuntos4(range(14))')
#    0.00 segundos
#
#    >>> tiempo('subconjuntos1(range(23))')
#    1.95 segundos
#    >>> tiempo('subconjuntos2(range(23))')
#    2.27 segundos
#    >>> tiempo('subconjuntos4(range(23))')
#    1.62 segundos
 
# Comprobación de la propiedad
# ============================
 
# La propiedad es
@given(st.lists(st.integers(), max_size=7))
def test_length_subconjuntos(xs: list[int]) -> None:
    assert len(subconjuntos1(xs)) == 2 ** len(xs)
 
# La comprobación es
#    src> poetry run pytest -q subconjuntos_de_un_conjunto.py
#    2 passed in 0.95s

5. El algoritmo de Luhn

El objetivo de este ejercicio es estudiar un algoritmo para validar algunos identificadores numéricos como los números de algunas tarjetas de crédito; por ejemplo, las de tipo Visa o Master Card.

El algoritmo que vamos a estudiar es el algoritmo de Luhn consistente en aplicar los siguientes pasos a los dígitos del número de la tarjeta.

  1. Se invierten los dígitos del número; por ejemplo, [9,4,5,5] se transforma en [5,5,4,9].
  2. Se duplican los dígitos que se encuentra en posiciones impares (empezando a contar en 0); por ejemplo, [5,5,4,9] se transforma en [5,10,4,18].
  3. Se suman los dígitos de cada número; por ejemplo, [5,10,4,18] se transforma en 5 + (1 + 0) + 4 + (1 + 8) = 19.
  4. Si el último dígito de la suma es 0, el número es válido; y no lo es, en caso contrario.

A los números válidos, se les llama números de Luhn.

Definir las siguientes funciones:

   digitosInv    :: Integer -> [Integer]
   doblePosImpar :: [Integer] -> [Integer]
   sumaDigitos   :: [Integer] -> Integer
   ultimoDigito  :: Integer -> Integer
   luhn          :: Integer -> Bool

tales que

  • digitosInv n es la lista de los dígitos del número n, en orden inverso. Por ejemplo,
     digitosInv 320274  ==  [4,7,2,0,2,3]
  • doblePosImpar ns es la lista obtenida doblando los elementos de ns en las posiciones impares (empezando a contar en cero y dejando igual a los que están en posiciones pares. Por ejemplo,
     doblePosImpar [4,9,5,5]    ==  [4,18,5,10]
     doblePosImpar [4,9,5,5,7]  ==  [4,18,5,10,7]
  • sumaDigitos ns es la suma de los dígitos de ns. Por ejemplo,
     sumaDigitos [10,5,18,4] = 1 + 0 + 5 + 1 + 8 + 4 =
                             = 19
  • ultimoDigito n es el último dígito de n. Por ejemplo,
     ultimoDigito 123 == 3
     ultimoDigito   0 == 0
  • luhn n se verifica si n es un número de Luhn. Por ejemplo,
     luhn 5594589764218858  ==  True
     luhn 1234567898765432  ==  False

5.1. Soluciones en Haskell

-- Definición de digitosInv
-- ========================
 
digitosInv :: Integer -> [Integer]
digitosInv n = [read [x] | x <- reverse (show n)]
 
-- Nota: En el ejercicio "Dígitos de un número" https://bit.ly/3Tkhc2T
-- se presentan otras definiciones.
 
-- Definiciones de doblePosImpar
-- =============================
 
-- 1ª definición
doblePosImpar :: [Integer] -> [Integer]
doblePosImpar []       = []
doblePosImpar [x]      = [x]
doblePosImpar (x:y:zs) = x : 2*y : doblePosImpar zs
 
-- 2ª definición
doblePosImpar2 :: [Integer] -> [Integer]
doblePosImpar2 (x:y:zs) = x : 2*y : doblePosImpar2 zs
doblePosImpar2 xs       = xs
 
-- 3ª definición
doblePosImpar3 :: [Integer] -> [Integer]
doblePosImpar3 xs = [f n x | (n,x) <- zip [0..] xs]
  where f n x | odd n     = 2*x
              | otherwise = x
 
-- Definiciones de sumaDigitos
-- ===========================
 
sumaDigitos :: [Integer] -> Integer
sumaDigitos ns = sum [sum (digitosInv n) | n <- ns]
 
-- Nota: En el ejercicio "Suma de los dígitos de un número"
-- https://bit.ly/3U4u7WR se presentan otras definiciones.
 
-- Definición de ultimoDigito
-- ==========================
 
ultimoDigito :: Integer -> Integer
ultimoDigito n = n `rem` 10
 
-- Definiciones de luhn
-- ====================
 
-- 1ª definición
luhn1 :: Integer -> Bool
luhn1 n =
  ultimoDigito (sumaDigitos (doblePosImpar (digitosInv n))) == 0
 
-- 2ª definición
luhn2 :: Integer -> Bool
luhn2 =
  (==0) . ultimoDigito . sumaDigitos . doblePosImpar . digitosInv

5.2. Soluciones en Python

# Definición de digitosInv
# ========================
 
def digitosInv(n: int) -> list[int]:
    return [int(x) for x in reversed(str(n))]
 
# Nota: En el ejercicio "Dígitos de un número" https://bit.ly/3Tkhc2T
# se presentan otras definiciones.
 
# Definiciones de doblePosImpar
# =============================
 
# 1ª definición
def doblePosImpar(xs: list[int]) -> list[int]:
    if len(xs) <= 1:
        return xs
    return [xs[0]] + [2*xs[1]] + doblePosImpar(xs[2:])
 
# 2ª definición
def doblePosImpar2(xs: list[int]) -> list[int]:
    def f(n: int, x: int) -> int:
        if n % 2 == 1:
            return 2 * x
        return x
    return [f(n, x) for (n, x) in enumerate(xs)]
 
# Definiciones de sumaDigitos
# ===========================
 
def sumaDigitos(ns: list[int]) -> int:
    return sum((sum(digitosInv(n)) for n in ns))
 
# Nota: En el ejercicio "Suma de los dígitos de un número"
# https://bit.ly/3U4u7WR se presentan otras definiciones.
 
# Definición de ultimoDigito
# ==========================
 
def ultimoDigito(n: int) -> int:
    return n % 10
 
# Definiciones de luhn
# ====================
 
def luhn(n: int) -> bool:
    return ultimoDigito(sumaDigitos(doblePosImpar(digitosInv(n)))) == 0
PFH