LMF2019: Comienzo del curso
Las clases del curso Lógica matemática y fundamentos (de 3º de Grado en Matemáticas) comenzarán el martes 11 de febrero en el aula 02 del Edificio Central.
RA2019: Reducción de SAT a Clique en Haskell
En la segunda parte de la clase de hoy del curso de Razonamiento automático se ha estudiado una implementación de la reducción del problema SAT al problema Clique.
En primer lugar se ha estudiado una implementación del problema del Clique en la que se ha definido los grafos no ordenados (como pares de nodos), los cliques y cómo calcular los clique de un tamaño dado.
A continuación se ha estudiado cómo asociar a una fórmula en forma normal conjuntiva un grafo tal que la fórmula es satisfacible si, y sólo si, el grafo tiene un clique cuyo tamaño sea el número de cláusulas de la fórmula
Los códigos usados en la presentación son los siguientes:
Código del prolblema del Clique
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 |
-- Cliques.hs -- El problema del clique. -- José A. Alonso Jiménez -- Sevilla, 6 de febrero de 2020 -- --------------------------------------------------------------------- module Cliques where import Data.List -- --------------------------------------------------------------------- -- Un grafo no dirigido se representa por la lista de sus arcos. Por -- ejemplo, el grafo -- 1 -- 2 -- 4 -- | \ | -- | \ | -- 3 -- 5 -- se representa por [(1,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,5),(4,5)]. -- -- Definir el tipo Grafo. -- --------------------------------------------------------------------- type Grafo a = [(a,a)] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- nodos :: Eq a => Grafo a -> [a] -- tal que (nodos g) es la lista de los nodos del grafo g. Por ejemplo, -- nodos [(1,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,5),(4,5)] == [1,2,3,4,5] -- --------------------------------------------------------------------- nodos :: Eq a => Grafo a -> [a] nodos g = nub (concat [[x,y] | (x,y) <- g]) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio: Definir la función -- conectados :: Eq a => Grafo a -> a -> a -> Bool -- tal que (conectados g x y) se verifica si el grafo no dirigido g -- posee un arco con extremos x e y. Por ejemplo, -- conectados [(1,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,5),(4,5)] 3 2 == True -- conectados [(1,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,5),(4,5)] 2 3 == True -- conectados [(1,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,5),(4,5)] 3 4 == False -- --------------------------------------------------------------------- conectados :: Eq a => Grafo a -> a -> a -> Bool conectados g x y = (x,y) `elem` g || (y,x) `elem` g -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio: Definir la función -- parejas :: [a] -> [(a,a)] -- tal que (parejas xs) es la lista de las parejas formados por los -- elementos de xs y sus siguientes en xs. Por ejemplo, -- parejas [1..4] == [(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)] -- --------------------------------------------------------------------- parejas :: [a] -> [(a,a)] parejas xs = [(x,y) | (x:ys) <- tails xs , y <- ys] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Un clique (en español, pandilla) de un grafo g es un -- conjunto de nodos de g tal que todos sus elementos están conectados -- en g. -- -- Definir la función -- esClique :: Eq a => Grafo a -> [a] -> Bool -- tal que (esClique g xs) se verifica si el conjunto de nodos xs del -- grafo g es un clique de g.Por ejemplo, -- esClique [(1,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,5),(4,5)] [2,3,5] == True -- esClique [(1,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,5),(4,5)] [2,3,4] == False -- --------------------------------------------------------------------- esClique :: Eq a => Grafo a -> [a] -> Bool esClique g xs = and [conectados g x y | (x,y) <- parejas xs] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- cliques :: Eq a => Grafo a -> [[a]] -- tal que (cliques g) es la lista de los cliques del grafo g. Por -- ejemplo, -- λ> cliques [(1,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,5),(4,5)] -- [[],[1],[2],[1,2],[3],[2,3],[4],[2,4], -- [5],[2,5],[3,5],[2,3,5],[4,5],[2,4,5]] -- --------------------------------------------------------------------- cliques :: Eq a => Grafo a -> [[a]] cliques g = [xs | xs <- subsequences (nodos g) , esClique g xs] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- kSubconjuntos :: [a] -> Int -> [[a]] -- tal que (kSubconjuntos xs k) es la lista de los subconjuntos de xs -- con k elementos. Por ejemplo, -- ghci> kSubconjuntos "bcde" 2 -- ["bc","bd","be","cd","ce","de"] -- ghci> kSubconjuntos "bcde" 3 -- ["bcd","bce","bde","cde"] -- ghci> kSubconjuntos "abcde" 3 -- ["abc","abd","abe","acd","ace","ade","bcd","bce","bde","cde"] -- --------------------------------------------------------------------- kSubconjuntos :: [a] -> Int -> [[a]] kSubconjuntos _ 0 = [[]] kSubconjuntos [] _ = [] kSubconjuntos (x:xs) k = [x:ys | ys <- kSubconjuntos xs (k-1)] ++ kSubconjuntos xs k -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- kCliques :: Eq a => Grafo a -> Int -> [[a]] -- tal que (cliques g k) es la lista de los cliques del grafo g de -- tamaño k. Por ejemplo, -- λ> kCliques [(1,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,5),(4,5)] 3 -- [[2,3,5],[2,4,5]] -- λ> kCliques [(1,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,5),(4,5)] 2 -- [[1,2],[2,3],[2,4],[2,5],[3,5],[4,5]] -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª definición kCliques1 :: Eq a => Grafo a -> Int -> [[a]] kCliques1 g k = [xs | xs <- cliques g , length xs == k] -- 2ª definición kCliques :: Eq a => Grafo a -> Int -> [[a]] kCliques g k = [xs | xs <- kSubconjuntos (nodos g) k , esClique g xs] -- Comparación de eficiencia -- ========================= -- λ> kCliques1 [(n,n+1) | n <- [1..20]] 3 -- [] -- (4.28 secs, 3,204,548,608 bytes) -- λ> kCliques [(n,n+1) | n <- [1..20]] 3 -- [] -- (0.01 secs, 3,075,768 bytes) |
Código de la reducción de SAT a Clique
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 |
-- SAT_Clique.hs -- Reducción de SAT a Clique. -- José A. Alonso Jiménez -- Sevilla, 6 de febrero de 2020 -- --------------------------------------------------------------------- module SAT_Clique where import SAT import Cliques import Data.List import Test.QuickCheck -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- nodosFNC :: FNC -> [(Int,Literal)] -- tal que (nodosFNC f) es la lista de los literales de las cláuslas de -- f junto con el número de la cláusula. Por ejemplo, -- λ> nodosFNC [[1,-2,3],[-1,2],[-2,3]] -- [(0,1),(0,-2),(0,3),(1,-1),(1,2),(2,-2),(2,3)] -- --------------------------------------------------------------------- nodosFNC :: FNC -> [(Int,Literal)] nodosFNC f = [(i,x) | (i,xs) <- zip [0..] f , x <- xs] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. El grafo correspondiente a una fórmula f en FNC tiene como -- nodos (nodosFNC f). Hay un arco entre los nodos correspondientes a -- cláusulas distintas cuyos literales no son complementarios. Por -- ejemplo, -- -- Definir la función -- grafoFNC :: FNC -> Grafo (Int,Literal) -- tal que (grafo FNC f) es el grafo de f. Por ejemplo, -- λ> grafoFNC [[1,-2,3],[-1,2],[-2,3]] -- [ ((0,1),(1,2)), ((0,1),(2,-2)), ((0,1),(2,3)), -- ((0,-2),(1,-1)),((0,-2),(2,-2)),((0,-2),(2,3)), -- ((0,3),(1,-1)), ((0,3),(1,2)), ((0,3),(2,-2)),((0,3),(2,3)), -- ((1,-1),(2,-2)),((1,-1),(2,3)), -- ((1,2),(2,3))] -- λ> grafoFNC [[1,2],[1,-2],[-1,2],[-1,-2]] -- [((0,1),(1,1)),((0,1),(1,-2)),((0,1),(2,2)),((0,1),(3,-2)), -- ((0,2),(1,1)),((0,2),(2,-1)),((0,2),(2,2)),((0,2),(3,-1)), -- ((1,1),(2,2)),((1,1),(3,-2)), -- ((1,-2),(2,-1)),((1,-2),(3,-1)),((1,-2),(3,-2)), -- ((2,-1),(3,-1)),((2,-1),(3,-2)), -- ((2,2),(3,-1))] -- --------------------------------------------------------------------- grafoFNC :: FNC -> Grafo (Int,Literal) grafoFNC f = [ ((i,x),(i',x')) | ((i,x),(i',x')) <- parejas (nodosFNC f) , i' /= i , x' /= complementario x] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- cliquesFNC :: FNC -> [[(Int,Literal)]] -- tal que (cliquesFNCf) es la lista de los cliques del grafo de f. Por -- ejemplo, -- λ> cliquesFNC [[1,-2,3],[-1,2],[-2,3]] -- [[], [(0,1)], [(1,2)], [(0,1),(1,2)], [(2,-2)], -- [(0,1),(2,-2)], [(2,3)], [(0,1),(2,3)], [(1,2),(2,3)], -- [(0,1),(1,2),(2,3)], [(0,-2)], [(2,-2),(0,-2)], [(2,3),(0,-2)], -- [(1,-1)], [(2,-2),(1,-1)], [(2,3),(1,-1)], [(0,-2),(1,-1)], -- [(2,-2),(0,-2),(1,-1)], [(2,3),(0,-2),(1,-1)], [(0,3)], -- [(1,2),(0,3)], [(2,-2),(0,3)], [(2,3),(0,3)], -- [(1,2),(2,3),(0,3)], [(1,-1),(0,3)], -- [(2,-2),(1,-1),(0,3)], [(2,3),(1,-1),(0,3)]] -- --------------------------------------------------------------------- cliquesFNC :: FNC -> [[(Int,Literal)]] cliquesFNC f = cliques (grafoFNC f) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- cliquesCompletos :: FNC -> [[(Int,Literal)]] -- tal que (cliquesCompletos f) es la lista de los cliques del grafo de -- f que tiene elmismo número de elementos que el número de cláusulas de -- f. Por ejemplo, -- λ> cliquesCompletos [[1,-2,3],[-1,2],[-2,3]] -- [[(0,1),(1,2),(2,3)], [(2,-2),(0,-2),(1,-1)], -- [(2,3),(0,-2),(1,-1)], [(1,2),(2,3),(0,3)], -- [(2,-2),(1,-1),(0,3)], [(2,3),(1,-1),(0,3)]] -- λ> cliquesCompletos [[1,2],[1,-2],[-1,2],[-1,-2]] -- [] -- --------------------------------------------------------------------- cliquesCompletos :: FNC -> [[(Int,Literal)]] cliquesCompletos cs = kCliques (grafoFNC cs) (length cs) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- esSatisfaciblePorClique :: FNC -> Bool -- tal que (esSatisfaciblePorClique f) se verifica si f no contiene la -- cláusula vacía, tiene má de una cláusula y posee algún clique -- completo. Por ejemplo, -- λ> esSatisfaciblePorClique [[1,-2,3],[-1,2],[-2,3]] -- True -- λ> esSatisfaciblePorClique [[1,2],[1,-2],[-1,2],[-1,-2]] -- False -- --------------------------------------------------------------------- esSatisfaciblePorClique :: FNC -> Bool esSatisfaciblePorClique f = [] `notElem` f' && (length f' <= 1 || not (null (cliquesCompletos f'))) where f' = nub (map (nub . sort) f) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Comprobar con QuickCheck que toda fórmula es satisfacible -- si, y solo si, es satisfacible por Clique. -- --------------------------------------------------------------------- prop_esSatisfaciblePorClique :: FNC -> Bool prop_esSatisfaciblePorClique f = esSatisfacible f == esSatisfaciblePorClique f -- La comprobación es -- λ> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=7}) prop_esSatisfaciblePorClique -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- modelosCliqueFNC :: FNC -> [Interpretacion] -- tales que (modelosCliqueFNC f) es la lista de los modelos de f -- calculados mediante los cliques completos del grafo de f. Por ejemplo, -- λ> modelosCliqueFNC [[1,-2,3],[-1,2],[-2,3]] -- [[],[1,2,3],[2,3],[3]] -- λ> modelosCliqueFNC [[1,-2,3],[3,2],[-2,3]] -- [[1,2,3],[1,3],[2,3],[3]] -- --------------------------------------------------------------------- modelosCliqueFNC :: FNC -> [Interpretacion] modelosCliqueFNC f | [] `elem` f' = [] | length f' == 1 = [[a | c <- f', a <- c, a > 0]] |otherwise = sort (nub (map nub [ modeloClique xs | xs <- cliquesCompletos f])) where f' = nub (map (nub . sort) f) modeloClique xs = [x | (_,x) <- xs, x > 0] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Comprobar con QuickCheck que, para toda fórmula f en FNC, -- todos los elementos de (modelosCliqueFNC f) son modelos de f. -- --------------------------------------------------------------------- prop_modelosPorClique :: FNC -> Bool prop_modelosPorClique f = and [esModelo i f | i <- modelosCliqueFNC f] -- La comprobación es -- λ> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=7}) prop_modelosPorClique -- +++ OK, passed 100 tests. |
RA2019: El algoritmo de Davis-Putnam en Haskell
En la primera parte de la clase de hoy del curso de Razonamiento automático se ha estudiado una implementación del algoritmo de Davis-Putnam en Haskell y comprobado su corrección con QuickCheck.
En primer lugar se ha estudiado una implementación de la lógica clausal en Haskell en la que se han definido los átomos, literales, cláusulas, fórmulas en forma normal conjuntiva (FNC), interpretaciones, modelos y la clasificación de FNC en satisfacibles, insatisfacibles y válidas.
A continuación se ha estudiado una implementación del algoritmo de Davis-Putnam en Haskell.
Los códigos y las transparencias usados en la presentación son los siguientes:
Código de SAT en Haskell
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 |
-- SAT.hs -- El problema SAT para fóemulas en FNC. -- José A. Alonso Jiménez <jalonso@us,es> -- Sevilla, 4 de febrero de 2020 -- --------------------------------------------------------------------- module SAT where import Data.List -- --------------------------------------------------------------------- -- § Átomos, literales, cláusulas y FNC -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Usareremos las siguientes representaciones: -- + Los átomos se representan por enteros positivos. Por ejemplo, 3 -- representa x(3). -- + Los literales se representa por enteros. Por ejemplo, 3 reprsenta -- el literal positivo x(3) y -5 el literal negativo -x(3). -- + Una cláusula es una lista de literales que representa su -- disyunción. Por ejemplo, [3,2,-4] representa a x(3) v x(2) v -x(4). -- + Una fórmula en forma normal conjuntiva (FNC) es una lista de -- cláusulas que representa su conjunción. Por ejemplo, [[3,2],[-1,2,5]] -- representa a (x(3) v x(2)) & (-x(1) v x(2) v x(5)). -- -- Definir los tipo de datos Atomo, Literal, Clausula y FNC. -- --------------------------------------------------------------------- type Atomo = Int type Literal = Int type Clausula = [Literal] type FNC = [Clausula] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- complementario :: Literal -> Literal -- tal que (complementario l) es el complementario de l. Por ejemplo, -- complementario 3 == -3 -- complementario (-3) == 3 -- --------------------------------------------------------------------- complementario :: Literal -> Literal complementario l = (-1) * l -- --------------------------------------------------------------------- -- § Átomos de cláusulas y de FNC -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- atomosClausula :: Clausula -> [Prop] -- tal que (atomosClausula c) es el conjunto de los átomos de c. Por -- ejemplo, -- atomosClausula [1,3,-1] == [1,3] -- --------------------------------------------------------------------- atomosClausula :: Clausula -> [Atomo] atomosClausula c = nub (map abs c) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- unionGeneral :: Eq a => [[a]] -> [a] -- tal que (unionGeneral x) es la unión de los conjuntos de la lista de -- conjuntos x. Por ejemplo, -- unionGeneral [] == [] -- unionGeneral [[1]] == [1] -- unionGeneral [[1],[1,2],[2,3]] == [1,2,3] -- --------------------------------------------------------------------- unionGeneral :: Eq a => [[a]] -> [a] unionGeneral [] = [] unionGeneral (x:xs) = x `union` unionGeneral xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- atomosFNC :: FNC -> [Prop] -- tal que (atomosFNC f) es el conjunto de los átomos de f. Por ejemplo, -- atomosFNC [[1,2],[4,-2]] == [1,2,4] -- --------------------------------------------------------------------- atomosFNC :: FNC -> [Atomo] atomosFNC f = unionGeneral [atomosClausula c | c <- f] -- --------------------------------------------------------------------- -- § Interpretaciones -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Una interpretación I es un conjunto de átomos. Se supone -- que los átomos de I son verdaderos y los restantes son falsos. -- -- Definir el tipo de dato Interpretacion. -- --------------------------------------------------------------------- type Interpretacion = [Atomo] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- interpretacionesClausula :: Clausula -> [Interpretacion] -- tal que (interpretacionesClausula c) es el conjunto de -- interpretaciones de c. Por ejemplo, -- interpretacionesClausula [1,2,-1] == [[],[1],[2],[1,2]] -- interpretacionesClausula [] == [[]] -- --------------------------------------------------------------------- interpretacionesClausula :: Clausula -> [Interpretacion] interpretacionesClausula c = subsequences (atomosClausula c) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- interpretaciones :: FNC -> [Interpretacion] -- tal que (interpretaciones f) es el conjunto de interpretaciones de -- f. Por ejemplo, -- interpretaciones [[1,-2],[-1,2]] == [[],[1],[2],[1,2]] -- interpretaciones [] == [[]] -- --------------------------------------------------------------------- interpretaciones :: FNC -> [Interpretacion] interpretaciones f = subsequences (atomosFNC f) -- --------------------------------------------------------------------- -- § Modelos de literales, cláusulas y FNC -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- esModeloLiteral :: Interpretacion -> Literal -> Bool -- tal que (esModeloLiteral i l) se verifica si i es modelo de l. Por -- ejemplo, -- esModeloLiteral [3,5] 3 == True -- esModeloLiteral [3,5] 4 == False -- esModeloLiteral [3,5] (-3) == False -- esModeloLiteral [3,5] (-4) == True -- --------------------------------------------------------------------- esModeloLiteral :: Interpretacion -> Literal -> Bool esModeloLiteral i l | l > 0 = l `elem` i | otherwise = complementario l `notElem` i -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- esModeloClausula :: Interpretacion -> Clausula -> Bool -- tal que (esModeloClausula i c) se verifica si i es modelo de c . Por -- ejemplo, -- esModeloClausula [3,5] [2,3,-5] == True -- esModeloClausula [3,5] [2,4,-1] == True -- esModeloClausula [3,5] [2,4,1] == False -- --------------------------------------------------------------------- esModeloClausula :: Interpretacion -> Clausula -> Bool esModeloClausula i c = or [esModeloLiteral i l | l <- c] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- modelosClausula :: Clausula -> [Interpretacion] -- tal que (modelosClausula c) es la lista de los modelos de c. Por -- ejemplo, -- modelosClausula [-1,2] == [[],[2],[1,2]] -- modelosClausula [-1,1] == [[],[1]] -- modelosClausula [] == [] -- --------------------------------------------------------------------- modelosClausula :: Clausula -> [Interpretacion] modelosClausula c = [i | i <- interpretacionesClausula c, esModeloClausula i c] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- esModelo :: Interpretacion -> FNC -> Bool -- tal que (esModelo i f) se verifica si i es modelo de f. Por ejemplo, -- esModelo [1,3] [[1,-2],[3]] == True -- esModelo [1] [[1,-2],[3]] == False -- esModelo [1] [] == True -- --------------------------------------------------------------------- esModelo :: Interpretacion -> FNC -> Bool esModelo i s = and [esModeloClausula i c | c <- s] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- modelos :: FNC -> [Interpretacion] -- tal que (modelos f) es la lista de los modelos de f. Por ejemplo, -- modelos [[-1,2],[-2,1]] == [[],[1,2]] -- modelos [[-1,2],[-2],[1]] == [] -- modelos [[1,-1,2]] == [[],[1],[2],[1,2]] -- --------------------------------------------------------------------- modelos :: FNC -> [Interpretacion] modelos s = [i | i <- interpretaciones s, esModelo i s] -- --------------------------------------------------------------------- -- § Cláusulas válidas, satisfacibles e insatisfacibles -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- esSatisfacibleClausula :: Clausula -> Bool -- tal que (esSatisfacibleClausula c) se verifica si la cláusula c es -- satisfacible. Por ejemplo, -- esSatisfacibleClausula [1,2,-1] == True -- esSatisfacibleClausula [1,2,-3] == True -- esSatisfacibleClausula [] == False -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª definición esSatisfacibleClausula1 :: Clausula -> Bool esSatisfacibleClausula1 c = or [esModeloClausula i c | i <- interpretacionesClausula c] -- 2ª definición esSatisfacibleClausula :: Clausula -> Bool esSatisfacibleClausula = not . null -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- esInsatisfacibleClausula :: Clausula -> Bool -- tal que (esInsatisfacibleClausula c) se verifica si la cláusula c es -- insatisfacible. Por ejemplo, -- esInsatisfacibleClausula [1,2,-1] == False -- esInsatisfacibleClausula [1,2,-3] == False -- esInsatisfacibleClausula [] == True -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª definición esInsatisfacibleClausula1 :: Clausula -> Bool esInsatisfacibleClausula1 c = and [not (esModeloClausula i c) | i <- interpretacionesClausula c] -- 2ª definición esInsatisfacibleClausula :: Clausula -> Bool esInsatisfacibleClausula = null -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- esValidaClausula :: Clausula -> Bool -- tal que (esValidaClausula c) se verifica si la cláusula c es -- válida. Por ejemplo, -- esValidaClausula [1,2,-1] == True -- esValidaClausula [1,2,-3] == False -- esValidaClausula [] == False -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª definición esValidaClausula1 :: Clausula -> Bool esValidaClausula1 c = and [esModeloClausula i c | i <- interpretacionesClausula c] -- 2ª definición esValidaClausula :: Clausula -> Bool esValidaClausula c = not (null [l | l <- c, complementario l `elem` c]) -- --------------------------------------------------------------------- -- § FNC válidas, satisfacible e insatisfacibles -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- esSatisfacible :: FNC -> Bool -- tal que (esSatisfacible f) se verifica si la FNC f es -- satistacible. Por ejemplo, -- esSatisfacible [[-1,2],[-2,1]] == True -- esSatisfacible [[-1,2],[-2,2]] == True -- esSatisfacible [[-1,1],[-2,2]] == True -- esSatisfacible [] == True -- --------------------------------------------------------------------- esSatisfacible :: FNC -> Bool esSatisfacible s = not (null (modelos s)) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- esInsatisfacible :: FNC -> Bool -- tal que (esInsatisfacible f) se verifica si la FNC f es -- insatisfacible. Por ejemplo, -- esInsatisfacible [[-1,2],[-2,1]] == False -- esInsatisfacible [[-1],[1]] == True -- --------------------------------------------------------------------- esInsatisfacible :: FNC -> Bool esInsatisfacible f = null (modelos f) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- esValida :: FNC -> Bool -- tal que (esValida f) se verifica si f es válida. Por ejemplo, -- esValida [[-1,2],[-2,1]] == False -- esValida [[-1,1],[-2,2]] == True -- esValida [] == True -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª definición esValida1 :: FNC -> Bool esValida1 f = modelos f == interpretaciones f -- 2ª definición esValida :: FNC -> Bool esValida f = and [esValidaClausula c | c <- f] |
Presentación del algoritmo de Davis-Putnam
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Código del algoritmo de Davis-Putnam en Haskell
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-- DavisPutnam.hs -- El procedimiento de Davis y Putnam para SAT -- José A. Alonso Jiménez <jalonso@us,es> -- Sevilla, 4 de febrero de 2020 -- --------------------------------------------------------------------- module SAT_DavisPutnam where import SAT import Data.List import Test.QuickCheck -- --------------------------------------------------------------------- -- § Eliminación de tautologías -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- esTautologia :: Clausula -> Bool -- tal que (esTautologia c) se verifica si c es una tautología. Por -- ejemplo, -- esTautologia [1,2,-1] == True -- esTautologia [1,2,-3] == False -- esTautologia [] == False -- --------------------------------------------------------------------- esTautologia :: Clausula -> Bool esTautologia = esValidaClausula -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- eliminaTautologias :: FNC -> FNC -- tal que (eliminaTautologias s) es el conjunto obtenido eliminando las -- tautologías de s. Por ejemplo, -- eliminaTautologias [[1,2],[1,3,-1]] == [[1,2]] -- --------------------------------------------------------------------- eliminaTautologias :: FNC -> FNC eliminaTautologias s = [c | c <- s, not (esTautologia c)] -- --------------------------------------------------------------------- -- § Eliminación de cláusulas unitarias -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- esUnitaria :: Clausula -> Bool -- tal que (esUnitaria c) se verifica si la cláusula c es unitaria . Por -- ejemplo, -- esUnitaria [3] == True -- esUnitaria [-3] == True -- esUnitaria [3,2] == False -- esUnitaria [] == False -- --------------------------------------------------------------------- esUnitaria :: Clausula -> Bool esUnitaria [_] = True esUnitaria _ = False -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- eliminaClausulaUnitaria :: Literal -> FNC -> FNC -- tal que (eliminaClausulaUnitaria l s) es el conjunto obtenido al -- reducir s por la eliminación de la cláusula unitaria formada por el -- literal l. Por ejemplo, -- λ> eliminaClausulaUnitaria (-1) [[1,2,-3],[1,-2],[-1],[3]] -- [[2,-3],[-2],[3]] -- λ> eliminaClausulaUnitaria (-2) [[2,-3],[-2],[3]] -- [[-3],[3]] -- λ> eliminaClausulaUnitaria (-3) [[-3],[3],[1]] -- [[],[1]] -- --------------------------------------------------------------------- eliminaClausulaUnitaria :: Literal -> FNC -> FNC eliminaClausulaUnitaria l s = [delete (complementario l) c | c <- s, notElem l c] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- clausulaUnitaria :: FNC -> Maybe Literal -- tal que (clausulaUnitaria s) es la primera cláusula unitaria de s, si -- s tiene cláusulas unitarias y nada en caso contrario. Por ejemplo, -- clausulaUnitaria [[1,2],[1],[-2]] == Just 1 -- clausulaUnitaria [[1,2],[1,-2]] == Nothing -- --------------------------------------------------------------------- clausulaUnitaria :: FNC -> Maybe Literal clausulaUnitaria [] = Nothing clausulaUnitaria (c:cs) | esUnitaria c = Just (head c) | otherwise = clausulaUnitaria cs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- eliminaClausulasUnitarias :: FNC -> FNC -- tal que (eliminaClausulasUnitarias s) es el conjunto obtenido -- aplicando el proceso de eliminación de cláusulas unitarias a s. Por -- ejemplo, -- λ> eliminaClausulasUnitarias [[1,2,-3],[1,-2],[-1],[3],[5]] -- [[],[5]] -- λ> eliminaClausulasUnitarias [[1,2],[-2],[-1,2,-3]] -- [] -- λ> eliminaClausulasUnitarias [[-1,2],[1],[3,5]] -- [[3,5]] -- --------------------------------------------------------------------- eliminaClausulasUnitarias :: FNC -> FNC eliminaClausulasUnitarias s | elem [] s = s | clausulaUnitaria s == Nothing = s | otherwise = eliminaClausulasUnitarias (eliminaClausulaUnitaria c s) where Just c = clausulaUnitaria s -- --------------------------------------------------------------------- -- Eliminación de literales puros -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- literales :: FNC -> [Literal] -- tal que (literales f) es el conjunto de literales de f. Por ejemplo, -- literales [[1,2,-3],[1,2,-1]] == [1,2,-3,-1] -- --------------------------------------------------------------------- literales :: FNC -> [Literal] literales = unionGeneral -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- esLiteralPuro :: Literal -> FNC -> Bool -- tal que (esLiteralPuro l f) se verifica si l es puro en f. Por -- ejemplo, -- esLiteralPuro 1 [[1,2],[1,-2],[3,2],[3,-2]] == True -- esLiteralPuro 2 [[1,2],[1,-2],[3,2],[3,-2]] == False -- --------------------------------------------------------------------- esLiteralPuro :: Literal -> FNC -> Bool esLiteralPuro l f = and [notElem l' c | c <- f] where l' = complementario l -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- eliminaLiteralPuro :: Literal -> FNC -> FNC -- tal que (eliminaLiteralPuro l f) es el conjunto obtenido eliminando -- el literal puro l de f. Por ejemplo, -- eliminaLiteralPuro 1 [[1,2],[1,-2],[3,2],[3,-2]] == [[3,2],[3,-2]] -- eliminaLiteralPuro 3 [[3,2],[3,-2]] == [] -- --------------------------------------------------------------------- eliminaLiteralPuro :: Literal -> FNC -> FNC eliminaLiteralPuro l f = [c | c <- f, l `notElem` c] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- literalesPuros :: FNC -> [Literal] -- tal que (literalesPuros f) es el conjunto de los literales puros de -- f. Por ejemplo, -- literalesPuros [[1,2],[1,-2],[3,2],[3,-2]] == [1,3] -- --------------------------------------------------------------------- literalesPuros :: FNC -> [Literal] literalesPuros f = [l | l <- literales f, esLiteralPuro l f] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- eliminaLiteralesPuros :: FNC -> FNC -- tal que (eliminaLiteralesPuros f) es el conjunto obtenido aplicando a -- f el proceso de eliminación de literales puros. Por ejemplo, -- eliminaLiteralesPuros [[1,2],[1,-2],[3,2],[3,-2]] == [] -- eliminaLiteralesPuros [[1,2],[3,-5],[-3,5]] == [[3,-5],[-3,5]] -- --------------------------------------------------------------------- eliminaLiteralesPuros :: FNC -> FNC eliminaLiteralesPuros f | null lp = f | otherwise = eliminaLiteralesPuros (eliminaLiteralPuro (head lp) f) where lp = literalesPuros f -- --------------------------------------------------------------------- -- § Bifurcación -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- bifurcacion :: FNC -> Literal -> (FNC,FNC) -- tal que (bifurcacion f l) es la bifurcación de f según el literal -- l. Por ejemplo, -- λ> bifurcacion [[1,-2],[-1,2],[2,-3],[-2,-3]] 1 -- ([[-2],[2,-3],[-2,-3]],[[2],[2,-3],[-2,-3]]) -- --------------------------------------------------------------------- bifurcacion :: FNC -> Literal -> (FNC,FNC) bifurcacion f l = ([delete l c | c <- f, elem l c] ++ cláusulas_sin_l_ni_l', [delete l' c | c <- f, elem l' c] ++ cláusulas_sin_l_ni_l') where l' = complementario l cláusulas_sin_l_ni_l' = [c | c <- f, notElem l c, notElem l' c] -- --------------------------------------------------------------------- -- § Algoritmo de Davis y Putnam (DP) -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- tieneClausulasUnitarias :: FNC -> Bool -- tal que (tieneClausulasUnitarias f) se verifica si f tiene cláusulas -- unitarias. Por ejemplo, -- tieneClausulasUnitarias [[1,2],[1],[-2]] == True -- tieneClausulasUnitarias [[1,2],[1,-2]] == False -- --------------------------------------------------------------------- tieneClausulasUnitarias :: FNC -> Bool tieneClausulasUnitarias f = clausulaUnitaria f /= Nothing -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- tieneLiteralesPuros :: FNC -> Bool -- tal que (tieneLiteralesPuros f) se verifica si f tiene literales -- puros. Por ejemplo, -- tieneLiteralesPuros [[1,2],[1,-2],[3,2],[3,-2]] == True -- tieneLiteralesPuros [[1,2],[-1,-2],[-3,2],[3,-2]] == False -- --------------------------------------------------------------------- tieneLiteralesPuros :: FNC -> Bool tieneLiteralesPuros f = not (null (literalesPuros f)) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- esInsatisfaciblePorDP :: FNC -> Bool -- tal que (esInsatisfaciblePorDP f) se verifica si f es insatisfacible -- mediante el algoritmo de Davis y Putnam. Por ejemplo, -- esInsatisfaciblePorDP [[1,2],[1,2,-1]] == False -- esInsatisfaciblePorDP [[1,2,-3],[1,-2],[-1],[3],[5]] == True -- esInsatisfaciblePorDP [[1,2],[-2],[-1,2,-3]] == False -- esInsatisfaciblePorDP [[-1,2],[1],[3,5]] == False -- esInsatisfaciblePorDP [[1,2],[1,-2],[3,2],[3,-2]] == False -- esInsatisfaciblePorDP [[1,2],[3,-4],[-3,4]] == False -- --------------------------------------------------------------------- esInsatisfaciblePorDP :: FNC -> Bool esInsatisfaciblePorDP f = esInsatisfaciblePorDP' (eliminaTautologias f) esInsatisfaciblePorDP' :: FNC -> Bool esInsatisfaciblePorDP' f | null f = False | elem [] f = True | tieneClausulasUnitarias f = esInsatisfaciblePorDP' (eliminaClausulasUnitarias f) | tieneLiteralesPuros f = esInsatisfaciblePorDP' (eliminaLiteralesPuros f) | otherwise = (esInsatisfaciblePorDP' s1) && (esInsatisfaciblePorDP' s2) where l = head (head f) (s1,s2) = bifurcacion f l -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Definir la función -- esSatisfaciblePorDP :: FNC -> Bool -- tal que (esSatisfaciblePorDP f) se verifica si f es satisfacible -- mediante el algoritmo de Davis y Putnam. Por ejemplo, -- esSatisfaciblePorDP [[1,2],[1,2,-1]] == True -- esSatisfaciblePorDP [[1,2,-3],[1,-2],[-1],[3],[5]] == False -- --------------------------------------------------------------------- esSatisfaciblePorDP :: FNC -> Bool esSatisfaciblePorDP = not . esInsatisfaciblePorDP -- --------------------------------------------------------------------- -- § Corrección del algoritmo de Davis y Putnam -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio. Comprobar con QuickCheck que el algoritmo De Davis y -- Putnam es correcto; es decir, para toda fórmula f, f es -- insatisfacible según el algoritmo de Davis y Putnam si,y solo si, f -- es insatisfacible. -- --------------------------------------------------------------------- prop_CorreccionDP :: FNC -> Bool prop_CorreccionDP f = esInsatisfaciblePorDP f == esInsatisfacible f -- La comprobación es -- λ> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=10}) prop_CorreccionDP -- +++ OK, passed 100 tests. |
Resumen de lecturas compartidas durante enero de 2020
Esta entrada es una recopilación de lecturas compartidas, durante enero de 2020, en Twitter fundamentalmente sobre programación funcional y demostración asistida por ordenador.
Las lecturas están ordenadas según su fecha de publicación en Twitter.
Al final de cada artículo se encuentran etiquetas relativas a los sistemas que usa o a su contenido.
Una recopilación de todas las lecturas compartidas se encuentra en GitHub.
Read More “Resumen de lecturas compartidas durante enero de 2020”
Reseña: A formalised polynomial-time reduction from 3SAT to Clique
Se ha publicado un artículo de razonamiento formalizado en Coq sobre SAT titulado A formalised polynomial-time reduction from 3SAT to Clique.
Sus autor es Lennard Gäher del Programming Systems Lab en la Universidad del Sarre (en inglés, Saarland University y en alemán Universität des Saarlandes) en Saarbrücken, Alemania.
Su resumen es
We present a formalisation of the well-known problems SAT and Clique from computational complexity theory. From there, a polynomial-time reduction from 3SAT, a variant of SAT where every clause has exactyly three literals, is developed and verified. All the results are constructively formalised in the proof assistant Coq, including the polynomial running time bounds. The machine model we use is the weak call-by-value lambda calculus.
El trabajo forma parte de su Bachelor’s Thesis y está dirigido por Fabian Kunze.