Vestigium

Negación del universal en Lean: Caracterización de funciones no pares

PorJosé A. Alonso 23 enero 2021

He añadido a la lista DAO (Demostración Asistida por Ordenador) con Lean el vídeo en el que se comentan 6 pruebas en Lean de la propiedad

¬par f ↔ ∃ x, f (-x) ≠ f x

usando los estilos declarativo, aplicativo y automático.

A continuación, se muestra el vídeo

y el código de la teoría utilizada

import data.real.basic

variable (f : ℝ → ℝ)

-- ----------------------------------------------------
-- Ejercicio 1. Definir la función
--    par : (ℝ → ℝ) → Prop
-- tal que (par f) expresa que f es par.
-- ----------------------------------------------------

def par : (ℝ → ℝ) → Prop
| f := ∀ x, f (-x) = f x

-- ----------------------------------------------------
-- Ejercicio 2. Demostrar que
--    ¬par f ↔ ∃ x, f (-x) ≠ f x
-- ----------------------------------------------------

-- 1ª demostración
example : ¬par f ↔ ∃ x, f (-x) ≠ f x :=
begin
  split,
  { contrapose,
    intro h1,
    rw not_not,
    unfold par,
    intro x,
    by_contradiction h2,
    apply h1,
    use x, },
  { intro h1,
    intro h2,
    unfold par at h2,
    cases h1 with x hx,
    apply hx,
    exact h2 x, },
end

-- 2ª demostración
example : ¬par f ↔ ∃ x, f (-x) ≠ f x :=
begin
  split,
  { contrapose,
    intro h1,
    rw not_not,
    intro x,
    by_contradiction h2,
    apply h1,
    use x, },
  { rintros ⟨x, hx⟩ h',
    exact hx (h' x) },
end

-- 3ª demostración
example : ¬par f ↔ ∃ x, f (-x) ≠ f x :=
begin
  unfold par,
  push_neg,
end

-- 4ª demostración
example : ¬par f ↔ ∃ x, f (-x) ≠ f x :=
iff.intro
  ( have h1 : ¬(∃ x, f (-x) ≠ f x) → ¬¬par f,
      { assume h2 : ¬(∃ x, f (-x) ≠ f x),
        have h3 : par f,
          { assume x,
            have h4 : ¬(f (-x) ≠ f x),
              { assume h5 : f (-x) ≠ f x,
                have h6 : ∃ x, f (-x) ≠ f x,
                  from exists.intro x h5,
                show false,
                  from h2 h6, },
            show f (-x) = f x,
              from not_not.mp h4},
        show ¬¬par f,
          from not_not.mpr h3 },
    show ¬par f → (∃ x, f (-x) ≠ f x),
      from not_imp_not.mp h1)
  ( assume h1 : ∃ x, f (-x) ≠ f x,
    show ¬par f,
      { assume h2 : par f,
        show false, from
          exists.elim h1
            ( assume x,
              assume hx : f (-x) ≠ f x,
              have h3 : f (-x) = f x,
                from h2 x,
              show false,
                from hx h3)})

-- 5ª demostración
example : ¬par f ↔ ∃ x, f (-x) ≠ f x :=
-- by suggest
not_forall

-- 6ª demostración
example : ¬par f ↔ ∃ x, f (-x) ≠ f x :=
-- by hint
by simp [par]

100

import data.real.basic

variable (f : ℝ → ℝ)

-- ----------------------------------------------------

-- Ejercicio 1. Definir la función

-- par : (ℝ → ℝ) → Prop

-- tal que (par f) expresa que f es par.

-- ----------------------------------------------------

def par : (ℝ → ℝ) → Prop

| f := ∀ x, f (-x) = f x

-- ----------------------------------------------------

-- Ejercicio 2. Demostrar que

-- ¬par f ↔ ∃ x, f (-x) ≠ f x

-- ----------------------------------------------------

-- 1ª demostración

example : ¬par f ↔ ∃ x, f (-x) ≠ f x :=

begin

split,

{ contrapose,

intro h1,

rw not_not,

unfold par,

intro x,

by_contradiction h2,

apply h1,

use x, },

{ intro h1,

intro h2,

unfold par at h2,

cases h1 with x hx,

apply hx,

exact h2 x, },

end

-- 2ª demostración

example : ¬par f ↔ ∃ x, f (-x) ≠ f x :=

begin

split,

{ contrapose,

intro h1,

rw not_not,

intro x,

by_contradiction h2,

apply h1,

use x, },

{ rintros ⟨x, hx⟩ h',

exact hx (h' x) },

end

-- 3ª demostración

example : ¬par f ↔ ∃ x, f (-x) ≠ f x :=

begin

unfold par,

push_neg,

end

-- 4ª demostración

example : ¬par f ↔ ∃ x, f (-x) ≠ f x :=

iff.intro

( have h1 : ¬(∃ x, f (-x) ≠ f x) → ¬¬par f,

{ assume h2 : ¬(∃ x, f (-x) ≠ f x),

have h3 : par f,

{ assume x,

have h4 : ¬(f (-x) ≠ f x),

{ assume h5 : f (-x) ≠ f x,

have h6 : ∃ x, f (-x) ≠ f x,

from exists.intro x h5,

show false,

from h2 h6, },

show f (-x) = f x,

from not_not.mp h4},

show ¬¬par f,

from not_not.mpr h3 },

show ¬par f → (∃ x, f (-x) ≠ f x),

from not_imp_not.mp h1)

( assume h1 : ∃ x, f (-x) ≠ f x,

show ¬par f,

{ assume h2 : par f,

show false, from

exists.elim h1

( assume x,

assume hx : f (-x) ≠ f x,

have h3 : f (-x) = f x,

from h2 x,

show false,

from hx h3)})

-- 5ª demostración

example : ¬par f ↔ ∃ x, f (-x) ≠ f x :=

-- by suggest

not_forall

-- 6ª demostración

example : ¬par f ↔ ∃ x, f (-x) ≠ f x :=

-- by hint

by simp [par]

Negación del existencial en Lean: Caracterización de números no pares

PorJosé A. Alonso 22 enero 2021

He añadido a la lista DAO (Demostración Asistida por Ordenador) con Lean el vídeo en el que se comentan 15 pruebas en Lean de la propiedad

¬(∃ k, n = 2k) ↔ ∀ k, n ≠ 2k

usando los estilos declarativo, aplicativo y funcional.

A continuación, se muestra el vídeo

y el código de la teoría utilizada

import tactic

variable (n : ℤ)

-- ----------------------------------------------------
-- Ejercicio. Demostrar que si n es un número entero,
-- entonces
--    ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k
-- ----------------------------------------------------

-- 1ª demostración
example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=
begin
  split,
  { intro h,
    intro k,
    intro hk,
    apply h,
    use k,
    exact hk, },
  { intro h1,
    intro h2,
    cases h2 with k hk,
    apply h1 k,
    exact hk, },
end

-- 2ª demostración
example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=
begin
  split,
  { intros h k hk,
    exact h ⟨k, hk⟩ },
  { rintros h ⟨k, rfl⟩,
    apply h k,
    refl, },
end

-- 3ª demostración
example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=
begin
  split,
  { intros h k hk,
    exact h ⟨k, hk⟩ },
  { rintros h ⟨k, rfl⟩,
    exact h k rfl },
end

-- 4ª demostración
example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=
begin
  push_neg,
end

-- 5ª demostración
example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=
by push_neg

-- 6ª demostración
example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=
iff.intro
  ( assume h1 : ¬(∃ k, n = 2*k),
    show ∀ k, n ≠ 2*k, from
      assume k,
      show n ≠ 2*k, from
        assume h2 : n = 2*k,
        have h3 : ∃ k, n = 2*k,
          from exists.intro k h2,
        show false,
          from h1 h3)
  ( assume h1 : ∀ k, n ≠ 2*k,
    show ¬(∃ k, n = 2*k), from
      assume h2 : ∃ k, n = 2*k,
      show false, from
        exists.elim h2
          ( assume k,
            assume hk : n = 2*k,
            have h3 : n ≠ 2*k,
              from h1 k,
            show false,
              from h3 hk))

-- 7ª demostración
example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=
iff.intro
  ( assume h1 : ¬(∃ k, n = 2*k),
    show ∀ k, n ≠ 2*k, from
      assume k,
      show n ≠ 2*k, from
        assume h2 : n = 2*k,
        have h3 : ∃ k, n = 2*k,
          from exists.intro k h2,
        h1 h3)
  ( assume h1 : ∀ k, n ≠ 2*k,
    show ¬(∃ k, n = 2*k), from
      assume h2 : ∃ k, n = 2*k,
      show false, from
        exists.elim h2
          ( assume k,
            assume hk : n = 2*k,
            have h3 : n ≠ 2*k,
              from h1 k,
            h3 hk))

-- 8ª demostración
example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=
iff.intro
  ( assume h1 : ¬(∃ k, n = 2*k),
    show ∀ k, n ≠ 2*k, from
      assume k,
      show n ≠ 2*k, from
        assume h2 : n = 2*k,
        h1 (exists.intro k h2))
  ( assume h1 : ∀ k, n ≠ 2*k,
    show ¬(∃ k, n = 2*k), from
      assume h2 : ∃ k, n = 2*k,
      show false, from
        exists.elim h2
          ( assume k,
            assume hk : n = 2*k,
            (h1 k) hk))

-- 9ª demostración
example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=
iff.intro
  ( assume h1 : ¬(∃ k, n = 2*k),
    show ∀ k, n ≠ 2*k, from
      assume k,
      λ h2, h1 (exists.intro k h2))
  ( assume h1 : ∀ k, n ≠ 2*k,
    show ¬(∃ k, n = 2*k), from
      assume h2 : ∃ k, n = 2*k,
      show false, from
        exists.elim h2
          (λ k hk, (h1 k) hk))

-- 10ª demostración
example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=
iff.intro
  ( assume h1 : ¬(∃ k, n = 2*k),
    λ k, λ h2, h1 (exists.intro k h2))
  ( assume h1 : ∀ k, n ≠ 2*k,
    show ¬(∃ k, n = 2*k), from
      assume h2 : ∃ k, n = 2*k,
      exists.elim h2 (λ k hk, (h1 k) hk))

-- 11ª demostración
example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=
iff.intro
  (λ h1 k h2, h1 (exists.intro k h2))
  (λ h1 h2, exists.elim h2 (λ k hk, (h1 k) hk))

-- 12ª demostración
example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=
⟨λ h1 k h2, h1 ⟨k, h2⟩,
 λ h1 h2, exists.elim h2 (λ k hk, (h1 k) hk)⟩

-- 13ª demostración
example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=
-- by hint
by simp

-- 14ª demostración
example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=
by finish

-- 15ª demostración
example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=
by norm_num

100

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164

165

166

167

168

169

import tactic

variable (n : ℤ)

-- ----------------------------------------------------

-- Ejercicio. Demostrar que si n es un número entero,

-- entonces

-- ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k

-- ----------------------------------------------------

-- 1ª demostración

example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=

begin

split,

{ intro h,

intro k,

intro hk,

apply h,

use k,

exact hk, },

{ intro h1,

intro h2,

cases h2 with k hk,

apply h1 k,

exact hk, },

end

-- 2ª demostración

example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=

begin

split,

{ intros h k hk,

exact h ⟨k, hk⟩ },

{ rintros h ⟨k, rfl⟩,

apply h k,

refl, },

end

-- 3ª demostración

example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=

begin

split,

{ intros h k hk,

exact h ⟨k, hk⟩ },

{ rintros h ⟨k, rfl⟩,

exact h k rfl },

end

-- 4ª demostración

example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=

begin

push_neg,

end

-- 5ª demostración

example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=

by push_neg

-- 6ª demostración

example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=

iff.intro

( assume h1 : ¬(∃ k, n = 2*k),

show ∀ k, n ≠ 2*k, from

assume k,

show n ≠ 2*k, from

assume h2 : n = 2*k,

have h3 : ∃ k, n = 2*k,

from exists.intro k h2,

show false,

from h1 h3)

( assume h1 : ∀ k, n ≠ 2*k,

show ¬(∃ k, n = 2*k), from

assume h2 : ∃ k, n = 2*k,

show false, from

exists.elim h2

( assume k,

assume hk : n = 2*k,

have h3 : n ≠ 2*k,

from h1 k,

show false,

from h3 hk))

-- 7ª demostración

example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=

iff.intro

( assume h1 : ¬(∃ k, n = 2*k),

show ∀ k, n ≠ 2*k, from

assume k,

show n ≠ 2*k, from

assume h2 : n = 2*k,

have h3 : ∃ k, n = 2*k,

from exists.intro k h2,

h1 h3)

( assume h1 : ∀ k, n ≠ 2*k,

show ¬(∃ k, n = 2*k), from

assume h2 : ∃ k, n = 2*k,

show false, from

exists.elim h2

( assume k,

assume hk : n = 2*k,

have h3 : n ≠ 2*k,

from h1 k,

h3 hk))

-- 8ª demostración

example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=

iff.intro

( assume h1 : ¬(∃ k, n = 2*k),

show ∀ k, n ≠ 2*k, from

assume k,

show n ≠ 2*k, from

assume h2 : n = 2*k,

h1 (exists.intro k h2))

( assume h1 : ∀ k, n ≠ 2*k,

show ¬(∃ k, n = 2*k), from

assume h2 : ∃ k, n = 2*k,

show false, from

exists.elim h2

( assume k,

assume hk : n = 2*k,

(h1 k) hk))

-- 9ª demostración

example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=

iff.intro

( assume h1 : ¬(∃ k, n = 2*k),

show ∀ k, n ≠ 2*k, from

assume k,

λ h2, h1 (exists.intro k h2))

( assume h1 : ∀ k, n ≠ 2*k,

show ¬(∃ k, n = 2*k), from

assume h2 : ∃ k, n = 2*k,

show false, from

exists.elim h2

(λ k hk, (h1 k) hk))

-- 10ª demostración

example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=

iff.intro

( assume h1 : ¬(∃ k, n = 2*k),

λ k, λ h2, h1 (exists.intro k h2))

( assume h1 : ∀ k, n ≠ 2*k,

show ¬(∃ k, n = 2*k), from

assume h2 : ∃ k, n = 2*k,

exists.elim h2 (λ k hk, (h1 k) hk))

-- 11ª demostración

example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=

iff.intro

(λ h1 k h2, h1 (exists.intro k h2))

(λ h1 h2, exists.elim h2 (λ k hk, (h1 k) hk))

-- 12ª demostración

example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=

⟨λ h1 k h2, h1 ⟨k, h2⟩,

λ h1 h2, exists.elim h2 (λ k hk, (h1 k) hk)⟩

-- 13ª demostración

example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=

-- by hint

by simp

-- 14ª demostración

example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=

by finish

-- 15ª demostración

example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=

by norm_num

Pruebas en Lean de la ley de De Morgan: ¬(P ∧ Q) ↔ ¬P ∨ ¬Q

PorJosé A. Alonso 21 enero 2021

He añadido a la lista DAO (Demostración Asistida por Ordenador) con Lean el vídeo en el que se comentan 12 pruebas en Lean de la ley de De Morgan:

¬(P ∧ Q) ↔ ¬P ∨ ¬Q

usando los estilos declarativo, aplicativo y funcional.

A continuación, se muestra el vídeo

y el código de la teoría utilizada

import tactic
variables (P Q : Prop)

-- ----------------------------------------------------
-- Ejercicio. Demostrar que
--    ¬(P ∧ Q) ↔ ¬P ∨ ¬Q
-- ----------------------------------------------------

-- 1ª demostración
example : ¬(P ∧ Q) ↔ ¬P ∨ ¬Q :=
begin
  split,
  { intro h,
    by_cases hP : P,
    { right,
      intro hQ,
      apply h,
      split,
      { exact hP, },
      { exact hQ, }},
    { left,
      exact hP, }},
  { intros h h',
    cases h' with hP hQ,
    cases h with hnP hnQ,
    { exact hnP hP, },
    { exact hnQ hQ, }},
end

-- 2ª demostración
example : ¬(P ∧ Q) ↔ ¬P ∨ ¬Q :=
begin
  split,
  { intro h,
    by_cases hP : P,
    { right,
      intro hQ,
      exact h ⟨hP, hQ⟩, },
    { left,
      exact hP, }},
  { rintros (hnP | hnQ) ⟨hP, hQ⟩,
    { exact hnP hP, },
    { exact hnQ hQ, }},
end

-- 3ª demostración
example : ¬(P ∧ Q) ↔ ¬P ∨ ¬Q :=
iff.intro
  ( assume h : ¬(P ∧ Q),
    show ¬P ∨ ¬Q, from
      or.elim (classical.em P)
        ( assume hP : P,
          have hnQ : ¬Q,
            { assume hQ : Q,
              have hPQ: P ∧ Q,
                from and.intro hP hQ,
              show false,
                from h hPQ },
          show ¬P ∨ ¬Q,
            from or.inr hnQ)
        ( assume hnP : ¬P,
          show ¬P ∨ ¬Q,
            from or.inl hnP))
  ( assume h: ¬P ∨ ¬Q,
    show ¬(P ∧ Q), from
      assume hPQ : P ∧ Q,
      show false, from
        or.elim h
          ( assume hnP: ¬P,
            show false,
              from hnP (and.left hPQ))
          ( assume hnQ: ¬Q,
            show false,
              from hnQ (and.right hPQ)))

-- 4ª demostración
example : ¬(P ∧ Q) ↔ ¬P ∨ ¬Q :=
iff.intro
  ( assume h : ¬(P ∧ Q),
    show ¬P ∨ ¬Q, from
      or.elim (classical.em P)
        ( assume hP : P,
          have hnQ : ¬Q,
            { assume hQ : Q,
              have hPQ: P ∧ Q,
                from and.intro hP hQ,
              show false,
                from h hPQ },
          show ¬P ∨ ¬Q,
            from or.inr hnQ)
        or.inl)
  ( assume h: ¬P ∨ ¬Q,
    show ¬(P ∧ Q), from
      assume hPQ : P ∧ Q,
      show false, from
        or.elim h
          ( assume hnP: ¬P,
            show false,
              from hnP (and.left hPQ))
          (λ hnQ, hnQ (and.right hPQ)))

-- 5ª demostración
example : ¬(P ∧ Q) ↔ ¬P ∨ ¬Q :=
iff.intro
  ( assume h : ¬(P ∧ Q),
    show ¬P ∨ ¬Q, from
      or.elim (classical.em P)
        ( assume hP : P,
          have hnQ : ¬Q,
            { assume hQ : Q,
              have hPQ: P ∧ Q,
                from and.intro hP hQ,
              show false,
                from h hPQ },
          or.inr hnQ)
        or.inl)
  ( assume h: ¬P ∨ ¬Q,
    show ¬(P ∧ Q), from
      assume hPQ : P ∧ Q,
      show false, from
        or.elim h
          (λ hnP, hnP (and.left hPQ))
          (λ hnQ, hnQ (and.right hPQ)))

-- 6ª demostración
example : ¬(P ∧ Q) ↔ ¬P ∨ ¬Q :=
iff.intro
  ( assume h : ¬(P ∧ Q),
    show ¬P ∨ ¬Q, from
      or.elim (classical.em P)
        ( assume hP : P,
          have hnQ : ¬Q,
            { assume hQ : Q,
              show false,
                from h (and.intro hP hQ) },
          or.inr hnQ)
        or.inl)
  ( assume h: ¬P ∨ ¬Q,
    show ¬(P ∧ Q), from
      λ hPQ, or.elim h (λ hnP, hnP (and.left hPQ))
                       (λ hnQ, hnQ (and.right hPQ)))

-- 7ª demostración
example : ¬(P ∧ Q) ↔ ¬P ∨ ¬Q :=
iff.intro
  ( assume h : ¬(P ∧ Q),
    show ¬P ∨ ¬Q, from
      or.elim (classical.em P)
        ( assume hP : P,
          or.inr (λ hQ, h (and.intro hP hQ)))
        or.inl)
  ( λ h hPQ, or.elim h (λ hnP, hnP (and.left hPQ))
                       (λ hnQ, hnQ (and.right hPQ)))

-- 8ª demostración
example : ¬(P ∧ Q) ↔ ¬P ∨ ¬Q :=
iff.intro
  ( assume h : ¬(P ∧ Q),
    show ¬P ∨ ¬Q, from
      or.elim (classical.em P)
        (λ hP, or.inr (λ hQ, h (and.intro hP hQ)))
        or.inl)
  ( λ h hPQ, or.elim h (λ hnP, hnP (and.left hPQ))
                       (λ hnQ, hnQ (and.right hPQ)))

-- 9ª demostración
example : ¬(P ∧ Q) ↔ ¬P ∨ ¬Q :=
iff.intro
  (λ h, or.elim (classical.em P)
          (λ hP, or.inr (λ hQ, h (and.intro hP hQ)))
          or.inl)
  (λ h hPQ, or.elim h
              (λ hnP, hnP (and.left hPQ))
              (λ hnQ, hnQ (and.right hPQ)))

-- 10ª demostración
example : ¬(P ∧ Q) ↔ ¬P ∨ ¬Q :=
⟨λ h, or.elim (classical.em P) (λ hP, or.inr (λ hQ, h ⟨hP, hQ⟩)) or.inl,
 λ h hPQ, or.elim h (λ hnP, hnP hPQ.1) (λ hnQ, hnQ hPQ.2)⟩

-- 11ª demostración
example : ¬(P ∧ Q) ↔ ¬P ∨ ¬Q :=
-- by library_search
not_and_distrib

-- 12ª demostración
example : ¬(P ∧ Q) ↔ ¬P ∨ ¬Q :=
-- by hint
by finish

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import tactic

variables (P Q : Prop)

-- ----------------------------------------------------

-- Ejercicio. Demostrar que

-- ¬(P ∧ Q) ↔ ¬P ∨ ¬Q

-- ----------------------------------------------------

-- 1ª demostración

example : ¬(P ∧ Q) ↔ ¬P ∨ ¬Q :=

begin

split,

{ intro h,

by_cases hP : P,

{ right,

intro hQ,

apply h,

split,

{ exact hP, },

{ exact hQ, }},

{ left,

exact hP, }},

{ intros h h',

cases h' with hP hQ,

cases h with hnP hnQ,

{ exact hnP hP, },

{ exact hnQ hQ, }},

end

-- 2ª demostración

example : ¬(P ∧ Q) ↔ ¬P ∨ ¬Q :=

begin

split,

{ intro h,

by_cases hP : P,

{ right,

intro hQ,

exact h ⟨hP, hQ⟩, },

{ left,

exact hP, }},

{ rintros (hnP | hnQ) ⟨hP, hQ⟩,

{ exact hnP hP, },

{ exact hnQ hQ, }},

end

-- 3ª demostración

example : ¬(P ∧ Q) ↔ ¬P ∨ ¬Q :=

iff.intro

( assume h : ¬(P ∧ Q),

show ¬P ∨ ¬Q, from

or.elim (classical.em P)

( assume hP : P,

have hnQ : ¬Q,

{ assume hQ : Q,

have hPQ: P ∧ Q,

from and.intro hP hQ,

show false,

from h hPQ },

show ¬P ∨ ¬Q,

from or.inr hnQ)

( assume hnP : ¬P,

show ¬P ∨ ¬Q,

from or.inl hnP))

( assume h: ¬P ∨ ¬Q,

show ¬(P ∧ Q), from

assume hPQ : P ∧ Q,

show false, from

or.elim h

( assume hnP: ¬P,

show false,

from hnP (and.left hPQ))

( assume hnQ: ¬Q,

show false,

from hnQ (and.right hPQ)))

-- 4ª demostración

example : ¬(P ∧ Q) ↔ ¬P ∨ ¬Q :=

iff.intro

( assume h : ¬(P ∧ Q),

show ¬P ∨ ¬Q, from

or.elim (classical.em P)

( assume hP : P,

have hnQ : ¬Q,

{ assume hQ : Q,

have hPQ: P ∧ Q,

from and.intro hP hQ,

show false,

from h hPQ },

show ¬P ∨ ¬Q,

from or.inr hnQ)

or.inl)

( assume h: ¬P ∨ ¬Q,

show ¬(P ∧ Q), from

assume hPQ : P ∧ Q,

show false, from

or.elim h

( assume hnP: ¬P,

show false,

from hnP (and.left hPQ))

(λ hnQ, hnQ (and.right hPQ)))

-- 5ª demostración

example : ¬(P ∧ Q) ↔ ¬P ∨ ¬Q :=

iff.intro

( assume h : ¬(P ∧ Q),

show ¬P ∨ ¬Q, from

or.elim (classical.em P)

( assume hP : P,

have hnQ : ¬Q,

{ assume hQ : Q,

have hPQ: P ∧ Q,

from and.intro hP hQ,

show false,

from h hPQ },

or.inr hnQ)

or.inl)

( assume h: ¬P ∨ ¬Q,

show ¬(P ∧ Q), from

assume hPQ : P ∧ Q,

show false, from

or.elim h

(λ hnP, hnP (and.left hPQ))

(λ hnQ, hnQ (and.right hPQ)))

-- 6ª demostración

example : ¬(P ∧ Q) ↔ ¬P ∨ ¬Q :=

iff.intro

( assume h : ¬(P ∧ Q),

show ¬P ∨ ¬Q, from

or.elim (classical.em P)

( assume hP : P,

have hnQ : ¬Q,

{ assume hQ : Q,

show false,

from h (and.intro hP hQ) },

or.inr hnQ)

or.inl)

( assume h: ¬P ∨ ¬Q,

show ¬(P ∧ Q), from

λ hPQ, or.elim h (λ hnP, hnP (and.left hPQ))

(λ hnQ, hnQ (and.right hPQ)))

-- 7ª demostración

example : ¬(P ∧ Q) ↔ ¬P ∨ ¬Q :=

iff.intro

( assume h : ¬(P ∧ Q),

show ¬P ∨ ¬Q, from

or.elim (classical.em P)

( assume hP : P,

or.inr (λ hQ, h (and.intro hP hQ)))

or.inl)

( λ h hPQ, or.elim h (λ hnP, hnP (and.left hPQ))

(λ hnQ, hnQ (and.right hPQ)))

-- 8ª demostración

example : ¬(P ∧ Q) ↔ ¬P ∨ ¬Q :=

iff.intro

( assume h : ¬(P ∧ Q),

show ¬P ∨ ¬Q, from

or.elim (classical.em P)

(λ hP, or.inr (λ hQ, h (and.intro hP hQ)))

or.inl)

( λ h hPQ, or.elim h (λ hnP, hnP (and.left hPQ))

(λ hnQ, hnQ (and.right hPQ)))

-- 9ª demostración

example : ¬(P ∧ Q) ↔ ¬P ∨ ¬Q :=

iff.intro

(λ h, or.elim (classical.em P)

(λ hP, or.inr (λ hQ, h (and.intro hP hQ)))

or.inl)

(λ h hPQ, or.elim h

(λ hnP, hnP (and.left hPQ))

(λ hnQ, hnQ (and.right hPQ)))

-- 10ª demostración

example : ¬(P ∧ Q) ↔ ¬P ∨ ¬Q :=

⟨λ h, or.elim (classical.em P) (λ hP, or.inr (λ hQ, h ⟨hP, hQ⟩)) or.inl,

λ h hPQ, or.elim h (λ hnP, hnP hPQ.1) (λ hnQ, hnQ hPQ.2)⟩

-- 11ª demostración

example : ¬(P ∧ Q) ↔ ¬P ∨ ¬Q :=

-- by library_search

not_and_distrib

-- 12ª demostración

example : ¬(P ∧ Q) ↔ ¬P ∨ ¬Q :=

-- by hint

by finish

Pruebas en Lean de “Un número es par si, y sólo si, lo es su cuadrado”

PorJosé A. Alonso 20 enero 2021

He añadido a la lista DAO (Demostración Asistida por Ordenador) con Lean el vídeo en el que se comentan 3 pruebas en Lean de la propiedad

Un número es par si, y sólo si, lo es su cuadrado-

usando los estilos declarativo, aplicativo y funcional.

A continuación, se muestra el vídeo

y el código de la teoría utilizada

import data.int.parity
open int

variable (n : ℤ)

-- ----------------------------------------------------
-- Ejercicio. Demostrar que un número es par syss lo es
-- su cuadrado.
-- ----------------------------------------------------

-- 1ª demostración
example :
  even (n^2) ↔ even n :=
begin
  split,
  { contrapose,
    rw ← odd_iff_not_even,
    rw ← odd_iff_not_even,
    unfold odd,
    intro h,
    cases h with k hk,
    use 2*k*(k+1),
    rw hk,
    ring, },
  { unfold even,
    intro h,
    cases h with k hk,
    use 2*k^2,
    rw hk,
    ring, },
end

-- 2ª demostración
example :
  even (n^2) ↔ even n :=
begin
  split,
  { contrapose,
    rw ← odd_iff_not_even,
    rw ← odd_iff_not_even,
    rintro ⟨k, rfl⟩,
    use 2*k*(k+1),
    ring, },
  { rintro ⟨k, rfl⟩,
    use 2*k^2,
    ring, },
end

-- 3ª demostración
example :
  even (n^2) ↔ even n :=
iff.intro
  ( have h : ¬even n → ¬even (n^2),
      { assume h1 : ¬even n,
        have h2 : odd n,
          from odd_iff_not_even.mpr h1,
        have h3: odd (n^2), from
          exists.elim h2
            ( assume k,
              assume hk : n = 2*k+1,
              have h4 : n^2 = 2*(2*k*(k+1))+1, from
                calc  n^2
                    = (2*k+1)^2       : by rw hk
                ... = 4*k^2+4*k+1     : by ring
                ... = 2*(2*k*(k+1))+1 : by ring,
              show odd (n^2),
                from exists.intro (2*k*(k+1)) h4),
        show ¬even (n^2),
          from odd_iff_not_even.mp h3 },
    show even (n^2) → even n,
      from not_imp_not.mp h )
  ( assume h1 : even n,
    show even (n^2), from
      exists.elim h1
        ( assume k,
          assume hk : n = 2*k ,
          have h2 : n^2 = 2*(2*k^2), from
            calc  n^2
                = (2*k)^2   : by rw hk
            ... = 2*(2*k^2) : by ring,
          show even (n^2),
            from exists.intro (2*k^2) h2 ))

import data.int.parity

open int

variable (n : ℤ)

-- ----------------------------------------------------

-- Ejercicio. Demostrar que un número es par syss lo es

-- su cuadrado.

-- ----------------------------------------------------

-- 1ª demostración

example :

even (n^2) ↔ even n :=

begin

split,

{ contrapose,

rw ← odd_iff_not_even,

unfold odd,

intro h,

cases h with k hk,

use 2*k*(k+1),

rw hk,

ring, },

{ unfold even,

intro h,

cases h with k hk,

use 2*k^2,

rw hk,

ring, },

end

-- 2ª demostración

example :

even (n^2) ↔ even n :=

begin

split,

{ contrapose,

rw ← odd_iff_not_even,

rintro ⟨k, rfl⟩,

use 2*k*(k+1),

ring, },

{ rintro ⟨k, rfl⟩,

use 2*k^2,

ring, },

end

-- 3ª demostración

example :

even (n^2) ↔ even n :=

iff.intro

( have h : ¬even n → ¬even (n^2),

{ assume h1 : ¬even n,

have h2 : odd n,

from odd_iff_not_even.mpr h1,

have h3: odd (n^2), from

exists.elim h2

( assume k,

assume hk : n = 2*k+1,

have h4 : n^2 = 2*(2*k*(k+1))+1, from

calc n^2

= (2*k+1)^2 : by rw hk

... = 4*k^2+4*k+1 : by ring

... = 2*(2*k*(k+1))+1 : by ring,

show odd (n^2),

from exists.intro (2*k*(k+1)) h4),

show ¬even (n^2),

from odd_iff_not_even.mp h3 },

show even (n^2) → even n,

from not_imp_not.mp h )

( assume h1 : even n,

show even (n^2), from

exists.elim h1

( assume k,

assume hk : n = 2*k ,

have h2 : n^2 = 2*(2*k^2), from

calc n^2

= (2*k)^2 : by rw hk

... = 2*(2*k^2) : by ring,

show even (n^2),

from exists.intro (2*k^2) h2 ))

Pruebas en Lean de “La relación menor es irreflexiva en los reales”

PorJosé A. Alonso 18 enero 2021

He añadido a la lista DAO (Demostración Asistida por Ordenador) con Lean el vídeo en el que se comentan 16 pruebas en Lean de la propiedad

La relación menor es irreflexiva en los reales

usando los estilos declarativo, funcional, aplicativo y automático.

A continuación, se muestra el vídeo

y el código de la teoría utilizada

import data.real.basic
import tactic

variable {x : ℝ}

-- ----------------------------------------------------
-- Ejercicio. Demostrar que la relación menor es
-- irreflexiva en los reales.
-- ----------------------------------------------------

-- 1ª demostración
example : ¬ x < x :=
begin
  intro h1,
  rw lt_iff_le_and_ne at h1,
  cases h1 with h2 h3,
  -- clear h2,
  -- change x = x → false at h3,
  apply h3,
  refl,
end

-- 2ª demostración
example : ¬ x < x :=
begin
  intro h1,
  rw lt_iff_le_and_ne at h1,
  cases h1 with h2 h3,
  apply h3,
  refl,
end

-- 3ª demostración
example : ¬ x < x :=
begin
  intro h1,
  cases (lt_iff_le_and_ne.mp h1) with h2 h3,
  apply h3,
  refl,
end

-- 4ª demostración
example : ¬ x < x :=
begin
  intro h1,
  apply (lt_iff_le_and_ne.mp h1).2,
  refl,
end

-- 5ª demostración
example : ¬ x < x :=
begin
  intro h1,
  exact absurd rfl (lt_iff_le_and_ne.mp h1).2,
end

-- 6ª demostración
example : ¬ x < x :=
λ h, absurd rfl (lt_iff_le_and_ne.mp h).2

-- 7ª demostración
example : ¬ x < x :=
assume h1 : x < x,
have h2 : x ≤ x ∧ x ≠ x,
  from lt_iff_le_and_ne.mp h1,
have h3 : x ≠ x,
  from and.right h2,
have h4 : x = x,
  from rfl,
show false,
  from absurd h4 h3

-- 8ª demostración
example : ¬ x < x :=
assume h1 : x < x,
have h2 : x ≤ x ∧ x ≠ x,
  from lt_iff_le_and_ne.mp h1,
absurd rfl (and.right h2)

-- 9ª demostración
example : ¬ x < x :=
assume h1 : x < x,
absurd rfl (and.right (lt_iff_le_and_ne.mp h1))

-- 10ª demostración
example : ¬ x < x :=
assume h1 : x < x,
absurd rfl (lt_iff_le_and_ne.mp h1).2

-- 11ª demostración
example : ¬ x < x :=
λ h, absurd rfl (lt_iff_le_and_ne.mp h).2

-- 12ª demostración
example : ¬ x < x :=
-- by library_search
irrefl x

-- 12ª demostración
example : ¬ x < x :=
-- by hint
by simp

-- 13ª demostración
example : ¬ x < x :=
by finish

-- 14ª demostración
example : ¬ x < x :=
by norm_num

-- 15ª demostración
example : ¬ x < x :=
by linarith

-- 16ª demostración
example : ¬ x < x :=
by nlinarith

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import data.real.basic

import tactic

variable {x : ℝ}

-- ----------------------------------------------------

-- Ejercicio. Demostrar que la relación menor es

-- irreflexiva en los reales.

-- ----------------------------------------------------

-- 1ª demostración

example : ¬ x < x :=

begin

intro h1,

rw lt_iff_le_and_ne at h1,

cases h1 with h2 h3,

-- clear h2,

-- change x = x → false at h3,

apply h3,

refl,

end

-- 2ª demostración

example : ¬ x < x :=

begin

intro h1,

rw lt_iff_le_and_ne at h1,

cases h1 with h2 h3,

apply h3,

refl,

end

-- 3ª demostración

example : ¬ x < x :=

begin

intro h1,

cases (lt_iff_le_and_ne.mp h1) with h2 h3,

apply h3,

refl,

end

-- 4ª demostración

example : ¬ x < x :=

begin

intro h1,

apply (lt_iff_le_and_ne.mp h1).2,

refl,

end

-- 5ª demostración

example : ¬ x < x :=

begin

intro h1,

exact absurd rfl (lt_iff_le_and_ne.mp h1).2,

end

-- 6ª demostración

example : ¬ x < x :=

λ h, absurd rfl (lt_iff_le_and_ne.mp h).2

-- 7ª demostración

example : ¬ x < x :=

assume h1 : x < x,

have h2 : x ≤ x ∧ x ≠ x,

from lt_iff_le_and_ne.mp h1,

have h3 : x ≠ x,

from and.right h2,

have h4 : x = x,

from rfl,

show false,

from absurd h4 h3

-- 8ª demostración

example : ¬ x < x :=

assume h1 : x < x,

have h2 : x ≤ x ∧ x ≠ x,

from lt_iff_le_and_ne.mp h1,

absurd rfl (and.right h2)

-- 9ª demostración

example : ¬ x < x :=

assume h1 : x < x,

absurd rfl (and.right (lt_iff_le_and_ne.mp h1))

-- 10ª demostración

example : ¬ x < x :=

assume h1 : x < x,

absurd rfl (lt_iff_le_and_ne.mp h1).2

-- 11ª demostración

example : ¬ x < x :=

λ h, absurd rfl (lt_iff_le_and_ne.mp h).2

-- 12ª demostración

example : ¬ x < x :=

-- by library_search

irrefl x

-- 12ª demostración

example : ¬ x < x :=

-- by hint

by simp

-- 13ª demostración

example : ¬ x < x :=

by finish

-- 14ª demostración

example : ¬ x < x :=

by norm_num

-- 15ª demostración

example : ¬ x < x :=

by linarith

-- 16ª demostración

example : ¬ x < x :=

by nlinarith