Vestigium

Resumen de lecturas compartidas durante febrero de 2021

PorJosé A. Alonso 1 marzo 202130 agosto 2021

Esta entrada es una recopilación de lecturas compartidas, durante febrero de 2021, en Twitter fundamentalmente sobre programación funcional y demostración asistida por ordenador.

Las lecturas están ordenadas según su fecha de publicación en Twitter.

Al final de cada artículo se encuentran etiquetas relativas a los sistemas que usa o a su contenido.

Una recopilación de todas las lecturas compartidas se encuentra en GitHub.
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Resumen de lecturas compartidas durante enero de 2021

PorJosé A. Alonso 1 febrero 202130 agosto 2021

Esta entrada es una recopilación de lecturas compartidas, durante enero de 2021, en Twitter fundamentalmente sobre programación funcional y demostración asistida por ordenador.

Las lecturas están ordenadas según su fecha de publicación en Twitter.

Al final de cada artículo se encuentran etiquetas relativas a los sistemas que usa o a su contenido.

Una recopilación de todas las lecturas compartidas se encuentra en GitHub.
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Pruebas en Lean de “La función identidad no está acotada superiormente”

PorJosé A. Alonso 27 enero 20212 marzo 2021

He añadido a la lista DAO (Demostración Asistida por Ordenador) con Lean el vídeo en el que se comentan 11 pruebas en Lean de la propiedad

La función identidad no está acotada superiormente

usando los estilos aplicativo, declarativo, y funcional.

A continuación, se muestra el vídeo

y el código de la teoría utilizada

import data.real.basic

-- ----------------------------------------------------
-- Ejercicio 1. Definir la función
--    acotada_superiormente : (ℝ → ℝ) → Prop
-- tal que (acotada_superiormente f) expresa que la
-- función f está acotada superiormente.
-- ----------------------------------------------------

def acotada_superiormente : (ℝ → ℝ) → Prop
| f := ∃ M, ∀ x, f x ≤ M

-- ----------------------------------------------------
-- Ejercicio 2. Demostrar que la función identidad no
-- está acotada superiormente.
-- ----------------------------------------------------

-- 1ª demostración
example : ¬acotada_superiormente id :=
begin
  unfold acotada_superiormente,
  unfold id,
  by_contradiction h,
  cases h with M hM,
  specialize hM (M+1),
  contrapose hM,
  simp only [not_le],
  exact lt_add_one M,
end

-- 2ª demostración
example : ¬acotada_superiormente id :=
begin
  unfold acotada_superiormente id,
  push_neg,
  intro M,
  use M + 1,
  linarith,
end

-- 3ª demostración
example : ¬acotada_superiormente id :=
begin
  unfold acotada_superiormente id,
  push_neg,
  exact no_top,
end

-- 4ª demostración
example : ¬acotada_superiormente id :=
assume h1 : acotada_superiormente id,
have h2 : ∃ M, ∀ x, id x ≤ M,
  from h1,
show false, from
  exists.elim h2
    ( assume M,
      assume hM : ∀ x, id x ≤ M,
      have h3 : M + 1 ≤ M,
        from hM (M+1),
      have h4 : ¬(M < M + 1),
        from not_lt.mpr h3,
      have h5 : M < M + 1,
        from lt_add_one M,
      show false,
        from h4 h5)

-- 5ª demostración
example : ¬acotada_superiormente id :=
assume h1 : acotada_superiormente id,
have h2 : ∃ M, ∀ x, id x ≤ M,
  from h1,
show false, from
  exists.elim h2
    ( assume M,
      assume hM : ∀ x, id x ≤ M,
      have h3 : M + 1 ≤ M,
        from hM (M+1),
      have h4 : ¬(M < M + 1),
        from not_lt.mpr h3,
      have h5 : M < M + 1,
        from lt_add_one M,
      h4 h5)

-- 6ª demostración
example : ¬acotada_superiormente id :=
assume h1 : acotada_superiormente id,
have h2 : ∃ M, ∀ x, id x ≤ M,
  from h1,
show false, from
  exists.elim h2
    ( assume M,
      assume hM : ∀ x, id x ≤ M,
      have h3 : M + 1 ≤ M,
        from hM (M+1),
      (not_lt.mpr h3) (lt_add_one M))

-- 7ª demostración
example : ¬acotada_superiormente id :=
assume h1 : acotada_superiormente id,
have h2 : ∃ M, ∀ x, id x ≤ M,
  from h1,
show false, from
  exists.elim h2
    ( assume M,
      assume hM : ∀ x, id x ≤ M,
      (not_lt.mpr (hM (M+1))) (lt_add_one M))

-- 8ª demostración
example : ¬acotada_superiormente id :=
assume h1 : acotada_superiormente id,
have h2 : ∃ M, ∀ x, id x ≤ M,
  from h1,
show false, from
  exists.elim h2
    (λ M hM, (not_lt.mpr (hM (M+1))) (lt_add_one M))

-- 9ª demostración
example : ¬acotada_superiormente id :=
assume h1 : acotada_superiormente id,
have h2 : ∃ M, ∀ x, id x ≤ M,
  from h1,
exists.elim h2
  (λ M hM, (not_lt.mpr (hM (M+1))) (lt_add_one M))

-- 10ª demostración
example : ¬acotada_superiormente id :=
assume h1 : acotada_superiormente id,
exists.elim h1
  (λ M hM, (not_lt.mpr (hM (M+1))) (lt_add_one M))

-- 11ª demostración
example : ¬acotada_superiormente id :=
λ h1, exists.elim h1 (λ M hM, (not_lt.mpr (hM (M+1))) (lt_add_one M))

100

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import data.real.basic

-- ----------------------------------------------------

-- Ejercicio 1. Definir la función

-- acotada_superiormente : (ℝ → ℝ) → Prop

-- tal que (acotada_superiormente f) expresa que la

-- función f está acotada superiormente.

-- ----------------------------------------------------

def acotada_superiormente : (ℝ → ℝ) → Prop

| f := ∃ M, ∀ x, f x ≤ M

-- ----------------------------------------------------

-- Ejercicio 2. Demostrar que la función identidad no

-- está acotada superiormente.

-- ----------------------------------------------------

-- 1ª demostración

example : ¬acotada_superiormente id :=

begin

unfold acotada_superiormente,

unfold id,

by_contradiction h,

cases h with M hM,

specialize hM (M+1),

contrapose hM,

simp only [not_le],

exact lt_add_one M,

end

-- 2ª demostración

example : ¬acotada_superiormente id :=

begin

unfold acotada_superiormente id,

push_neg,

intro M,

use M + 1,

linarith,

end

-- 3ª demostración

example : ¬acotada_superiormente id :=

begin

unfold acotada_superiormente id,

push_neg,

exact no_top,

end

-- 4ª demostración

example : ¬acotada_superiormente id :=

assume h1 : acotada_superiormente id,

have h2 : ∃ M, ∀ x, id x ≤ M,

from h1,

show false, from

exists.elim h2

( assume M,

assume hM : ∀ x, id x ≤ M,

have h3 : M + 1 ≤ M,

from hM (M+1),

have h4 : ¬(M < M + 1),

from not_lt.mpr h3,

have h5 : M < M + 1,

from lt_add_one M,

show false,

from h4 h5)

-- 5ª demostración

example : ¬acotada_superiormente id :=

assume h1 : acotada_superiormente id,

have h2 : ∃ M, ∀ x, id x ≤ M,

from h1,

show false, from

exists.elim h2

( assume M,

assume hM : ∀ x, id x ≤ M,

have h3 : M + 1 ≤ M,

from hM (M+1),

have h4 : ¬(M < M + 1),

from not_lt.mpr h3,

have h5 : M < M + 1,

from lt_add_one M,

h4 h5)

-- 6ª demostración

example : ¬acotada_superiormente id :=

assume h1 : acotada_superiormente id,

have h2 : ∃ M, ∀ x, id x ≤ M,

from h1,

show false, from

exists.elim h2

( assume M,

assume hM : ∀ x, id x ≤ M,

have h3 : M + 1 ≤ M,

from hM (M+1),

(not_lt.mpr h3) (lt_add_one M))

-- 7ª demostración

example : ¬acotada_superiormente id :=

assume h1 : acotada_superiormente id,

have h2 : ∃ M, ∀ x, id x ≤ M,

from h1,

show false, from

exists.elim h2

( assume M,

assume hM : ∀ x, id x ≤ M,

(not_lt.mpr (hM (M+1))) (lt_add_one M))

-- 8ª demostración

example : ¬acotada_superiormente id :=

assume h1 : acotada_superiormente id,

have h2 : ∃ M, ∀ x, id x ≤ M,

from h1,

show false, from

exists.elim h2

(λ M hM, (not_lt.mpr (hM (M+1))) (lt_add_one M))

-- 9ª demostración

example : ¬acotada_superiormente id :=

assume h1 : acotada_superiormente id,

have h2 : ∃ M, ∀ x, id x ≤ M,

from h1,

exists.elim h2

(λ M hM, (not_lt.mpr (hM (M+1))) (lt_add_one M))

-- 10ª demostración

example : ¬acotada_superiormente id :=

assume h1 : acotada_superiormente id,

exists.elim h1

(λ M hM, (not_lt.mpr (hM (M+1))) (lt_add_one M))

-- 11ª demostración

example : ¬acotada_superiormente id :=

λ h1, exists.elim h1 (λ M hM, (not_lt.mpr (hM (M+1))) (lt_add_one M))

Negación del universal en Lean: Caracterización de funciones no pares

PorJosé A. Alonso 23 enero 2021

He añadido a la lista DAO (Demostración Asistida por Ordenador) con Lean el vídeo en el que se comentan 6 pruebas en Lean de la propiedad

¬par f ↔ ∃ x, f (-x) ≠ f x

usando los estilos declarativo, aplicativo y automático.

A continuación, se muestra el vídeo

y el código de la teoría utilizada

import data.real.basic

variable (f : ℝ → ℝ)

-- ----------------------------------------------------
-- Ejercicio 1. Definir la función
--    par : (ℝ → ℝ) → Prop
-- tal que (par f) expresa que f es par.
-- ----------------------------------------------------

def par : (ℝ → ℝ) → Prop
| f := ∀ x, f (-x) = f x

-- ----------------------------------------------------
-- Ejercicio 2. Demostrar que
--    ¬par f ↔ ∃ x, f (-x) ≠ f x
-- ----------------------------------------------------

-- 1ª demostración
example : ¬par f ↔ ∃ x, f (-x) ≠ f x :=
begin
  split,
  { contrapose,
    intro h1,
    rw not_not,
    unfold par,
    intro x,
    by_contradiction h2,
    apply h1,
    use x, },
  { intro h1,
    intro h2,
    unfold par at h2,
    cases h1 with x hx,
    apply hx,
    exact h2 x, },
end

-- 2ª demostración
example : ¬par f ↔ ∃ x, f (-x) ≠ f x :=
begin
  split,
  { contrapose,
    intro h1,
    rw not_not,
    intro x,
    by_contradiction h2,
    apply h1,
    use x, },
  { rintros ⟨x, hx⟩ h',
    exact hx (h' x) },
end

-- 3ª demostración
example : ¬par f ↔ ∃ x, f (-x) ≠ f x :=
begin
  unfold par,
  push_neg,
end

-- 4ª demostración
example : ¬par f ↔ ∃ x, f (-x) ≠ f x :=
iff.intro
  ( have h1 : ¬(∃ x, f (-x) ≠ f x) → ¬¬par f,
      { assume h2 : ¬(∃ x, f (-x) ≠ f x),
        have h3 : par f,
          { assume x,
            have h4 : ¬(f (-x) ≠ f x),
              { assume h5 : f (-x) ≠ f x,
                have h6 : ∃ x, f (-x) ≠ f x,
                  from exists.intro x h5,
                show false,
                  from h2 h6, },
            show f (-x) = f x,
              from not_not.mp h4},
        show ¬¬par f,
          from not_not.mpr h3 },
    show ¬par f → (∃ x, f (-x) ≠ f x),
      from not_imp_not.mp h1)
  ( assume h1 : ∃ x, f (-x) ≠ f x,
    show ¬par f,
      { assume h2 : par f,
        show false, from
          exists.elim h1
            ( assume x,
              assume hx : f (-x) ≠ f x,
              have h3 : f (-x) = f x,
                from h2 x,
              show false,
                from hx h3)})

-- 5ª demostración
example : ¬par f ↔ ∃ x, f (-x) ≠ f x :=
-- by suggest
not_forall

-- 6ª demostración
example : ¬par f ↔ ∃ x, f (-x) ≠ f x :=
-- by hint
by simp [par]

100

import data.real.basic

variable (f : ℝ → ℝ)

-- ----------------------------------------------------

-- Ejercicio 1. Definir la función

-- par : (ℝ → ℝ) → Prop

-- tal que (par f) expresa que f es par.

-- ----------------------------------------------------

def par : (ℝ → ℝ) → Prop

| f := ∀ x, f (-x) = f x

-- ----------------------------------------------------

-- Ejercicio 2. Demostrar que

-- ¬par f ↔ ∃ x, f (-x) ≠ f x

-- ----------------------------------------------------

-- 1ª demostración

example : ¬par f ↔ ∃ x, f (-x) ≠ f x :=

begin

split,

{ contrapose,

intro h1,

rw not_not,

unfold par,

intro x,

by_contradiction h2,

apply h1,

use x, },

{ intro h1,

intro h2,

unfold par at h2,

cases h1 with x hx,

apply hx,

exact h2 x, },

end

-- 2ª demostración

example : ¬par f ↔ ∃ x, f (-x) ≠ f x :=

begin

split,

{ contrapose,

intro h1,

rw not_not,

intro x,

by_contradiction h2,

apply h1,

use x, },

{ rintros ⟨x, hx⟩ h',

exact hx (h' x) },

end

-- 3ª demostración

example : ¬par f ↔ ∃ x, f (-x) ≠ f x :=

begin

unfold par,

push_neg,

end

-- 4ª demostración

example : ¬par f ↔ ∃ x, f (-x) ≠ f x :=

iff.intro

( have h1 : ¬(∃ x, f (-x) ≠ f x) → ¬¬par f,

{ assume h2 : ¬(∃ x, f (-x) ≠ f x),

have h3 : par f,

{ assume x,

have h4 : ¬(f (-x) ≠ f x),

{ assume h5 : f (-x) ≠ f x,

have h6 : ∃ x, f (-x) ≠ f x,

from exists.intro x h5,

show false,

from h2 h6, },

show f (-x) = f x,

from not_not.mp h4},

show ¬¬par f,

from not_not.mpr h3 },

show ¬par f → (∃ x, f (-x) ≠ f x),

from not_imp_not.mp h1)

( assume h1 : ∃ x, f (-x) ≠ f x,

show ¬par f,

{ assume h2 : par f,

show false, from

exists.elim h1

( assume x,

assume hx : f (-x) ≠ f x,

have h3 : f (-x) = f x,

from h2 x,

show false,

from hx h3)})

-- 5ª demostración

example : ¬par f ↔ ∃ x, f (-x) ≠ f x :=

-- by suggest

not_forall

-- 6ª demostración

example : ¬par f ↔ ∃ x, f (-x) ≠ f x :=

-- by hint

by simp [par]

Negación del existencial en Lean: Caracterización de números no pares

PorJosé A. Alonso 22 enero 2021

He añadido a la lista DAO (Demostración Asistida por Ordenador) con Lean el vídeo en el que se comentan 15 pruebas en Lean de la propiedad

¬(∃ k, n = 2k) ↔ ∀ k, n ≠ 2k

usando los estilos declarativo, aplicativo y funcional.

A continuación, se muestra el vídeo

y el código de la teoría utilizada

import tactic

variable (n : ℤ)

-- ----------------------------------------------------
-- Ejercicio. Demostrar que si n es un número entero,
-- entonces
--    ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k
-- ----------------------------------------------------

-- 1ª demostración
example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=
begin
  split,
  { intro h,
    intro k,
    intro hk,
    apply h,
    use k,
    exact hk, },
  { intro h1,
    intro h2,
    cases h2 with k hk,
    apply h1 k,
    exact hk, },
end

-- 2ª demostración
example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=
begin
  split,
  { intros h k hk,
    exact h ⟨k, hk⟩ },
  { rintros h ⟨k, rfl⟩,
    apply h k,
    refl, },
end

-- 3ª demostración
example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=
begin
  split,
  { intros h k hk,
    exact h ⟨k, hk⟩ },
  { rintros h ⟨k, rfl⟩,
    exact h k rfl },
end

-- 4ª demostración
example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=
begin
  push_neg,
end

-- 5ª demostración
example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=
by push_neg

-- 6ª demostración
example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=
iff.intro
  ( assume h1 : ¬(∃ k, n = 2*k),
    show ∀ k, n ≠ 2*k, from
      assume k,
      show n ≠ 2*k, from
        assume h2 : n = 2*k,
        have h3 : ∃ k, n = 2*k,
          from exists.intro k h2,
        show false,
          from h1 h3)
  ( assume h1 : ∀ k, n ≠ 2*k,
    show ¬(∃ k, n = 2*k), from
      assume h2 : ∃ k, n = 2*k,
      show false, from
        exists.elim h2
          ( assume k,
            assume hk : n = 2*k,
            have h3 : n ≠ 2*k,
              from h1 k,
            show false,
              from h3 hk))

-- 7ª demostración
example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=
iff.intro
  ( assume h1 : ¬(∃ k, n = 2*k),
    show ∀ k, n ≠ 2*k, from
      assume k,
      show n ≠ 2*k, from
        assume h2 : n = 2*k,
        have h3 : ∃ k, n = 2*k,
          from exists.intro k h2,
        h1 h3)
  ( assume h1 : ∀ k, n ≠ 2*k,
    show ¬(∃ k, n = 2*k), from
      assume h2 : ∃ k, n = 2*k,
      show false, from
        exists.elim h2
          ( assume k,
            assume hk : n = 2*k,
            have h3 : n ≠ 2*k,
              from h1 k,
            h3 hk))

-- 8ª demostración
example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=
iff.intro
  ( assume h1 : ¬(∃ k, n = 2*k),
    show ∀ k, n ≠ 2*k, from
      assume k,
      show n ≠ 2*k, from
        assume h2 : n = 2*k,
        h1 (exists.intro k h2))
  ( assume h1 : ∀ k, n ≠ 2*k,
    show ¬(∃ k, n = 2*k), from
      assume h2 : ∃ k, n = 2*k,
      show false, from
        exists.elim h2
          ( assume k,
            assume hk : n = 2*k,
            (h1 k) hk))

-- 9ª demostración
example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=
iff.intro
  ( assume h1 : ¬(∃ k, n = 2*k),
    show ∀ k, n ≠ 2*k, from
      assume k,
      λ h2, h1 (exists.intro k h2))
  ( assume h1 : ∀ k, n ≠ 2*k,
    show ¬(∃ k, n = 2*k), from
      assume h2 : ∃ k, n = 2*k,
      show false, from
        exists.elim h2
          (λ k hk, (h1 k) hk))

-- 10ª demostración
example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=
iff.intro
  ( assume h1 : ¬(∃ k, n = 2*k),
    λ k, λ h2, h1 (exists.intro k h2))
  ( assume h1 : ∀ k, n ≠ 2*k,
    show ¬(∃ k, n = 2*k), from
      assume h2 : ∃ k, n = 2*k,
      exists.elim h2 (λ k hk, (h1 k) hk))

-- 11ª demostración
example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=
iff.intro
  (λ h1 k h2, h1 (exists.intro k h2))
  (λ h1 h2, exists.elim h2 (λ k hk, (h1 k) hk))

-- 12ª demostración
example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=
⟨λ h1 k h2, h1 ⟨k, h2⟩,
 λ h1 h2, exists.elim h2 (λ k hk, (h1 k) hk)⟩

-- 13ª demostración
example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=
-- by hint
by simp

-- 14ª demostración
example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=
by finish

-- 15ª demostración
example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=
by norm_num

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169

import tactic

variable (n : ℤ)

-- ----------------------------------------------------

-- Ejercicio. Demostrar que si n es un número entero,

-- entonces

-- ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k

-- ----------------------------------------------------

-- 1ª demostración

example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=

begin

split,

{ intro h,

intro k,

intro hk,

apply h,

use k,

exact hk, },

{ intro h1,

intro h2,

cases h2 with k hk,

apply h1 k,

exact hk, },

end

-- 2ª demostración

example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=

begin

split,

{ intros h k hk,

exact h ⟨k, hk⟩ },

{ rintros h ⟨k, rfl⟩,

apply h k,

refl, },

end

-- 3ª demostración

example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=

begin

split,

{ intros h k hk,

exact h ⟨k, hk⟩ },

{ rintros h ⟨k, rfl⟩,

exact h k rfl },

end

-- 4ª demostración

example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=

begin

push_neg,

end

-- 5ª demostración

example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=

by push_neg

-- 6ª demostración

example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=

iff.intro

( assume h1 : ¬(∃ k, n = 2*k),

show ∀ k, n ≠ 2*k, from

assume k,

show n ≠ 2*k, from

assume h2 : n = 2*k,

have h3 : ∃ k, n = 2*k,

from exists.intro k h2,

show false,

from h1 h3)

( assume h1 : ∀ k, n ≠ 2*k,

show ¬(∃ k, n = 2*k), from

assume h2 : ∃ k, n = 2*k,

show false, from

exists.elim h2

( assume k,

assume hk : n = 2*k,

have h3 : n ≠ 2*k,

from h1 k,

show false,

from h3 hk))

-- 7ª demostración

example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=

iff.intro

( assume h1 : ¬(∃ k, n = 2*k),

show ∀ k, n ≠ 2*k, from

assume k,

show n ≠ 2*k, from

assume h2 : n = 2*k,

have h3 : ∃ k, n = 2*k,

from exists.intro k h2,

h1 h3)

( assume h1 : ∀ k, n ≠ 2*k,

show ¬(∃ k, n = 2*k), from

assume h2 : ∃ k, n = 2*k,

show false, from

exists.elim h2

( assume k,

assume hk : n = 2*k,

have h3 : n ≠ 2*k,

from h1 k,

h3 hk))

-- 8ª demostración

example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=

iff.intro

( assume h1 : ¬(∃ k, n = 2*k),

show ∀ k, n ≠ 2*k, from

assume k,

show n ≠ 2*k, from

assume h2 : n = 2*k,

h1 (exists.intro k h2))

( assume h1 : ∀ k, n ≠ 2*k,

show ¬(∃ k, n = 2*k), from

assume h2 : ∃ k, n = 2*k,

show false, from

exists.elim h2

( assume k,

assume hk : n = 2*k,

(h1 k) hk))

-- 9ª demostración

example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=

iff.intro

( assume h1 : ¬(∃ k, n = 2*k),

show ∀ k, n ≠ 2*k, from

assume k,

λ h2, h1 (exists.intro k h2))

( assume h1 : ∀ k, n ≠ 2*k,

show ¬(∃ k, n = 2*k), from

assume h2 : ∃ k, n = 2*k,

show false, from

exists.elim h2

(λ k hk, (h1 k) hk))

-- 10ª demostración

example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=

iff.intro

( assume h1 : ¬(∃ k, n = 2*k),

λ k, λ h2, h1 (exists.intro k h2))

( assume h1 : ∀ k, n ≠ 2*k,

show ¬(∃ k, n = 2*k), from

assume h2 : ∃ k, n = 2*k,

exists.elim h2 (λ k hk, (h1 k) hk))

-- 11ª demostración

example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=

iff.intro

(λ h1 k h2, h1 (exists.intro k h2))

(λ h1 h2, exists.elim h2 (λ k hk, (h1 k) hk))

-- 12ª demostración

example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=

⟨λ h1 k h2, h1 ⟨k, h2⟩,

λ h1 h2, exists.elim h2 (λ k hk, (h1 k) hk)⟩

-- 13ª demostración

example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=

-- by hint

by simp

-- 14ª demostración

example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=

by finish

-- 15ª demostración

example : ¬(∃ k, n = 2*k) ↔ ∀ k, n ≠ 2*k :=

by norm_num