Los números de Ulam en Haskell

Los números de Ulam son los elementos de la sucesión u(n) definida por u(1) = 1, u(2) = 2 y, para n > 2, u(n) es el entero más pequeño que se puede escribir exactamente de una forma como suma de dos términos anteriores diferentes entre sí.

Según la definición, 3=1+2 es un número de Ulam y 4=1+3 también es un número de Ulam (la suma 4=2+2 no cuenta porque los términos previos deben ser distintos). El entero 5 no es un número de Ulam porque 5=1+4=2+3.

Los primeros términos de la sucUlam son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 13, 16, 18, 26, 28, 36, 38, 47, 48, 53, 57, 62, 69, 72, 77, 82, 87, 97, 99.

Esta sucesión fue definida por el matemático polaco Stanislaw Ulam y
publicada en SIAM Review en 1964.

A partir de los artículos de la Wikipedia y de MathWorld sobre los números de Ulam elaborado la siguiente relación de ejercicios de Haskell para la asignatura de Informática de 1º del Grado en Matemáticas.

En la relación se presentan cuatro definiciones de los números de Ulam, se compara su eficiencia, se muestra algunas de sus propiedades terminando con los números de Ulam generalizados.

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-- Librerías auxiliares
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import Graphics.Gnuplot.Simple

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-- Ejercicios
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-- Ejercicio 1. Definir la función
--    sumas :: Integer -> [Integer] -> [(Integer,Integer)]
-- tal que (sumas x ys) es la lista de pares de elementos de
-- la lista ordenada ys cuya suma es x. Por ejemplo,
--    sumas 3  [1,2]           ==  [(1,2)]
--    sumas 4  [1,2,3]         ==  [(1,3)]
--    sumas 5  [1,2,3,4]       ==  [(1,4),(2,3)]
--    sumas 6  [1,2,3,4]       ==  [(2,4)]
--    sumas 7  [1,2,3,4,6]     ==  [(1,6),(3,4)]
--    sumas 8  [1,2,3,4,6]     ==  [(2,6)]
--    sumas 9  [1,2,3,4,6,8]   ==  [(1,8),(3,6)]
--    sumas 10 [1,2,3,4,6,8]   ==  [(2,8),(4,6)]
--    sumas 11 [1,2,3,4,6,8]   ==  [(3,8)]
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sumas :: Integer -> [Integer] -> [(Integer,Integer)]
sumas x ys = [(a,x-a) | a <- zs, (x-a) `elem` dropWhile (<=a) zs]
    where zs = takeWhile (<x) ys

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-- Ejercicio 2. Definir la función
--    ulam :: Int -> Integer
-- tal que (ulam n) es el n-ésimo número de Ulam. Por ejemplo,
--    ghci> [ulam n | n <- [1..20]]
--    [1,2,3,4,6,8,11,13,16,18,26,28,36,38,47,48,53,57,62,69]
-- ---------------------------------------------------------------------

ulam :: Int -> Integer
ulam 1 = 1
ulam 2 = 2
ulam n = head [x | x <- [u+1..], length (sumas x us) == 1]
    where us = [ulam i | i <- [1..n-1]]
          u  = last us

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-- Ejercicio 3. Definir, usando la función ulam, la constante
--    sucUlam :: [Integer]
-- cuyos elementos son los números de Ulman. Por ejemplo,
--    ghci> take 20 sucUlam
--    [1,2,3,4,6,8,11,13,16,18,26,28,36,38,47,48,53,57,62,69]
-- ---------------------------------------------------------------------

sucUlam :: [Integer]
sucUlam = [ulam n | n <- [1..]]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4. Definir, sin usar la función ulam, la constante
--    sucUlam2 :: [Integer]
-- cuyos elementos son los números de Ulman. Por ejemplo,
--    ghci> take 20 sucUlam2
--    [1,2,3,4,6,8,11,13,16,18,26,28,36,38,47,48,53,57,62,69]
-- ---------------------------------------------------------------------

sucUlam2 :: [Integer]
sucUlam2 = 1 : 2 : aux 2 2 where 
    aux n u = u' : aux (n+1) u' where 
       u' = head [x | x <- [u+1..], 
                      length (sumas x (take n sucUlam2)) == 1]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5. Definir la función
--    ulam2 :: Int -> Integer
-- tal que (ulam4 n) es el n-ésimo número de Ulam. Por ejemplo,
--    ulam2 20  ==  69
-- ---------------------------------------------------------------------

ulam2 :: Int -> Integer
ulam2 n = sucUlam2 !! (n-1)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6. Comparar la eficiencia de ulam y ulam2 calculando
-- el 20-ésimo número de Ulam.
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La comparación es
--    ghci> :set +s
--    ghci> ulam 20
--    69
--    (3.43 secs, 247050284 bytes)
--    ghci> ulam2 20
--    69
--    (0.01 secs, 0 bytes)
-- 
-- Se observa que sucUlam2 es más eficiente que sucUlam.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7. Definir la función
--    nSumas :: Integer -> [Integer] -> Int
-- tal que (nSumas x ys) es el número de expresar x como suma de un par
-- de elementos distintos de la sucesión creciente ys. Por ejemplo, 
--    nSumas 11 [2,4,5,6,7,9,11,12]  ==  3
-- ---------------------------------------------------------------------

nSumas :: Integer -> [Integer] -> Int
nSumas _ [] = 0
nSumas x (y:ys) | x-y <= y        = 0
                | (x-y) `elem` ys = 1 + nSumas x ys
                | otherwise       = nSumas x ys

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8. Definir, usando la función nSumas, la constante
--    sucUlam3 :: [Integer]
-- cuyos elementos son los números de Ulman. Por ejemplo,
--    ghci> take 20 sucUlam3
--    [1,2,3,4,6,8,11,13,16,18,26,28,36,38,47,48,53,57,62,69]
-- ---------------------------------------------------------------------

sucUlam3 :: [Integer]
sucUlam3 = 1 : 2 : aux 2 2 where 
    aux n u = u' : aux (n+1) u' where
       u' = head [x | x <- [u+1..], 
                      nSumas x (take n sucUlam3) == 1]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9. Definir la función
--    ulam3 :: Int -> Integer
-- tal que (ulam4 n) es el n-ésimo número de Ulam. Por ejemplo,
--    ulam3 20  ==  69
-- ---------------------------------------------------------------------

ulam3 :: Int -> Integer
ulam3 n = sucUlam3 !! (n-1)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10. Comparar la eficiencia de ulam2 y ulam3 calculando
-- el 200-ésimo número de Ulam.
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La comprobación es
--    ghci> ulam2 200
--    1792
--    (3.48 secs, 35527792 bytes)
--    ghci> ulam3 200
--    1792
--    (0.54 secs, 27636396 bytes)
-- 
-- Se observa que sucUlam3 es más eficiente que sucUlam2.

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-- Ejercicio 11. Definir la función
--    expresable :: Int -> Integer -> [Integer] -> Bool
-- tal que (expresable n x ys) se verifica si x se puede escribir como
-- suma de pares de elementos de la sucesión creciente ys exactamente de
-- n formas. Por ejemplo,
--    expresable 1 3 [1,2]      ==  True
--    expresable 1 5 [1,2,3,4]  ==  False
--    expresable 2 5 [1,2,3,4]  ==  True
-- ---------------------------------------------------------------------

expresable :: Int -> Integer -> [Integer] -> Bool
expresable 0 _ []                       = True
expresable 0 x (y:ys) | x-y <= y        = True 
                      | (x-y) `elem` ys = False
                      | otherwise       = expresable 0 x ys
expresable _ x []                       = False
expresable n x (y:ys) | x-y <= y        = False
                      | (x-y) `elem` ys = expresable (n-1) x ys
                      | otherwise       = expresable n x ys

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-- Ejercicio 12. Definir, usando la función expresable, la constante
--    sucUlam4 :: [Integer]
-- cuyos elementos son los números de Ulman. Por ejemplo,
--    ghci> take 20 sucUlam4
--    [1,2,3,4,6,8,11,13,16,18,26,28,36,38,47,48,53,57,62,69]
-- ---------------------------------------------------------------------

sucUlam4 :: [Integer]
sucUlam4 = 1 : 2 : aux 2 2  
    where aux n u = u' : aux (n+1) u' 
              where u' = head [x | x <- [1+u..], 
                                   expresable 1 x (take n sucUlam4)]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13. Definir la función
--    ulam4 :: Int -> Integer
-- tal que (ulam4 n) es el n-ésimo número de Ulam. Por ejemplo,
--    ulam4 20  ==  69
-- ---------------------------------------------------------------------

ulam4 :: Int -> Integer
ulam4 n = sucUlam4 !! (n-1)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 14. Comparar la eficiencia de ulam3 y ulam4 calculando el
-- 500-ésimo número de Ulam.
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La comprobación es
--    ghci> ulam3 500
--    5685
--    (6.33 secs, 202163168 bytes)
--    ghci> ulam4 500
--    5685
--    (2.42 secs, 104099404 bytes)
-- 
-- Se observa que sucUlam4 es más eficiente que sucUlam3.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 15. Definir la función
--    dibujoSucUlam :: Int -> IO ()
-- tal que (dibujoSucUlam n) representa los n primeros términos de la
-- sucesión de Ulam. Por ejemplo, el dibujo de los 10 y 1000 primeros
-- términos se presenta en las figuras 1 y 2, respectivamente, en el
-- final de la relación
-- ---------------------------------------------------------------------

dibujoSucUlam :: Int -> IO ()
dibujoSucUlam n = 
    plotList [Title (show n ++ " primeros numeros de Ulam"),
              PNG ("Fig_dibujoSucUlam_" ++ show n ++ ".png"),
              YLabel "Ulam(n)", 
              Key Nothing] 
             (take n sucUlam4) 


-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 16. Definir la función
--    dibujoSucUlamAproxLin :: Int -> Int -> Int -> IO ()
-- tal que (dibujoSucUlamAproxLin a b n) dibuja los n primeros términos
-- de la sucesión de Ulam y las rectas y=a*x e y=b*x.
--
-- Encontrar dos pendientes a y b tales que la sucesión de
-- Ulam tienda a estar entre las rectas y=a*x e y=b*x
-- ---------------------------------------------------------------------

dibujoSucUlamAproxLin :: Int -> Int -> Int -> IO ()
dibujoSucUlamAproxLin a b n = 
    plotFuncs [Title ("Aproximacion lineal de numeros de Ulam"),
               PNG ("Fig_Aproximacion_lineal_Ulam.png"),
               YLabel "Ulam(n)", 
               Key Nothing]
              [1..n] 
              [fromIntegral . ulam4,
               \x -> a*x,
               \x -> b*x]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 17. La densidad de un conjunto de números naturales A es el
-- límite de a(n)/n, donde a(n) es el número de elementos de A menores o
-- iguales que n.
-- 
-- Definir la función 
--    densidadU :: Integer -> Double
-- tal que (densidadU n) es a(n)/n, donde a(n) es la cantidad de números
-- de Ulam menores o iguales que n. Por ejemplo,
--    densidad 100  ==  0.26
-- Calcular (densidad 30000).
-- ---------------------------------------------------------------------
 
densidadU :: Integer -> Double
densidadU n = 
    (fromIntegral (length (takeWhile (<=n) sucUlam4))) / (fromIntegral n)

-- El cálculo es
--    ghci> densidad 30000
--    7.796666666666667e-2

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 18. Definir la función
--    dibujoDensidadU :: Integer -> Integer -> IO ()
-- tal que (dibujoDensidadU a b) es la densidad de los términos de la
-- sucesión de Ulman entre los lugares a y b. Por ejemplo, 
-- (dibujoDensidadU 1 3000) genera la figura 4.
-- ---------------------------------------------------------------------

dibujoDensidadU :: Integer -> Integer -> IO ()
dibujoDensidadU a b = 
    plotList 
      [Title ("Densidad Ulam entre " ++ show a ++ " y " ++ show b),
       PNG ("Fig_DensidadUlam_" ++ show a ++ "-" ++ show b ++ ".png"),
       YLabel "DendidadUlam(n)", 
       Key Nothing]
      [densidadU n | n <- [a..b]]

--  Nota. La densidad de la sucesión de Ulman tiende a 0.07396.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 19. Definir la función
--    ulamConsecutivos :: Integer -> [Integer]
-- tal que (ulamConsecutivos n) es la lista de los números de Ulam x
-- tales que x+1 también es un número de Ulam. Por ejemplo,
--    ulamConsecutivos 1000  ==  [1,2,3,47]
-- ---------------------------------------------------------------------

ulamConsecutivos :: Integer -> [Integer]
ulamConsecutivos n = 
    [x | (x,y) <- zip us (tail us), y == x+1]
    where us = takeWhile (<= n) sucUlam4

-- Nota. Los únicos números de Ulam, menores que 6.759*10^8, cuyo
-- consecutivos son también números de Ulam son 1, 2, 3 y 47.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 20. Definir la función 
--    posicion :: Integer -> Int
-- tal que (posicion u) es la posición del número de Ullman u dentro de
-- la sucesión. Por ejemplo,
--    posicion 6  ==  5
--    ulam4 5     ==  6
-- ---------------------------------------------------------------------

posicion :: Integer -> Int
posicion n = length (takeWhile (<=n) sucUlam4)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 21. Definir la función 
--    primerHueco :: Integer -> Int
-- tal que (primerHueco a) es la primara posición n tal que la
-- diferencia entre el (n+1)-ésimo número de Ulam y el n-ésimo es mayor
-- que a. Por ejemplo,
--    primerHueco 10  ==  29
--    ulam4 29        ==  114
--    ulam4 30        ==  126
-- ---------------------------------------------------------------------

primerHueco :: Integer -> Int
primerHueco a =
    head [posicion x | (x,y) <- zip us (tail us), y-x > a]
    where us = sucUlam4

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 22. Definir la función
--    mayorHueco :: Integer -> (Integer,Integer)
-- tal que (mayorHueco n) es el par (d,m) tal que d es la mayor
-- distancia entre dos números de Ulam consecutivos menores con posición
-- menor o igual que n y dicha distancia es la que hay entre los
-- términos m y m+1 de la sucesión. Por ejemplo,
--    mayorHueco 100  ==  (27,77)
--    ulam4 77        ==  456
--    ulam4 78        ==  483
-- Calcular el mayor hueco hasta el término 5.000-ésimo
-- ---------------------------------------------------------------------

mayorHueco :: Int -> (Integer,Int)
mayorHueco n =
    maximum [(y-x,posicion x) | (x,y) <- zip us (tail us)]
    where us = take n sucUlam4

-- El cálculo es
--    ghci> mayorHueco 5000
--    (262,4952)
--    ghci> ulam4 4952
--    64420
--    ghci> ulam4 4953
--    64682

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 23. La sucesión de Ulam se puede generalizar cambiando los
-- dos primeros términos por dos números a y b. La sucesión obtenida se
-- llama la suceción de Ulam (a,b). Por ejemplo, los primeros términos
-- de la sucesión de Ulam (2,5) son 
--    2, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 15, 19, 23, ...
-- 
-- Definir la función
--    sucUlamG :: Integer -> Integer -> [Integer]
-- tal que (sucUlamG a b) es la sucesión de Ulam (a,b). Por ejemplo,
--    take 10 (sucUlamG 1 2)  ==  [1,2,3,4,6,8,11,13,16,18]
--    take 10 (sucUlamG 1 3)  ==  [1,3,4,5,6,8,10,12,17,21]
--    take 10 (sucUlamG 1 4)  ==  [1,4,5,6,7,8,10,16,18,19]
--    take 10 (sucUlamG 1 5)  ==  [1,5,6,7,8,9,10,12,20,22]
--    take 10 (sucUlamG 2 3)  ==  [2,3,5,7,8,9,13,14,18,19]
--    take 10 (sucUlamG 2 4)  ==  [2,4,6,8,12,16,22,26,32,36]
--    take 10 (sucUlamG 2 5)  ==  [2,5,7,9,11,12,13,15,19,23]
-- ---------------------------------------------------------------------

sucUlamG :: Integer -> Integer ->[Integer]
sucUlamG a b = a : b : aux 2 b 
    where us = sucUlamG a b
          aux n u = u' : aux (n+1) u' 
              where u' = head [x | x <- [1+u..], 
                                   expresable 1 x (take n us)]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 24. Definir la función
--    pares :: Integer -> Integer -> Int  -> [Integer]
-- tal que (pares a b) es la lista de los términos de la sucesión de
-- Ulam (a,b), de posición hasta n, que son pares. Por ejemplo,
--    pares 1 2 20  ==  [2,4,6,8,16,18,26,28,36,38,48,62]
--    pares 1 3 20  ==  [4,6,8,10,12,28,32,34,48,52,54]
--    pares 1 5 20  ==  [6,8,10,12,20,22,24,26,38,40,52]
--    pares 2 3 20  ==  [2,8,14,18,24,30,36,40,46]
--    pares 2 5 20  ==  [2,12]
-- ---------------------------------------------------------------------

pares :: Integer -> Integer -> Int  -> [Integer]
pares a b n = [x | x <- take n (sucUlamG a b), even x] 

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 25. Calcular los términos de la lista de los 100 primeros
-- números de Ulam (2,b) para b = 5, 7 y 9. 
-- 
-- Conjeturar su valor para cualquier número impar b mayor o igual que
-- 5. 
-- ---------------------------------------------------------------------

-- El cálculo es
--     pares 2 5 100  ==  [2,12]
--     pares 2 7 100  ==  [2,16]
--     pares 2 9 100  ==  [2,20]

-- La conjetura es que los pares de la sucesión de Ulam (2,b), con b
-- impar mayor que 5, son 2 y 2+2*b. Es decir,
conjetura2b :: Integer -> Bool
conjetura2b b = pares 2 b 100 == [2,2+2*b]

-- La comprobación es
--    ghci> and [conjetura2b b | b <- [5,7..29]]
--    True

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 26. Calcular los términos de la lista de los 100 primeros
-- números de Ulam (4,b) para b = 5, 9, 13. 
-- 
-- Conjeturar su valor para cualquier número impar b mayor o igual que
-- 5. 
-- ---------------------------------------------------------------------

-- El cálculo es
--    pares 4  5 100  ==  [4,14,24]
--    pares 4  9 100  ==  [4,22,40]
--    pares 4 13 100  ==  [4,30,56]

-- La conjetura es que los pares de la sucesión de Ulam (4,b), con b
-- mayor que 5 y congruente con 1 módulo 4, son 4, 4+2*b y 4+4*b. Es
-- decir, 
conjetura4b :: Integer -> Bool
conjetura4b b = pares 4 b 50 == [4,4+2*b,4+4*b]

-- La comprobación es
--    ghci> and [conjetura4b b | b <- [5,9..21]]
--    True

{- ---------------------------------------------------------------------
 Nota. A continuación se muestran las figuras de los ejercicios 15, 16 y
 18. Para verlas en emacs, usar M-x iimage-mode

 Figura 1: 10 primeros números de Ulam calculados con 
 (dibujoSucUlam 10)
    Fig_dibujoSucUlam_10.png

 Figura 2: 1000 primeros números de Ulam calculados con 
 (dibujoSucUlam 1000)
    Fig_dibujoSucUlam_1000.png

 Figura 3: Aproximaciones lineales de la sucesión de Ulam calculadas con 
 (dibujoSucUlamAproxLin 12 14 3000)
    Fig_Aproximacion_lineal_Ulam.png

 Figura 4: Densidad de la sucesión de Ulam calculada con 
 (dibujoDensidadU 1 3000)
    Fig_DensidadUlam_1-3000.png
 -------------------------------------------------------------------- -}

100

101

102

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104

105

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-- ---------------------------------------------------------------------

-- Librerías auxiliares

-- ---------------------------------------------------------------------

import Graphics.Gnuplot.Simple

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicios

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 1. Definir la función

-- sumas :: Integer -> [Integer] -> [(Integer,Integer)]

-- tal que (sumas x ys) es la lista de pares de elementos de

-- la lista ordenada ys cuya suma es x. Por ejemplo,

-- sumas 3 [1,2] == [(1,2)]

-- sumas 4 [1,2,3] == [(1,3)]

-- sumas 5 [1,2,3,4] == [(1,4),(2,3)]

-- sumas 6 [1,2,3,4] == [(2,4)]

-- sumas 7 [1,2,3,4,6] == [(1,6),(3,4)]

-- sumas 8 [1,2,3,4,6] == [(2,6)]

-- sumas 9 [1,2,3,4,6,8] == [(1,8),(3,6)]

-- sumas 10 [1,2,3,4,6,8] == [(2,8),(4,6)]

-- sumas 11 [1,2,3,4,6,8] == [(3,8)]

-- ---------------------------------------------------------------------

sumas :: Integer -> [Integer] -> [(Integer,Integer)]

sumas x ys = [(a,x-a) | a <- zs, (x-a) `elem` dropWhile (<=a) zs]

where zs = takeWhile (<x) ys

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 2. Definir la función

-- ulam :: Int -> Integer

-- tal que (ulam n) es el n-ésimo número de Ulam. Por ejemplo,

-- ghci> [ulam n | n <- [1..20]]

-- [1,2,3,4,6,8,11,13,16,18,26,28,36,38,47,48,53,57,62,69]

-- ---------------------------------------------------------------------

ulam :: Int -> Integer

ulam 1 = 1

ulam 2 = 2

ulam n = head [x | x <- [u+1..], length (sumas x us) == 1]

where us = [ulam i | i <- [1..n-1]]

u = last us

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 3. Definir, usando la función ulam, la constante

-- sucUlam :: [Integer]

-- cuyos elementos son los números de Ulman. Por ejemplo,

-- ghci> take 20 sucUlam

-- [1,2,3,4,6,8,11,13,16,18,26,28,36,38,47,48,53,57,62,69]

-- ---------------------------------------------------------------------

sucUlam :: [Integer]

sucUlam = [ulam n | n <- [1..]]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 4. Definir, sin usar la función ulam, la constante

-- sucUlam2 :: [Integer]

-- cuyos elementos son los números de Ulman. Por ejemplo,

-- ghci> take 20 sucUlam2

-- [1,2,3,4,6,8,11,13,16,18,26,28,36,38,47,48,53,57,62,69]

-- ---------------------------------------------------------------------

sucUlam2 :: [Integer]

sucUlam2 = 1 : 2 : aux 2 2 where

aux n u = u' : aux (n+1) u' where

u' = head [x | x <- [u+1..],

length (sumas x (take n sucUlam2)) == 1]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 5. Definir la función

-- ulam2 :: Int -> Integer

-- tal que (ulam4 n) es el n-ésimo número de Ulam. Por ejemplo,

-- ulam2 20 == 69

-- ---------------------------------------------------------------------

ulam2 :: Int -> Integer

ulam2 n = sucUlam2 !! (n-1)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 6. Comparar la eficiencia de ulam y ulam2 calculando

-- el 20-ésimo número de Ulam.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La comparación es

-- ghci> :set +s

-- ghci> ulam 20

-- 69

-- (3.43 secs, 247050284 bytes)

-- ghci> ulam2 20

-- 69

-- (0.01 secs, 0 bytes)

-- Se observa que sucUlam2 es más eficiente que sucUlam.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 7. Definir la función

-- nSumas :: Integer -> [Integer] -> Int

-- tal que (nSumas x ys) es el número de expresar x como suma de un par

-- de elementos distintos de la sucesión creciente ys. Por ejemplo,

-- nSumas 11 [2,4,5,6,7,9,11,12] == 3

-- ---------------------------------------------------------------------

nSumas :: Integer -> [Integer] -> Int

nSumas _ [] = 0

nSumas x (y:ys) | x-y <= y = 0

| (x-y) `elem` ys = 1 + nSumas x ys

| otherwise = nSumas x ys

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 8. Definir, usando la función nSumas, la constante

-- sucUlam3 :: [Integer]

-- cuyos elementos son los números de Ulman. Por ejemplo,

-- ghci> take 20 sucUlam3

-- [1,2,3,4,6,8,11,13,16,18,26,28,36,38,47,48,53,57,62,69]

-- ---------------------------------------------------------------------

sucUlam3 :: [Integer]

sucUlam3 = 1 : 2 : aux 2 2 where

aux n u = u' : aux (n+1) u' where

u' = head [x | x <- [u+1..],

nSumas x (take n sucUlam3) == 1]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 9. Definir la función

-- ulam3 :: Int -> Integer

-- tal que (ulam4 n) es el n-ésimo número de Ulam. Por ejemplo,

-- ulam3 20 == 69

-- ---------------------------------------------------------------------

ulam3 :: Int -> Integer

ulam3 n = sucUlam3 !! (n-1)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 10. Comparar la eficiencia de ulam2 y ulam3 calculando

-- el 200-ésimo número de Ulam.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La comprobación es

-- ghci> ulam2 200

-- 1792

-- (3.48 secs, 35527792 bytes)

-- ghci> ulam3 200

-- 1792

-- (0.54 secs, 27636396 bytes)

-- Se observa que sucUlam3 es más eficiente que sucUlam2.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 11. Definir la función

-- expresable :: Int -> Integer -> [Integer] -> Bool

-- tal que (expresable n x ys) se verifica si x se puede escribir como

-- suma de pares de elementos de la sucesión creciente ys exactamente de

-- n formas. Por ejemplo,

-- expresable 1 3 [1,2] == True

-- expresable 1 5 [1,2,3,4] == False

-- expresable 2 5 [1,2,3,4] == True

-- ---------------------------------------------------------------------

expresable :: Int -> Integer -> [Integer] -> Bool

expresable 0 _ [] = True

expresable 0 x (y:ys) | x-y <= y = True

| (x-y) `elem` ys = False

| otherwise = expresable 0 x ys

expresable _ x [] = False

expresable n x (y:ys) | x-y <= y = False

| (x-y) `elem` ys = expresable (n-1) x ys

| otherwise = expresable n x ys

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 12. Definir, usando la función expresable, la constante

-- sucUlam4 :: [Integer]

-- cuyos elementos son los números de Ulman. Por ejemplo,

-- ghci> take 20 sucUlam4

-- [1,2,3,4,6,8,11,13,16,18,26,28,36,38,47,48,53,57,62,69]

-- ---------------------------------------------------------------------

sucUlam4 :: [Integer]

sucUlam4 = 1 : 2 : aux 2 2

where aux n u = u' : aux (n+1) u'

where u' = head [x | x <- [1+u..],

expresable 1 x (take n sucUlam4)]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 13. Definir la función

-- ulam4 :: Int -> Integer

-- tal que (ulam4 n) es el n-ésimo número de Ulam. Por ejemplo,

-- ulam4 20 == 69

-- ---------------------------------------------------------------------

ulam4 :: Int -> Integer

ulam4 n = sucUlam4 !! (n-1)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 14. Comparar la eficiencia de ulam3 y ulam4 calculando el

-- 500-ésimo número de Ulam.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La comprobación es

-- ghci> ulam3 500

-- 5685

-- (6.33 secs, 202163168 bytes)

-- ghci> ulam4 500

-- 5685

-- (2.42 secs, 104099404 bytes)

-- Se observa que sucUlam4 es más eficiente que sucUlam3.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 15. Definir la función

-- dibujoSucUlam :: Int -> IO ()

-- tal que (dibujoSucUlam n) representa los n primeros términos de la

-- sucesión de Ulam. Por ejemplo, el dibujo de los 10 y 1000 primeros

-- términos se presenta en las figuras 1 y 2, respectivamente, en el

-- final de la relación

-- ---------------------------------------------------------------------

dibujoSucUlam :: Int -> IO ()

dibujoSucUlam n =

plotList [Title (show n ++ " primeros numeros de Ulam"),

PNG ("Fig_dibujoSucUlam_" ++ show n ++ ".png"),

YLabel "Ulam(n)",

Key Nothing]

(take n sucUlam4)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 16. Definir la función

-- dibujoSucUlamAproxLin :: Int -> Int -> Int -> IO ()

-- tal que (dibujoSucUlamAproxLin a b n) dibuja los n primeros términos

-- de la sucesión de Ulam y las rectas y=a*x e y=b*x.

-- Encontrar dos pendientes a y b tales que la sucesión de

-- Ulam tienda a estar entre las rectas y=a*x e y=b*x

-- ---------------------------------------------------------------------

dibujoSucUlamAproxLin :: Int -> Int -> Int -> IO ()

dibujoSucUlamAproxLin a b n =

plotFuncs [Title ("Aproximacion lineal de numeros de Ulam"),

PNG ("Fig_Aproximacion_lineal_Ulam.png"),

YLabel "Ulam(n)",

Key Nothing]

[1..n]

[fromIntegral . ulam4,

\x -> a*x,

\x -> b*x]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 17. La densidad de un conjunto de números naturales A es el

-- límite de a(n)/n, donde a(n) es el número de elementos de A menores o

-- iguales que n.

-- Definir la función

-- densidadU :: Integer -> Double

-- tal que (densidadU n) es a(n)/n, donde a(n) es la cantidad de números

-- de Ulam menores o iguales que n. Por ejemplo,

-- densidad 100 == 0.26

-- Calcular (densidad 30000).

-- ---------------------------------------------------------------------

densidadU :: Integer -> Double

densidadU n =

(fromIntegral (length (takeWhile (<=n) sucUlam4))) / (fromIntegral n)

-- El cálculo es

-- ghci> densidad 30000

-- 7.796666666666667e-2

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 18. Definir la función

-- dibujoDensidadU :: Integer -> Integer -> IO ()

-- tal que (dibujoDensidadU a b) es la densidad de los términos de la

-- sucesión de Ulman entre los lugares a y b. Por ejemplo,

-- (dibujoDensidadU 1 3000) genera la figura 4.

-- ---------------------------------------------------------------------

dibujoDensidadU :: Integer -> Integer -> IO ()

dibujoDensidadU a b =

plotList

[Title ("Densidad Ulam entre " ++ show a ++ " y " ++ show b),

PNG ("Fig_DensidadUlam_" ++ show a ++ "-" ++ show b ++ ".png"),

YLabel "DendidadUlam(n)",

Key Nothing]

[densidadU n | n <- [a..b]]

-- Nota. La densidad de la sucesión de Ulman tiende a 0.07396.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 19. Definir la función

-- ulamConsecutivos :: Integer -> [Integer]

-- tal que (ulamConsecutivos n) es la lista de los números de Ulam x

-- tales que x+1 también es un número de Ulam. Por ejemplo,

-- ulamConsecutivos 1000 == [1,2,3,47]

-- ---------------------------------------------------------------------

ulamConsecutivos :: Integer -> [Integer]

ulamConsecutivos n =

[x | (x,y) <- zip us (tail us), y == x+1]

where us = takeWhile (<= n) sucUlam4

-- Nota. Los únicos números de Ulam, menores que 6.759*10^8, cuyo

-- consecutivos son también números de Ulam son 1, 2, 3 y 47.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 20. Definir la función

-- posicion :: Integer -> Int

-- tal que (posicion u) es la posición del número de Ullman u dentro de

-- la sucesión. Por ejemplo,

-- posicion 6 == 5

-- ulam4 5 == 6

-- ---------------------------------------------------------------------

posicion :: Integer -> Int

posicion n = length (takeWhile (<=n) sucUlam4)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 21. Definir la función

-- primerHueco :: Integer -> Int

-- tal que (primerHueco a) es la primara posición n tal que la

-- diferencia entre el (n+1)-ésimo número de Ulam y el n-ésimo es mayor

-- que a. Por ejemplo,

-- primerHueco 10 == 29

-- ulam4 29 == 114

-- ulam4 30 == 126

-- ---------------------------------------------------------------------

primerHueco :: Integer -> Int

primerHueco a =

head [posicion x | (x,y) <- zip us (tail us), y-x > a]

where us = sucUlam4

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 22. Definir la función

-- mayorHueco :: Integer -> (Integer,Integer)

-- tal que (mayorHueco n) es el par (d,m) tal que d es la mayor

-- distancia entre dos números de Ulam consecutivos menores con posición

-- menor o igual que n y dicha distancia es la que hay entre los

-- términos m y m+1 de la sucesión. Por ejemplo,

-- mayorHueco 100 == (27,77)

-- ulam4 77 == 456

-- ulam4 78 == 483

-- Calcular el mayor hueco hasta el término 5.000-ésimo

-- ---------------------------------------------------------------------

mayorHueco :: Int -> (Integer,Int)

mayorHueco n =

maximum [(y-x,posicion x) | (x,y) <- zip us (tail us)]

where us = take n sucUlam4

-- El cálculo es

-- ghci> mayorHueco 5000

-- (262,4952)

-- ghci> ulam4 4952

-- 64420

-- ghci> ulam4 4953

-- 64682

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 23. La sucesión de Ulam se puede generalizar cambiando los

-- dos primeros términos por dos números a y b. La sucesión obtenida se

-- llama la suceción de Ulam (a,b). Por ejemplo, los primeros términos

-- de la sucesión de Ulam (2,5) son

-- 2, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 15, 19, 23, ...

-- Definir la función

-- sucUlamG :: Integer -> Integer -> [Integer]

-- tal que (sucUlamG a b) es la sucesión de Ulam (a,b). Por ejemplo,

-- take 10 (sucUlamG 1 2) == [1,2,3,4,6,8,11,13,16,18]

-- take 10 (sucUlamG 1 3) == [1,3,4,5,6,8,10,12,17,21]

-- take 10 (sucUlamG 1 4) == [1,4,5,6,7,8,10,16,18,19]

-- take 10 (sucUlamG 1 5) == [1,5,6,7,8,9,10,12,20,22]

-- take 10 (sucUlamG 2 3) == [2,3,5,7,8,9,13,14,18,19]

-- take 10 (sucUlamG 2 4) == [2,4,6,8,12,16,22,26,32,36]

-- take 10 (sucUlamG 2 5) == [2,5,7,9,11,12,13,15,19,23]

-- ---------------------------------------------------------------------

sucUlamG :: Integer -> Integer ->[Integer]

sucUlamG a b = a : b : aux 2 b

where us = sucUlamG a b

aux n u = u' : aux (n+1) u'

where u' = head [x | x <- [1+u..],

expresable 1 x (take n us)]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 24. Definir la función

-- pares :: Integer -> Integer -> Int -> [Integer]

-- tal que (pares a b) es la lista de los términos de la sucesión de

-- Ulam (a,b), de posición hasta n, que son pares. Por ejemplo,

-- pares 1 2 20 == [2,4,6,8,16,18,26,28,36,38,48,62]

-- pares 1 3 20 == [4,6,8,10,12,28,32,34,48,52,54]

-- pares 1 5 20 == [6,8,10,12,20,22,24,26,38,40,52]

-- pares 2 3 20 == [2,8,14,18,24,30,36,40,46]

-- pares 2 5 20 == [2,12]

-- ---------------------------------------------------------------------

pares :: Integer -> Integer -> Int -> [Integer]

pares a b n = [x | x <- take n (sucUlamG a b), even x]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 25. Calcular los términos de la lista de los 100 primeros

-- números de Ulam (2,b) para b = 5, 7 y 9.

-- Conjeturar su valor para cualquier número impar b mayor o igual que

-- 5.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- El cálculo es

-- pares 2 5 100 == [2,12]

-- pares 2 7 100 == [2,16]

-- pares 2 9 100 == [2,20]

-- La conjetura es que los pares de la sucesión de Ulam (2,b), con b

-- impar mayor que 5, son 2 y 2+2*b. Es decir,

conjetura2b :: Integer -> Bool

conjetura2b b = pares 2 b 100 == [2,2+2*b]

-- La comprobación es

-- ghci> and [conjetura2b b | b <- [5,7..29]]

-- True

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 26. Calcular los términos de la lista de los 100 primeros

-- números de Ulam (4,b) para b = 5, 9, 13.

-- Conjeturar su valor para cualquier número impar b mayor o igual que

-- 5.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- El cálculo es

-- pares 4 5 100 == [4,14,24]

-- pares 4 9 100 == [4,22,40]

-- pares 4 13 100 == [4,30,56]

-- La conjetura es que los pares de la sucesión de Ulam (4,b), con b

-- mayor que 5 y congruente con 1 módulo 4, son 4, 4+2*b y 4+4*b. Es

-- decir,

conjetura4b :: Integer -> Bool

conjetura4b b = pares 4 b 50 == [4,4+2*b,4+4*b]

-- La comprobación es

-- ghci> and [conjetura4b b | b <- [5,9..21]]

-- True

{- ---------------------------------------------------------------------

Nota. A continuación se muestran las figuras de los ejercicios 15, 16 y

18. Para verlas en emacs, usar M-x iimage-mode

Figura 1: 10 primeros números de Ulam calculados con

(dibujoSucUlam 10)

Fig_dibujoSucUlam_10.png

Figura 2: 1000 primeros números de Ulam calculados con

(dibujoSucUlam 1000)

Fig_dibujoSucUlam_1000.png

Figura 3: Aproximaciones lineales de la sucesión de Ulam calculadas con

(dibujoSucUlamAproxLin 12 14 3000)

Fig_Aproximacion_lineal_Ulam.png

Figura 4: Densidad de la sucesión de Ulam calculada con

(dibujoDensidadU 1 3000)

Fig_DensidadUlam_1-3000.png

-------------------------------------------------------------------- -}

A continuación se muestran las figuras de los ejercicios 15, 16 y 18.

Figura 1: 10 primeros números de Ulam calculados con
(dibujoSucUlam 10)

Fig.1: 10 primeros números de Ulam
Figura 2: 1000 primeros números de Ulam calculados con
(dibujoSucUlam 1000)

Fig. 2: 1000 primeros números de Ulam
Figura 3: Aproximaciones lineales de la sucesión de Ulam calculadas con
(dibujoSucUlamAproxLin 12 14 3000)

Fig. 3: Aproximaciones lineales de la sucesión de Ulam
Figura 4: Densidad de la sucesión de Ulam calculada con
(dibujoDensidadU 1 3000)

Fig. 4: Densidad de la sucesión de Ulam

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