LMF2019: Definiciones inductivas en Isabelle/HOL
En la segunda parte de la clase de hoy del curso de Lógica matemática y fundamentos se ha estudiado cómo definir en Isabelle/HOL conjuntos y relaciones inductivas y cómo demostrar sus propiedades.
La clase se ha dado mediante videoconferencia y el vídeo correspondiente es
La teoría con los ejemplos presentados en la clase es la siguiente:
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 |
chapter ‹Tema 9: Definiciones inductivas› theory T9_Definiciones_inductivas imports Main begin section ‹Definición inductiva del conjunto de los números pares› text ‹ · El conjunto de los números pares se define inductivamente como el menor conjunto que contiene al 0 y es cerrado por la operación (+2). · El conjunto de los números pares también puede definirse como los naturales divisible por 2. · Veremos cómo se escriben las dos definiciones en Isabelle/HOL y cómo se demuestra su equivalencia.› inductive_set par :: "nat set" where cero: "0 ∈ par" | paso: "n ∈ par ⟹ (Suc (Suc n)) ∈ par" text ‹La definición inductiva genera varios teoremas: · par.cero: 0 ∈ par · par.paso: n ∈ par ⟹ Suc (Suc n) ∈ par · par.simps: (a ∈ par) = (a = 0 ∨ (∃n. a = Suc (Suc n) ∧ n ∈ par)) › thm par.cero thm par.paso thm par.simps subsection ‹Uso de las reglas de introducción› text ‹Lema: Los números de la forma 2*k son pares.› ― ‹La demostración aplicativa es› lemma dobles_son_pares: "2*k ∈ par" apply (induct k) (* 1. 2 * 0 ∈ par 2. ⋀k. 2 * k ∈ par ⟹ 2 * Suc k ∈ par *) apply (simp add: par.cero) (* ⋀k. 2 * k ∈ par ⟹ 2 * Suc k ∈ par *) apply (simp add: par.paso) done ― ‹La demostración automática es› lemma dobles_son_pares_2: "2*k ∈ par" by (induct k) (simp_all add: par.cero par.paso) ― ‹La demostración estructurada es› lemma dobles_son_pares_3: "2*k ∈ par" proof (induct k) show "2 * 0 ∈ par" by (simp add: par.cero) next show "⋀k. 2 * k ∈ par ⟹ 2 * Suc k ∈ par" by (simp add: par.paso) qed ― ‹La demostración detallada es› lemma dobles_son_pares_4: "2*k ∈ par" proof (induct k) have "2 * 0 = (0::nat)" by (simp only: mult_0_right) then show "2 * 0 ∈ par" by (simp only: par.cero) next fix k :: "nat" assume "2 * k ∈ par" have "2 * Suc k = Suc (Suc (2 * k))" proof - have "2 * Suc k = 2 + 2 * k" by (simp only: mult_Suc_right) also have "… = Suc (Suc (2 * k))" by (simp only: add_2_eq_Suc) finally show "2 * Suc k = Suc (Suc (2 * k))" by this qed then show "2 * Suc k ∈ par" using ‹2 * k ∈ par› by (simp only: par.paso) qed text ‹Nota: Nuestro objetivo es demostrar la equivalencia de la definición anterior y la definición mediante divisibilidad (even). Lema: Si n es divisible por 2, entonces es par.› ― ‹La demostración declarativa detallada es› lemma "even n ⟹ n ∈ par" proof - assume "even n" then have "∃k. n = 2*k" by (simp only: dvd_def) then obtain k where "n = 2*k" by (rule exE) then show "n ∈ par" by (simp only: dobles_son_pares) qed ― ‹La demostación automática es› lemma even_imp_par: "even n ⟹ n ∈ par" by (auto simp only: dobles_son_pares) subsection ‹Regla de inducción› text ‹Entre las reglas generadas por la definión de par está la de inducción: · par.induct: ⟦ x ∈ par; P 0; ⋀n. ⟦n ∈ par; P n⟧ ⟹ P (Suc (Suc n))⟧ ⟹ P x › thm par.induct text ‹Lema: Los números pares son divisibles por 2.› ― ‹Demostración aplicativa› lemma par_imp_even: "n ∈ par ⟹ even n" apply (induction rule: par.induct) (* 1. even 0 2. ⋀n. ⟦n ∈ par; even n⟧ ⟹ even (Suc (Suc n)) *) apply (simp only: dvd_def) (* 1. ∃k. 0 = 2 * k 2. ⋀n. ⟦n ∈ par; even n⟧ ⟹ even (Suc (Suc n)) *) apply (rule_tac x=0 in exI) (* 1. 0 = 2 * 0 2. ⋀n. ⟦n ∈ par; even n⟧ ⟹ even (Suc (Suc n)) *) apply simp (* ⋀n. ⟦n ∈ par; even n⟧ ⟹ even (Suc (Suc n)) *) apply (simp only: dvd_def) (* ⋀n. ⟦n ∈ par; ∃k. n = 2 * k⟧ ⟹ ∃k. Suc (Suc n) = 2 * k *) apply (erule exE) (* ⋀n k. ⟦n ∈ par; n = 2 * k⟧ ⟹ ∃k. Suc (Suc n) = 2 * k*) apply (rule_tac x="k+1" in exI) (* ⋀n k. ⟦n ∈ par; n = 2 * k⟧ ⟹ Suc (Suc n) = 2 * (k + 1) *) apply simp (* *) done ― ‹2ª demostración aplicativa› lemma par_imp_even_2: "n ∈ par ⟹ even n" apply (induction rule: par.induct) (* 1. even 0 2. ⋀n. ⟦n ∈ par; even n⟧ ⟹ even (Suc (Suc n)) *) apply simp_all (* *) done ― ‹Demostración automática› lemma par_imp_even_3: "n ∈ par ⟹ even n" by (induction rule: par.induct) simp_all ― ‹2ª demostración declarativa› lemma par_imp_even_4: "n ∈ par ⟹ even n" proof (induction rule: par.induct) show "even 0" by simp next fix n :: nat assume H1: "n ∈ par" and H2: "even n" then show "even (Suc (Suc n))" by simp qed ― ‹Demostración declarativa detallada› lemma par_imp_even_5: "n ∈ par ⟹ even n" proof (induction rule: par.induct) show "even 0" by (simp only: even_zero) next fix n :: nat assume H1: "n ∈ par" and H2: "even n" have "∃k. n = 2*k" using H2 by (simp only: dvd_def) then obtain k where "n = 2*k" by (rule exE) then have "Suc (Suc n) = 2*(k+1)" proof - have "Suc (Suc n) = 2 + n" by (simp only: add_2_eq_Suc) also have "… = 2 + 2 * k" by (simp only: ‹n = 2 * k›) also have "… = 2 * Suc k" by (simp only: mult_Suc_right) also have "… = 2 * (k + 1)" by (simp only: Suc_eq_plus1) finally show "Suc (Suc n) = 2*(k+1)" by this qed then have "∃k. Suc (Suc n) = 2*k" by (rule exI) then show "even (Suc (Suc n))" by (simp only: dvd_def) qed text ‹Lema: Un número n es par syss es divisible por 2.› ― ‹La demostración detallada es› theorem par_iff_even: "(n ∈ par) = (even n)" proof (rule iffI) show "n ∈ par ⟹ even n" by (rule par_imp_even) next show "even n ⟹ n ∈ par" by (rule even_imp_par) qed ― ‹La demostración automática es› theorem par_iff_even_2: "(n ∈ par) = (even n)" by (auto simp only: par_imp_even even_imp_par) subsection ‹Generalización y regla de inducción› text ‹ · Antes de aplicar inducción se debe de generalizar la fórmula a probar. · Vamos a ilustrar el principio anterior en el caso de los conjuntos inductivamente definidos, con el siguiente ejemplo: si n+2 es par, entonces n también lo es. · El siguiente intento falla:› lemma "Suc (Suc n) ∈ par ⟹ n ∈ par" apply (erule par.induct) (* 1. n ∈ par 2. ⋀na. ⟦na ∈ par; n ∈ par⟧ ⟹ n ∈ par *) oops text ‹En el intento anterior, los subobjetivos generados son 1. n ∈ par 2. ⋀na. ⟦na ∈ par; n ∈ par⟧ ⟹ n ∈ par que no se pueden demostrar. Se ha perdido la información sobre Suc (Suc n).› text ‹Reformulación del lema: Si n es par, entonces n-2 también lo es.› ― ‹La demostración aplicativa es› lemma par_imp_par_menos: "n ∈ par ⟹ n - 2 ∈ par" apply (induction rule: par.induct) (* 1. 0 - 2 ∈ par 2. ⋀n. ⟦n ∈ par; n - 2 ∈ par⟧ ⟹ Suc (Suc n) - 2 ∈ par *) apply (simp add: par.cero) apply (simp add: par.paso) (* *) done ― ‹La demostración automática es› lemma par_imp_par_menos_2: "n ∈ par ⟹ n - 2 ∈ par" by (induction rule: par.induct) (auto simp add: par.cero par.paso) ― ‹La demostración estructurada es› lemma "n ∈ par ⟹ n - 2 ∈ par" proof (induction rule: par.induct) show "0 - 2 ∈ par" by (auto simp add: par.cero) next show "⋀n. ⟦n ∈ par; n - 2 ∈ par⟧ ⟹ Suc (Suc n) - 2 ∈ par" by (auto simp add: par.paso) qed text ‹Con el lema anterior se puede demostrar el original.› ― ‹La demostración aplicativa es› lemma "Suc (Suc n) ∈ par ⟹ n ∈ par" apply (drule par_imp_par_menos_2) (* Suc (Suc n) - 2 ∈ par ⟹ n ∈ par *) apply simp (* *) done ― ‹La demostración automática es› lemma Suc_Suc_par_imp_par: "Suc (Suc n) ∈ par ⟹ n ∈ par" by (drule par_imp_par_menos_2, simp) ― ‹La demostración declarativa es› lemma assumes "Suc (Suc n) ∈ par" shows "n ∈ par" proof - have "Suc (Suc n) - 2 ∈ par" using assms by (rule par_imp_par_menos_2) then show "n ∈ par" by simp qed text ‹Lemma. Un número natural n es par syss n+2 es par.› lemma "((Suc (Suc n)) ∈ par) = (n ∈ par)" using Suc_Suc_par_imp_par par.paso by blast section ‹Definiciones mutuamente inductivas› text ‹Definición cruzada de los conjuntos inductivos de los pares y de los impares:› inductive_set Pares :: "nat set" and Impares :: "nat set" where ceroP: "0 ∈ Pares" | ParesI: "n ∈ Impares ⟹ Suc n ∈ Pares" | ImparesI: "n ∈ Pares ⟹ Suc n ∈ Impares" text ‹El esquema de inducción generado por la definición anterior es · Pares_Impares.induct: ⟦P1 0; ⋀n. ⟦n ∈ Impares; P2 n⟧ ⟹ P1 (Suc n); ⋀n. ⟦n ∈ Pares; P1 n⟧ ⟹ P2 (Suc n)⟧ ⟹ (x1 ∈ Pares ⟶ P1 x1) ∧ (x2 ∈ Impares ⟶ P2 x2) › thm Pares_Impares.induct text ‹Ejemplo de demostración usando el esquema anterior.› ― ‹Demostración aplicativa› lemma "(m ∈ Pares ⟶ even m) ∧ (n ∈ Impares ⟶ even (Suc n))" apply (induction rule: Pares_Impares.induct) (* 1. even 0 2. ⋀n. ⟦n ∈ Impares; even (Suc n)⟧ ⟹ even (Suc n) 3. ⋀n. ⟦n ∈ Pares; even n⟧ ⟹ even (Suc (Suc n))*) apply simp_all (* *) done ― ‹Demostración automática› lemma "(m ∈ Pares ⟶ even m) ∧ (n ∈ Impares ⟶ even (Suc n))" by (induction rule: Pares_Impares.induct) simp_all ― ‹La demostración declarativa es› lemma "(m ∈ Pares ⟶ even m) ∧ (n ∈ Impares ⟶ even (Suc n))" proof (induction rule: Pares_Impares.induct) show "even 0" by simp next fix n :: "nat" assume H1: "n ∈ Impares" and H2: "even (Suc n)" show "even (Suc n)" using H2 by simp next fix n :: "nat" assume H1: "n ∈ Pares" and H2: "even n" have "∃k. n = 2*k" using H2 by (simp add: dvd_def) then obtain k where "n = 2*k" by (rule exE) then have "Suc (Suc n) = 2*(k+1)" by simp then have "∃k. Suc (Suc n) = 2*k" by (rule exI) then show "even (Suc (Suc n))" by (simp add: dvd_def) qed section ‹Definición inductiva de predicados› text ‹Definición inductiva del predicado es_par tal que (es_par n) se verifica si n es par.› inductive es_par :: "nat ⇒ bool" where "es_par 0" | "es_par n ⟹ es_par (Suc (Suc n))" text ‹Heurística para elegir entre definir conjuntos o predicados: · si se va a combinar con operaciones conjuntistas, definir conjunto; · en caso contrario, definir predicado.› end |