LMF2019: Deducción natural en lógica de primer orden (2/2)
En la clase de hoy del curso Lógica matemática y fundamentos se ha completado el estudio del cálculo de deducción natural proposional para la lógica de primer orden demostrando algunas equivalencias notables y presentando las reglas de la igualdad
La clase se ha dado mediante videoconferencia y el correspondiente vídeo es
Las transparencias de esta clase son las páginas 14 a 29 del tema 4.
A la vez que se han ido haciendo las demostraciones se ha explicado cómo hacerlas en Isabelle/HOL.
La teoría con los ejemplos presentados en la clase es la siguiente:
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chapter ‹Tema 4a: Deducción natural en lógica de primer orden› theory T4a_Deduccion_natural_en_logica_de_primer_orden imports Main begin chapter ‹Tema 4a: Deducción natural en lógica de primer orden› theory T4a_Deduccion_natural_en_logica_de_primer_orden imports Main begin section ‹Demostración de equivalencias› subsection ‹Ejemplo 5.1› text ‹Ejemplo 5.1 (p. 15). Demostrar ¬∀x. P x ⊢ ∃x. ¬(P x)› subsubsection ‹Demostración detallada› ― ‹La demostración detallada es› lemma ejemplo_5_1a: assumes "¬(∀x. P(x))" shows "∃x. ¬P(x)" proof (rule ccontr) assume "¬(∃x. ¬P(x))" have "∀x. P(x)" proof (rule allI) fix a show "P(a)" proof (rule ccontr) assume "¬P(a)" then have "∃x. ¬P(x)" by (rule exI) with ‹¬(∃x. ¬P(x))› show False by (rule notE) qed qed with assms show False by (rule notE) qed subsubsection ‹Demostración estructurada› ― ‹La demostración estructurada es› lemma ejemplo_5_1b: assumes "¬(∀x. P(x))" shows "∃x. ¬P(x)" proof (rule ccontr) assume "¬(∃x. ¬P(x))" have "∀x. P(x)" proof fix a show "P(a)" proof (rule ccontr) assume "¬P(a)" then have "∃x. ¬P(x)" .. with ‹¬(∃x. ¬P(x))› show False .. qed qed with assms show False .. qed subsubsection ‹Demostración automática› ― ‹La demostración automática es› lemma ejemplo_5_1c: assumes "¬(∀x. P(x))" shows "∃x. ¬P(x)" using assms by auto subsubsection ‹Demostración aplicativa› lemma ejemplo_5_1d: "¬(∀x. P x) ⟹ ∃y. ¬P y" apply (rule ccontr) (* da ⟦¬ (∀x. P x); ∄y. ¬ P y⟧ ⟹ False *) apply (erule notE) (* da ∄y. ¬ P y ⟹ ∀x. P x *) apply (rule allI) (* da ⋀x. ∄y. ¬ P y ⟹ P x *) apply (rule ccontr) (* da ⋀x. ⟦∄y. ¬ P y; ¬ P x⟧ ⟹ False *) apply (erule notE) (* da ⋀x. ¬ P x ⟹ ∃y. ¬ P y *) apply (erule exI) (* da No subgoals! *) done text ‹ Ejemplo 5.2 (p. 16). Demostrar ∃x. ¬(P x) ⊢ ¬∀x. P x› ― ‹La demostración detallada es› lemma ejemplo_5_2a: assumes "∃x. ¬P(x)" shows "¬(∀x. P(x))" proof (rule notI) assume "∀x. P(x)" obtain a where "¬P(a)" using assms by (rule exE) have "P(a)" using ‹∀x. P(x)› by (rule allE) with ‹¬P(a)› show False by (rule notE) qed ― ‹La demostración estructurada es› lemma ejemplo_5_2b: assumes "∃x. ¬P(x)" shows "¬(∀x. P(x))" proof assume "∀x. P(x)" obtain a where "¬P(a)" using assms .. have "P(a)" using ‹∀x. P(x)› .. with ‹¬P(a)› show False .. qed ― ‹La demostración automática es› lemma ejemplo_5_2c: assumes "∃x. ¬P(x)" shows "¬(∀x. P(x))" using assms by auto text ‹ Ejemplo 5.3 (p. 17). Demostrar ⊢ ¬∀x. P x ⟷ ∃x. ¬(P x)› ― ‹La demostración detallada es› lemma ejemplo_5_3a: "(¬(∀x. P(x))) ⟷ (∃x. ¬P(x))" proof (rule iffI) assume "¬(∀x. P(x))" then show "∃x. ¬P(x)" by (rule ejemplo_5_1a) next assume "∃x. ¬P(x)" then show "¬(∀x. P(x))" by (rule ejemplo_5_2a) qed ― ‹La demostración automática es› lemma ejemplo_5_3b: "(¬(∀x. P(x))) ⟷ (∃x. ¬P(x))" by auto text ‹Ejemplo 6.1 (p. 18). Demostrar ∀x. P(x) ∧ Q(x) ⊢ (∀x. P(x)) ∧ (∀x. Q(x))› ― ‹La demostración detallada es› lemma ejemplo_6_1a: assumes "∀x. P(x) ∧ Q(x)" shows "(∀x. P(x)) ∧ (∀x. Q(x))" proof (rule conjI) show "∀x. P(x)" proof (rule allI) fix a have "P(a) ∧ Q(a)" using assms by (rule allE) then show "P(a)" by (rule conjunct1) qed next show "∀x. Q(x)" proof (rule allI) fix a have "P(a) ∧ Q(a)" using assms by (rule allE) then show "Q(a)" by (rule conjunct2) qed qed ― ‹La demostración estructurada es› lemma ejemplo_6_1b: assumes "∀x. P(x) ∧ Q(x)" shows "(∀x. P(x)) ∧ (∀x. Q(x))" proof show "∀x. P(x)" proof fix a have "P(a) ∧ Q(a)" using assms .. then show "P(a)" .. qed next show "∀x. Q(x)" proof fix a have "P(a) ∧ Q(a)" using assms .. then show "Q(a)" .. qed qed ― ‹La demostración automática es› lemma ejemplo_6_1c: assumes "∀x. P(x) ∧ Q(x)" shows "(∀x. P(x)) ∧ (∀x. Q(x))" using assms by auto text ‹Ejemplo 6.2 (p. 19). Demostrar (∀x. P(x)) ∧ (∀x. Q(x)) ⊢ ∀x. P(x) ∧ Q(x)› ― ‹La demostración detallada es› lemma ejemplo_6_2a: assumes "(∀x. P(x)) ∧ (∀x. Q(x))" shows "∀x. P(x) ∧ Q(x)" proof (rule allI) fix a have "∀x. P(x)" using assms by (rule conjunct1) then have "P(a)" by (rule allE) have "∀x. Q(x)" using assms by (rule conjunct2) then have "Q(a)" by (rule allE) with ‹P(a)› show "P(a) ∧ Q(a)" by (rule conjI) qed ― ‹La demostración estructurada es› lemma ejemplo_6_2b: assumes "(∀x. P(x)) ∧ (∀x. Q(x))" shows "∀x. P(x) ∧ Q(x)" proof fix a have "∀x. P(x)" using assms .. then have "P(a)" .. have "∀x. Q(x)" using assms .. then have "Q(a)" .. with ‹P(a)› show "P(a) ∧ Q(a)" .. qed ― ‹La demostración automática es› lemma ejemplo_6_2c: assumes "(∀x. P(x)) ∧ (∀x. Q(x))" shows "∀x. P(x) ∧ Q(x)" using assms by simp text ‹Ejemplo 6.3 (p. 20). Demostrar ⊢ ∀x. P(x) ∧ Q(x) ⟷ (∀x. P(x)) ∧ (∀x. Q(x))› ― ‹La demostración detallada es› lemma ejemplo_6_3a: "(∀x. P(x) ∧ Q(x)) ⟷ ((∀x. P(x)) ∧ (∀x. Q(x)))" proof (rule iffI) assume "∀x. P(x) ∧ Q(x)" then show "(∀x. P(x)) ∧ (∀x. Q(x))" by (rule ejemplo_6_1a) next assume "(∀x. P(x)) ∧ (∀x. Q(x))" then show "∀x. P(x) ∧ Q(x)" by (rule ejemplo_6_2a) qed lemma "(∀x. P(x) ∨ Q(x)) ⟷ ((∀x. P(x)) ∨ (∀x. Q(x)))" oops text ‹Ejemplo 7.1 (p. 21). Demostrar (∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x)) ⊢ ∃x. P(x) ∨ Q(x)› ― ‹La demostración detallada es› lemma ejemplo_7_1a: assumes "(∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))" shows "∃x. P(x) ∨ Q(x)" using assms proof (rule disjE) assume "∃x. P(x)" then obtain a where "P(a)" by (rule exE) then have "P(a) ∨ Q(a)" by (rule disjI1) then show "∃x. P(x) ∨ Q(x)" by (rule exI) next assume "∃x. Q(x)" then obtain a where "Q(a)" by (rule exE) then have "P(a) ∨ Q(a)" by (rule disjI2) then show "∃x. P(x) ∨ Q(x)" by (rule exI) qed ― ‹La demostración estructurada es› lemma ejemplo_7_1b: assumes "(∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))" shows "∃x. P(x) ∨ Q(x)" using assms proof assume "∃x. P(x)" then obtain a where "P(a)" .. then have "P(a) ∨ Q(a)" .. then show "∃x. P(x) ∨ Q(x)" .. next assume "∃x. Q(x)" then obtain a where "Q(a)" .. then have "P(a) ∨ Q(a)" .. then show "∃x. P(x) ∨ Q(x)" .. qed ― ‹La demostración automática es› lemma ejemplo_7_1c: assumes "(∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))" shows "∃x. P(x) ∨ Q(x)" using assms by auto text ‹Ejemplo 7.2 (p. 22). Demostrar ∃x. P(x) ∨ Q(x) ⊢ (∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))› ― ‹La demostración detallada es› lemma ejemplo_7_2a: assumes "∃x. P(x) ∨ Q(x)" shows "(∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))" proof - obtain a where "P(a) ∨ Q(a)" using assms by (rule exE) then show "(∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))" proof (rule disjE) assume "P(a)" then have "∃x. P(x)" by (rule exI) then show "(∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))" by (rule disjI1) next assume "Q(a)" then have "∃x. Q(x)" by (rule exI) then show "(∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))" by (rule disjI2) qed qed ― ‹La demostración estructurada es› lemma ejercicio_7_2b: assumes "∃x. P(x) ∨ Q(x)" shows "(∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))" proof - obtain a where "P(a) ∨ Q(a)" using assms .. then show "(∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))" proof assume "P(a)" then have "∃x. P(x)" .. then show "(∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))" .. next assume "Q(a)" then have "∃x. Q(x)" .. then show "(∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))" .. qed qed ― ‹La demostración automática es› lemma ejercicio_7_2c: assumes "∃x. P(x) ∨ Q(x)" shows "(∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))" using assms by auto text ‹Ejemplo 7.3 (p. 23). Demostrar ⊢ ((∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))) ⟷ (∃x. P(x) ∨ Q(x))› ― ‹La demostración detallada es› lemma ejemplo_7_3a: "((∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))) ⟷ (∃x. P(x) ∨ Q(x))" proof (rule iffI) assume "(∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))" then show "∃x. P(x) ∨ Q(x)" by (rule ejemplo_7_1a) next assume "∃x. P(x) ∨ Q(x)" then show "(∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))" by (rule ejemplo_7_2a) qed ― ‹La demostración automática es› lemma ejemplo_7_3b: "((∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x))) ⟷ (∃x. P(x) ∨ Q(x))" by auto lemma "((∃x. P(x)) ∧ (∃x. Q(x))) ⟷ (∃x. P(x) ∧ Q(x))" oops text ‹Ejemplo 8.1 (p. 24). Demostrar ∃x y. P(x,y) ⊢ ∃y x. P(x,y)› ― ‹La demostración detallada es› lemma ejemplo_8_1a: assumes "∃x y. P(x,y)" shows "∃y x. P(x,y)" proof - obtain a where "∃y. P(a,y)" using assms by (rule exE) then obtain b where "P(a,b)" by (rule exE) then have "∃x. P(x,b)" by (rule exI) then show "∃y x. P(x,y)" by (rule exI) qed ― ‹La demostración estructurada es› lemma ejemplo_8_1b: assumes "∃x y. P(x,y)" shows "∃y x. P(x,y)" proof - obtain a where "∃y. P(a,y)" using assms .. then obtain b where "P(a,b)" .. then have "∃x. P(x,b)" .. then show "∃y x. P(x,y)" .. qed ― ‹La demostración automática es› lemma ejemplo_8_1c: assumes "∃x y. P(x,y)" shows "∃y x. P(x,y)" using assms by auto text ‹Ejemplo 8.2. Demostrar ∃y x. P(x,y) ⊢ ∃x y. P(x,y)› ― ‹La demostración detallada es› lemma ejemplo_8_2a: assumes "∃y x. P(x,y)" shows "∃x y. P(x,y)" proof - obtain b where "∃x. P(x,b)" using assms by (rule exE) then obtain a where "P(a,b)" by (rule exE) then have "∃y. P(a,y)" by (rule exI) then show "∃x y. P(x,y)" by (rule exI) qed ― ‹La demostración estructurada es› lemma ejemplo_8_2b: assumes "∃y x. P(x,y)" shows "∃x y. P(x,y)" proof - obtain b where "∃x. P(x,b)" using assms .. then obtain a where "P(a,b)" .. then have "∃y. P(a,y)" .. then show "∃x y. P(x,y)" .. qed ― ‹La demostración estructurada es› lemma ejemplo_8_2c: assumes "∃y x. P(x,y)" shows "∃x y. P(x,y)" using assms by auto text ‹Ejemplo 8.3 (p. 25). Demostrar ⊢ (∃x y. P(x,y)) ⟷ (∃y x. P(x,y))› ― ‹La demostración detallada es› lemma ejemplo_8_3a: "(∃x y. P(x,y)) ⟷ (∃y x. P(x,y))" proof (rule iffI) assume "∃x y. P(x,y)" then show "∃y x. P(x,y)" by (rule ejemplo_8_1a) next assume "∃y x. P(x,y)" then show "∃x y. P(x,y)" by (rule ejemplo_8_2a) qed ― ‹La demostración automática es› lemma ejemplo_8_3b: "(∃x y. P(x,y)) ⟷ (∃y x. P(x,y))" by auto section ‹Reglas de la igualdad› text ‹ Las reglas básicas de la igualdad son: · refl: t = t · subst: ⟦s = t; P s⟧ ⟹ P t › text ‹Ejemplo 9 (p. 27). Demostrar x + 1 = 1 + x, x + 1 > 1 ⟶ x + 1 > 0 ⊢ 1 + x > 1 ⟶ 1 + x > 0 › ― ‹La demostración detallada es› lemma ejemplo_9a: assumes "x + 1 = 1 + x" "x + 1 > 1 ⟶ x + 1 > 0" shows "1 + x > 1 ⟶ 1 + x > 0" proof - show "1 + x > 1 ⟶ 1 + x > 0" using assms by (rule subst) qed ― ‹La demostración estructurada es› lemma ejemplo_9b: assumes "x + 1 = 1 + x" "x + 1 > 1 ⟶ x + 1 > 0" shows "1 + x > 1 ⟶ 1 + x > 0" using assms by (rule subst) ― ‹La demostración automática es› lemma ejemplo_9c: assumes "x + 1 = 1 + x" "x + 1 > 1 ⟶ x + 1 > 0" shows "1 + x > 1 ⟶ 1 + x > 0" using assms by auto text ‹Ejemplo 10 (p. 27). Demostrar x = y, y = z ⊢ x = z › ― ‹La demostración detallada es› lemma ejemplo_10a: assumes "x = y" "y = z" shows "x = z" proof - show "x = z" using assms(2, 1) by (rule subst) qed ― ‹La demostración estructurada es› lemma ejemplo_10b: assumes "x = y" "y = z" shows "x = z" using assms(2, 1) by (rule subst) ― ‹La demostración automática es› lemma ejemplo_10c: assumes "x = y" "y = z" shows "x = z" using assms by auto text ‹Ejemplo 11 (p. 28). Demostrar s = t ⊢ t = s › ― ‹La demostración detallada es› lemma ejemplo_11a: assumes "s = t" shows "t = s" proof - have "s = s" by (rule refl) with assms show "t = s" by (rule subst) qed ― ‹La demostración automática es› lemma ejemplo_11b: assumes "s = t" shows "t = s" using assms by auto end |