LMF2018: Definiciones inductivas en Isabelle/HOL
En la segunda parte de la clase de hoy del curso de Lógica matemática y fundamentos se ha estudiado cómo definir en Isabelle/HOL conjuntos y relaciones inductivas y cómo demostrar sus propiedades.
La clase se ha basado en la siguiente teoría Isabelle
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chapter {* Tema 9: Definiciones inductivas *} theory T9_Definiciones_inductivas imports Main begin section {* El conjunto de los números pares *} text {* · El conjunto de los números pares se define inductivamente como el menor conjunto que contiene al 0 y es cerrado por la operación (+2). · El conjunto de los números pares también puede definirse como los naturales divisible por 2. · Veremos cómo se escriben las dos definiciones en Isabelle/HOL y cómo se demuestra su equivalencia. *} subsection {* Definición inductiva del conjunto de los pares *} inductive_set par :: "nat set" where cero [intro!]: "0 ∈ par" | paso [intro!]: "n ∈ par ⟹ (Suc (Suc n)) ∈ par" text {* · Una definición inductiva está formada con reglas de introducción. · La definición inductiva genera varios teoremas: · par.cero: 0 ∈ par · par.paso: n ∈ par ⟹ Suc (Suc n) ∈ par · par.simps: (a ∈ par) = (a = 0 ∨ (∃n. a = Suc (Suc n) ∧ n ∈ par)) *} subsection {* Uso de las reglas de introducción *} text {* Lema: Los números de la forma 2*k son pares. *} ― ‹La demostración aplicativa es› lemma dobles_son_pares [intro!]: "2*k ∈ par" apply (induct k) (* 1. 2 * 0 ∈ par 2. ⋀k. 2 * k ∈ par ⟹ 2 * Suc k ∈ par *) apply auto (* *) done ― ‹La demostración automática es› lemma dobles_son_pares_2: "2*k ∈ par" by (induct k) auto ― ‹La demostración estructurada es› lemma dobles_son_pares_3: "2*k ∈ par" proof (induct k) show "2 * 0 ∈ par" by auto next show "⋀k. 2 * k ∈ par ⟹ 2 * Suc k ∈ par" by auto qed text {* · Nota: Nuestro objetivo es demostrar la equivalencia de la definición anterior y la definición mediante divisibilidad (even). · Lema: Si n es divisible por 2, entonces es par. *} lemma even_imp_par: "even n ⟹ n ∈ par" by auto subsection {* Regla de inducción *} text {* Entre las reglas generadas por la definión de par está la de inducción: · par.induct: ⟦ x ∈ par; P 0; ⋀n. ⟦n ∈ par; P n⟧ ⟹ P (Suc (Suc n))⟧ ⟹ P x *} text {* Lema: Los números pares son divisibles por 2. *} ― ‹Demostración aplicativa› lemma par_imp_even: "n ∈ par ⟹ even n" apply (induction rule: par.induct) (* 1. even 0 2. ⋀n. ⟦n ∈ par; even n⟧ ⟹ even (Suc (Suc n)) *) apply (simp only: dvd_def) (* 1. ∃k. 0 = 2 * k 2. ⋀n. ⟦n ∈ par; even n⟧ ⟹ even (Suc (Suc n)) *) apply (rule_tac x=0 in exI) (* 1. 0 = 2 * 0 2. ⋀n. ⟦n ∈ par; even n⟧ ⟹ even (Suc (Suc n)) *) apply simp (* ⋀n. ⟦n ∈ par; even n⟧ ⟹ even (Suc (Suc n)) *) apply (simp only: dvd_def) (* ⋀n. ⟦n ∈ par; ∃k. n = 2 * k⟧ ⟹ ∃k. Suc (Suc n) = 2 * k *) apply (erule exE) (* ⋀n k. ⟦n ∈ par; n = 2 * k⟧ ⟹ ∃k. Suc (Suc n) = 2 * k*) apply (rule_tac x="k+1" in exI) (* ⋀n k. ⟦n ∈ par; n = 2 * k⟧ ⟹ Suc (Suc n) = 2 * (k + 1) *) apply simp (* *) done ― ‹2ª demostración aplicativa› lemma par_imp_even_2: "n ∈ par ⟹ even n" apply (induction rule: par.induct) (* 1. even 0 2. ⋀n. ⟦n ∈ par; even n⟧ ⟹ even (Suc (Suc n)) *) apply simp_all (* *) done ― ‹Demostración automática› lemma par_imp_even_3: "n ∈ par ⟹ even n" by (induction rule:par.induct) simp_all ― ‹Demostración declarativa› lemma par_imp_even_4: "n ∈ par ⟹ even n" proof (induction rule: par.induct) show "even 0" by simp next fix n::nat assume H1: "n ∈ par" and H2: "even n" have "∃k. n = 2*k" using H2 by (simp add: dvd_def) then obtain k where "n = 2*k" .. then have "Suc (Suc n) = 2*(k+1)" by simp then have "∃k. Suc (Suc n) = 2*k" .. then show "even (Suc (Suc n))" by (simp add: dvd_def) qed ― ‹2ª demostración declarativa› lemma par_imp_even_5: "n ∈ par ⟹ even n" proof (induction rule: par.induct) show "even 0" by simp next fix n::nat assume H1: "n ∈ par" and H2: "even n" then show "even (Suc (Suc n))" by simp qed text {* Lema: Un número n es par syss es divisible por 2. *} theorem par_iff_even: "(n ∈ par) = (even n)" by (blast intro: even_imp_par par_imp_even) subsection{* Generalización y regla de inducción *} text {* · Antes de aplicar inducción se debe de generalizar la fórmula a probar. · Vamos a ilustrar el principio anterior en el caso de los conjuntos inductivamente definidos, con el siguiente ejemplo: si n+2 es par, entonces n también lo es. · El siguiente intento falla: *} lemma "Suc (Suc n) ∈ par ⟹ n ∈ par" apply (erule par.induct) (* 1. n ∈ par 2. ⋀na. ⟦na ∈ par; n ∈ par⟧ ⟹ n ∈ par *) oops text {* En el intento anterior, los subobjetivos generados son 1. n ∈ par 2. ⋀na. ⟦na ∈ par; n ∈ par⟧ ⟹ n ∈ par que no se pueden demostrar. Se ha perdido la información sobre Suc (Suc n). *} text {* Reformulación del lema: Si n es par, entonces n-2 también lo es. *} ― ‹La demostración aplicativa es› lemma par_imp_par_menos: "n ∈ par ⟹ n - 2 ∈ par" apply (induction rule: par.induct) (* 1. 0 - 2 ∈ par 2. ⋀n. ⟦n ∈ par; n - 2 ∈ par⟧ ⟹ Suc (Suc n) - 2 ∈ par *) apply auto (* *) done ― ‹La demostración automática es› lemma par_imp_par_menos_2: "n ∈ par ⟹ n - 2 ∈ par" by (induction rule: par.induct) auto ― ‹La demostración estructurada es› lemma "n ∈ par ⟹ n - 2 ∈ par" proof (induction rule:par.induct) show "0 - 2 ∈ par" by auto next show "⋀n. ⟦n ∈ par; n - 2 ∈ par⟧ ⟹ Suc (Suc n) - 2 ∈ par" by auto qed text {* Con el lema anterior se puede demostrar el original. *} ― ‹La demostración aplicativa es› lemma "Suc (Suc n) ∈ par ⟹ n ∈ par" apply (drule par_imp_par_menos_2) (* Suc (Suc n) - 2 ∈ par ⟹ n ∈ par *) apply simp (* *) done ― ‹La demostración automática es› lemma Suc_Suc_par_imp_par: "Suc (Suc n) ∈ par ⟹ n ∈ par" by (drule par_imp_par_menos_2, simp) ― ‹La demostración declarativa es› lemma assumes "Suc (Suc n) ∈ par" shows "n ∈ par" proof - have "Suc (Suc n) - 2 ∈ par" using assms by (rule par_imp_par_menos_2) then show "n ∈ par" by simp qed text {* Lemma. Un número natural n es par syss n+2 es par. *} lemma [iff]: "((Suc (Suc n)) ∈ par) = (n ∈ par)" by (blast dest: Suc_Suc_par_imp_par) text {* Se usa el atributo "iff" porque sirve como regla de simplificación. *} subsection {* Definiciones mutuamente inductivas *} text {* Definición cruzada de los conjuntos inductivos de los pares y de los impares: *} inductive_set Pares :: "nat set" and Impares :: "nat set" where ceroP: "0 ∈ Pares" | ParesI: "n ∈ Impares ⟹ Suc n ∈ Pares" | ImparesI: "n ∈ Pares ⟹ Suc n ∈ Impares" text {* El esquema de inducción generado por la definición anterior es · Pares_Impares.induct: ⟦P1 0; ⋀n. ⟦n ∈ Impares; P2 n⟧ ⟹ P1 (Suc n); ⋀n. ⟦n ∈ Pares; P1 n⟧ ⟹ P2 (Suc n)⟧ ⟹ (x1 ∈ Pares ⟶ P1 x1) ∧ (x2 ∈ Impares ⟶ P2 x2) *} text {* Ejemplo de demostración usando el esquema anterior. *} ― ‹Demostración aplicativa› lemma "(m ∈ Pares ⟶ even m) ∧ (n ∈ Impares ⟶ even (Suc n))" apply (induction rule: Pares_Impares.induct) (* 1. even 0 2. ⋀n. ⟦n ∈ Impares; even (Suc n)⟧ ⟹ even (Suc n) 3. ⋀n. ⟦n ∈ Pares; even n⟧ ⟹ even (Suc (Suc n))*) apply auto (* *) done ― ‹Demostración automática› lemma "(m ∈ Pares ⟶ even m) ∧ (n ∈ Impares ⟶ even (Suc n))" by (induction rule: Pares_Impares.induct) auto ― ‹La demostración declarativa es› lemma "(m ∈ Pares ⟶ even m) ∧ (n ∈ Impares ⟶ even (Suc n))" proof (induction rule:Pares_Impares.induct) show "even (0::nat)" by simp next fix n :: "nat" assume H1: "n ∈ Impares" and H2: "even (Suc n)" show "even (Suc n)" using H2 by simp next fix n :: "nat" assume H1: "n ∈ Pares" and H2: "even n" have "∃k. n = 2*k" using H2 by (simp add: dvd_def) then obtain k where "n = 2*k" .. then have "Suc (Suc n) = 2*(k+1)" by auto then have "∃k. Suc (Suc n) = 2*k" .. then show "even (Suc (Suc n))" by (simp add: dvd_def) qed subsection {* Definición inductiva de predicados *} text {* Definición inductiva del predicado es_par tal que (es_par n) se verifica si n es par. *} inductive es_par :: "nat ⇒ bool" where "es_par 0" | "es_par n ⟹ es_par (Suc(Suc n))" text {* Heurística para elegir entre definir conjuntos o predicados: · si se va a combinar con operaciones conjuntistas, definir conjunto; · en caso contrario, definir predicado. *} end |