LMF2018: Deducción natural proposicional (2)
En la primera parte de la clase de hoy del curso Lógica matemática y fundamentos se ha continuado el estudio de la deducción natural en la lógica proposicional.
Se han estudiado las siguientes reglas:
- Regla de copia
- Reglas de la negación
- Reglas del bicondicional
- Regla del modus tollens
- Regla de introducción de doble negación
- Regla de reducción al absurdo
- Ley del tercio excluido
Las transparencias correspondientes son las 13-28 del tema 2.
En la segunda parte se ha estudiado cómo formalizar demostraciones en Isabelle/HOL.
La teoría con los ejemplos presentados en la clase es la siguiente:
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chapter {* Tema 2a: Deducción natural proposicional con Isabelle/HOL *} theory T2a_Deduccion_natural_en_logica_proposicional_con_Isabelle imports Main begin text {* En este tema se presentan los ejemplos del tema de deducción natural proposicional siguiendo la presentación de Huth y Ryan en su libro "Logic in Computer Science" http://goo.gl/qsVpY y, más concretamente, a la forma como se explica en la asignatura de "Lógica informática" (LI) http://goo.gl/AwDiv La página al lado de cada ejemplo indica la página de las transparencias de LI donde se encuentra la demostración. *} subsection {* Reglas de la conjunción *} text {* Ejemplo 1 (p. 4). Demostrar que p ∧ q, r ⊢ q ∧ r. *} ― ‹La demostración detallada es› lemma ejemplo_1_1: assumes 1: "p ∧ q" and 2: "r" shows "q ∧ r" proof - have 3: "q" using 1 by (rule conjunct2) show 4: "q ∧ r" using 3 2 by (rule conjI) qed text {* Notas sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado · "assumes" para indicar las hipótesis, · "and" para separar las hipótesis, · "shows" para indicar la conclusión, · "proof" para iniciar la prueba, · "qed" para terminar la pruebas, · "-" (después de "proof") para no usar el método por defecto, · "have" para establecer un paso, · "using" para usar hechos en un paso, · "by (rule ..)" para indicar la regla con la que se peueba un hecho, · "show" para establecer la conclusión. Notas sobre la lógica: Las reglas de la conjunción son · conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q · conjunct1: P ∧ Q ⟹ P · conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q *} text {* Se pueden dejar implícitas las reglas como sigue *} lemma ejemplo_1_2: assumes 1: "p ∧ q" and 2: "r" shows "q ∧ r" proof - have 3: "q" using 1 .. show 4: "q ∧ r" using 3 2 .. qed text {* Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado · ".." para indicar que se prueba por la regla correspondiente. *} text {* Se pueden eliminar las etiquetas como sigue *} lemma ejemplo_1_3: assumes "p ∧ q" "r" shows "q ∧ r" proof - have "q" using assms(1) .. thus "q ∧ r" using assms(2) .. qed text {* Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado · "assms(n)" para indicar la hipótesis n y · "thus" para demostrar la conclusión usando el hecho anterior. Además, no es necesario usar and entre las hipótesis. *} text {* Se puede automatizar la demostración como sigue *} lemma ejemplo_1_4: assumes "p ∧ q" "r" shows "q ∧ r" using assms by auto text {* Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado · "assms" para indicar las hipótesis y · "by auto" para demostrar la conclusión automáticamente. *} text {* Se puede automatizar totalmente la demostración como sigue *} lemma ejemplo_1_5: "⟦p ∧ q; r⟧ ⟹ q ∧ r" by auto text {* Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado · "⟦ ... ⟧" para representar las hipótesis, · ";" para separar las hipótesis y · "⟹" para separar las hipótesis de la conclusión. *} text {* Se puede hacer la demostración por razonamiento hacia atrás, como sigue *} lemma ejemplo_1_6: assumes "p ∧ q" and "r" shows "q ∧ r" proof (rule conjI) show "q" using assms(1) by (rule conjunct2) next show "r" using assms(2) by this qed text {* Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado · "proof (rule r)" para indicar que se hará la demostración con la regla r, · "next" para indicar el comienzo de la prueba del siguiente subobjetivo, · "this" para indicar el hecho actual. *} text {* Se pueden dejar implícitas las reglas como sigue *} lemma ejemplo_1_7: assumes "p ∧ q" "r" shows "q ∧ r" proof show "q" using assms(1) .. next show "r" using assms(2) . qed text {* Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado · "." para indicar por el hecho actual. *} subsection {* Reglas de la doble negación *} text {* La regla de eliminación de la doble negación es · notnotD: ¬¬ P ⟹ P Para ajustarnos al tema de LI vamos a introducir la siguiente regla de introducción de la doble negación · notnotI: P ⟹ ¬¬ P aunque, de momento, no detallamos su demostración. *} lemma notnotI [intro!]: "P ⟹ ¬¬ P" by auto text {* Ejemplo 2. (p. 5) p, ¬¬(q ∧ r) ⊢ ¬¬p ∧ r *} ― ‹La demostración detallada es› lemma ejemplo_2_1: assumes 1: "p" and 2: "¬¬(q ∧ r)" shows "¬¬p ∧ r" proof - have 3: "¬¬p" using 1 by (rule notnotI) have 4: "q ∧ r" using 2 by (rule notnotD) have 5: "r" using 4 by (rule conjunct2) show 6: "¬¬p ∧ r" using 3 5 by (rule conjI) qed ― ‹La demostración estructurada es› lemma ejemplo_2_2: assumes "p" "¬¬(q ∧ r)" shows "¬¬p ∧ r" proof - have "¬¬p" using assms(1) .. have "q ∧ r" using assms(2) by (rule notnotD) hence "r" .. with `¬¬p` show "¬¬p ∧ r" .. qed text {* Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado · "hence" para indicar que se tiene por el hecho anterior, · `...` para referenciar un hecho y · "with P show Q" para indicar que con el hecho anterior junto con el hecho P se demuestra Q. *} ― ‹La demostración automática es› lemma ejemplo_2_3: assumes "p" "¬¬(q ∧ r)" shows "¬¬p ∧ r" using assms by auto text {* Se puede demostrar hacia atrás *} lemma ejemplo_2_4: assumes "p" "¬¬(q ∧ r)" shows "¬¬p ∧ r" proof (rule conjI) show "¬¬p" using assms(1) by (rule notnotI) next have "q ∧ r" using assms(2) by (rule notnotD) thus "r" by (rule conjunct2) qed text {* Se puede eliminar las reglas en la demostración anterior, como sigue: *} lemma ejemplo_2_5: assumes "p" "¬¬(q ∧ r)" shows "¬¬p ∧ r" proof show "¬¬p" using assms(1) .. next have "q ∧ r" using assms(2) by (rule notnotD) thus "r" .. qed subsection {* Regla de eliminación del condicional *} text {* La regla de eliminación del condicional es la regla del modus ponens · mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q *} text {* Ejemplo 3. (p. 6) Demostrar que ¬p ∧ q, ¬p ∧ q ⟶ r ∨ ¬p ⊢ r ∨ ¬p *} ― ‹La demostración detallada es› lemma ejemplo_3_1: assumes 1: "¬p ∧ q" and 2: "¬p ∧ q ⟶ r ∨ ¬p" shows "r ∨ ¬p" proof - show "r ∨ ¬p" using 2 1 by (rule mp) qed ― ‹La demostración estructurada es› lemma ejemplo_3_2: assumes "¬p ∧ q" "¬p ∧ q ⟶ r ∨ ¬p" shows "r ∨ ¬p" proof - show "r ∨ ¬p" using assms(2,1) .. qed ― ‹La demostración automática es› lemma ejemplo_3_3: assumes "¬p ∧ q" "¬p ∧ q ⟶ r ∨ ¬p" shows "r ∨ ¬p" using assms by auto text {* Ejemplo 4 (p. 6) Demostrar que p, p ⟶ q, p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ r *} ― ‹La demostración detallada es› lemma ejemplo_4_1: assumes 1: "p" and 2: "p ⟶ q" and 3: "p ⟶ (q ⟶ r)" shows "r" proof - have 4: "q" using 2 1 by (rule mp) have 5: "q ⟶ r" using 3 1 by (rule mp) show 6: "r" using 5 4 by (rule mp) qed ― ‹La demostración estructurada es› lemma ejemplo_4_2: assumes "p" "p ⟶ q" "p ⟶ (q ⟶ r)" shows "r" proof - have "q" using assms(2,1) .. have "q ⟶ r" using assms(3,1) .. thus "r" using `q` .. qed ― ‹La demostración automática es› lemma ejemplo_4_3: "⟦p; p ⟶ q; p ⟶ (q ⟶ r)⟧ ⟹ r" by auto subsection {* Regla derivada del modus tollens *} text {* Para ajustarnos al tema de LI vamos a introducir la regla del modus tollens · mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F aunque, de momento, sin detallar su demostración. *} lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F" by auto text {* Ejemplo 5 (p. 7). Demostrar p ⟶ (q ⟶ r), p, ¬r ⊢ ¬q *} ― ‹La demostración detallada es› lemma ejemplo_5_1: assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)" and 2: "p" and 3: "¬r" shows "¬q" proof - have 4: "q ⟶ r" using 1 2 by (rule mp) show "¬q" using 4 3 by (rule mt) qed ― ‹La demostración estructurada es› lemma ejemplo_5_2: assumes "p ⟶ (q ⟶ r)" "p" "¬r" shows "¬q" proof - have "q ⟶ r" using assms(1,2) .. thus "¬q" using assms(3) by (rule mt) qed ― ‹La demostración automática es› lemma ejemplo_5_3: assumes "p ⟶ (q ⟶ r)" "p" "¬r" shows "¬q" using assms by auto text {* Ejemplo 6. (p. 7) Demostrar ¬p ⟶ q, ¬q ⊢ p *} ― ‹La demostración detallada es› lemma ejemplo_6_1: assumes 1: "¬p ⟶ q" and 2: "¬q" shows "p" proof - have 3: "¬¬p" using 1 2 by (rule mt) show "p" using 3 by (rule notnotD) qed ― ‹La demostración estructurada es› lemma ejemplo_6_2: assumes "¬p ⟶ q" "¬q" shows "p" proof - have "¬¬p" using assms(1,2) by (rule mt) thus "p" by (rule notnotD) qed ― ‹La demostración automática es› lemma ejemplo_6_3: "⟦¬p ⟶ q; ¬q⟧ ⟹ p" by auto text {* Ejemplo 7. (p. 7) Demostrar p ⟶ ¬q, q ⊢ ¬p *} ― ‹La demostración detallada es› lemma ejemplo_7_1: assumes 1: "p ⟶ ¬q" and 2: "q" shows "¬p" proof - have 3: "¬¬q" using 2 by (rule notnotI) show "¬p" using 1 3 by (rule mt) qed ― ‹La demostración detallada es› lemma ejemplo_7_2: assumes "p ⟶ ¬q" "q" shows "¬p" proof - have "¬¬q" using assms(2) by (rule notnotI) with assms(1) show "¬p" by (rule mt) qed ― ‹La demostración estructurada es› lemma ejemplo_7_3: "⟦p ⟶ ¬q; q⟧ ⟹ ¬p" by auto subsection {* Regla de introducción del condicional *} text {* La regla de introducción del condicional es · impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q *} text {* Ejemplo 8. (p. 8) Demostrar p ⟶ q ⊢ ¬q ⟶ ¬p *} ― ‹La demostración detallada es› lemma ejemplo_8_1: assumes 1: "p ⟶ q" shows "¬q ⟶ ¬p" proof - { assume 2: "¬q" have "¬p" using 1 2 by (rule mt) } thus "¬q ⟶ ¬p" by (rule impI) qed text {* Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado · "{ ... }" para representar una caja. *} ― ‹La demostración estructurada es› lemma ejemplo_8_2: assumes "p ⟶ q" shows "¬q ⟶ ¬p" proof assume "¬q" with assms show "¬p" by (rule mt) qed ― ‹La demostración automática es› lemma ejemplo_8_3: assumes "p ⟶ q" shows "¬q ⟶ ¬p" using assms by auto end |
Finalmente, se han propuesto la resolución de los ejercicios 2.5.37 a 2.5.56 del Libro de ejercicios