LMF2014: Tableros semánticos en Haskell
En la clase de hoy del curso de Lógica matemática y fundamentos (de 3º de Grado en Matemáticas) se ha comentado las soluciones de los ejercicios sobre la implementación en Haskell de los tableros semánticos.
En los ejercicios se usa el módulo SintaxisSemantica desarrollado anteriormente.
Las soluciones de los ejercicios se muestran a continuación.
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module TablerosSemanticos where -- --------------------------------------------------------------------- -- Librerías auxiliares -- -- --------------------------------------------------------------------- import SintaxisSemantica import Data.List -- --------------------------------------------------------------------- -- Literales -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 0: Definir la función -- literal :: Prop -> Bool -- tal que (literal f) se verifica si la fórmula F es un literal. Por -- ejemplo, -- literal p == True -- literal (no p) == True -- literal (no (p --> q)) == False -- --------------------------------------------------------------------- literal :: Prop -> Bool literal (Atom f) = True literal (Neg (Atom f)) = True literal _ = False -- --------------------------------------------------------------------- -- Notación uniforme -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1: Definir la función -- dobleNegacion :: Prop -> Bool -- tal que (dobleNegacion f) se verifica si f es una doble negación. Por -- ejemplo, -- dobleNegacion (no (no p)) ==> True -- dobleNegacion (no (p --> q)) ==> False -- --------------------------------------------------------------------- dobleNegacion :: Prop -> Bool dobleNegacion (Neg (Neg _)) = True dobleNegacion _ = False -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2: Definir la función -- alfa :: Prop -> Bool -- tal que (alfa f) se verifica si f es una fórmula alfa. -- --------------------------------------------------------------------- alfa :: Prop -> Bool alfa (Conj _ _) = True alfa (Neg (Impl _ _)) = True alfa (Neg (Disj _ _)) = True alfa _ = False -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3: Definir la función -- beta :: Prop -> Bool -- tal que (beta d) se verifica si f es una fórmula beta. -- --------------------------------------------------------------------- beta :: Prop -> Bool beta (Disj _ _) = True beta (Impl _ _) = True beta (Neg (Conj _ _)) = True beta (Equi _ _) = True beta (Neg (Equi _ _)) = True beta _ = False -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4: Definir la función -- componentes :: Prop -> [Prop] -- tal que (componentes ) es la lista de las componentes de la fórmula -- f. Por ejemplo, -- componentes (p /\ q --> r) ==> [no (p /\ q),r] -- componentes (no (p /\ q --> r)) ==> [(p /\ q),no r] -- --------------------------------------------------------------------- componentes :: Prop -> [Prop] componentes (Neg (Neg f)) = [f] componentes (Conj f g) = [f, g] componentes (Neg (Impl f g)) = [f, Neg g] componentes (Neg (Disj f g)) = [Neg f, Neg g] componentes (Disj f g) = [f, g] componentes (Impl f g) = [Neg f, g] componentes (Neg (Conj f g)) = [Neg f, Neg g] componentes (Equi f g) = [Conj f g, Conj (Neg f) (Neg g)] componentes (Neg (Equi f g)) = [Conj f (Neg g), Conj (Neg f) g] -- --------------------------------------------------------------------- -- Modelos mediante tableros -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5: Definir la función -- conjuntoDeLiterales :: [Prop] -> Bool -- tal que (conjuntoDeLiterales fs) se verifica si fs es un conjunto de -- literales. Por ejemplo, -- conjuntoDeLiterales [p --> q, no r, r /\ s, p] ==> False -- conjuntoDeLiterales [p, no q, r] ==> True -- --------------------------------------------------------------------- conjuntoDeLiterales :: [Prop] -> Bool conjuntoDeLiterales fs = and [literal f | f <- fs] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6: Definir la función -- tieneContradiccion :: [Prop] -> Bool -- tal que (tieneContradiccion fs) se verifica si fs contiene una -- fórmula y su negación. Por ejemplo, -- tieneContradiccion [r, p /\ q, s, no(p /\ q)] ==> True -- --------------------------------------------------------------------- tieneContradiccion :: [Prop] -> Bool -- tieneContradiccion fs -- | trace (" " ++ show fs) False = undefined tieneContradiccion fs = [f | f <- fs, elem (Neg f) fs] /= [] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7: Definir la función -- expansionDN :: [Prop] -> Prop -> [[Prop]] -- tal que (expansionDN fs f) es la expansión de fs mediante la doble -- negación f. Por ejemplo, -- expansionDN [p, no(no q), r] (no(no q)) ==> [[q,p,r]] -- --------------------------------------------------------------------- expansionDN :: [Prop] -> Prop -> [[Prop]] expansionDN fs f = [(componentes f) `union` (delete f fs)] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8: Definir la función -- expansionAlfa :: [Prop] -> Prop -> [[Prop]] -- tal que (expansionAlfa fs f) es la expansión de fs mediante la -- fórmula alfa f. Por ejemplo, -- expansionAlfa [q, (p1 /\ p2) , r] (p1 /\ p2) ==> [[p1,p2,q,r]] -- --------------------------------------------------------------------- expansionAlfa :: [Prop] -> Prop -> [[Prop]] expansionAlfa fs f = [(componentes f) `union` (delete f fs)] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9: Definir la función -- expansionBeta :: [Prop] -> Prop -> [[Prop]] -- tal que (expansionBeta fs f) es la expansión de fs mediante la -- fórmula beta f. Por ejemplo, -- expansionBeta [q, (p1 \/ p2) , r] (p1 \/ p2) ==> [[p1,q,r],[p2,q,r]] -- --------------------------------------------------------------------- expansionBeta :: [Prop] -> Prop -> [[Prop]] expansionBeta fs f = [[g] `union` (delete f fs) | g <- componentes f] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10: Definir la función -- sucesores :: [Prop] -> [[Prop]] -- tal que (sucesores fs) es la lista de sucesores de fs. Por ejemplo, -- sucesores [q \/ s, no(no r), p1 /\ p2] => [[r,(q \/ s),(p1 /\ p2)]] -- sucesores [r,(q \/ s),(p1 /\ p2)] => [[p1,p2,r,(q \/ s)]] -- sucesores [p1,p2,r,(q \/ s)] => [[q,p1,p2,r],[s,p1,p2,r]] -- --------------------------------------------------------------------- sucesores :: [Prop] -> [[Prop]] sucesores fs | doblesNegación /= [] = expansionDN fs (head doblesNegación) | alfas /= [] = expansionAlfa fs (head alfas) | betas /= [] = expansionBeta fs (head betas) where doblesNegación = [f | f <- fs, dobleNegacion f] alfas = [f | f <- fs, alfa f] betas = [f | f <- fs, beta f] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11: Definir la función -- modelosTab :: [Prop] -> [[Prop]] -- tal que (modelosTab fs) es el conjunto de los modelos de fs -- calculados mediante el método de tableros semánticos. Por ejemplo, -- modelosTab [p --> q, no(q --> p)] -- ==> [[no p,q],[q,no p]] -- modelosTab [p --> q, no q --> no p] -- ==> [[q,no p],[no p],[q],[no p,q]] -- --------------------------------------------------------------------- modelosTab :: [Prop] -> [[Prop]] modelosTab fs | tieneContradiccion fs = [] | conjuntoDeLiterales fs = [fs] | otherwise = unionGeneral [modelosTab gs | gs <- sucesores fs] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12: Definir la función -- subconjunto :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool -- tal que (subconjunto x y) se verifica si x es subconjunto de y. Por -- ejemplo, -- subconjunto [1,3] [3,2,1] ==> True -- subconjunto [1,3,5] [3,2,1] ==> False -- --------------------------------------------------------------------- subconjunto :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool subconjunto xs ys = and [elem x ys | x <- xs] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13: Definir la función -- modelosGenerales :: [Prop] -> [[Prop]] -- tal que (modelosGenerales fs) es el conjunto de los modelos generales -- de fs calculados mediante el método de tableros semánticos. Por -- ejemplo, -- modelosGenerales [p --> q, no q --> no p] ==> [[no p],[q]] -- --------------------------------------------------------------------- modelosGenerales :: [Prop] -> [[Prop]] modelosGenerales fs = [gs | gs <- modelos , [hs | hs <- delete gs modelos, subconjunto hs gs] == []] where modelos = modelosTab fs -- --------------------------------------------------------------------- -- Teoremas por tableros -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14: Definir la función -- esTeoremaPorTableros :: Prop -> Bool -- tal que (esTeoremaPorTableros f) se verifica si la fórmula f es -- teorema (mediante tableros semánticos). Por ejemplo, -- esTeoremaPorTableros (p --> p) ==> True -- esTeoremaPorTableros (p --> q) ==> False -- --------------------------------------------------------------------- esTeoremaPorTableros :: Prop -> Bool esTeoremaPorTableros f = modelosTab [Neg f] == [] -- --------------------------------------------------------------------- -- Consecuencia por tableros -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 15: Definir la función -- esDeduciblePorTableros :: [Prop] -> Prop -> Bool -- tal que (esDeduciblePorTableros fs f) se verifica si la fórmula f es -- consecuencia (mediante tableros) del conjunto de fórmulas fs. Por -- ejemplo, -- esDeduciblePorTableros [p --> q, q --> r] (p --> r) ==> True -- esDeduciblePorTableros [p --> q, q --> r] (p <--> r) ==> False -- --------------------------------------------------------------------- esDeduciblePorTableros :: [Prop] -> Prop -> Bool esDeduciblePorTableros fs f = modelosTab ((Neg f):fs) == [] |
El contenido del módulo SintaxisSemantica es
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module SintaxisSemantica where -- --------------------------------------------------------------------- -- Librerías auxiliares -- -- --------------------------------------------------------------------- import Data.List -- --------------------------------------------------------------------- -- Gramática de fórmulas prosicionales -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1: Definir los siguientes tipos de datos: -- * SimboloProposicional para representar los símbolos de proposiciones -- * Prop para representar las fórmulas proposicionales usando los -- constructores Atom, Neg, Conj, Disj, Impl y Equi para las fórmulas -- atómicas, negaciones, conjunciones, implicaciones y equivalencias, -- respectivamente. -- --------------------------------------------------------------------- type SimboloProposicional = String data Prop = Atom SimboloProposicional | Neg Prop | Conj Prop Prop | Disj Prop Prop | Impl Prop Prop | Equi Prop Prop deriving (Eq,Ord) instance Show Prop where show (Atom p) = p show (Neg p) = "no " ++ show p show (Conj p q) = "(" ++ show p ++ " /\\ " ++ show q ++ ")" show (Disj p q) = "(" ++ show p ++ " \\/ " ++ show q ++ ")" show (Impl p q) = "(" ++ show p ++ " --> " ++ show q ++ ")" show (Equi p q) = "(" ++ show p ++ " <--> " ++ show q ++ ")" -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2: Definir las siguientes fórmulas proposicionales -- atómicas: p, p1, p2, q, r, s, t y u. -- --------------------------------------------------------------------- p, p1, p2, q, r, s, t, u :: Prop p = Atom "p" p1 = Atom "p1" p2 = Atom "p2" q = Atom "q" r = Atom "r" s = Atom "s" t = Atom "t" u = Atom "u" -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3: Definir la función -- no :: Prop -> Prop -- tal que (no f) es la negación de f. -- --------------------------------------------------------------------- no :: Prop -> Prop no = Neg -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4: Definir los siguientes operadores -- (/\), (\/), (-->), (<-->) :: Prop -> Prop -> Prop -- tales que -- f /\ g es la conjunción de f y g -- f \/ g es la disyunción de f y g -- f --> g es la implicación de f a g -- f <--> g es la equivalencia entre f y g -- --------------------------------------------------------------------- infixr 5 \/ infixr 4 /\ infixr 3 --> infixr 2 <--> (/\), (\/), (-->), (<-->) :: Prop -> Prop -> Prop (/\) = Conj (\/) = Disj (-->) = Impl (<-->) = Equi -- --------------------------------------------------------------------- -- Símbolos proposicionales de una fórmula -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5: Definir la función -- simbolosPropForm :: Prop -> [Prop] -- tal que (simbolosPropForm f) es el conjunto formado por todos los -- símbolos proposicionales que aparecen en f. Por ejemplo, -- simbolosPropForm (p /\ q --> p) == [p,q] -- --------------------------------------------------------------------- simbolosPropForm :: Prop -> [Prop] simbolosPropForm (Atom f) = [(Atom f)] simbolosPropForm (Neg f) = simbolosPropForm f simbolosPropForm (Conj f g) = simbolosPropForm f `union` simbolosPropForm g simbolosPropForm (Disj f g) = simbolosPropForm f `union` simbolosPropForm g simbolosPropForm (Impl f g) = simbolosPropForm f `union` simbolosPropForm g simbolosPropForm (Equi f g) = simbolosPropForm f `union` simbolosPropForm g -- --------------------------------------------------------------------- -- Interpretaciones -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6: Definir el tipo de datos Interpretacion para -- representar las interpretaciones como listas de fórmulas atómicas. -- --------------------------------------------------------------------- type Interpretacion = [Prop] -- --------------------------------------------------------------------- -- Significado de una fórmula en una interpretación -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7: Definir la función -- significado :: Prop -> Interpretacion -> Bool -- tal que (significado f i) es el significado de f en i. Por ejemplo, -- significado ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) [r] == False -- significado ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) [p,r] == True -- --------------------------------------------------------------------- significado :: Prop -> Interpretacion -> Bool significado (Atom f) i = (Atom f) `elem` i significado (Neg f) i = not (significado f i) significado (Conj f g) i = (significado f i) && (significado g i) significado (Disj f g) i = (significado f i) || (significado g i) significado (Impl f g) i = significado (Disj (Neg f) g) i significado (Equi f g) i = significado (Conj (Impl f g) (Impl g f)) i -- --------------------------------------------------------------------- -- Interpretaciones de una fórmula -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8: Definir la función -- subconjuntos :: [a] -> [[a]] -- tal que (subconjuntos x) es la lista de los subconjuntos de x. Por -- ejmplo, -- subconjuntos "abc" == ["abc","ab","ac","a","bc","b","c",""] -- --------------------------------------------------------------------- subconjuntos :: [a] -> [[a]] subconjuntos [] = [[]] subconjuntos (x:xs) = [x:ys | ys <- xss] ++ xss where xss = subconjuntos xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9: Definir la función -- interpretacionesForm :: Prop -> [Interpretacion] -- tal que (interpretacionesForm f) es la lista de todas las -- interpretaciones de f. Por ejemplo, -- interpretacionesForm (p /\ q --> p) == [[p,q],[p],[q],[]] -- --------------------------------------------------------------------- interpretacionesForm :: Prop -> [Interpretacion] interpretacionesForm f = subconjuntos (simbolosPropForm f) -- --------------------------------------------------------------------- -- Modelos de fórmulas -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10: Definir la función -- esModeloFormula :: Interpretacion -> Prop -> Bool -- tal que (esModeloFormula i f) se verifica si i es un modelo de f. Por -- ejemplo, -- esModeloFormula [r] ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) == False -- esModeloFormula [p,r] ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) == True -- --------------------------------------------------------------------- esModeloFormula :: Interpretacion -> Prop -> Bool esModeloFormula i f = significado f i -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11: Definir la función -- modelosFormula :: Prop -> [Interpretacion] -- tal que (modelosFormula f) es la lista de todas las interpretaciones -- de f que son modelo de F. Por ejemplo, -- modelosFormula ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) -- == [[p,q,r],[p,r],[p],[q,r]] -- --------------------------------------------------------------------- modelosFormula :: Prop -> [Interpretacion] modelosFormula f = [i | i <- interpretacionesForm f, esModeloFormula i f] -- --------------------------------------------------------------------- -- Fórmulas válidas, satisfacibles e insatisfacibles -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12: Definir la función -- esValida :: Prop -> Bool -- tal que (esValida f) se verifica si f es válida. Por ejemplo, -- esValida (p --> p) == True -- esValida (p --> q) == False -- esValida ((p --> q) \/ (q --> p)) == True -- --------------------------------------------------------------------- esValida :: Prop -> Bool esValida f = modelosFormula f == interpretacionesForm f -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13: Definir la función -- esInsatisfacible :: Prop -> Bool -- tal que (esInsatisfacible f) se verifica si f es insatisfacible. Por -- ejemplo, -- esInsatisfacible (p /\ (no p)) == True -- esInsatisfacible ((p --> q) /\ (q --> r)) == False -- --------------------------------------------------------------------- esInsatisfacible :: Prop -> Bool esInsatisfacible f = modelosFormula f == [] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14: Definir la función -- esSatisfacible :: Prop -> Bool -- tal que (esSatisfacible f) se verifica si f es satisfacible. Por -- ejemplo, -- esSatisfacible (p /\ (no p)) == False -- esSatisfacible ((p --> q) /\ (q --> r)) == True -- --------------------------------------------------------------------- esSatisfacible :: Prop -> Bool esSatisfacible f = modelosFormula f /= [] -- --------------------------------------------------------------------- -- Símbolos proposicionales de un conjunto de fórmulas -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 15: Definir la función -- unionGeneral :: Eq a => [[a]] -> [a] -- tal que (unionGeneral x) es la unión de los conjuntos de la lista de -- conjuntos x. Por ejemplo, -- unionGeneral [] == [] -- unionGeneral [[1]] == [1] -- unionGeneral [[1],[1,2],[2,3]] == [1,2,3] -- --------------------------------------------------------------------- unionGeneral :: Eq a => [[a]] -> [a] unionGeneral [] = [] unionGeneral (x:xs) = x `union` unionGeneral xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16: Definir la función -- simbolosPropConj :: [Prop] -> [Prop] -- tal que (simbolosPropConj s) es el conjunto de los símbolos -- proposiciones de s. Por ejemplo, -- simbolosPropConj [p /\ q --> r, p --> s] == [p,q,r,s] -- --------------------------------------------------------------------- simbolosPropConj :: [Prop] -> [Prop] simbolosPropConj s = unionGeneral [simbolosPropForm f | f <- s] -- --------------------------------------------------------------------- -- Interpretaciones de un conjunto de fórmulas -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 17: Definir la función -- interpretacionesConjunto :: [Prop] -> [Interpretacion] -- tal que (interpretacionesConjunto s) es la lista de las -- interpretaciones de s. Por ejemplo, -- interpretacionesConjunto [p --> q, q --> r] -- == [[p,q,r],[p,q],[p,r],[p],[q,r],[q],[r],[]] -- --------------------------------------------------------------------- interpretacionesConjunto :: [Prop] -> [Interpretacion] interpretacionesConjunto s = subconjuntos (simbolosPropConj s) -- --------------------------------------------------------------------- -- Modelos de conjuntos de fórmulas -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 18: Definir la función -- esModeloConjunto :: Interpretacion -> [Prop] -> Bool -- tal que (esModeloConjunto i s) se verifica si i es modelo de s. Por -- ejemplo, -- esModeloConjunto [p,r] [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), q --> r] -- == True -- esModeloConjunto [p,r] [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), r --> q] -- == False -- --------------------------------------------------------------------- esModeloConjunto :: Interpretacion -> [Prop] -> Bool esModeloConjunto i s = and [esModeloFormula i f | f <- s] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 19: Definir la función -- modelosConjunto :: [Prop] -> [Interpretacion] -- tal que (modelosConjunto s) es la lista de modelos del conjunto -- s. Por ejemplo, -- modelosConjunto [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), q --> r] -- == [[p,q,r],[p,r],[p],[q,r]] -- modelosConjunto [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), r --> q] -- == [[p,q,r],[p],[q,r]] -- --------------------------------------------------------------------- modelosConjunto :: [Prop] -> [Interpretacion] modelosConjunto s = [i | i <- interpretacionesConjunto s, esModeloConjunto i s] -- --------------------------------------------------------------------- -- Conjuntos consistentes e inconsistentes de fórmulas -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 20: Definir la función -- esConsistente :: [Prop] -> Bool -- tal que (esConsistente s) se verifica si s es consistente. Por -- ejemplo, -- esConsistente [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), p --> r] -- == True -- esConsistente [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), p --> r, no r] -- == False -- --------------------------------------------------------------------- esConsistente :: [Prop] -> Bool esConsistente s = modelosConjunto s /= [] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 21: Definir la función -- esInconsistente :: [Prop] -> Bool -- tal que (esInconsistente s) se verifica si s es inconsistente. Por -- ejemplo, -- esInconsistente [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), p --> r] -- == False -- esInconsistente [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), p --> r, no r] -- == True -- --------------------------------------------------------------------- esInconsistente :: [Prop] -> Bool esInconsistente s = modelosConjunto s == [] -- --------------------------------------------------------------------- -- Consecuencia lógica -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 22: Definir la función -- esConsecuencia :: [Prop] -> Prop -> Bool -- tal que (esConsecuencia s f) se verifica si f es consecuencia de -- s. Por ejemplo, -- esConsecuencia [p --> q, q --> r] (p --> r) == True -- esConsecuencia [p] (p /\ q) == False -- --------------------------------------------------------------------- esConsecuencia :: [Prop] -> Prop -> Bool esConsecuencia s f = null [i | i <- interpretacionesConjunto (f:s), esModeloConjunto i s, not (esModeloFormula i f)] |