I1M2019: Algoritmos de ordenación en Haskell
En la segunda parte de la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos comentado las soluciones de los ejercicios de la relación 24 sobre algoritmos de ordenación en Haskell y sus complejidades.
Los ejercicios y su solución se muestran a continuación
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-- --------------------------------------------------------------------- -- Introducción -- -- --------------------------------------------------------------------- -- El objetivo de esta relación es presentar una recopilación de los -- algoritmos de ordenación y el estudio de su complejidad. -- --------------------------------------------------------------------- -- § Librerías auxiliares -- -- --------------------------------------------------------------------- import Data.List -- --------------------------------------------------------------------- -- § Ordenación por selección -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.1. Para ordenar una lista xs mediante el algoritmo de -- ordenación por selección se selecciona el menor elemento de xs y se -- le añade a la ordenación por selección de los restantes. Por ejemplo, -- para ordenar la lista [3,1,4,1,5,9,2] el proceso es el siguiente: -- ordenaPorSeleccion [3,1,4,1,5,9,2] -- = 1 : ordenaPorSeleccion [3,4,1,5,9,2] -- = 1 : 1 : ordenaPorSeleccion [3,4,5,9,2] -- = 1 : 1 : 2 : ordenaPorSeleccion [3,4,5,9] -- = 1 : 1 : 2 : 3 : ordenaPorSeleccion [4,5,9] -- = 1 : 1 : 2 : 3 : 4 : ordenaPorSeleccion [5,9] -- = 1 : 1 : 2 : 3 : 4 : 5 : ordenaPorSeleccion [9] -- = 1 : 1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 9 : ordenaPorSeleccion [] -- = 1 : 1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 9 : [] -- = [1,1,2,3,4,5,9] -- -- Definir la función -- ordenaPorSeleccion :: Ord a => [a] -> [a] -- tal que (ordenaPorSeleccion xs) es la lista obtenida ordenando por -- selección la lista xs. Por ejemplo, -- ordenaPorSeleccion [3,1,4,1,5,9,2] == [1,1,2,3,4,5,9] -- --------------------------------------------------------------------- ordenaPorSeleccion :: Ord a => [a] -> [a] ordenaPorSeleccion [] = [] ordenaPorSeleccion xs = m : ordenaPorSeleccion (delete m xs) where m = minimum xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.2. Calcular los tiempos necesarios para calcular -- let n = k in length (ordenaPorSeleccion [n,n-1..1]) -- para k en [1000, 2000, 3000, 4000]. -- -- ¿Cuál es el orden de complejidad de ordenaPorSeleccion? -- --------------------------------------------------------------------- -- El resumen de los tiempos es -- k | segs. -- -----+----- -- 1000 | 0.05 -- 2000 | 0.25 -- 3000 | 0.58 -- 4000 | 1.13 -- La complejidad de ordenaPorSeleccion es O(n^2). -- -- Las ecuaciones de recurrencia del coste de ordenaPorSeleccion son -- T(0) = 1 -- T(n) = 1 + T(n-1) + 2n -- Luego, T(n) = (n+1)^2 (ver http://bit.ly/1DGsMeW ) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.3. Definir la función -- ordenaPorSeleccion2 :: Ord a => [a] -> [a] -- tal que (ordenaPorSeleccion2 xs) es la lista xs ordenada por el -- algoritmo de selección, pero usando un acumulador. Por ejemplo, -- ordenaPorSeleccion2 [3,1,4,1,5,9,2] == [1,1,2,3,4,5,9] -- --------------------------------------------------------------------- ordenaPorSeleccion2 :: Ord a => [a] -> [a] ordenaPorSeleccion2 [] = [] ordenaPorSeleccion2 (x:xs) = aux xs x [] where aux [] m r = m : ordenaPorSeleccion2 r aux (y:ys) m r | y < m = aux ys y (m:r) | otherwise = aux ys m (y:r) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.4. Calcular los tiempos necesarios para calcular -- let n = k in length (ordenaPorSeleccion2 [n,n-1..1]) -- para k en [1000, 2000, 3000, 4000] -- --------------------------------------------------------------------- -- El resumen de los tiempos es -- k | segs. -- -----+----- -- 1000 | 0.39 -- 2000 | 1.53 -- 3000 | 3.48 -- 4000 | 6.35 -- --------------------------------------------------------------------- -- § Ordenación rápida (Quicksort) -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.1. Para ordenar una lista xs mediante el algoritmo de -- ordenación rápida se selecciona el primer elemento x de xs, se divide -- los restantes en los menores o iguales que x y en los mayores que x, -- se ordena cada una de las dos partes y se unen los resultados. Por -- ejemplo, para ordenar la lista [3,1,4,1,5,9,2] el proceso es el -- siguiente: -- or [3,1,4,1,5,9,2] -- = or [1,1,2] ++ [3] ++ or [4,5,9] -- = (or [1] ++ [1] ++ or [2]) ++ [3] ++ (or [] ++ [4] ++ or [5,9]) -- = ((or [] ++ [1] ++ or []) ++ [1] ++ (or [] ++ [2] ++ or [])) -- ++ [3] ++ ([] ++ [4] ++ (or [] ++ [5] ++ or [9])) -- = (([] ++ [1] ++ []) ++ [1] ++ ([] ++ [2] ++ [])) -- ++ [3] ++ ([4] ++ ([] ++ [5] ++ (or [] ++ [9] ++ or []))) -- = ([1] ++ [1] ++ [2] ++ -- ++ [3] ++ ([4] ++ ([5] ++ (or [] ++ [9] ++ or []))) -- = ([1] ++ [1] ++ [2] ++ -- ++ [3] ++ ([4] ++ ([5] ++ ([] ++ [9] ++ []))) -- = ([1] ++ [1] ++ [2] ++ -- ++ [3] ++ ([4] ++ ([5] ++ [9])) -- = [1,1,2,3,4,5,9] -- -- Definir la función -- ordenaRapida :: Ord a => [a] -> [a] -- tal que (ordenaRapida xs) es la lista obtenida ordenando por -- selección la lista xs. Por ejemplo, -- ordenaRapida [3,1,4,1,5,9,2] == [1,1,2,3,4,5,9] -- --------------------------------------------------------------------- ordenaRapida :: Ord a => [a] -> [a] ordenaRapida [] = [] ordenaRapida (x:xs) = ordenaRapida menores ++ [x] ++ ordenaRapida mayores where menores = [y | y <- xs, y <= x] mayores = [y | y <- xs, y > x] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.2. Calcular los tiempos necesarios para calcular -- let n = k in length (ordenaRapida [n,n-1..1]) -- para k en [1000, 2000, 3000, 4000] -- -- ¿Cuál es el orden de complejidad de ordenaRapida? -- --------------------------------------------------------------------- -- El resumen de los tiempos es -- k | segs. -- -----+------ -- 1000 | 0.64 -- 2000 | 2.57 -- 3000 | 6.64 -- 4000 | 12.33 -- La complejidad de ordenaRapida es O(n log(n)). -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.3. Definir, usando un acumulador, la función -- ordenaRapida2 :: Ord a => [a] -> [a] -- tal que (ordenaRapida2 xs) es la lista obtenida ordenando xs -- por el procedimiento de ordenación rápida. Por ejemplo, -- ordenaRapida2 [3,1,4,1,5,9,2] == [1,1,2,3,4,5,9] -- --------------------------------------------------------------------- ordenaRapida2 :: Ord a => [a] -> [a] ordenaRapida2 xs = aux xs [] where aux [] s = s aux (x:ys) s = aux menores (x : aux mayores s) where menores = [y | y <- ys, y <= x] mayores = [y | y <- ys, y > x] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.4. Calcular los tiempos necesarios para calcular -- let n = k in length (ordenaRapida2 [n,n-1..1]) -- para k en [1000, 2000, 3000, 4000] -- --------------------------------------------------------------------- -- El resumen de los tiempos es -- k | segs. -- -----+------ -- 1000 | 0.56 -- 2000 | 2.42 -- 3000 | 5.87 -- 4000 | 10.93 -- --------------------------------------------------------------------- -- § Ordenación por inserción -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.1. Para ordenar una lista xs mediante el algoritmo de -- ordenación por inserción se selecciona el primer elemento x de xs, se -- ordena el resto de xs y se inserta x en su lugar. Por ejemplo, para -- ordenar la lista [3,1,4,1,5,9,2] el proceso es el siguiente: -- ordenaPorInsercion [3,1,4,1,5,9,2] -- = 3 : ordenaPorInsercion [1,4,1,5,9,2] -- = 3 : 1 : ordenaPorInsercion [4,1,5,9,2] -- = 3 : 1 : 4 : ordenaPorInsercion [1,5,9,2] -- = 3 : 1 : 4 : 1 : ordenaPorInsercion [5,9,2] -- = 3 : 1 : 4 : 1 : 5 : ordenaPorInsercion [9,2] -- = 3 : 1 : 4 : 1 : 5 : 9 : ordenaPorInsercion [2] -- = 3 : 1 : 4 : 1 : 5 : 9 : 2 : ordenaPorInsercion [] -- = 3 : 1 : 4 : 1 : 5 : 9 : 2 : [] -- = 3 : 1 : 4 : 1 : 5 : 9 : [2] -- = 3 : 1 : 4 : 1 : 5 : [2,9] -- = 3 : 1 : 4 : 1 : [2,5,9] -- = 3 : 1 : 4 : [1,2,5,9] -- = 3 : 1 : [1,2,4,5,9] -- = 3 : [1,1,2,4,5,9] -- = [1,1,2,3,4,5,9] -- -- Definir la función -- ordenaPorInsercion :: Ord a => [a] -> [a] -- tal que (ordenaPorInsercion xs) es la lista obtenida ordenando por -- selección la lista xs. Por ejemplo, -- ordenaPorInsercion [3,1,4,1,5,9,2] == [1,1,2,3,4,5,9] -- --------------------------------------------------------------------- ordenaPorInsercion :: Ord a => [a] -> [a] ordenaPorInsercion [] = [] ordenaPorInsercion (x:xs) = inserta x (ordenaPorInsercion xs) -- (inserta x xs) inserta el elemento x después de los elementos de xs -- que son menores o iguales que x. Por ejemplo, -- inserta 5 [3,2,6,4] == [3,2,5,6,4] inserta :: Ord a => a -> [a] -> [a] inserta y [] = [y] inserta y l@(x:xs) | y <= x = y : l | otherwise = x : inserta y xs -- 2ª definición de inserta: inserta2 :: Ord a => a -> [a] -> [a] inserta2 x xs = takeWhile (<= x) xs ++ [x] ++ dropWhile (<=x) xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.2. Calcular los tiempos necesarios para calcular -- let n = k in length (ordenaPorInsercion [n,n-1..1]) -- para k en [1000, 2000, 3000, 4000] -- -- ¿Cuál es la complejidad de ordenaPorInsercion? -- --------------------------------------------------------------------- -- El resumen de los tiempos es -- k | segs. -- -----+----- -- 1000 | 0.39 -- 2000 | 1.53 -- 3000 | 3.49 -- 4000 | 6.32 -- La complejidad de ordenaPorInsercion es O(n^2) -- -- Las ecuaciones de recurrencia del coste de ordenaPorInsercion son -- T(0) = 1 -- T(n) = n + T(n-1) -- Luego, T(n) = 2n(n+1)+1 (ver https://bit.ly/2WWMP85 ) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.3. Definir, por plegados, la función -- ordenaPorInsercion2 :: Ord a => [a] -> [a] -- tal que (ordenaPorInsercion2 xs) es la lista obtenida ordenando xs -- por el procedimiento de ordenación por inserción. Por ejemplo, -- ordenaPorInsercion2 [3,1,4,1,5,9,2] == [1,1,2,3,4,5,9] -- --------------------------------------------------------------------- ordenaPorInsercion2 :: Ord a => [a] -> [a] ordenaPorInsercion2 = foldr inserta [] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.2. Calcular los tiempos necesarios para calcular -- let n = k in length (ordenaPorInsercion2 [n,n-1..1]) -- para k en [1000, 2000, 3000, 4000] -- --------------------------------------------------------------------- -- El resumen de los tiempos es -- k | segs. -- -----+------ -- 1000 | 0.38 -- 2000 | 1.54 -- 3000 | 3.46 -- 4000 | 6.29 -- --------------------------------------------------------------------- -- § Ordenación por mezcla ("Mergesort") -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4.1. Para ordenar una lista xs mediante el algoritmo de -- ordenación por mezcla se divide xs por la mitad, se ordena cada una -- de las partes y se mezclan los resultados. Por ejemplo, para -- ordenar la lista [3,1,4,1,5,9,2] el proceso es el siguiente: -- om [3,1,4,1,5,9,2] -- = m (om [3,1,4]) (om 1,5,9,2]) -- = m (m (om [3]) (om [1,4])) (m (om [1,5]) (om [9,2])) -- = m (m [3] (m (om [1]) (om [4]))) -- (m (m (om [1]) (om [5])) (m (om [9]) (om [2]))) -- = m (m [3] (m [1] [4])) -- (m (m [1] [5]) (m [9] [2])) -- = m (m [3] [1,4]) (m [1,5] [2,9]) -- = m [1,3,4] [1,2,5,9] -- = [1,1,2,3,4,5,9] -- donde om es ordenaPorMezcla y m es mezcla. -- -- Definir la función -- ordenaPorMezcla :: Ord a => [a] -> [a] -- tal que (ordenaPorMezcla xs) es la lista obtenida ordenando por -- selección la lista xs. Por ejemplo, -- ordenaPorMezcla [3,1,4,1,5,9,2] == [1,1,2,3,4,5,9] -- --------------------------------------------------------------------- ordenaPorMezcla :: Ord a => [a] -> [a] ordenaPorMezcla [] = [] ordenaPorMezcla [x] = [x] ordenaPorMezcla l = mezcla (ordenaPorMezcla l1) (ordenaPorMezcla l2) where l1 = take k l l2 = drop k l k = length l `div` 2 -- (mezcla xs ys) es la lista obtenida mezclando xs e ys. Por ejemplo, -- mezcla [1,3] [2,4,6] == [1,2,3,4,6] mezcla :: Ord a => [a] -> [a] -> [a] mezcla [] b = b mezcla a [] = a mezcla a@(x:xs) b@(y:ys) | x <= y = x : mezcla xs b | otherwise = y : mezcla a ys -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4.2. Calcular los tiempos necesarios para calcular -- let n = k in length (ordenaPorMezcla [n,n-1..1]) -- para k en [1000, 2000, 3000, 4000] -- -- ¿Cuál es la complejidad de ordenaPorMezcla? -- --------------------------------------------------------------------- -- El resumen de los tiempos es -- k | segs. -- -----+----- -- 1000 | 0.02 -- 2000 | 0.03 -- 3000 | 0.05 -- 4000 | 0.06 -- La complejidad de ordenaPorMezcla es O(n log(n)). -- -- Las ecuaciones de recurrencia del coste de ordenaPorMezcla son -- T(0) = 1 -- T(1) = 1 -- T(n) = n + 2*T(n/2) -- Luego, T(n) = (c*n)/2+(n log(n))/(log(2)) (ver http://bit.ly/1EyUTYG ) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4.3. Otra forma de ordenar una lista xs mediante el -- algoritmo de ordenación por mezcla consiste en dividir xs en listas -- unitarias y mezclar los resultados. Por ejemplo, para -- ordenar la lista [3,1,4,1,5,9,2] el proceso es el siguiente: -- om [3,1,4,1,5,9,2] -- = mp [[3],[1],[4],[1],[5],[9],[2]] -- = mp [[1,3],[1,4],[5,9],[2]] -- = mp [[1,1,3,4],[2,5,9]] -- = [1,1,2,3,4,5,9] -- donde om es ordenaPorMezcla y mp es mezclaPares. -- -- Definir la función -- ordenaPorMezcla2 :: Ord a => [a] -> [a] -- tal que (ordenaPorMezcla2 xs) es la lista obtenida ordenando por -- mezcla la lista xs. Por ejemplo, -- ordenaPorMezcla2 [3,1,4,1,5,9,2] == [1,1,2,3,4,5,9] -- --------------------------------------------------------------------- ordenaPorMezcla2 :: Ord a => [a] -> [a] ordenaPorMezcla2 xs = aux (divide xs) where aux [r] = r aux ys = aux (mezclaPares ys) -- (divide xs) es la lista de de las listas unitarias formadas por los -- elementos de xs. Por ejemplo, -- divide [3,1,4,1,5,9,2,8] == [[3],[1],[4],[1],[5],[9],[2],[8]] divide :: Ord a => [a] -> [[a]] divide xs = [[x] | x <- xs] -- También se puede definir por recursión divide2 :: Ord a => [a] -> [[a]] divide2 [] = [] divide2 (x:xs) = [x] : divide2 xs -- (mezclaPares xs) es la lista obtenida mezclando los pares de -- elementos consecutivos de xs. Por ejemplo, -- ghci> mezclaPares [[3],[1],[4],[1],[5],[9],[2],[8]] -- [[1,3],[1,4],[5,9],[2,8]] -- ghci> mezclaPares [[1,3],[1,4],[5,9],[2,8]] -- [[1,1,3,4],[2,5,8,9]] -- ghci> mezclaPares [[1,1,3,4],[2,5,8,9]] -- [[1,1,2,3,4,5,8,9]] -- ghci> mezclaPares [[1],[3],[2]] -- [[1,3],[2]] mezclaPares :: (Ord a) => [[a]] -> [[a]] mezclaPares [] = [] mezclaPares [x] = [x] mezclaPares (xs:ys:zss) = mezcla xs ys : mezclaPares zss -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4.4. Calcular los tiempos necesarios para calcular -- let n = k in length (ordenaPorMezcla2 [n,n-1..1]) -- para k en [1000, 2000, 3000, 4000] -- --------------------------------------------------------------------- -- El resumen de los tiempos es -- k | segs. -- -----+----- -- 1000 | 0.02 -- 2000 | 0.03 -- 3000 | 0.03 -- 4000 | 0.05 -- --------------------------------------------------------------------- -- § Comparaciones con listas aleatorias -- -- --------------------------------------------------------------------- -- λ> import System.Random (randomRIO) -- λ> import Control.Monad (replicateM) -- λ> ej10000 <- replicateM 10000 (randomRIO (0,10000)) -- λ> :set +s -- λ> maximum (ordenaPorSeleccion ej10000) -- 9998 -- (2.69 secs, 6,757,883,928 bytes) -- λ> maximum (ordenaRapida ej10000) -- 9998 -- (0.11 secs, 40,701,576 bytes) -- λ> maximum (ordenaPorInsercion ej10000) -- 9998 -- (6.57 secs, 6,305,208,920 bytes) -- λ> maximum (ordenaPorMezcla ej10000) -- 9998 -- (0.09 secs, 36,797,672 bytes) -- λ> ej20000 <- replicateM 20000 (randomRIO (0,20000)) -- (0.01 secs, 11,782,488 bytes) -- λ> maximum (ordenaRapida ej20000) -- 20000 -- (0.18 secs, 86,766,376 bytes) -- λ> maximum (ordenaPorMezcla ej20000) -- 20000 -- (0.14 secs, 78,188,176 bytes) -- λ> ej50000 <- replicateM 50000 (randomRIO (0,50000)) -- (0.03 secs, 28,855,672 bytes) -- λ> maximum (ordenaRapida ej50000) -- 50000 -- (0.45 secs, 240,099,608 bytes) -- λ> maximum (ordenaPorMezcla ej50000) -- 50000 -- (0.38 secs, 211,648,672 bytes) |