I1M2018: Programación dinámica: Caminos en una retícula

En la segunda parte de la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas se han explicado las soluciones de los ejercicios de la relación 18, en el que se comparan distintas soluciones del problema de calcular los caminos en una retícula. Se ha mostrado como transformar las definiciones recursivas en definiciones con programación dinámica. Además, se han comparado experimentalmente la eficiencia de las distintas definiciones.

Los ejercicios, y sus soluciones, se muestran a continuación.

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-- § Librerías auxiliares                                             --
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import Data.List (genericLength)
import Data.Matrix

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1.1. Se considera una retícula con sus posiciones numeradas,
-- desde el vértice superior izquierdo, hacia la derecha y hacia
-- abajo. Por ejemplo, la retícula de dimensión 3x4 se numera como sigue:
--    |-------+-------+-------+-------|
--    | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) |
--    | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) |
--    | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) |
--    |-------+-------+-------+-------|
--
-- Definir, por recursión, la función
--    caminosR :: (Int,Int) -> [[(Int,Int)]]
-- tal que (caminosR (m,n)) es la lista de los caminos en la retícula de
-- dimensión mxn desde (1,1) hasta (m,n). Por ejemplo,
--    λ> caminosR (2,3)
--    [[(1,1),(1,2),(1,3),(2,3)],
--     [(1,1),(1,2),(2,2),(2,3)],
--     [(1,1),(2,1),(2,2),(2,3)]]
--    λ> mapM_ print (caminosR (3,4))
--    [(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,4),(3,4)]
--    [(1,1),(1,2),(1,3),(2,3),(2,4),(3,4)]
--    [(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(2,4),(3,4)]
--    [(1,1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,4)]
--    [(1,1),(1,2),(1,3),(2,3),(3,3),(3,4)]
--    [(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,3),(3,4)]
--    [(1,1),(2,1),(2,2),(2,3),(3,3),(3,4)]
--    [(1,1),(1,2),(2,2),(3,2),(3,3),(3,4)]
--    [(1,1),(2,1),(2,2),(3,2),(3,3),(3,4)]
--    [(1,1),(2,1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)]
-- ---------------------------------------------------------------------

caminosR :: (Int,Int) -> [[(Int,Int)]]
caminosR p =
  map reverse (caminosRAux p)
  where 
    caminosRAux (1,y) = [[(1,z) | z <- [y,y-1..1]]]
    caminosRAux (x,1) = [[(z,1) | z <- [x,x-1..1]]]
    caminosRAux (x,y) = [(x,y) : cs | cs <- caminosRAux (x-1,y) ++ 
                                            caminosRAux (x,y-1)]  

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1.2. Definir, por recursión, la función
--    caminosPD :: (Int,Int) -> [[(Int,Int)]]
-- tal que (caminosPD (m,n)) es la lista de los caminos en la retícula de
-- dimensión mxn desde (1,1) hasta (m,n).
-- ---------------------------------------------------------------------

caminosPD :: (Int,Int) -> [[(Int,Int)]]
caminosPD p =
  map reverse (matrizCaminos p ! p)

matrizCaminos :: (Int,Int) -> Matrix [[(Int,Int)]]
matrizCaminos (m,n) = q
  where
    q = matrix m n f
    f (1,y) = [[(1,z) | z <- [y,y-1..1]]]
    f (x,1) = [[(z,1) | z <- [x,x-1..1]]]
    f (x,y) = [(x,y) : cs | cs <- q!(x-1,y) ++ q!(x,y-1)]  

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1.3. Comparar la eficiencia calculando el tiempo necesario
-- para evaluar las siguientes expresiones 
--    length (head (caminosR (8,8)))
--    length (head (caminosR (8,8)))
--    maximum (head (caminosR (2000,2000)))
--    maximum (head (caminosPD (2000,2000)))
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La comparación es
--    λ> length (head (caminosR (8,8)))
--    15
--    (1.62 secs, 1,609,566,528 bytes)
--    λ> length (head (caminosR (8,8)))
--    15
--    (0.00 secs, 0 bytes)
--    
--    λ> maximum (head (caminosR (2000,2000)))
--    (2000,2000)
--    (0.02 secs, 0 bytes)
--    λ> maximum (head (caminosPD (2000,2000)))
--    (2000,2000)
--    (1.30 secs, 199,077,664 bytes)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2.1. Definir, usando caminosR, la función
--    nCaminosCR :: (Int,Int) -> Integer
-- tal que (nCaminosCR (m,n)) es el número de caminos en la retícula de
-- dimensión mxn desde (1,1) hasta (m,n). Por ejemplo,
--      nCaminosR (2,3)                        ==  3
--      nCaminosR (3,4)                        ==  10
-- ---------------------------------------------------------------------

nCaminosCR :: (Int,Int) -> Integer
nCaminosCR = genericLength . caminosR

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2.2. Definir, usando caminosPD, la función
--    nCaminosCPD :: (Int,Int) -> Integer
-- tal que (nCaminosCPD (m,n)) es el número de caminos en la retícula de
-- dimensión mxn desde (1,1) hasta (m,n). Por ejemplo,
-- ---------------------------------------------------------------------

nCaminosCPD :: (Int,Int) -> Integer
nCaminosCPD = genericLength . caminosPD

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2.3. Definir, por recursión, la función
--    nCaminosR :: (Int,Int) -> Integer
-- tal que (nCaminosR (m,n)) es el número de caminos en la retícula de
-- dimensión mxn desde (1,1) hasta (m,n). Por ejemplo,
-- ---------------------------------------------------------------------

nCaminosR :: (Int,Int) -> Integer
nCaminosR (1,_) = 1 
nCaminosR (_,1) = 1
nCaminosR (x,y) = nCaminosR (x-1,y) + nCaminosR (x,y-1)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2.4. Definir, por programación dinámica, la función
--    nCaminosPD :: (Int,Int) -> Integer
-- tal que (nCaminosPD (m,n)) es el número de caminos en la retícula de
-- dimensión mxn desde (1,1) hasta (m,n). Por ejemplo,
-- ---------------------------------------------------------------------

nCaminosPD :: (Int,Int) -> Integer
nCaminosPD p = matrizNCaminos p ! p

matrizNCaminos :: (Int,Int) -> Matrix Integer
matrizNCaminos (m,n) = q
  where
    q = matrix m n f
    f (1,_) = 1
    f (_,1) = 1
    f (x,y) = q!(x-1,y) + q!(x,y-1)  

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2.5. Los caminos desde (1,1) a (m,n) son las permutaciones
-- con repetición de m-1 veces la A (abajo) y n-1 veces la D
-- (derecha). Por tanto, su  número es 
--    ((m-1)+(n-1))! / (m-1)!*(n-1)!
--  
-- Definir, con la fórmula anterior, la función
--    nCaminosF :: (Int,Int) -> Integer
-- tal que (nCaminosF (m,n)) es el número de caminos en la retícula de
-- dimensión mxn desde (1,1) hasta (m,n). Por ejemplo,
-- ---------------------------------------------------------------------

nCaminosF :: (Int,Int) -> Integer
nCaminosF (m,n) = 
  fact ((m-1)+(n-1)) `div` (fact (m-1) * fact (n-1))
 
fact :: Int -> Integer
fact n = product [1..fromIntegral n]
 
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2.6. La fórmula anterior para el cálculo del número de
-- caminos se puede simplificar.
--  
-- Definir, con la fórmula simplificada, la función
--    nCaminosFS :: (Int,Int) -> Integer
-- tal que (nCaminosFS (m,n)) es el número de caminos en la retícula de
-- dimensión mxn desde (1,1) hasta (m,n). Por ejemplo,
-- ---------------------------------------------------------------------

nCaminosFS :: (Int,Int) -> Integer
nCaminosFS (m,n) = 
  product [a+1..a+b] `div` product [2..b]
  where m' = fromIntegral (m-1)
        n' = fromIntegral (n-1)
        a  = max m' n'
        b  = min m' n'
 
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2.7. Comparar la eficiencia calculando el tiempo necesario
-- para evaluar las siguientes expresiones 
--    nCaminosCR  (8,8)
--    nCaminosCPD (8,8)
--    nCaminosCR  (12,12)
--    nCaminosCPD (12,12)
--    nCaminosR   (12,12)
--    nCaminosPD  (12,12)
--    length (show (nCaminosPD (1000,1000)))
--    length (show (nCaminosF  (1000,1000)))
--    length (show (nCaminosFS (1000,1000)))
--    length (show (nCaminosF  (2*10^4,2*10^4)))
--    length (show (nCaminosFS (2*10^4,2*10^4)))
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La comparación es
--    λ> nCaminosCR (8,8)
--    3432
--    (2.11 secs, 2,132,573,904 bytes)
--    λ> nCaminosCR (8,8)
--    3432
--    (0.05 secs, 14,977,464 bytes)
--    λ> nCaminosCPD (8,8)
--    3432
--    (0.02 secs, 0 bytes)
--    
--    λ> nCaminosCR (12,12)
--    705432
--    (18.24 secs, 3,778,889,608 bytes)
--    λ> nCaminosCPD (12,12)
--    705432
--    (3.56 secs, 548,213,968 bytes)
--    λ> nCaminosR (12,12)
--    705432
--    (2.12 secs, 278,911,248 bytes)
--    λ> nCaminosPD (12,12)
--    705432
--    (0.01 secs, 0 bytes)
--    
--    λ> length (show (nCaminosPD (1000,1000)))
--    600
--    (4.88 secs, 693,774,912 bytes)
--    λ> length (show (nCaminosF (1000,1000)))
--    600
--    (0.01 secs, 0 bytes)
--    λ> length (show (nCaminosFS (1000,1000)))
--    600
--    (0.01 secs, 0 bytes)
--    
--    λ> length (show (nCaminosF (2*10^4,2*10^4)))
--    12039
--    (8.01 secs, 2,376,767,288 bytes)
--    λ> length (show (nCaminosFS (2*10^4,2*10^4)))
--    12039
--    (2.84 secs, 836,245,992 bytes)

100

101

102

103

104

105

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107

108

109

110

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231

232

233

234

235

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-- § Librerías auxiliares --

-- ---------------------------------------------------------------------

import Data.List (genericLength)

import Data.Matrix

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 1.1. Se considera una retícula con sus posiciones numeradas,

-- desde el vértice superior izquierdo, hacia la derecha y hacia

-- abajo. Por ejemplo, la retícula de dimensión 3x4 se numera como sigue:

-- |-------+-------+-------+-------|

-- | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) |

-- | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) |

-- | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) |

-- |-------+-------+-------+-------|

-- Definir, por recursión, la función

-- caminosR :: (Int,Int) -> [[(Int,Int)]]

-- tal que (caminosR (m,n)) es la lista de los caminos en la retícula de

-- dimensión mxn desde (1,1) hasta (m,n). Por ejemplo,

-- λ> caminosR (2,3)

-- [[(1,1),(1,2),(1,3),(2,3)],

-- [(1,1),(1,2),(2,2),(2,3)],

-- [(1,1),(2,1),(2,2),(2,3)]]

-- λ> mapM_ print (caminosR (3,4))

-- [(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,4),(3,4)]

-- [(1,1),(1,2),(1,3),(2,3),(2,4),(3,4)]

-- [(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(2,4),(3,4)]

-- [(1,1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,4)]

-- [(1,1),(1,2),(1,3),(2,3),(3,3),(3,4)]

-- [(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,3),(3,4)]

-- [(1,1),(2,1),(2,2),(2,3),(3,3),(3,4)]

-- [(1,1),(1,2),(2,2),(3,2),(3,3),(3,4)]

-- [(1,1),(2,1),(2,2),(3,2),(3,3),(3,4)]

-- [(1,1),(2,1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)]

-- ---------------------------------------------------------------------

caminosR :: (Int,Int) -> [[(Int,Int)]]

caminosR p =

map reverse (caminosRAux p)

where

caminosRAux (1,y) = [[(1,z) | z <- [y,y-1..1]]]

caminosRAux (x,1) = [[(z,1) | z <- [x,x-1..1]]]

caminosRAux (x,y) = [(x,y) : cs | cs <- caminosRAux (x-1,y) ++

caminosRAux (x,y-1)]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 1.2. Definir, por recursión, la función

-- caminosPD :: (Int,Int) -> [[(Int,Int)]]

-- tal que (caminosPD (m,n)) es la lista de los caminos en la retícula de

-- dimensión mxn desde (1,1) hasta (m,n).

-- ---------------------------------------------------------------------

caminosPD :: (Int,Int) -> [[(Int,Int)]]

caminosPD p =

map reverse (matrizCaminos p ! p)

matrizCaminos :: (Int,Int) -> Matrix [[(Int,Int)]]

matrizCaminos (m,n) = q

where

q = matrix m n f

f (1,y) = [[(1,z) | z <- [y,y-1..1]]]

f (x,1) = [[(z,1) | z <- [x,x-1..1]]]

f (x,y) = [(x,y) : cs | cs <- q!(x-1,y) ++ q!(x,y-1)]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 1.3. Comparar la eficiencia calculando el tiempo necesario

-- para evaluar las siguientes expresiones

-- length (head (caminosR (8,8)))

-- maximum (head (caminosR (2000,2000)))

-- maximum (head (caminosPD (2000,2000)))

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La comparación es

-- λ> length (head (caminosR (8,8)))

-- 15

-- (1.62 secs, 1,609,566,528 bytes)

-- λ> length (head (caminosR (8,8)))

-- 15

-- (0.00 secs, 0 bytes)

-- λ> maximum (head (caminosR (2000,2000)))

-- (2000,2000)

-- (0.02 secs, 0 bytes)

-- λ> maximum (head (caminosPD (2000,2000)))

-- (2000,2000)

-- (1.30 secs, 199,077,664 bytes)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 2.1. Definir, usando caminosR, la función

-- nCaminosCR :: (Int,Int) -> Integer

-- tal que (nCaminosCR (m,n)) es el número de caminos en la retícula de

-- dimensión mxn desde (1,1) hasta (m,n). Por ejemplo,

-- nCaminosR (2,3) == 3

-- nCaminosR (3,4) == 10

-- ---------------------------------------------------------------------

nCaminosCR :: (Int,Int) -> Integer

nCaminosCR = genericLength . caminosR

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 2.2. Definir, usando caminosPD, la función

-- nCaminosCPD :: (Int,Int) -> Integer

-- tal que (nCaminosCPD (m,n)) es el número de caminos en la retícula de

-- dimensión mxn desde (1,1) hasta (m,n). Por ejemplo,

-- ---------------------------------------------------------------------

nCaminosCPD :: (Int,Int) -> Integer

nCaminosCPD = genericLength . caminosPD

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 2.3. Definir, por recursión, la función

-- nCaminosR :: (Int,Int) -> Integer

-- tal que (nCaminosR (m,n)) es el número de caminos en la retícula de

-- dimensión mxn desde (1,1) hasta (m,n). Por ejemplo,

-- ---------------------------------------------------------------------

nCaminosR :: (Int,Int) -> Integer

nCaminosR (1,_) = 1

nCaminosR (_,1) = 1

nCaminosR (x,y) = nCaminosR (x-1,y) + nCaminosR (x,y-1)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 2.4. Definir, por programación dinámica, la función

-- nCaminosPD :: (Int,Int) -> Integer

-- tal que (nCaminosPD (m,n)) es el número de caminos en la retícula de

-- dimensión mxn desde (1,1) hasta (m,n). Por ejemplo,

-- ---------------------------------------------------------------------

nCaminosPD :: (Int,Int) -> Integer

nCaminosPD p = matrizNCaminos p ! p

matrizNCaminos :: (Int,Int) -> Matrix Integer

matrizNCaminos (m,n) = q

where

q = matrix m n f

f (1,_) = 1

f (_,1) = 1

f (x,y) = q!(x-1,y) + q!(x,y-1)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 2.5. Los caminos desde (1,1) a (m,n) son las permutaciones

-- con repetición de m-1 veces la A (abajo) y n-1 veces la D

-- (derecha). Por tanto, su número es

-- ((m-1)+(n-1))! / (m-1)!*(n-1)!

-- Definir, con la fórmula anterior, la función

-- nCaminosF :: (Int,Int) -> Integer

-- tal que (nCaminosF (m,n)) es el número de caminos en la retícula de

-- dimensión mxn desde (1,1) hasta (m,n). Por ejemplo,

-- ---------------------------------------------------------------------

nCaminosF :: (Int,Int) -> Integer

nCaminosF (m,n) =

fact ((m-1)+(n-1)) `div` (fact (m-1) * fact (n-1))

fact :: Int -> Integer

fact n = product [1..fromIntegral n]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 2.6. La fórmula anterior para el cálculo del número de

-- caminos se puede simplificar.

-- Definir, con la fórmula simplificada, la función

-- nCaminosFS :: (Int,Int) -> Integer

-- tal que (nCaminosFS (m,n)) es el número de caminos en la retícula de

-- dimensión mxn desde (1,1) hasta (m,n). Por ejemplo,

-- ---------------------------------------------------------------------

nCaminosFS :: (Int,Int) -> Integer

nCaminosFS (m,n) =

product [a+1..a+b] `div` product [2..b]

where m' = fromIntegral (m-1)

n' = fromIntegral (n-1)

a = max m' n'

b = min m' n'

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 2.7. Comparar la eficiencia calculando el tiempo necesario

-- para evaluar las siguientes expresiones

-- nCaminosCR (8,8)

-- nCaminosCPD (8,8)

-- nCaminosCR (12,12)

-- nCaminosCPD (12,12)

-- nCaminosR (12,12)

-- nCaminosPD (12,12)

-- length (show (nCaminosPD (1000,1000)))

-- length (show (nCaminosF (1000,1000)))

-- length (show (nCaminosFS (1000,1000)))

-- length (show (nCaminosF (2*10^4,2*10^4)))

-- length (show (nCaminosFS (2*10^4,2*10^4)))

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La comparación es

-- λ> nCaminosCR (8,8)

-- 3432

-- (2.11 secs, 2,132,573,904 bytes)

-- λ> nCaminosCR (8,8)

-- 3432

-- (0.05 secs, 14,977,464 bytes)

-- λ> nCaminosCPD (8,8)

-- 3432

-- (0.02 secs, 0 bytes)

-- λ> nCaminosCR (12,12)

-- 705432

-- (18.24 secs, 3,778,889,608 bytes)

-- λ> nCaminosCPD (12,12)

-- 705432

-- (3.56 secs, 548,213,968 bytes)

-- λ> nCaminosR (12,12)

-- 705432

-- (2.12 secs, 278,911,248 bytes)

-- λ> nCaminosPD (12,12)

-- 705432

-- (0.01 secs, 0 bytes)

-- λ> length (show (nCaminosPD (1000,1000)))

-- 600

-- (4.88 secs, 693,774,912 bytes)

-- λ> length (show (nCaminosF (1000,1000)))

-- 600

-- (0.01 secs, 0 bytes)

-- λ> length (show (nCaminosFS (1000,1000)))

-- 600

-- (0.01 secs, 0 bytes)

-- λ> length (show (nCaminosF (2*10^4,2*10^4)))

-- 12039

-- (8.01 secs, 2,376,767,288 bytes)

-- λ> length (show (nCaminosFS (2*10^4,2*10^4)))

-- 12039

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