I1M2018: El rompecabeza del triominó mediante divide y vencerás
En la segunda parte de la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas se han resuelto ejercicios de la relación 41 sobre la solución del problema del triominó mediante divide y vencerás.
Los ejercicios y su solución se muestran a continuación
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-- --------------------------------------------------------------------- -- § Introducción -- -- --------------------------------------------------------------------- -- Un poliominó es una figura geométrica plana formada conectando dos o -- más cuadrados por alguno de sus lados. Los cuadrados se conectan lado -- con lado, pero no se pueden conectar ni por sus vértices, ni juntando -- solo parte de un lado de un cuadrado con parte de un lado de otro. Si -- unimos dos cuadrados se obtiene un dominó, si se juntan tres -- cuadrados se construye un triominó. -- -- Sólo existen dos triominós, el I-triomino (por tener forma de I) y el -- L-triominó (por su forma de L) como se observa en la siguiente figura -- -- X --- X X -- X XX -- -- El rompecabeza del triominó consiste en cubrir un tablero cuadrado -- con 2^n filas y 2^n columnas, en el que se ha eliminado una casilla, -- con L-triominós de formas que cubran todas las casillas excepto la -- eliminada y los triominós no se solapen. -- -- La casilla eliminada se representará con -1 y los L-triominós con -- sucesiones de tres números consecutivos en forma de L. Con esta -- representación una solución del rompecabeza del triominó con 4 filas -- y la fila eliminada en la posición (4,4) es -- ( 3 3 2 2 ) -- ( 3 1 1 2 ) -- ( 4 1 5 5 ) -- ( 4 4 5 -1 ) -- -- En esta relación resolveremos el rompecabeza del triominó mediante -- divide y vencerás, utilizando las implementaciones estudiadas en el -- tema 23 que se pueden descargar desde -- http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m-18/codigos -- -- Las transparencias del tema 23 se encuentran en -- http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m-18/temas/tema-23.pdf -- -- La técnica "divide y vencerás" consta de los siguientes pasos: -- 1. Dividir el problema en subproblemas menores. -- 2. Resolver por separado cada uno de los subproblemas; si los -- subproblemas son complejos, usar la misma técnica recursivamente; -- si son simples, resolverlos directamente. -- 3. Combinar todas las soluciones de los subproblemas en una solución -- simple. -- -- Con (divideVenceras ind resuelve divide combina pbInicial) se -- resuelve el problema pbInicial mediante la técnica de divide y -- vencerás, donde -- * (ind pb) se verifica si el problema pb es indivisible -- * (resuelve pb) es la solución del problema indivisible pb -- * (divide pb) es la lista de subproblemas de pb -- * (combina pb ss) es la combinación de las soluciones ss de los -- subproblemas del problema pb. -- * pbInicial es el problema inicial -- -- En los distintos apartados de esta relación se irán definiendo las -- anteriores funciones. -- --------------------------------------------------------------------- -- § Librerías auxiliares -- -- --------------------------------------------------------------------- import I1M.DivideVenceras import Data.Matrix import Data.List (delete) -- --------------------------------------------------------------------- -- § Tipos -- -- --------------------------------------------------------------------- -- Los tableros son matrices de números enteros donde -1 representa el -- hueco, 0 las posiciones sin rellenar y los números mayores que 0 -- representan los triominós. type Tablero = Matrix Int -- Los problemas se representarán mediante pares formados por un número -- natural mayor que 0 (que indica el número con el que se formará el -- siguiente triominó que se coloque) y un tablero. type Problema = (Int,Tablero) -- Las posiciones son pares de números enteros type Posicion = (Int,Int) -- --------------------------------------------------------------------- -- § Problema inicial -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. Definir la función -- tablero :: Int -> Posicion -> Tablero -- tal que (tablero n p) es el tablero inicial del problema del triominó -- en un cuadrado nxn en el que se ha eliminado la casilla de la -- posición (i,j). Por ejemplo, -- ghci> tablero 4 (3,4) -- ( 0 0 0 0 ) -- ( 0 0 0 0 ) -- ( 0 0 0 -1 ) -- ( 0 0 0 0 ) -- --------------------------------------------------------------------- tablero :: Int -> Posicion -> Tablero tablero n (i,j) = setElem (-1) (i,j) (zero n n) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. Definir la función -- pbInicial :: Int -> Posicion -> Problema -- tal que (pbInicial n p) es el problema inicial del rompecabeza del -- triominó en un cuadrado nxn en el que se ha eliminado la casilla de -- la posición p. Por ejemplo, -- ghci> pbInicial 4 (4,4) -- (1,( 0 0 0 0 ) -- ( 0 0 0 0 ) -- ( 0 0 0 0 ) -- ( 0 0 0 -1 )) -- --------------------------------------------------------------------- pbInicial :: Int -> Posicion -> Problema pbInicial n p = (1,tablero n p) -- --------------------------------------------------------------------- -- § Problemas indivisibles -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. Definir la función -- ind :: Problema -> Bool -- tal que (ind pb) se verifica si el problema pb es indivisible. Por -- ejemplo, -- ind (pbInicial 2 (1,2)) == True -- ind (pbInicial 4 (1,2)) == False -- --------------------------------------------------------------------- ind :: Problema -> Bool ind (_,p) = ncols p == 2 -- --------------------------------------------------------------------- -- § Resolución de problemas indivisibles -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Definir la función -- posicionHueco :: Tablero -> Posicion -- tal que (posicionHueco t) es la posición del hueco en el tablero -- t. Por ejemplo, -- posicionHueco (tablero 8 (5,2)) == (5,2) -- --------------------------------------------------------------------- posicionHueco :: Tablero -> Posicion posicionHueco p = head [(i,j) | i <- [1..nrows p], j <- [1..ncols p], p!(i,j) /= 0] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. Definir la función -- cuadranteHueco :: Tablero -> Int -- tal que (cuadranteHueco p) es el cuadrante donde se encuentra el -- hueco del tablero t (donde la numeración de los cuadrantes es 1 el -- superior izquierdo, 2 el inferior izquierdo, 3 el superior derecho y 4 -- el inferior derecho). Por ejemplo, -- cuadranteHueco (tablero 8 (4,4)) == 1 -- cuadranteHueco (tablero 8 (5,2)) == 2 -- cuadranteHueco (tablero 8 (3,6)) == 3 -- cuadranteHueco (tablero 8 (6,6)) == 4 -- --------------------------------------------------------------------- cuadranteHueco :: Tablero -> Int cuadranteHueco t | i <= x && j <= x = 1 | i > x && j <= x = 2 | i <= x && j > x = 3 | otherwise = 4 where (i,j) = posicionHueco t x = nrows t `div` 2 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6. Definir la función -- centralHueco :: Tablero -> Posicion -- tal que (centralHueco t) es la casilla central del cuadrante del -- tablero t donde se encuentra el hueco. Por ejemplo, -- centralHueco (tablero 8 (5,2)) == (5,4) -- centralHueco (tablero 8 (4,4)) == (4,4) -- centralHueco (tablero 8 (3,6)) == (4,5) -- centralHueco (tablero 8 (6,6)) == (5,5) -- --------------------------------------------------------------------- centralHueco :: Tablero -> Posicion centralHueco t = case (cuadranteHueco t) of 1 -> (x,x) 2 -> (x+1,x) 3 -> (x,x+1) 4 -> (x+1,x+1) where x = nrows t `div` 2 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7. Definir la función -- centralesSinHueco :: Tablero -> [Posicion] -- (centralesSinHueco t) son las posiciones centrales del tablero t de -- los cuadrantes sin hueco. Por ejemplo, -- centralesSinHueco (tablero 8 (5,2)) == [(4,4),(4,5),(5,5)] -- --------------------------------------------------------------------- centralesSinHueco :: Tablero -> [Posicion] centralesSinHueco t = delete (i,j) [(x,x),(x+1,x),(x,x+1),(x+1,x+1)] where x = nrows t `div` 2 (i,j) = centralHueco t -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8. Definir la función -- actualiza :: Matrix a -> [((Int,Int),a)] -> Matrix a -- tal que (actualiza t ps) es la matriz obtenida cambiando en t los -- valores del las posiciones indicadas en ps por sus correspondientes -- valores. Por ejemplo, -- ghci> actualiza (identity 3) [((1,2),4),((3,1),5)] -- ( 1 4 0 ) -- ( 0 1 0 ) -- ( 5 0 1 ) -- --------------------------------------------------------------------- actualiza :: Matrix a -> [((Int,Int),a)] -> Matrix a actualiza p [] = p actualiza p (((i,j),x):zs) = setElem x (i,j) (actualiza p zs) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9. Definir la función -- triominoCentral :: Problema -> Tablero -- tal que (triominoCentral (n,t) es el tablero obtenido colocando el -- triominó formado por el número n en las posiciones centrales de los 3 -- cuadrantes que no contienen el hueco. Por ejemplo, -- ghci> triominoCentral (7,tablero 4 (4,4)) -- ( 0 0 0 0 ) -- ( 0 7 7 0 ) -- ( 0 7 0 0 ) -- ( 0 0 0 -1 ) -- --------------------------------------------------------------------- triominoCentral :: Problema -> Tablero triominoCentral (n,t) = actualiza t [((i,j),n) | (i,j) <- centralesSinHueco t] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10. Definir la función -- resuelve :: Problema -> Tablero -- tal que (resuelve p) es la solución del problema indivisible p. Por -- ejemplo, -- ghci> tablero 2 (2,2) -- ( 0 0 ) -- ( 0 -1 ) -- -- ghci> resuelve (5,tablero 2 (2,2)) -- ( 5 5 ) -- ( 5 -1 ) -- --------------------------------------------------------------------- resuelve :: Problema -> Tablero resuelve = triominoCentral -- --------------------------------------------------------------------- -- § División en subproblemas -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11. Definir la función -- divide :: Problema -> [Problema] -- tal que (divide (n,t)) es la lista de de los problemas obtenidos -- colocando el triominó n en las casillas centrales de t que no -- contienen el hueco y dividir el tablero en sus cuatros cuadrantes y -- aumentar en uno el número del correspondiente triominó. Por ejemplo, -- ghci> divide (3,tablero 4 (4,4)) -- [(4,( 0 0 ) -- ( 3 0 )), -- (5,( 0 0 ) -- ( 0 3 )), -- (6,( 0 3 ) -- ( 0 0 )), -- (7,( 0 0 ) -- ( 0 -1 ))] -- --------------------------------------------------------------------- divide :: Problema -> [Problema] divide (n,t) = [(n+1, submatrix 1 x (x+1) m q), (n+2, submatrix 1 x 1 x q), (n+3, submatrix (x+1) m 1 x q), (n+4, submatrix (x+1) m (x+1) m q)] where q = triominoCentral (n,t) m = nrows t x = m `div` 2 -- --------------------------------------------------------------------- -- § Combinación de soluciones -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12. Definir la función -- combina :: Problema -> [Tablero] -> Tablero -- tal que (combina p ts) es la combinación de las soluciones ts de los -- subproblemas del problema p. Por ejemplo, -- ghci> let inicial = (1,tablero 4 (4,4)) :: (Int,Matrix Int) -- ghci> let [p1,p2,p3,p4] = divide inicial -- ghci> let [s1,s2,s3,s4] = map resuelve [p1,p2,p3,p4] -- ghci> combina 1 [s1,s2,s3,s4] -- ( 3 3 2 2 ) -- ( 3 1 1 2 ) -- ( 4 1 5 5 ) -- ( 4 4 5 -1 ) -- --------------------------------------------------------------------- combina :: Problema -> [Tablero] -> Tablero combina _ [s1,s2,s3,s4] = joinBlocks (s2,s1,s3,s4) -- --------------------------------------------------------------------- -- § Solución mediante divide y vencerás -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13. Definir la función -- triomino :: Int -> Posicion -> Tablero -- tal que (triomino n p) es la solución, mediante divide y vencerás, -- del rompecabeza del triominó en un cuadrado nxn en el que se ha -- eliminado la casilla de la posición p. Por ejemplo, -- ghci> triomino 4 (4,4) -- ( 3 3 2 2 ) -- ( 3 1 1 2 ) -- ( 4 1 5 5 ) -- ( 4 4 5 -1 ) -- -- ghci> triomino 4 (2,3) -- ( 3 3 2 2 ) -- ( 3 1 -1 2 ) -- ( 4 1 1 5 ) -- ( 4 4 5 5 ) -- -- ghci> triomino 16 (5,6) -- ( 7 7 6 6 6 6 5 5 6 6 5 5 5 5 4 4 ) -- ( 7 5 5 6 6 4 4 5 6 4 4 5 5 3 3 4 ) -- ( 8 5 9 9 7 7 4 8 7 4 8 8 6 6 3 7 ) -- ( 8 8 9 3 3 7 8 8 7 7 8 2 2 6 7 7 ) -- ( 8 8 7 3 9 -1 8 8 7 7 6 6 2 8 7 7 ) -- ( 8 6 7 7 9 9 7 8 7 5 5 6 8 8 6 7 ) -- ( 9 6 6 10 10 7 7 11 8 8 5 9 9 6 6 10 ) -- ( 9 9 10 10 10 10 11 11 1 8 9 9 9 9 10 10 ) -- ( 8 8 7 7 7 7 6 1 1 9 8 8 8 8 7 7 ) -- ( 8 6 6 7 7 5 6 6 9 9 7 8 8 6 6 7 ) -- ( 9 6 10 10 8 5 5 9 10 7 7 11 9 9 6 10 ) -- ( 9 9 10 4 8 8 9 9 10 10 11 11 5 9 10 10 ) -- ( 9 9 8 4 4 10 9 9 10 10 9 5 5 11 10 10 ) -- ( 9 7 8 8 10 10 8 9 10 8 9 9 11 11 9 10 ) -- ( 10 7 7 11 11 8 8 12 11 8 8 12 12 9 9 13 ) -- ( 10 10 11 11 11 11 12 12 11 11 12 12 12 12 13 13 ) triomino :: Int -> Posicion -> Tablero triomino n p = divideVenceras ind resuelve divide combina (pbInicial n p) |