I1M2018: Ejercicios de programación de cálculo numérico en Maxima
En la cuarta parte de la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas se han comentado las soluciones de los ejercicios de la relación 21, en la que se definen en Maxima funciones para resolver los siguientes problemas de cálculo numérico:
- diferenciación numérica,
- cálculo de la raíz cuadrada mediante el método de Herón,
- cálculo de los ceros de una función por el método de Newton y
- cálculo de funciones inversas.
Los ejercicios, y sus soluciones, se muestran a continuación.
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/* --------------------------------------------------------------------- Diferenciación numérica ------------------------------------------------------------------- */ /* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 1.1. Definir la función derivada tal que derivada(a,f,x) es el valor de la derivada de la función f en el punto x con aproximación a. Por ejemplo, (%i2) derivada (0.001,sin,%pi); (%o2) - 0.99999983333334 (%i3) derivada (0.001,cos,%pi); (%o3) 4.999999583255033E-4 ------------------------------------------------------------------- */ derivada (a,f,x) := (f(x+a)-f(x))/a$ /* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 1.2. Definir las funciones derivadaBurda, derivadaFina y derivadaSuper tales que + derivadaBurda (f,x) es el valor de la derivada de la función f en el punto x con aproximación 0.01, + derivadaFina (f,x) es el valor de la derivada de la función f en el punto x con aproximación 0.0001. + derivadaSuper (f,x) es el valor de la derivada de la función f en el punto x con aproximación 0.000001. Por ejemplo, (%i4) derivadaBurda (cos,%pi); (%o4) 0.0049999583334736 (%i5) derivadaFina (cos,%pi); (%o5) 4.999999969612645E-5 (%i6) derivadaSuper (cos,%pi); (%o6) 5.000444502911705E-7 ------------------------------------------------------------------- */ derivadaBurda (f,x) := derivada (0.01, f,x)$ derivadaFina (f,x) := derivada (0.0001, f,x)$ derivadaSuper (f,x) := derivada (0.000001,f,x)$ /* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 1.3. Definir la función derivadaFinaDelSeno tal que (derivadaFinaDelSeno x) es el valor de la derivada fina del seno en x. Por ejemplo, (%i7) derivadaFinaDelSeno (%pi); (%o7) - 0.99999999833333 ------------------------------------------------------------------- */ derivadaFinaDelSeno (x) := derivadaFina (sin,x)$ /* --------------------------------------------------------------------- Cálculo de la raíz cuadrada ------------------------------------------------------------------- */ /* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 2. El método de Herón para calcular la raíz cuadrada de un número se basa en las siguientes propiedades: + Si y es una aproximación de la raíz cuadrada de x, entonces (y+x/y)/2 es una aproximación mejor. + El límite de la sucesión definida por x(0) = 1 x(n+1) = (x(n)+x/x(n))/2 es la raíz cuadrada de x. Definir, por iteración con unless, la función raiz tal que raiz(x) es la raíz cuadrada de x calculada usando la propiedad anterior. Por ejemplo, (%i8) raiz (9); (%o8) 3.000000001396984 ------------------------------------------------------------------- */ raiz (x) := block ([y:1], unless abs (y*y-x) < 0.00001 do y : 0.5*(y+x/y), y)$ /* --------------------------------------------------------------------- Ceros de una función ------------------------------------------------------------------- */ /* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 3. Los ceros de una función pueden calcularse mediante el método de Newton basándose en las siguientes propiedades: + Si b es una aproximación para el punto cero de f, entonces b-f(b)/f'(b) es una mejor aproximación. + el límite de la sucesión x(n) definida por x(0) = 1 x(n+1) = x(n)-f(x(n))/f'(x(n)) es un cero de f. Definir, por iteración con unless, la función puntoCero tal que puntoCero(f) es un cero de la función f calculado usando el método anterior. Por ejemplo, (%i9) puntoCero (cos); (%o9) 1.570796326794957 ------------------------------------------------------------------- */ puntoCero (f) := block ([b:1], unless abs (f(b)) < 0.00001 do b : b - f(b) / derivadaFina (f,b), float (b))$ /* --------------------------------------------------------------------- Funciones inversas ------------------------------------------------------------------- */ /* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 4.1. En este ejercicio se usará la función puntoCero para definir la inversa de distintas funciones. Definir, usando puntoCero, la función raizCuadrada tal que raizCuadrada x es la raíz cuadrada de x. Por ejemplo, (%i10) raizCuadrada (9); (%o10) 3.000000002941184 ------------------------------------------------------------------ */ raizCuadrada (a) := block ( local (f), f (x) := x^2-a, puntoCero (f))$ /* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 4.2. Definir, usando puntoCero, la función raizCubica tal que raizCubica (x) es la raíz cúbica de x. Por ejemplo, (%i11) raizCubica (27); (%o11) 3.000000000019604 ------------------------------------------------------------------- */ raizCubica (a) := block ( local (f), f (x) := x^3-a, puntoCero (f))$ /* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 4.3. Definir, usando puntoCero, la función arcoseno tal que arcoseno(x) es el arcoseno de x. Por ejemplo, (%i12) arcoseno (1); (%o12) 1.566548942830657 ------------------------------------------------------------------ */ arcoseno (a) := block ( local (f), f (x) := sin (x) - a, puntoCero (f))$ /* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 4.4. Definir, usando puntoCero, la función arcocoseno tal que arcocoseno(x) es el arcoseno de x. Por ejemplo, (%i13) arcocoseno (0); (%o13) 1.570796326794957 ------------------------------------------------------------------ */ arcocoseno (a) := block ( local (f), f (x) := cos (x) - a, puntoCero (f))$ /* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 4.5. Definir, usando puntoCero, la función inversa tal que inversa(g,a) es el valor de la inversa de g en a Por ejemplo, (%i14) cuadrado (x) := x^2$ (%i15) inversa (cuadrado,9); (%o15) 3.000000002941184 (%i16) inversa (lambda ([x], x^2), 9); (%o16) 3.000000002941184 ------------------------------------------------------------------ */ inversa (g,a) := block ( local (f), f (x) := g (x) - a, puntoCero (f))$ /* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 4.6. Redefinir, usando inversa, las funciones raizCuadrada, raizCubica, arcoseno y arcocoseno. Por ejemplo, (%i17) raizCuadradaI (9); (%o17) 3.000000002941184 (%i18) raizCubicaI (9); (%o18) 2.080083824207376 (%i19) arcosenoI (1); (%o19) 1.566548942830657 (%i20) arcocosenoI (0); (%o20) 1.570796326794957 ------------------------------------------------------------------ */ raizCuadradaI (a) := inversa (lambda ([x], x^2), a)$ raizCubicaI (a) := inversa (lambda ([x], x^3), a)$ arcosenoI (a) := inversa (sin, a)$ arcocosenoI (a) := inversa (cos, a)$ |