I1M2018: Ejercicios con el tipo de dato de los conjuntos en Haskell

En la segunda parte de la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas se han resuelto ejercicios de la relación 29 sobre el tipo de datos de las conjuntos.

Los ejercicios, y sus soluciones, se muestran a continuación.

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-- Introducción                                                       --
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-- El objetivo de esta relación de ejercicios es definir operaciones
-- entre conjuntos, representados mediante listas ordenadas sin
-- repeticiones, explicado en el tema 17 cuyas transparencias se
-- encuentran en 
--    http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m-14/temas/tema-17t.pdf
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{-# LANGUAGE FlexibleInstances #-}

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-- § Librerías auxiliares                                             --
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import Test.QuickCheck

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-- § Representación de conjuntos y operaciones básicas                --
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-- Los conjuntos como listas ordenadas sin repeticiones.
newtype Conj a = Cj [a]
  deriving Eq

-- Procedimiento de escritura de los conjuntos.
instance (Show a) => Show (Conj a) where
  showsPrec _ (Cj s) = showConj s 

showConj :: Show a => [a] -> String -> String
showConj []     cad = showString "{}" cad
showConj (x:xs) cad = showChar '{' (shows x (showl xs cad))
    where showl []       cad' = showChar '}' cad'
          showl (x':xs') cad' = showChar ',' (shows x' (showl xs' cad'))

-- Ejemplo de conjunto:
--    ghci> c1
--    {0,1,2,3,5,7,9}
c1, c2, c3, c4 :: Conj Int
c1 = foldr inserta vacio [2,5,1,3,7,5,3,2,1,9,0]
c2 = foldr inserta vacio [2,6,8,6,1,2,1,9,6]
c3 = Cj [2..100000]
c4 = Cj [1..100000]

-- vacio es el conjunto vacío. Por ejemplo,
--    ghci> vacio
--    {}
vacio :: Conj a                         
vacio = Cj []

-- (esVacio c) se verifica si c es el conjunto vacío. Por ejemplo, 
--    esVacio c1     ==  False
--    esVacio vacio  ==  True
esVacio :: Conj a -> Bool                
esVacio (Cj xs) = null xs

-- (pertenece x c) se verifica si x pertenece al conjunto c. Por ejemplo, 
--    c1              ==  {0,1,2,3,5,7,9}
--    pertenece 3 c1  ==  True
--    pertenece 4 c1  ==  False
pertenece :: Ord a => a -> Conj a -> Bool 
pertenece x (Cj s) = x `elem` takeWhile (<= x) s

-- (inserta x c) es el conjunto obtenido añadiendo el elemento x al
-- conjunto c. Por ejemplo,
--    c1            ==  {0,1,2,3,5,7,9}
--    inserta 5 c1  ==  {0,1,2,3,5,7,9}
--    inserta 4 c1  ==  {0,1,2,3,4,5,7,9}
inserta :: Ord a => a -> Conj a -> Conj a
inserta x (Cj s) = Cj (agrega x s)
    where agrega x []                    = [x]                
          agrega x s@(y:ys) | x > y      = y : agrega x ys
                            | x < y      = x : s
                            | otherwise  = s

-- (elimina x c) es el conjunto obtenido eliminando el elemento x
-- del conjunto c. Por ejemplo,
--    c1            ==  {0,1,2,3,5,7,9}
--    elimina 3 c1  ==  {0,1,2,5,7,9}
elimina :: Ord a => a -> Conj a -> Conj a
elimina x (Cj s) = Cj (elimina' x s)
  where elimina' x []                   = []
        elimina' x s@(y:ys) | x > y     = y : elimina' x ys
                            | x < y     = s
                            | otherwise = ys

-- ---------------------------------------------------------------------
-- § Ejercicios                                                       --
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-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1. Definir la función
--    subconjunto :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Bool
-- tal que (subconjunto c1 c2) se verifica si todos los elementos de c1 
-- pertenecen a c2. Por ejemplo,         
--    subconjunto (Cj [2..100000]) (Cj [1..100000]) == True
--    subconjunto (Cj [1..100000]) (Cj [2..100000]) == False
-- ---------------------------------------------------------------------

-- 1ª definición
subconjunto1 :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Bool
subconjunto1 (Cj xs) (Cj ys) = sublista xs ys
  where sublista [] _      = True
        sublista (x:xs) ys = elem x ys && sublista xs ys

-- 2ª definición
subconjunto2 :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Bool
subconjunto2 (Cj xs) c =
  and [pertenece x c | x <- xs]

-- 3ª definición
subconjunto3 :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Bool
subconjunto3 (Cj xs) (Cj ys) = sublista' xs ys
  where sublista' [] _      = True
        sublista' _ []      = False
        sublista' (x:xs) ys@(y:zs) = x >= y && elem x ys &&
                                     sublista' xs zs

-- 4ª definición
subconjunto4 :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Bool
subconjunto4 (Cj xs) (Cj ys) = sublista' xs ys
  where sublista' [] _      = True
        sublista' _ []      = False
        sublista' (x:xs) ys@(y:zs) 
            | x < y  = False
            | x == y = sublista' xs zs
            | x > y  = elem x zs && sublista' xs zs

-- Comparación de la eficiencia:
--    ghci> subconjunto1 (Cj [2..100000]) (Cj [1..1000000])
--      C-c C-cInterrupted.
--    ghci> subconjunto2 (Cj [2..100000]) (Cj [1..1000000])
--      C-c C-cInterrupted.
--    ghci> subconjunto3 (Cj [2..100000]) (Cj [1..1000000])
--    True
--    (0.52 secs, 26097076 bytes)
--    ghci> subconjunto4 (Cj [2..100000]) (Cj [1..1000000])
--    True
--    (0.66 secs, 32236700 bytes)
--    ghci> subconjunto1 (Cj [2..100000]) (Cj [1..10000])
--    False
--    (0.54 secs, 3679024 bytes)
--    ghci> subconjunto2 (Cj [2..100000]) (Cj [1..10000])
--    False
--    (38.19 secs, 1415562032 bytes)
--    ghci> subconjunto3 (Cj [2..100000]) (Cj [1..10000])
--    False
--    (0.08 secs, 3201112 bytes)
--    ghci> subconjunto4 (Cj [2..100000]) (Cj [1..10000])
--    False
--    (0.09 secs, 3708988 bytes)

-- En lo que sigue, se usará la 3ª definición:
subconjunto :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Bool
subconjunto = subconjunto3

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2. Definir la función
--    subconjuntoPropio :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Bool
-- tal (subconjuntoPropio c1 c2) se verifica si c1 es un subconjunto 
-- propio de c2. Por ejemplo,
--   subconjuntoPropio (Cj [2..5]) (Cj [1..7]) == True
--   subconjuntoPropio (Cj [2..5]) (Cj [1..4]) == False
--   subconjuntoPropio (Cj [2..5]) (Cj [2..5]) == False
-- ---------------------------------------------------------------------

subconjuntoPropio :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Bool
subconjuntoPropio c1 c2 = 
  subconjunto c1 c2 && c1 /= c2
  
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3. Definir la función
--    unitario :: Ord a => a -> Conj a 
-- tal que (unitario x) es el conjunto {x}. Por ejemplo,
--   unitario 5 == {5}
-- ---------------------------------------------------------------------

unitario :: Ord a => a -> Conj a 
unitario x = inserta x vacio

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4. Definir la función
--    cardinal :: Conj a -> Int
-- tal que (cardinal c) es el número de elementos del conjunto c. Por
-- ejemplo,
--    cardinal c1 == 7
--    cardinal c2 == 5
-- ---------------------------------------------------------------------

cardinal :: Conj a -> Int
cardinal (Cj xs) = length xs

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5. Definir la función
--    union :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Conj a
-- tal (union c1 c2) es la unión de ambos conjuntos. Por ejemplo,
--    union c1 c2             == {0,1,2,3,5,6,7,8,9}
--    cardinal (union2 c3 c4) == 100000
-- ---------------------------------------------------------------------

-- 1ª definición:
union1 :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Conj a
union1 (Cj xs) (Cj ys) = foldr inserta (Cj ys) xs

-- Otra definión es
union2 :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Conj a
union2 (Cj xs) (Cj ys) = Cj (unionL xs ys)
  where unionL [] ys = ys 
        unionL xs [] = xs 
        unionL l1@(x:xs) l2@(y:ys)
            | x < y  = x : unionL xs l2
            | x == y = x : unionL xs ys
            | x > y  = y : unionL l1 ys 

-- Comparación de eficiencia
--    ghci> :set +s
--    ghci> let c = Cj [1..1000]
--    ghci> cardinal (union1 c c)
--    1000
--    (1.04 secs, 56914332 bytes)
--    ghci> cardinal (union2 c c)
--    1000
--    (0.01 secs, 549596 bytes)

-- En lo que sigue se usará la 2ª definición
union :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Conj a
union = union2

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6. Definir la función
--    unionG:: Ord a => [Conj a] -> Conj a
-- tal (unionG cs) calcule la unión de la lista de conjuntos cd. Por
-- ejemplo,
--    unionG [c1, c2] == {0,1,2,3,5,6,7,8,9}
-- ---------------------------------------------------------------------

unionG :: Ord a => [Conj a] -> Conj a
unionG []          = vacio
unionG (Cj xs:css) = Cj xs `union` unionG css

-- Se puede definir por plegados
unionG2 :: Ord a => [Conj a] -> Conj a
unionG2 = foldr union vacio

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7. Definir la función
--    interseccion :: Eq a => Conj a -> Conj a -> Conj a
-- tal que (interseccion c1 c2) es la intersección de los conjuntos c1 y
-- c2. Por ejemplo,
--    interseccion (Cj [1..7]) (Cj [4..9])    == {4,5,6,7}
--    interseccion (Cj [2..1000000]) (Cj [1]) == {}
-- ---------------------------------------------------------------------

-- 1ª definición
interseccion1 :: Eq a => Conj a -> Conj a -> Conj a
interseccion1 (Cj xs) (Cj ys) = Cj [x | x <- xs, x `elem` ys]

-- 2ª definición
interseccion2 :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Conj a
interseccion2 (Cj xs) (Cj ys) = Cj (interseccionL xs ys)
  where interseccionL l1@(x:xs) l2@(y:ys)
          | x > y   = interseccionL l1 ys
          | x == y  = x : interseccionL xs ys
          | x < y   = interseccionL xs l2
        interseccionL _ _ = []

-- La comparación de eficiencia es
-- ghci> interseccion1 (Cj [2..1000000]) (Cj [1])
-- {}
-- (0.32 secs, 80396188 bytes)
-- ghci> interseccion2 (Cj [2..1000000]) (Cj [1])
-- {}
-- (0.00 secs, 2108848 bytes)

-- En lo que sigue se usa la 2ª definición:
interseccion :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Conj a
interseccion = interseccion2

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8. Definir la función
--    interseccionG:: Ord a => [Conj a] -> Conj a
-- tal que (interseccionG cs) es la intersección de la lista de
-- conjuntos cs. Por ejemplo,
--    interseccionG [c1, c2] == {1,2,9}
-- ---------------------------------------------------------------------

interseccionG :: Ord a => [Conj a] -> Conj a
interseccionG [c]      = c
interseccionG (cs:css) = interseccion cs (interseccionG css)

-- Se puede definir por plegado
interseccionG2 :: Ord a => [Conj a] -> Conj a
interseccionG2 = foldr1 interseccion

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9. Definir la función
--    disjuntos :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Bool
-- tal que (disjuntos c1 c2) se verifica si los conjuntos c1 y c2 son
-- disjuntos. Por ejemplo,
--   disjuntos (Cj [2..5]) (Cj [6..9]) == True
--   disjuntos (Cj [2..5]) (Cj [1..9]) == False
-- ---------------------------------------------------------------------

disjuntos :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Bool
disjuntos c1 c2 = esVacio (interseccion c1 c2)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10. Definir la función
--    diferencia :: Eq a => Conj a -> Conj a -> Conj a
-- tal que (diferencia c1 c2) es el conjunto de los elementos de c1 que
-- no son elementos de c2. Por ejemplo,
--    diferencia c1 c2 == {0,3,5,7}
--    diferencia c2 c1 == {6,8}
-- ---------------------------------------------------------------------

diferencia :: Eq a => Conj a -> Conj a -> Conj a
diferencia (Cj xs) (Cj ys) = Cj zs
  where zs = [x | x <- xs, x `notElem` ys]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 11. Definir la función
--    diferenciaSimetrica :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Conj a
-- tal que (diferenciaSimetrica c1 c2) es la diferencia simétrica de los
-- conjuntos c1 y c2. Por ejemplo,
--   diferenciaSimetrica c1 c2 == {0,3,5,6,7,8}
--   diferenciaSimetrica c2 c1 == {0,3,5,6,7,8}
-- ---------------------------------------------------------------------

diferenciaSimetrica :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Conj a
diferenciaSimetrica c1 c2 = 
  diferencia (union c1 c2) (interseccion c1 c2)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 12. Definir la función
--    filtra :: (a -> Bool) -> Conj a -> Conj a
-- tal (filtra p c) es el conjunto de elementos de c que verifican el
-- predicado p. Por ejemplo,
--    filtra even c1 == {0,2}
--    filtra odd  c1  == {1,3,5,7,9}
-- ---------------------------------------------------------------------

filtra :: (a -> Bool) -> Conj a -> Conj a
filtra p (Cj xs) = Cj (filter p xs)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13. Definir la función
--    particion :: (a -> Bool) -> Conj a -> (Conj a, Conj a)
-- tal que (particion c) es el par formado por dos conjuntos: el de sus
-- elementos que verifican p y el de los elementos que no lo
-- verifica. Por ejemplo,
--    particion even c1 == ({0,2},{1,3,5,7,9})
-- ---------------------------------------------------------------------

particion :: (a -> Bool) -> Conj a -> (Conj a, Conj a)
particion p c = (filtra p c, filtra (not . p) c)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 14. Definir la función
--    divide :: (Ord a) => a-> Conj a -> (Conj a, Conj a)
-- tal que (divide x c) es el par formado por dos subconjuntos de c: el
-- de los elementos menores o iguales que x y el de los mayores que x.
-- Por ejemplo,
--    divide 5 c1 == ({0,1,2,3,5},{7,9})  
-- ---------------------------------------------------------------------

divide :: Ord a => a-> Conj a -> (Conj a, Conj a)
divide x = particion (<= x)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 15. Definir la función
--    mapC :: (a -> b) -> Conj a -> Conj b
-- tal que (map f c) es el conjunto formado por las imágenes de los
-- elementos de c, mediante f. Por ejemplo,
--   mapC (*2) (Cj [1..4]) == {2,4,6,8}
-- ---------------------------------------------------------------------

mapC :: (a -> b) -> Conj a -> Conj b
mapC f (Cj xs) = Cj (map f xs)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 16. Definir la función
--    everyC :: (a -> Bool) -> Conj a -> Bool
-- tal que (everyC p c) se verifica si todos los elemsntos de c
-- verifican el predicado p.  Por ejmplo,
--   everyC even (Cj [2,4..10]) == True
--   everyC even (Cj [2..10])   == False
-- ---------------------------------------------------------------------

everyC :: (a -> Bool) -> Conj a -> Bool
everyC p (Cj xs) = all p xs

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 17. Definir la función
--    someC :: (a -> Bool) -> Conj a -> Bool
-- tal que (someC p c) se verifica si algún elemento de c verifica el
-- predicado p. Por ejemplo,
--   someC even (Cj [1,4,7]) == True
--   someC even (Cj [1,3,7]) == False
-- ---------------------------------------------------------------------

someC :: (a -> Bool) -> Conj a -> Bool
someC p (Cj xs) = any p xs

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 18. Definir la función
--    productoC :: (Ord a, Ord b) => Conj a -> Conj b -> Conj (a,b)
-- tal que (productoC c1 c2) es el producto cartesiano de los 
-- conjuntos c1 y c2. Por ejemplo,
--   productoC (Cj [1,3]) (Cj [2,4])== {(1,2),(1,4),(3,2),(3,4)}
-- ---------------------------------------------------------------------

productoC :: (Ord a, Ord b) => Conj a -> Conj b -> Conj (a,b)
productoC (Cj xs) (Cj ys) = 
  foldr inserta vacio [(x,y) | x <- xs, y <- ys]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio. Especificar que, dado un tipo ordenado a, el orden entre
-- los conjuntos con elementos en a es el orden inducido por el orden
-- existente entre las listas con elementos en a. 
-- ---------------------------------------------------------------------

instance Ord a => Ord (Conj a) where
  (Cj xs) <= (Cj ys) = xs <= ys

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 19. Definir la función
--    potencia :: Ord a => Conj a -> Conj (Conj a)
-- tal que (potencia c) es el conjunto potencia de c; es decir, el
-- conjunto de todos los subconjuntos de c. Por ejemplo,
--    potencia (Cj [1,2])  == {{},{1},{1,2},{2}}
--    potencia (Cj [1..3]) == {{},{1},{1,2},{1,2,3},{1,3},{2},{2,3},{3}}
-- ---------------------------------------------------------------------

potencia :: Ord a => Conj a -> Conj (Conj a)
potencia (Cj []) = unitario vacio
potencia (Cj (x:xs)) = mapC (inserta x) pr `union` pr
  where pr = potencia (Cj xs)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 20. Comprobar con QuickCheck que la relación de subconjunto
-- es un orden parcial. Es decir, es una relación reflexiva,
-- antisimétrica y transitiva.
-- ---------------------------------------------------------------------

propSubconjuntoReflexiva :: Conj Int -> Bool
propSubconjuntoReflexiva c = subconjunto c c

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck propSubconjuntoReflexiva
--    +++ OK, passed 100 tests.

propSubconjuntoAntisimetrica :: Conj Int -> Conj Int -> Property
propSubconjuntoAntisimetrica c1 c2 =
  subconjunto c1 c2 && subconjunto c2 c1 ==> c1 == c2

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck propSubconjuntoAntisimetrica
--    *** Gave up! Passed only 13 tests.

propSubconjuntoTransitiva :: Conj Int -> Conj Int -> Conj Int -> Property
propSubconjuntoTransitiva c1 c2 c3 =
  subconjunto c1 c2 && subconjunto c2 c3 ==> subconjunto c1 c3

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck propSubconjuntoTransitiva
--    *** Gave up! Passed only 7 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 21. Comprobar con QuickCheck que el conjunto vacío está
-- contenido en cualquier conjunto.
-- ---------------------------------------------------------------------

propSubconjuntoVacio :: Conj Int -> Bool
propSubconjuntoVacio c = subconjunto vacio c

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck propSubconjuntoVacio
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 22. Comprobar con QuickCheck las siguientes propiedades de
-- la unión de conjuntos:
--    Idempotente:      A U A = A
--    Neutro:           A U {} = A
--    Commutativa:      A U B = B U A
--    Asociativa:       A U (B U C) = (A U B) U C
--    UnionSubconjunto: A y B son subconjuntos de (A U B)
--    UnionDiferencia:  A U B = A U (B \ A)
-- ---------------------------------------------------------------------

propUnionIdempotente :: Conj Int -> Bool
propUnionIdempotente c = 
  union c c == c

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck propUnionIdempotente
--    +++ OK, passed 100 tests.

propVacioNeutroUnion :: Conj Int -> Bool
propVacioNeutroUnion c = 
  union c vacio == c

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck propVacioNeutroUnion
--    +++ OK, passed 100 tests.

propUnionCommutativa :: Conj Int -> Conj Int -> Bool
propUnionCommutativa c1 c2 =
  union c1 c2 == union c2 c1

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck propUnionCommutativa
--    +++ OK, passed 100 tests.

propUnionAsociativa :: Conj Int -> Conj Int -> Conj Int -> Bool
propUnionAsociativa c1 c2 c3 =
  union c1 (union c2 c3) == union (union c1 c2) c3

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck propUnionAsociativa
--    +++ OK, passed 100 tests.

propUnionSubconjunto :: Conj Int -> Conj Int -> Bool
propUnionSubconjunto c1 c2 =
  subconjunto c1 c3 && subconjunto c2 c3
  where c3 = union c1 c2

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck propUnionSubconjunto
--    +++ OK, passed 100 tests.

propUnionDiferencia :: Conj Int -> Conj Int -> Bool
propUnionDiferencia c1 c2 =
  union c1 c2 == union c1 (diferencia c2 c1)

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck propUnionDiferencia
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 23. Comprobar con QuickCheck las siguientes propiedades de
-- la intersección de conjuntos:
--    Idempotente:             A n A = A
--    VacioInterseccion:       A n {} = {}
--    Commutativa:             A n B = B n A
--    Asociativa:              A n (B n C) = (A n B) n C
--    InterseccionSubconjunto: (A n B) es subconjunto de A y B
--    DistributivaIU:          A n (B U C) = (A n B) U (A n C)
--    DistributivaUI:          A U (B n C) = (A U B) n (A U C)
-- ---------------------------------------------------------------------


propInterseccionIdempotente :: Conj Int -> Bool
propInterseccionIdempotente c = 
  interseccion c c == c

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck propInterseccionIdempotente
--    +++ OK, passed 100 tests.

propVacioInterseccion :: Conj Int -> Bool
propVacioInterseccion c = 
  interseccion c vacio == vacio

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck propVacioInterseccion
--    +++ OK, passed 100 tests.

propInterseccionCommutativa :: Conj Int -> Conj Int -> Bool
propInterseccionCommutativa c1 c2 =
  interseccion c1 c2 == interseccion c2 c1

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck propInterseccionCommutativa
--    +++ OK, passed 100 tests.

propInterseccionAsociativa :: Conj Int -> Conj Int -> Conj Int -> Bool
propInterseccionAsociativa c1 c2 c3 =
  interseccion c1 (interseccion c2 c3) == interseccion (interseccion c1 c2) c3

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck propInterseccionAsociativa
--    +++ OK, passed 100 tests.

propInterseccionSubconjunto :: Conj Int -> Conj Int -> Bool
propInterseccionSubconjunto c1 c2 =
  subconjunto c3 c1 && subconjunto c3 c2
  where c3 = interseccion c1 c2

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck propInterseccionSubconjunto
--    +++ OK, passed 100 tests.

propDistributivaIU:: Conj Int -> Conj Int -> Conj Int -> Bool
propDistributivaIU c1 c2 c3 =
  interseccion c1 (union c2 c3) == union (interseccion c1 c2)
                                         (interseccion c1 c3)

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck propDistributivaIU
--    +++ OK, passed 100 tests.

propDistributivaUI :: Conj Int -> Conj Int -> Conj Int -> Bool
propDistributivaUI c1 c2 c3 =
  union c1 (interseccion c2 c3) == interseccion (union c1 c2)
                                                (union c1 c3)
-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck propDistributivaUI
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 24. Comprobar con QuickCheck las siguientes propiedades de
-- la diferencia de conjuntos:
--    DiferenciaVacio1: A \ {} = A
--    DiferenciaVacio2: {} \ A = {}
--    DiferenciaDif1:   (A \ B) \ C = A \ (B U C)
--    DiferenciaDif2:   A \ (B \ C) = (A \ B) U (A n C)
--    DiferenciaSubc:   (A \ B) es subconjunto de A
--    DiferenciaDisj:   A y (B \ A) son disjuntos
--    DiferenciaUI:     (A U B) \ A = B \ (A n B)
-- ---------------------------------------------------------------------

propDiferenciaVacio1 :: Conj Int -> Bool
propDiferenciaVacio1 c = diferencia c vacio == c

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck propDiferenciaVacio2
--    +++ OK, passed 100 tests.

propDiferenciaVacio2 :: Conj Int -> Bool
propDiferenciaVacio2 c = diferencia vacio c == vacio

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck propDiferenciaVacio2
--    +++ OK, passed 100 tests.

propDiferenciaDif1 :: Conj Int -> Conj Int -> Conj Int -> Bool
propDiferenciaDif1 c1 c2 c3 =
  diferencia (diferencia c1 c2) c3 == diferencia c1 (union c2 c3)

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck propDiferenciaDif1
--    +++ OK, passed 100 tests.

propDiferenciaDif2 :: Conj Int -> Conj Int -> Conj Int -> Bool
propDiferenciaDif2 c1 c2 c3 =
  diferencia c1 (diferencia c2 c3) == union (diferencia c1 c2) 
                                            (interseccion c1 c3) 
  
-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck propDiferenciaDif2
--    +++ OK, passed 100 tests.  

propDiferenciaSubc :: Conj Int -> Conj Int -> Bool
propDiferenciaSubc c1 c2 =
  subconjunto (diferencia c1 c2) c1
  
-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck propDiferenciaSubc
--    +++ OK, passed 100 tests.  

propDiferenciaDisj :: Conj Int -> Conj Int -> Bool
propDiferenciaDisj c1 c2 =  
  disjuntos c1 (diferencia c2 c1)

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck propDiferenciaDisj
--    +++ OK, passed 100 tests.

propDiferenciaUI :: Conj Int -> Conj Int -> Bool
propDiferenciaUI c1 c2 =  
  diferencia (union c1 c2) c1 == diferencia c2 (interseccion c1 c2)

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck propDiferenciaUI
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Generador de conjuntos                                          --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- genConjunto es un generador de conjuntos. Por ejemplo,
--    ghci> sample genConjunto
--    {}
--    {}
--    {}
--    {3,-2,-2,-3,-2,4}
--    {-8,0,4,6,-5,-2}
--    {12,-2,-1,-10,-2,2,15,15}
--    {2}
--    {}
--    {-42,55,55,-11,23,23,-11,27,-17,-48,16,-15,-7,5,41,43}
--    {-124,-66,-5,-47,58,-88,-32,-125}
--    {49,-38,-231,-117,-32,-3,45,227,-41,54,169,-160,19}
genConjunto :: Gen (Conj Int)
genConjunto = do xs <- listOf arbitrary
                 return (foldr inserta vacio xs)

-- Los conjuntos son concreciones de los arbitrarios.
instance Arbitrary (Conj Int) where
  arbitrary = genConjunto

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-- ---------------------------------------------------------------------

-- Introducción --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- El objetivo de esta relación de ejercicios es definir operaciones

-- entre conjuntos, representados mediante listas ordenadas sin

-- repeticiones, explicado en el tema 17 cuyas transparencias se

-- encuentran en

-- http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m-14/temas/tema-17t.pdf

-- ---------------------------------------------------------------------

{-# LANGUAGE FlexibleInstances #-}

-- ---------------------------------------------------------------------

-- § Librerías auxiliares --

-- ---------------------------------------------------------------------

import Test.QuickCheck

-- ---------------------------------------------------------------------

-- § Representación de conjuntos y operaciones básicas --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Los conjuntos como listas ordenadas sin repeticiones.

newtype Conj a = Cj [a]

deriving Eq

-- Procedimiento de escritura de los conjuntos.

instance (Show a) => Show (Conj a) where

showsPrec _ (Cj s) = showConj s

showConj :: Show a => [a] -> String -> String

showConj [] cad = showString "{}" cad

showConj (x:xs) cad = showChar '{' (shows x (showl xs cad))

where showl [] cad' = showChar '}' cad'

showl (x':xs') cad' = showChar ',' (shows x' (showl xs' cad'))

-- Ejemplo de conjunto:

-- ghci> c1

-- {0,1,2,3,5,7,9}

c1, c2, c3, c4 :: Conj Int

c1 = foldr inserta vacio [2,5,1,3,7,5,3,2,1,9,0]

c2 = foldr inserta vacio [2,6,8,6,1,2,1,9,6]

c3 = Cj [2..100000]

c4 = Cj [1..100000]

-- vacio es el conjunto vacío. Por ejemplo,

-- ghci> vacio

-- {}

vacio :: Conj a

vacio = Cj []

-- (esVacio c) se verifica si c es el conjunto vacío. Por ejemplo,

-- esVacio c1 == False

-- esVacio vacio == True

esVacio :: Conj a -> Bool

esVacio (Cj xs) = null xs

-- (pertenece x c) se verifica si x pertenece al conjunto c. Por ejemplo,

-- c1 == {0,1,2,3,5,7,9}

-- pertenece 3 c1 == True

-- pertenece 4 c1 == False

pertenece :: Ord a => a -> Conj a -> Bool

pertenece x (Cj s) = x `elem` takeWhile (<= x) s

-- (inserta x c) es el conjunto obtenido añadiendo el elemento x al

-- conjunto c. Por ejemplo,

-- c1 == {0,1,2,3,5,7,9}

-- inserta 5 c1 == {0,1,2,3,5,7,9}

-- inserta 4 c1 == {0,1,2,3,4,5,7,9}

inserta :: Ord a => a -> Conj a -> Conj a

inserta x (Cj s) = Cj (agrega x s)

where agrega x [] = [x]

agrega x s@(y:ys) | x > y = y : agrega x ys

| x < y = x : s

| otherwise = s

-- (elimina x c) es el conjunto obtenido eliminando el elemento x

-- del conjunto c. Por ejemplo,

-- c1 == {0,1,2,3,5,7,9}

-- elimina 3 c1 == {0,1,2,5,7,9}

elimina :: Ord a => a -> Conj a -> Conj a

elimina x (Cj s) = Cj (elimina' x s)

where elimina' x [] = []

elimina' x s@(y:ys) | x > y = y : elimina' x ys

| x < y = s

| otherwise = ys

-- ---------------------------------------------------------------------

-- § Ejercicios --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 1. Definir la función

-- subconjunto :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Bool

-- tal que (subconjunto c1 c2) se verifica si todos los elementos de c1

-- pertenecen a c2. Por ejemplo,

-- subconjunto (Cj [2..100000]) (Cj [1..100000]) == True

-- subconjunto (Cj [1..100000]) (Cj [2..100000]) == False

-- ---------------------------------------------------------------------

-- 1ª definición

subconjunto1 :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Bool

subconjunto1 (Cj xs) (Cj ys) = sublista xs ys

where sublista [] _ = True

sublista (x:xs) ys = elem x ys && sublista xs ys

-- 2ª definición

subconjunto2 :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Bool

subconjunto2 (Cj xs) c =

and [pertenece x c | x <- xs]

-- 3ª definición

subconjunto3 :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Bool

subconjunto3 (Cj xs) (Cj ys) = sublista' xs ys

where sublista' [] _ = True

sublista' _ [] = False

sublista' (x:xs) ys@(y:zs) = x >= y && elem x ys &&

sublista' xs zs

-- 4ª definición

subconjunto4 :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Bool

subconjunto4 (Cj xs) (Cj ys) = sublista' xs ys

where sublista' [] _ = True

sublista' _ [] = False

sublista' (x:xs) ys@(y:zs)

| x < y = False

| x == y = sublista' xs zs

| x > y = elem x zs && sublista' xs zs

-- Comparación de la eficiencia:

-- ghci> subconjunto1 (Cj [2..100000]) (Cj [1..1000000])

-- C-c C-cInterrupted.

-- ghci> subconjunto2 (Cj [2..100000]) (Cj [1..1000000])

-- C-c C-cInterrupted.

-- ghci> subconjunto3 (Cj [2..100000]) (Cj [1..1000000])

-- True

-- (0.52 secs, 26097076 bytes)

-- ghci> subconjunto4 (Cj [2..100000]) (Cj [1..1000000])

-- True

-- (0.66 secs, 32236700 bytes)

-- ghci> subconjunto1 (Cj [2..100000]) (Cj [1..10000])

-- False

-- (0.54 secs, 3679024 bytes)

-- ghci> subconjunto2 (Cj [2..100000]) (Cj [1..10000])

-- False

-- (38.19 secs, 1415562032 bytes)

-- ghci> subconjunto3 (Cj [2..100000]) (Cj [1..10000])

-- False

-- (0.08 secs, 3201112 bytes)

-- ghci> subconjunto4 (Cj [2..100000]) (Cj [1..10000])

-- False

-- (0.09 secs, 3708988 bytes)

-- En lo que sigue, se usará la 3ª definición:

subconjunto :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Bool

subconjunto = subconjunto3

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 2. Definir la función

-- subconjuntoPropio :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Bool

-- tal (subconjuntoPropio c1 c2) se verifica si c1 es un subconjunto

-- propio de c2. Por ejemplo,

-- subconjuntoPropio (Cj [2..5]) (Cj [1..7]) == True

-- subconjuntoPropio (Cj [2..5]) (Cj [1..4]) == False

-- subconjuntoPropio (Cj [2..5]) (Cj [2..5]) == False

-- ---------------------------------------------------------------------

subconjuntoPropio :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Bool

subconjuntoPropio c1 c2 =

subconjunto c1 c2 && c1 /= c2

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 3. Definir la función

-- unitario :: Ord a => a -> Conj a

-- tal que (unitario x) es el conjunto {x}. Por ejemplo,

-- unitario 5 == {5}

-- ---------------------------------------------------------------------

unitario :: Ord a => a -> Conj a

unitario x = inserta x vacio

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 4. Definir la función

-- cardinal :: Conj a -> Int

-- tal que (cardinal c) es el número de elementos del conjunto c. Por

-- ejemplo,

-- cardinal c1 == 7

-- cardinal c2 == 5

-- ---------------------------------------------------------------------

cardinal :: Conj a -> Int

cardinal (Cj xs) = length xs

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 5. Definir la función

-- union :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Conj a

-- tal (union c1 c2) es la unión de ambos conjuntos. Por ejemplo,

-- union c1 c2 == {0,1,2,3,5,6,7,8,9}

-- cardinal (union2 c3 c4) == 100000

-- ---------------------------------------------------------------------

-- 1ª definición:

union1 :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Conj a

union1 (Cj xs) (Cj ys) = foldr inserta (Cj ys) xs

-- Otra definión es

union2 :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Conj a

union2 (Cj xs) (Cj ys) = Cj (unionL xs ys)

where unionL [] ys = ys

unionL xs [] = xs

unionL l1@(x:xs) l2@(y:ys)

| x < y = x : unionL xs l2

| x == y = x : unionL xs ys

| x > y = y : unionL l1 ys

-- Comparación de eficiencia

-- ghci> :set +s

-- ghci> let c = Cj [1..1000]

-- ghci> cardinal (union1 c c)

-- 1000

-- (1.04 secs, 56914332 bytes)

-- ghci> cardinal (union2 c c)

-- 1000

-- (0.01 secs, 549596 bytes)

-- En lo que sigue se usará la 2ª definición

union :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Conj a

union = union2

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 6. Definir la función

-- unionG:: Ord a => [Conj a] -> Conj a

-- tal (unionG cs) calcule la unión de la lista de conjuntos cd. Por

-- ejemplo,

-- unionG [c1, c2] == {0,1,2,3,5,6,7,8,9}

-- ---------------------------------------------------------------------

unionG :: Ord a => [Conj a] -> Conj a

unionG [] = vacio

unionG (Cj xs:css) = Cj xs `union` unionG css

-- Se puede definir por plegados

unionG2 :: Ord a => [Conj a] -> Conj a

unionG2 = foldr union vacio

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 7. Definir la función

-- interseccion :: Eq a => Conj a -> Conj a -> Conj a

-- tal que (interseccion c1 c2) es la intersección de los conjuntos c1 y

-- c2. Por ejemplo,

-- interseccion (Cj [1..7]) (Cj [4..9]) == {4,5,6,7}

-- interseccion (Cj [2..1000000]) (Cj [1]) == {}

-- ---------------------------------------------------------------------

-- 1ª definición

interseccion1 :: Eq a => Conj a -> Conj a -> Conj a

interseccion1 (Cj xs) (Cj ys) = Cj [x | x <- xs, x `elem` ys]

-- 2ª definición

interseccion2 :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Conj a

interseccion2 (Cj xs) (Cj ys) = Cj (interseccionL xs ys)

where interseccionL l1@(x:xs) l2@(y:ys)

| x > y = interseccionL l1 ys

| x == y = x : interseccionL xs ys

| x < y = interseccionL xs l2

interseccionL _ _ = []

-- La comparación de eficiencia es

-- ghci> interseccion1 (Cj [2..1000000]) (Cj [1])

-- {}

-- (0.32 secs, 80396188 bytes)

-- ghci> interseccion2 (Cj [2..1000000]) (Cj [1])

-- {}

-- (0.00 secs, 2108848 bytes)

-- En lo que sigue se usa la 2ª definición:

interseccion :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Conj a

interseccion = interseccion2

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 8. Definir la función

-- interseccionG:: Ord a => [Conj a] -> Conj a

-- tal que (interseccionG cs) es la intersección de la lista de

-- conjuntos cs. Por ejemplo,

-- interseccionG [c1, c2] == {1,2,9}

-- ---------------------------------------------------------------------

interseccionG :: Ord a => [Conj a] -> Conj a

interseccionG [c] = c

interseccionG (cs:css) = interseccion cs (interseccionG css)

-- Se puede definir por plegado

interseccionG2 :: Ord a => [Conj a] -> Conj a

interseccionG2 = foldr1 interseccion

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 9. Definir la función

-- disjuntos :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Bool

-- tal que (disjuntos c1 c2) se verifica si los conjuntos c1 y c2 son

-- disjuntos. Por ejemplo,

-- disjuntos (Cj [2..5]) (Cj [6..9]) == True

-- disjuntos (Cj [2..5]) (Cj [1..9]) == False

-- ---------------------------------------------------------------------

disjuntos :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Bool

disjuntos c1 c2 = esVacio (interseccion c1 c2)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 10. Definir la función

-- diferencia :: Eq a => Conj a -> Conj a -> Conj a

-- tal que (diferencia c1 c2) es el conjunto de los elementos de c1 que

-- no son elementos de c2. Por ejemplo,

-- diferencia c1 c2 == {0,3,5,7}

-- diferencia c2 c1 == {6,8}

-- ---------------------------------------------------------------------

diferencia :: Eq a => Conj a -> Conj a -> Conj a

diferencia (Cj xs) (Cj ys) = Cj zs

where zs = [x | x <- xs, x `notElem` ys]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 11. Definir la función

-- diferenciaSimetrica :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Conj a

-- tal que (diferenciaSimetrica c1 c2) es la diferencia simétrica de los

-- conjuntos c1 y c2. Por ejemplo,

-- diferenciaSimetrica c1 c2 == {0,3,5,6,7,8}

-- diferenciaSimetrica c2 c1 == {0,3,5,6,7,8}

-- ---------------------------------------------------------------------

diferenciaSimetrica :: Ord a => Conj a -> Conj a -> Conj a

diferenciaSimetrica c1 c2 =

diferencia (union c1 c2) (interseccion c1 c2)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 12. Definir la función

-- filtra :: (a -> Bool) -> Conj a -> Conj a

-- tal (filtra p c) es el conjunto de elementos de c que verifican el

-- predicado p. Por ejemplo,

-- filtra even c1 == {0,2}

-- filtra odd c1 == {1,3,5,7,9}

-- ---------------------------------------------------------------------

filtra :: (a -> Bool) -> Conj a -> Conj a

filtra p (Cj xs) = Cj (filter p xs)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 13. Definir la función

-- particion :: (a -> Bool) -> Conj a -> (Conj a, Conj a)

-- tal que (particion c) es el par formado por dos conjuntos: el de sus

-- elementos que verifican p y el de los elementos que no lo

-- verifica. Por ejemplo,

-- particion even c1 == ({0,2},{1,3,5,7,9})

-- ---------------------------------------------------------------------

particion :: (a -> Bool) -> Conj a -> (Conj a, Conj a)

particion p c = (filtra p c, filtra (not . p) c)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 14. Definir la función

-- divide :: (Ord a) => a-> Conj a -> (Conj a, Conj a)

-- tal que (divide x c) es el par formado por dos subconjuntos de c: el

-- de los elementos menores o iguales que x y el de los mayores que x.

-- Por ejemplo,

-- divide 5 c1 == ({0,1,2,3,5},{7,9})

-- ---------------------------------------------------------------------

divide :: Ord a => a-> Conj a -> (Conj a, Conj a)

divide x = particion (<= x)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 15. Definir la función

-- mapC :: (a -> b) -> Conj a -> Conj b

-- tal que (map f c) es el conjunto formado por las imágenes de los

-- elementos de c, mediante f. Por ejemplo,

-- mapC (*2) (Cj [1..4]) == {2,4,6,8}

-- ---------------------------------------------------------------------

mapC :: (a -> b) -> Conj a -> Conj b

mapC f (Cj xs) = Cj (map f xs)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 16. Definir la función

-- everyC :: (a -> Bool) -> Conj a -> Bool

-- tal que (everyC p c) se verifica si todos los elemsntos de c

-- verifican el predicado p. Por ejmplo,

-- everyC even (Cj [2,4..10]) == True

-- everyC even (Cj [2..10]) == False

-- ---------------------------------------------------------------------

everyC :: (a -> Bool) -> Conj a -> Bool

everyC p (Cj xs) = all p xs

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 17. Definir la función

-- someC :: (a -> Bool) -> Conj a -> Bool

-- tal que (someC p c) se verifica si algún elemento de c verifica el

-- predicado p. Por ejemplo,

-- someC even (Cj [1,4,7]) == True

-- someC even (Cj [1,3,7]) == False

-- ---------------------------------------------------------------------

someC :: (a -> Bool) -> Conj a -> Bool

someC p (Cj xs) = any p xs

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 18. Definir la función

-- productoC :: (Ord a, Ord b) => Conj a -> Conj b -> Conj (a,b)

-- tal que (productoC c1 c2) es el producto cartesiano de los

-- conjuntos c1 y c2. Por ejemplo,

-- productoC (Cj [1,3]) (Cj [2,4])== {(1,2),(1,4),(3,2),(3,4)}

-- ---------------------------------------------------------------------

productoC :: (Ord a, Ord b) => Conj a -> Conj b -> Conj (a,b)

productoC (Cj xs) (Cj ys) =

foldr inserta vacio [(x,y) | x <- xs, y <- ys]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio. Especificar que, dado un tipo ordenado a, el orden entre

-- los conjuntos con elementos en a es el orden inducido por el orden

-- existente entre las listas con elementos en a.

-- ---------------------------------------------------------------------

instance Ord a => Ord (Conj a) where

(Cj xs) <= (Cj ys) = xs <= ys

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 19. Definir la función

-- potencia :: Ord a => Conj a -> Conj (Conj a)

-- tal que (potencia c) es el conjunto potencia de c; es decir, el

-- conjunto de todos los subconjuntos de c. Por ejemplo,

-- potencia (Cj [1,2]) == {{},{1},{1,2},{2}}

-- potencia (Cj [1..3]) == {{},{1},{1,2},{1,2,3},{1,3},{2},{2,3},{3}}

-- ---------------------------------------------------------------------

potencia :: Ord a => Conj a -> Conj (Conj a)

potencia (Cj []) = unitario vacio

potencia (Cj (x:xs)) = mapC (inserta x) pr `union` pr

where pr = potencia (Cj xs)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 20. Comprobar con QuickCheck que la relación de subconjunto

-- es un orden parcial. Es decir, es una relación reflexiva,

-- antisimétrica y transitiva.

-- ---------------------------------------------------------------------

propSubconjuntoReflexiva :: Conj Int -> Bool

propSubconjuntoReflexiva c = subconjunto c c

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck propSubconjuntoReflexiva

-- +++ OK, passed 100 tests.

propSubconjuntoAntisimetrica :: Conj Int -> Conj Int -> Property

propSubconjuntoAntisimetrica c1 c2 =

subconjunto c1 c2 && subconjunto c2 c1 ==> c1 == c2

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck propSubconjuntoAntisimetrica

-- *** Gave up! Passed only 13 tests.

propSubconjuntoTransitiva :: Conj Int -> Conj Int -> Conj Int -> Property

propSubconjuntoTransitiva c1 c2 c3 =

subconjunto c1 c2 && subconjunto c2 c3 ==> subconjunto c1 c3

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck propSubconjuntoTransitiva

-- *** Gave up! Passed only 7 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 21. Comprobar con QuickCheck que el conjunto vacío está

-- contenido en cualquier conjunto.

-- ---------------------------------------------------------------------

propSubconjuntoVacio :: Conj Int -> Bool

propSubconjuntoVacio c = subconjunto vacio c

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck propSubconjuntoVacio

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 22. Comprobar con QuickCheck las siguientes propiedades de

-- la unión de conjuntos:

-- Idempotente: A U A = A

-- Neutro: A U {} = A

-- Commutativa: A U B = B U A

-- Asociativa: A U (B U C) = (A U B) U C

-- UnionSubconjunto: A y B son subconjuntos de (A U B)

-- UnionDiferencia: A U B = A U (B \ A)

-- ---------------------------------------------------------------------

propUnionIdempotente :: Conj Int -> Bool

propUnionIdempotente c =

union c c == c

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck propUnionIdempotente

-- +++ OK, passed 100 tests.

propVacioNeutroUnion :: Conj Int -> Bool

propVacioNeutroUnion c =

union c vacio == c

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck propVacioNeutroUnion

-- +++ OK, passed 100 tests.

propUnionCommutativa :: Conj Int -> Conj Int -> Bool

propUnionCommutativa c1 c2 =

union c1 c2 == union c2 c1

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck propUnionCommutativa

-- +++ OK, passed 100 tests.

propUnionAsociativa :: Conj Int -> Conj Int -> Conj Int -> Bool

propUnionAsociativa c1 c2 c3 =

union c1 (union c2 c3) == union (union c1 c2) c3

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck propUnionAsociativa

-- +++ OK, passed 100 tests.

propUnionSubconjunto :: Conj Int -> Conj Int -> Bool

propUnionSubconjunto c1 c2 =

subconjunto c1 c3 && subconjunto c2 c3

where c3 = union c1 c2

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck propUnionSubconjunto

-- +++ OK, passed 100 tests.

propUnionDiferencia :: Conj Int -> Conj Int -> Bool

propUnionDiferencia c1 c2 =

union c1 c2 == union c1 (diferencia c2 c1)

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck propUnionDiferencia

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 23. Comprobar con QuickCheck las siguientes propiedades de

-- la intersección de conjuntos:

-- Idempotente: A n A = A

-- VacioInterseccion: A n {} = {}

-- Commutativa: A n B = B n A

-- Asociativa: A n (B n C) = (A n B) n C

-- InterseccionSubconjunto: (A n B) es subconjunto de A y B

-- DistributivaIU: A n (B U C) = (A n B) U (A n C)

-- DistributivaUI: A U (B n C) = (A U B) n (A U C)

-- ---------------------------------------------------------------------

propInterseccionIdempotente :: Conj Int -> Bool

propInterseccionIdempotente c =

interseccion c c == c

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck propInterseccionIdempotente

-- +++ OK, passed 100 tests.

propVacioInterseccion :: Conj Int -> Bool

propVacioInterseccion c =

interseccion c vacio == vacio

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck propVacioInterseccion

-- +++ OK, passed 100 tests.

propInterseccionCommutativa :: Conj Int -> Conj Int -> Bool

propInterseccionCommutativa c1 c2 =

interseccion c1 c2 == interseccion c2 c1

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck propInterseccionCommutativa

-- +++ OK, passed 100 tests.

propInterseccionAsociativa :: Conj Int -> Conj Int -> Conj Int -> Bool

propInterseccionAsociativa c1 c2 c3 =

interseccion c1 (interseccion c2 c3) == interseccion (interseccion c1 c2) c3

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck propInterseccionAsociativa

-- +++ OK, passed 100 tests.

propInterseccionSubconjunto :: Conj Int -> Conj Int -> Bool

propInterseccionSubconjunto c1 c2 =

subconjunto c3 c1 && subconjunto c3 c2

where c3 = interseccion c1 c2

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck propInterseccionSubconjunto

-- +++ OK, passed 100 tests.

propDistributivaIU:: Conj Int -> Conj Int -> Conj Int -> Bool

propDistributivaIU c1 c2 c3 =

interseccion c1 (union c2 c3) == union (interseccion c1 c2)

(interseccion c1 c3)

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck propDistributivaIU

-- +++ OK, passed 100 tests.

propDistributivaUI :: Conj Int -> Conj Int -> Conj Int -> Bool

propDistributivaUI c1 c2 c3 =

union c1 (interseccion c2 c3) == interseccion (union c1 c2)

(union c1 c3)

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck propDistributivaUI

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 24. Comprobar con QuickCheck las siguientes propiedades de

-- la diferencia de conjuntos:

-- DiferenciaVacio1: A \ {} = A

-- DiferenciaVacio2: {} \ A = {}

-- DiferenciaDif1: (A \ B) \ C = A \ (B U C)

-- DiferenciaDif2: A \ (B \ C) = (A \ B) U (A n C)

-- DiferenciaSubc: (A \ B) es subconjunto de A

-- DiferenciaDisj: A y (B \ A) son disjuntos

-- DiferenciaUI: (A U B) \ A = B \ (A n B)

-- ---------------------------------------------------------------------

propDiferenciaVacio1 :: Conj Int -> Bool

propDiferenciaVacio1 c = diferencia c vacio == c

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck propDiferenciaVacio2

-- +++ OK, passed 100 tests.

propDiferenciaVacio2 :: Conj Int -> Bool

propDiferenciaVacio2 c = diferencia vacio c == vacio

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck propDiferenciaVacio2

-- +++ OK, passed 100 tests.

propDiferenciaDif1 :: Conj Int -> Conj Int -> Conj Int -> Bool

propDiferenciaDif1 c1 c2 c3 =

diferencia (diferencia c1 c2) c3 == diferencia c1 (union c2 c3)

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck propDiferenciaDif1

-- +++ OK, passed 100 tests.

propDiferenciaDif2 :: Conj Int -> Conj Int -> Conj Int -> Bool

propDiferenciaDif2 c1 c2 c3 =

diferencia c1 (diferencia c2 c3) == union (diferencia c1 c2)

(interseccion c1 c3)

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck propDiferenciaDif2

-- +++ OK, passed 100 tests.

propDiferenciaSubc :: Conj Int -> Conj Int -> Bool

propDiferenciaSubc c1 c2 =

subconjunto (diferencia c1 c2) c1

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck propDiferenciaSubc

-- +++ OK, passed 100 tests.

propDiferenciaDisj :: Conj Int -> Conj Int -> Bool

propDiferenciaDisj c1 c2 =

disjuntos c1 (diferencia c2 c1)

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck propDiferenciaDisj

-- +++ OK, passed 100 tests.

propDiferenciaUI :: Conj Int -> Conj Int -> Bool

propDiferenciaUI c1 c2 =

diferencia (union c1 c2) c1 == diferencia c2 (interseccion c1 c2)

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck propDiferenciaUI

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Generador de conjuntos --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- genConjunto es un generador de conjuntos. Por ejemplo,

-- ghci> sample genConjunto

-- {}

-- {3,-2,-2,-3,-2,4}

-- {-8,0,4,6,-5,-2}

-- {12,-2,-1,-10,-2,2,15,15}

-- {2}

-- {}

-- {-42,55,55,-11,23,23,-11,27,-17,-48,16,-15,-7,5,41,43}

-- {-124,-66,-5,-47,58,-88,-32,-125}

-- {49,-38,-231,-117,-32,-3,45,227,-41,54,169,-160,19}

genConjunto :: Gen (Conj Int)

genConjunto = do xs <- listOf arbitrary

return (foldr inserta vacio xs)

-- Los conjuntos son concreciones de los arbitrarios.

instance Arbitrary (Conj Int) where

arbitrary = genConjunto

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