I1M2018: Algoritmos de ordenación en Haskell
En la primera parte de la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos comentado las soluciones de los ejercicios de la relación 45 sobre algoritmos de ordenación en Haskell y sus complejidades.
Los ejercicios y su solución se muestran a continuación
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-- --------------------------------------------------------------------- -- Introducción -- -- --------------------------------------------------------------------- -- El objetivo de esta relación es presentar una recopilación de los -- algoritmos de ordenación y el estudio de su complejidad. -- -- Para realizar los ejercicios hay que tener instalada la librería I1M -- que contiene la implementación de TAD de las colas de prioridad. Los -- pasos para instalarla son los siguientes: -- + Descargar el paquete I1M desde http://bit.ly/1pbnDqm -- + Descomprimirlo (y se crea el directorio I1M-master.zip). -- + Cambiar al directorio I1M-master. -- + Ejecutar cabal install I1M.cabal -- -- Otra forma es descargar la implementación del TAD de las colas de -- prioridad: -- + ColaDePrioridadConListas.hs que está en http://bit.ly/1TJRgv8 -- + ColaDePrioridadConMonticulos.hs que está en http://bit.ly/1TJReDn -- --------------------------------------------------------------------- -- § Librerías auxiliares -- -- --------------------------------------------------------------------- import Data.List -- Hay que elegir una implementación del TAD de las colas de prioridad: -- import qualified ColaDePrioridadConListas as CP -- import qualified ColaDePrioridadConMonticulos as CP import qualified I1M.ColaDePrioridad as CP -- --------------------------------------------------------------------- -- § Ordenación por selección -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.1. Para ordenar una lista xs mediante el algoritmo de -- ordenación por selección se selecciona el menor elemento de xs y se -- le añade a la ordenación por selección de los restantes. Por ejemplo, -- para ordenar la lista [3,1,4,1,5,9,2] el proceso es el siguiente: -- ordenaPorSeleccion [3,1,4,1,5,9,2] -- = 1 : ordenaPorSeleccion [3,4,1,5,9,2] -- = 1 : 1 : ordenaPorSeleccion [3,4,5,9,2] -- = 1 : 1 : 2 : ordenaPorSeleccion [3,4,5,9] -- = 1 : 1 : 2 : 3 : ordenaPorSeleccion [4,5,9] -- = 1 : 1 : 2 : 3 : 4 : ordenaPorSeleccion [5,9] -- = 1 : 1 : 2 : 3 : 4 : 5 : ordenaPorSeleccion [9] -- = 1 : 1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 9 : ordenaPorSeleccion [] -- = 1 : 1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 9 : [] -- = [1,1,2,3,4,5,9] -- -- Definir la función -- ordenaPorSeleccion :: Ord a => [a] -> [a] -- tal que (ordenaPorSeleccion xs) es la lista obtenida ordenando por -- selección la lista xs. Por ejemplo, -- ordenaPorSeleccion [3,1,4,1,5,9,2] == [1,1,2,3,4,5,9] -- --------------------------------------------------------------------- ordenaPorSeleccion :: Ord a => [a] -> [a] ordenaPorSeleccion [] = [] ordenaPorSeleccion xs = m : ordenaPorSeleccion (delete m xs) where m = minimum xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.2. Calcular los tiempos necesarios para calcular -- let n = k in length (ordenaPorSeleccion [n,n-1..1]) -- para k en [1000, 2000, 3000, 4000]. -- -- ¿Cuál es el orden de complejidad de ordenaPorSeleccion? -- --------------------------------------------------------------------- -- El resumen de los tiempos es -- k | segs. -- -----+----- -- 1000 | 0.05 -- 2000 | 0.25 -- 3000 | 0.58 -- 4000 | 1.13 -- La complejidad de ordenaPorSeleccion es O(n^2). -- -- Las ecuaciones de recurrencia del coste de ordenaPorSeleccion son -- T(0) = 1 -- T(n) = 1 + T(n-1) + 2n -- Luego, T(n) = (n+1)^2 (ver http://bit.ly/1DGsMeW ) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.3. Definir la función -- ordenaPorSeleccion2 :: Ord a => [a] -> [a] -- tal que (ordenaPorSeleccion2 xs) es la lista xs ordenada por el -- algoritmo de selección, pero usando un acumulador. Por ejemplo, -- ordenaPorSeleccion2 [3,1,4,1,5,9,2] == [1,1,2,3,4,5,9] -- --------------------------------------------------------------------- ordenaPorSeleccion2 :: Ord a => [a] -> [a] ordenaPorSeleccion2 [] = [] ordenaPorSeleccion2 (x:xs) = aux xs x [] where aux [] m r = m : ordenaPorSeleccion2 r aux (x:xs) m r | x < m = aux xs x (m:r) | otherwise = aux xs m (x:r) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.4. Calcular los tiempos necesarios para calcular -- let n = k in length (ordenaPorSeleccion2 [n,n-1..1]) -- para k en [1000, 2000, 3000, 4000] -- --------------------------------------------------------------------- -- El resumen de los tiempos es -- k | segs. -- -----+----- -- 1000 | 0.39 -- 2000 | 1.53 -- 3000 | 3.48 -- 4000 | 6.35 -- --------------------------------------------------------------------- -- § Ordenación rápida (Quicksort) -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.1. Para ordenar una lista xs mediante el algoritmo de -- ordenación rápida se selecciona el primer elemento x de xs, se divide -- los restantes en los menores o iguales que x y en los mayores que x, -- se ordena cada una de las dos partes y se unen los resultados. Por -- ejemplo, para ordenar la lista [3,1,4,1,5,9,2] el proceso es el -- siguiente: -- or [3,1,4,1,5,9,2] -- = or [1,1,2] ++ [3] ++ or [4,5,9] -- = (or [1] ++ [1] ++ or [2]) ++ [3] ++ (or [] ++ [4] ++ or [5,9]) -- = ((or [] ++ [1] ++ or []) ++ [1] ++ (or [] ++ [2] ++ or [])) -- ++ [3] ++ ([] ++ [4] ++ (or [] ++ [5] ++ or [9])) -- = (([] ++ [1] ++ []) ++ [1] ++ ([] ++ [2] ++ [])) -- ++ [3] ++ ([4] ++ ([] ++ [5] ++ (or [] ++ [9] ++ or []))) -- = ([1] ++ [1] ++ [2] ++ -- ++ [3] ++ ([4] ++ ([5] ++ (or [] ++ [9] ++ or []))) -- = ([1] ++ [1] ++ [2] ++ -- ++ [3] ++ ([4] ++ ([5] ++ ([] ++ [9] ++ []))) -- = ([1] ++ [1] ++ [2] ++ -- ++ [3] ++ ([4] ++ ([5] ++ [9])) -- = [1,1,2,3,4,5,9] -- -- Definir la función -- ordenaRapida :: Ord a => [a] -> [a] -- tal que (ordenaRapida xs) es la lista obtenida ordenando por -- selección la lista xs. Por ejemplo, -- ordenaRapida [3,1,4,1,5,9,2] == [1,1,2,3,4,5,9] -- --------------------------------------------------------------------- ordenaRapida :: Ord a => [a] -> [a] ordenaRapida [] = [] ordenaRapida (x:xs) = ordenaRapida menores ++ [x] ++ ordenaRapida mayores where menores = [y | y <- xs, y <= x] mayores = [y | y <- xs, y > x] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.2. Calcular los tiempos necesarios para calcular -- let n = k in length (ordenaRapida [n,n-1..1]) -- para k en [1000, 2000, 3000, 4000] -- -- ¿Cuál es el orden de complejidad de ordenaRapida? -- --------------------------------------------------------------------- -- El resumen de los tiempos es -- k | segs. -- -----+------ -- 1000 | 0.64 -- 2000 | 2.57 -- 3000 | 6.64 -- 4000 | 12.33 -- La complejidad de ordenaRapida es O(n log(n)). -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.3. Definir, usando un acumulador, la función -- ordenaRapida2 :: Ord a => [a] -> [a] -- tal que (ordenaRapida2 xs) es la lista obtenida ordenando xs -- por el procedimiento de ordenación rápida. Por ejemplo, -- ordenaRapida2 [3,1,4,1,5,9,2] == [1,1,2,3,4,5,9] -- --------------------------------------------------------------------- ordenaRapida2 :: Ord a => [a] -> [a] ordenaRapida2 xs = aux xs [] where aux [] s = s aux (x:xs) s = aux menores (x : aux mayores s) where menores = [y | y <- xs, y <= x] mayores = [y | y <- xs, y > x] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.4. Calcular los tiempos necesarios para calcular -- let n = k in length (ordenaRapida2 [n,n-1..1]) -- para k en [1000, 2000, 3000, 4000] -- --------------------------------------------------------------------- -- El resumen de los tiempos es -- k | segs. -- -----+------ -- 1000 | 0.56 -- 2000 | 2.42 -- 3000 | 5.87 -- 4000 | 10.93 -- --------------------------------------------------------------------- -- § Ordenación por inserción -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.1. Para ordenar una lista xs mediante el algoritmo de -- ordenación por inserción se selecciona el primer elemento x de xs, se -- ordena el resto de xs y se inserta x en su lugar. Por ejemplo, para -- ordenar la lista [3,1,4,1,5,9,2] el proceso es el siguiente: -- ordenaPorInsercion [3,1,4,1,5,9,2] -- = 3 : ordenaPorInsercion [1,4,1,5,9,2] -- = 3 : 1 : ordenaPorInsercion [4,1,5,9,2] -- = 3 : 1 : 4 : ordenaPorInsercion [1,5,9,2] -- = 3 : 1 : 4 : 1 : ordenaPorInsercion [5,9,2] -- = 3 : 1 : 4 : 1 : 5 : ordenaPorInsercion [9,2] -- = 3 : 1 : 4 : 1 : 5 : 9 : ordenaPorInsercion [2] -- = 3 : 1 : 4 : 1 : 5 : 9 : 2 : ordenaPorInsercion [] -- = 3 : 1 : 4 : 1 : 5 : 9 : 2 : [] -- = 3 : 1 : 4 : 1 : 5 : 9 : [2] -- = 3 : 1 : 4 : 1 : 5 : [2,9] -- = 3 : 1 : 4 : 1 : [2,5,9] -- = 3 : 1 : 4 : [1,2,5,9] -- = 3 : 1 : [1,2,4,5,9] -- = 3 : [1,1,2,4,5,9] -- = [1,1,2,3,4,5,9] -- -- Definir la función -- ordenaPorInsercion :: Ord a => [a] -> [a] -- tal que (ordenaPorInsercion xs) es la lista obtenida ordenando por -- selección la lista xs. Por ejemplo, -- ordenaPorInsercion [3,1,4,1,5,9,2] == [1,1,2,3,4,5,9] -- --------------------------------------------------------------------- ordenaPorInsercion :: Ord a => [a] -> [a] ordenaPorInsercion [] = [] ordenaPorInsercion (x:xs) = inserta x (ordenaPorInsercion xs) -- (inserta x xs) inserta el elemento x después de los elementos de xs -- que son menores o iguales que x. Por ejemplo, -- inserta 5 [3,2,6,4] == [3,2,5,6,4] inserta :: Ord a => a -> [a] -> [a] inserta y [] = [y] inserta y l@(x:xs) | y <= x = y : l | otherwise = x : inserta y xs -- 2ª definición de inserta: inserta2 :: Ord a => a -> [a] -> [a] inserta2 x xs = takeWhile (<= x) xs ++ [x] ++ dropWhile (<=x) xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.2. Calcular los tiempos necesarios para calcular -- let n = k in length (ordenaPorInsercion [n,n-1..1]) -- para k en [1000, 2000, 3000, 4000] -- -- ¿Cuál es la complejidad de ordenaPorInsercion? -- --------------------------------------------------------------------- -- El resumen de los tiempos es -- k | segs. -- -----+----- -- 1000 | 0.39 -- 2000 | 1.53 -- 3000 | 3.49 -- 4000 | 6.32 -- La complejidad de ordenaPorInsercion es O(n^2) -- -- Las ecuaciones de recurrencia del coste de ordenaPorInsercion son -- T(0) = 1 -- T(n) = 4n + T(n-1) -- Luego, T(n) = 2n(n+1)+1 (ver http://bit.ly/19FmQq4 ) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.3. Definir, por plegados, la función -- ordenaPorInsercion2 :: Ord a => [a] -> [a] -- tal que (ordenaPorInsercion2 xs) es la lista obtenida ordenando xs -- por el procedimiento de ordenación por inserción. Por ejemplo, -- ordenaPorInsercion2 [3,1,4,1,5,9,2] == [1,1,2,3,4,5,9] -- --------------------------------------------------------------------- ordenaPorInsercion2 :: Ord a => [a] -> [a] ordenaPorInsercion2 = foldr inserta [] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.2. Calcular los tiempos necesarios para calcular -- let n = k in length (ordenaPorInsercion2 [n,n-1..1]) -- para k en [1000, 2000, 3000, 4000] -- --------------------------------------------------------------------- -- El resumen de los tiempos es -- k | segs. -- -----+------ -- 1000 | 0.38 -- 2000 | 1.54 -- 3000 | 3.46 -- 4000 | 6.29 -- --------------------------------------------------------------------- -- § Ordenación por mezcla ("Mergesort") -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4.1. Para ordenar una lista xs mediante el algoritmo de -- ordenación por mezcla se divide xs por la mitad, se ordena cada una -- de las partes y se mezclan los resultados. Por ejemplo, para -- ordenar la lista [3,1,4,1,5,9,2] el proceso es el siguiente: -- om [3,1,4,1,5,9,2] -- = m (om [3,1,4]) (om 1,5,9,2]) -- = m (m (om [3]) (om [1,4])) (m (om [1,5]) (om [9,2])) -- = m (m [3] (m (om [1]) (om [4]))) -- (m (m (om [1]) (om [5])) (m (om [9]) (om [2]))) -- = m (m [3] (m [1] [4])) -- (m (m [1] [5]) (m [9] [2])) -- = m (m [3] [1,4]) (m [1,5] [2,9]) -- = m [1,3,4] [1,2,5,9] -- = [1,1,2,3,4,5,9] -- donde om es ordenaPorMezcla y m es mezcla. -- -- Definir la función -- ordenaPorMezcla :: Ord a => [a] -> [a] -- tal que (ordenaPorMezcla xs) es la lista obtenida ordenando por -- selección la lista xs. Por ejemplo, -- ordenaPorMezcla [3,1,4,1,5,9,2] == [1,1,2,3,4,5,9] -- --------------------------------------------------------------------- ordenaPorMezcla :: Ord a => [a] -> [a] ordenaPorMezcla [] = [] ordenaPorMezcla [x] = [x] ordenaPorMezcla l = mezcla (ordenaPorMezcla l1) (ordenaPorMezcla l2) where l1 = take k l l2 = drop k l k = length l `div` 2 -- (mezcla xs ys) es la lista obtenida mezclando xs e ys. Por ejemplo, -- mezcla [1,3] [2,4,6] == [1,2,3,4,6] mezcla :: Ord a => [a] -> [a] -> [a] mezcla [] b = b mezcla a [] = a mezcla a@(x:xs) b@(y:ys) | x <= y = x : mezcla xs b | otherwise = y : mezcla a ys -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4.2. Calcular los tiempos necesarios para calcular -- let n = k in length (ordenaPorMezcla [n,n-1..1]) -- para k en [1000, 2000, 3000, 4000] -- -- ¿Cuál es la complejidad de ordenaPorMezcla? -- --------------------------------------------------------------------- -- El resumen de los tiempos es -- k | segs. -- -----+----- -- 1000 | 0.02 -- 2000 | 0.03 -- 3000 | 0.05 -- 4000 | 0.06 -- La complejidad de ordenaPorMezcla es O(n log(n)). -- -- Las ecuaciones de recurrencia del coste de ordenaPorMezcla son -- T(0) = 1 -- T(1) = 1 -- T(n) = n + 2*T(n/n) -- Luego, T(n) = (c*n)/2+(n log(n))/(log(2)) (ver http://bit.ly/1EyUTYG ) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4.3. Otra forma de ordenar una lista xs mediante el -- algoritmo de ordenación por mezcla consiste en dividir xs en listas -- unitarias y mezclar los resultados. Por ejemplo, para -- ordenar la lista [3,1,4,1,5,9,2] el proceso es el siguiente: -- om [3,1,4,1,5,9,2] -- = mp [[3],[1],[4],[1],[5],[9],[2]] -- = mp [[1,3],[1,4],[5,9],[2]] -- = mp [[1,1,3,4],[2,5,9]] -- = [1,1,2,3,4,5,9] -- donde om es ordenaPorMezcla y mp es mezclaPares. -- -- Definir la función -- ordenaPorMezcla2 :: Ord a => [a] -> [a] -- tal que (ordenaPorMezcla2 xs) es la lista obtenida ordenando por -- mezcla la lista xs. Por ejemplo, -- ordenaPorMezcla2 [3,1,4,1,5,9,2] == [1,1,2,3,4,5,9] -- --------------------------------------------------------------------- ordenaPorMezcla2 :: Ord a => [a] -> [a] ordenaPorMezcla2 l = aux (divide l) where aux [r] = r aux l = aux (mezclaPares l) -- (divide xs) es la lista de de las listas unitarias formadas por los -- elementos de xs. Por ejemplo, -- divide [3,1,4,1,5,9,2,8] == [[3],[1],[4],[1],[5],[9],[2],[8]] divide :: Ord a => [a] -> [[a]] divide xs = [[x] | x <- xs] -- También se puede definir por recursión divide2 :: Ord a => [a] -> [[a]] divide2 [] = [] divide2 (x:xs) = [x] : divide2 xs -- (mezclaPares xs) es la lista obtenida mezclando los pares de -- elementos consecutivos de xs. Por ejemplo, -- ghci> mezclaPares [[3],[1],[4],[1],[5],[9],[2],[8]] -- [[1,3],[1,4],[5,9],[2,8]] -- ghci> mezclaPares [[1,3],[1,4],[5,9],[2,8]] -- [[1,1,3,4],[2,5,8,9]] -- ghci> mezclaPares [[1,1,3,4],[2,5,8,9]] -- [[1,1,2,3,4,5,8,9]] -- ghci> mezclaPares [[1],[3],[2]] -- [[1,3],[2]] mezclaPares :: (Ord a) => [[a]] -> [[a]] mezclaPares [] = [] mezclaPares [x] = [x] mezclaPares (xs:ys:zss) = mezcla xs ys : mezclaPares zss -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4.4. Calcular los tiempos necesarios para calcular -- let n = k in length (ordenaPorMezcla2 [n,n-1..1]) -- para k en [1000, 2000, 3000, 4000] -- --------------------------------------------------------------------- -- El resumen de los tiempos es -- k | segs. -- -----+----- -- 1000 | 0.02 -- 2000 | 0.03 -- 3000 | 0.03 -- 4000 | 0.05 -- --------------------------------------------------------------------- -- § Ordenación por montículos ("heapsort") -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.1. El procedimiento de ordenación de una lista por -- montículos consiste en almacenar todos los elementos del vector a -- ordenar en un montículo (heap), y luego extraer el nodo que queda -- como nodo raíz del montículo (cima) en sucesivas iteraciones -- obteniendo el conjunto ordenado. -- -- Usando la implementación de las colas de prioridad mediante -- montículos (que se encuentra en la librería I1M.ColaDePrioridad), -- definir la función -- ordenaPorMonticulos :: Ord a => [a] -> [a] -- tal que (ordenaPorMonticulos xs) es la lista obtenida ordenando xs -- por el procedimiento de ordenación por montículos. Por ejemplo, -- ordenaPorMonticulos [3,1,4,1,5,9,2] == [1,1,2,3,4,5,9] -- --------------------------------------------------------------------- ordenaPorMonticulos :: Ord a => [a] -> [a] ordenaPorMonticulos xs = aux (creaCP xs) where aux cp | CP.esVacia cp = [] | otherwise = CP.primero cp : aux (CP.resto cp) -- (creaCP xs) es la cola de prioridad correspondiente a la lista -- xs. Por ejemplo, -- ghci> creaCP [3,1,4,1,5,9,2,8] -- CP (M 1 2 -- (M 1 2 -- (M 2 2 -- (M 8 1 Vacio Vacio) -- (M 5 1 -- (M 9 1 Vacio Vacio) -- Vacio)) -- (M 4 1 Vacio Vacio)) -- (M 3 1 Vacio Vacio)) creaCP :: Ord a => [a] -> CP.CPrioridad a creaCP xs = foldr CP . inserta CP . vacia xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.2. Calcular los tiempos necesarios para calcular -- let n = k in length (ordenaPorMonticulos [n,n-1..1]) -- para k en [1000, 2000, 3000, 4000] -- -- ¿Cuál es la complejidad de ordenaPorMonticulos? -- --------------------------------------------------------------------- -- El resumen de los tiempos es -- k | segs. -- -----+----- -- 1000 | 0.02 -- 2000 | 0.03 -- 3000 | 0.04 -- 4000 | 0.05 -- La complejidad de ordenaPorMonticulos es O(n log(n)). |