I1M2017: Ejercicios de definiciones por comprensión (2)
En la primera parte de la clase de hoy del curso de Informática de 1º del Grado en Matemáticas se han comentado las soluciones de los ejercicios 4 a 16 de la 3ª relación sobre definiciones por comprensión.
Los ejercicios y su solución se muestran a continuación
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-- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Un entero positivo es perfecto si es igual a la suma de -- sus factores, excluyendo el propio número. -- -- Definir por comprensión la función -- perfectos :: Int -> [Int] -- tal que (perfectos n) es la lista de todos los números perfectos -- menores que n. Por ejemplo, -- perfectos 500 == [6,28,496] -- Indicación: Usar la función factores del tema 5. -- --------------------------------------------------------------------- -- La función factores del tema es factores :: Int -> [Int] factores n = [x | x <- [1..n], n `mod` x == 0] -- La definición es perfectos :: Int -> [Int] perfectos n = [x | x <- [1..n], sum (init (factores x)) == x] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.1. Un número natural n se denomina abundante si es menor -- que la suma de sus divisores propios. Por ejemplo, 12 y 30 son -- abundantes pero 5 y 28 no lo son. -- -- Definir la función -- numeroAbundante :: Int -> Bool -- tal que (numeroAbundante n) se verifica si n es un número -- abundante. Por ejemplo, -- numeroAbundante 5 == False -- numeroAbundante 12 == True -- numeroAbundante 28 == False -- numeroAbundante 30 == True -- --------------------------------------------------------------------- divisores :: Int -> [Int] divisores n = [m | m <- [1..n-1], n `mod` m == 0] numeroAbundante :: Int -> Bool numeroAbundante n = n < sum (divisores n) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.2. Definir la función -- numerosAbundantesMenores :: Int -> [Int] -- tal que (numerosAbundantesMenores n) es la lista de números -- abundantes menores o iguales que n. Por ejemplo, -- numerosAbundantesMenores 50 == [12,18,20,24,30,36,40,42,48] -- numerosAbundantesMenores 48 == [12,18,20,24,30,36,40,42,48] -- --------------------------------------------------------------------- numerosAbundantesMenores :: Int -> [Int] numerosAbundantesMenores n = [x | x <- [1..n], numeroAbundante x] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.3. Definir la función -- todosPares :: Int -> Bool -- tal que (todosPares n) se verifica si todos los números abundantes -- menores o iguales que n son pares. Por ejemplo, -- todosPares 10 == True -- todosPares 100 == True -- todosPares 1000 == False -- --------------------------------------------------------------------- todosPares :: Int -> Bool todosPares n = and [even x | x <- numerosAbundantesMenores n] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.4. Definir la constante -- primerAbundanteImpar :: Int -- que calcule el primer número natural abundante impar. Determinar el -- valor de dicho número. -- --------------------------------------------------------------------- primerAbundanteImpar :: Int primerAbundanteImpar = head [x | x <- [1,3..], numeroAbundante x] -- Su cálculo es -- ghci> primerAbundanteImpar -- 945 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6 (Problema 1 del proyecto Euler) Definir la función -- euler1 :: Int -> Int -- tal que (euler1 n) es la suma de todos los múltiplos de 3 ó 5 menores -- que n. Por ejemplo, -- euler1 10 == 23 -- -- Calcular la suma de todos los múltiplos de 3 ó 5 menores que 1000. -- --------------------------------------------------------------------- euler1 :: Int -> Int euler1 n = sum [x | x <- [1..n-1], multiplo x 3 || multiplo x 5] where multiplo x y = mod x y == 0 -- Cálculo: -- ghci> euler1 1000 -- 233168 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7. Definir la función -- circulo :: Int -> Int -- tal que (circulo n) es el la cantidad de pares de números naturales -- (x,y) que se encuentran dentro del círculo de radio n. Por ejemplo, -- circulo 3 == 9 -- circulo 4 == 15 -- circulo 5 == 22 -- circulo 100 == 7949 -- --------------------------------------------------------------------- circulo :: Int -> Int circulo n = length [(x,y) | x <- [0..n], y <- [0..n], x*x+y*y < n*n] -- La eficiencia puede mejorarse con circulo2 :: Int -> Int circulo2 n = length [(x,y) | x <- [0..n-1] , y <- [0..raizCuadradaEntera (n*n - x*x)] , x*x+y*y < n*n] -- (raizCuadradaEntera n) es la parte entera de la raíz cuadrada de -- n. Por ejemplo, -- raizCuadradaEntera 17 == 4 raizCuadradaEntera :: Int -> Int raizCuadradaEntera n = truncate (sqrt (fromIntegral n)) -- Comparación de eficiencia -- λ> circulo (10^4) -- 78549754 -- (73.44 secs, 44,350,688,480 bytes) -- λ> circulo2 (10^4) -- 78549754 -- (59.71 secs, 36,457,043,240 bytes) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8.1. Definir la función -- aproxE :: Double -> [Double] -- tal que (aproXE n) es la lista cuyos elementos son los términos de la -- sucesión (1+1/m)**m desde 1 hasta n. Por ejemplo, -- aproxE 1 == [2.0] -- aproxE 4 == [2.0,2.25,2.37037037037037,2.44140625] -- --------------------------------------------------------------------- aproxE :: Double -> [Double] aproxE n = [(1+1/m)**m | m <- [1..n]] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8.2. ¿Cuál es el límite de la sucesión (1+1/m)**m ? -- --------------------------------------------------------------------- -- El límite de la sucesión es el número e. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8.3. Definir la función -- errorAproxE :: Double -> Double -- tal que (errorE x) es el menor número de términos de la sucesión -- (1+1/m)**m necesarios para obtener su límite con un error menor que -- x. Por ejemplo, -- errorAproxE 0.1 == 13.0 -- errorAproxE 0.01 == 135.0 -- errorAproxE 0.001 == 1359.0 -- Indicación: En Haskell, e se calcula como (exp 1). -- --------------------------------------------------------------------- errorAproxE :: Double -> Double errorAproxE x = head [m | m <- [1..], abs(exp 1 - (1+1/m)**m) < x] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9.1. Definir la función -- aproxLimSeno :: Double -> [Double] -- tal que (aproxLimSeno n) es la lista cuyos elementos son los términos -- de la sucesión -- sen(1/m) -- -------- -- 1/m -- desde 1 hasta n. Por ejemplo, -- aproxLimSeno 1 == [0.8414709848078965] -- aproxLimSeno 2 == [0.8414709848078965,0.958851077208406] -- --------------------------------------------------------------------- aproxLimSeno :: Double -> [Double] aproxLimSeno n = [sin(1/m)/(1/m) | m <- [1..n]] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9.2. ¿Cuál es el límite de la sucesión sen(1/m)/(1/m) ? -- --------------------------------------------------------------------- -- El límite es 1. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9.3. Definir la función -- errorLimSeno :: Double -> Double -- tal que (errorLimSeno x) es el menor número de términos de la sucesión -- sen(1/m)/(1/m) necesarios para obtener su límite con un error menor -- que x. Por ejemplo, -- errorLimSeno 0.1 == 2.0 -- errorLimSeno 0.01 == 5.0 -- errorLimSeno 0.001 == 13.0 -- errorLimSeno 0.0001 == 41.0 -- --------------------------------------------------------------------- errorLimSeno :: Double -> Double errorLimSeno x = head [m | m <- [1..], abs(1 - sin(1/m)/(1/m)) < x] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10.1. Definir la función -- calculaPi :: Double -> Double -- tal que (calculaPi n) es la aproximación del número pi calculada -- mediante la expresión -- 4*(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...+ (-1)**n/(2*n+1)) -- Por ejemplo, -- calculaPi 3 == 2.8952380952380956 -- calculaPi 300 == 3.1449149035588526 -- --------------------------------------------------------------------- calculaPi :: Double -> Double calculaPi n = 4 * sum [(-1)**x/(2*x+1) | x <- [0..n]] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10.2. Definir la función -- errorPi :: Double -> Double -- tal que (errorPi x) es el menor número de términos de la serie -- 4*(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...+ (-1)**n/(2*n+1)) -- necesarios para obtener pi con un error menor que x. Por ejemplo, -- errorPi 0.1 == 9.0 -- errorPi 0.01 == 99.0 -- errorPi 0.001 == 999.0 -- --------------------------------------------------------------------- errorPi :: Double -> Double errorPi x = head [n | n <- [1..] , abs (pi - calculaPi n) < x] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11.1. Una terna (x,y,z) de enteros positivos es pitagórica -- si x^2 + y^2 = z^2. -- -- Definir, por comprensión, la función -- pitagoricas :: Int -> [(Int,Int,Int)] -- tal que (pitagoricas n) es la lista de todas las ternas pitagóricas -- cuyas componentes están entre 1 y n. Por ejemplo, -- pitagoricas 10 == [(3,4,5),(4,3,5),(6,8,10),(8,6,10)] -- --------------------------------------------------------------------- pitagoricas :: Int -> [(Int,Int,Int)] pitagoricas n = [(x,y,z) | x <- [1..n] , y <- [1..n] , z <- [1..n] , x^2 + y^2 == z^2] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11.2. Definir la función -- numeroDePares :: (Int,Int,Int) -> Int -- tal que (numeroDePares t) es el número de elementos pares de la terna -- t. Por ejemplo, -- numeroDePares (3,5,7) == 0 -- numeroDePares (3,6,7) == 1 -- numeroDePares (3,6,4) == 2 -- numeroDePares (4,6,4) == 3 -- --------------------------------------------------------------------- numeroDePares :: (Int,Int,Int) -> Int numeroDePares (x,y,z) = length [1 | n <- [x,y,z], even n] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11.3. Definir la función -- conjetura :: Int -> Bool -- tal que (conjetura n) se verifica si todas las ternas pitagóricas -- cuyas componentes están entre 1 y n tiene un número impar de números -- pares. Por ejemplo, -- conjetura 10 == True -- --------------------------------------------------------------------- conjetura :: Int -> Bool conjetura n = and [odd (numeroDePares t) | t <- pitagoricas n] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11.4. Demostrar la conjetura para todas las ternas -- pitagóricas. -- --------------------------------------------------------------------- -- Sea (x,y,z) una terna pitagórica. Entonces x^2+y^2=z^2. Pueden darse -- 4 casos: -- -- Caso 1: x e y son pares. Entonces, x^2, y^2 y z^2 también lo -- son. Luego el número de componentes pares es 3 que es impar. -- -- Caso 2: x es par e y es impar. Entonces, x^2 es par, y^2 es impar y -- z^2 es impar. Luego el número de componentes pares es 1 que es impar. -- -- Caso 3: x es impar e y es par. Análogo al caso 2. -- -- Caso 4: x e y son impares. Entonces, x^2 e y^2 también son impares y -- z^2 es par. Luego el número de componentes pares es 1 que es impar. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12.1. (Problema 9 del Proyecto Euler). Una terna pitagórica -- es una terna de números naturales (a,b,c) tal que a<b<c y -- a^2+b^2=c^2. Por ejemplo (3,4,5) es una terna pitagórica. -- -- Definir la función -- ternasPitagoricas :: Integer -> [[Integer]] -- tal que (ternasPitagoricas x) es la lista de las ternas pitagóricas -- cuya suma es x. Por ejemplo, -- ternasPitagoricas 12 == [(3,4,5)] -- ternasPitagoricas 60 == [(10,24,26),(15,20,25)] -- --------------------------------------------------------------------- ternasPitagoricas :: Integer -> [(Integer,Integer,Integer)] ternasPitagoricas x = [(a,b,c) | a <- [1..x], b <- [a+1..x], c <- [x-a-b], a^2 + b^2 == c^2] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12.2. Definir la constante -- euler9 :: Integer -- tal que euler9 es producto abc donde (a,b,c) es la única terna -- pitagórica tal que a+b+c=1000. -- -- Calcular el valor de euler9. -- --------------------------------------------------------------------- euler9 :: Integer euler9 = a*b*c where (a,b,c) = head (ternasPitagoricas 1000) -- El cálculo del valor de euler9 es -- ghci> euler9 -- 31875000 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13. El producto escalar de dos listas de enteros xs y ys de -- longitud n viene dado por la suma de los productos de los elementos -- correspondientes. -- -- Definir por comprensión la función -- productoEscalar :: [Int] -> [Int] -> Int -- tal que (productoEscalar xs ys) es el producto escalar de las listas -- xs e ys. Por ejemplo, -- productoEscalar [1,2,3] [4,5,6] == 32 -- --------------------------------------------------------------------- productoEscalar :: [Int] -> [Int] -> Int productoEscalar xs ys = sum [x*y | (x,y) <- zip xs ys] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14. Definir, por comprensión, la función -- sumaConsecutivos :: [Int] -> [Int] -- tal que (sumaConsecutivos xs) es la suma de los pares de elementos -- consecutivos de la lista xs. Por ejemplo, -- sumaConsecutivos [3,1,5,2] == [4,6,7] -- sumaConsecutivos [3] == [] -- --------------------------------------------------------------------- sumaConsecutivos :: [Int] -> [Int] sumaConsecutivos xs = [x+y | (x,y) <- zip xs (tail xs)] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 15. Los polinomios pueden representarse de forma dispersa o -- densa. Por ejemplo, el polinomio 6x^4-5x^2+4x-7 se puede representar -- de forma dispersa por [6,0,-5,4,-7] y de forma densa por -- [(4,6),(2,-5),(1,4),(0,-7)]. -- -- Definir la función -- densa :: [Int] -> [(Int,Int)] -- tal que (densa xs) es la representación densa del polinomio cuya -- representación dispersa es xs. Por ejemplo, -- densa [6,0,-5,4,-7] == [(4,6),(2,-5),(1,4),(0,-7)] -- densa [6,0,0,3,0,4] == [(5,6),(2,3),(0,4)] -- --------------------------------------------------------------------- densa :: [Int] -> [(Int,Int)] densa xs = [(x,y) | (x,y) <- zip [n-1,n-2..0] xs, y /= 0] where n = length xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16. La bases de datos sobre actividades de personas pueden -- representarse mediante listas de elementos de la forma (a,b,c,d), -- donde a es el nombre de la persona, b su actividad, c su fecha de -- nacimiento y d la de su fallecimiento. Un ejemplo es la siguiente que -- usaremos a lo largo de este ejercicio, -- --------------------------------------------------------------------- personas :: [(String,String,Int,Int)] personas = [("Cervantes","Literatura",1547,1616), ("Velazquez","Pintura",1599,1660), ("Picasso","Pintura",1881,1973), ("Beethoven","Musica",1770,1823), ("Poincare","Ciencia",1854,1912), ("Quevedo","Literatura",1580,1654), ("Goya","Pintura",1746,1828), ("Einstein","Ciencia",1879,1955), ("Mozart","Musica",1756,1791), ("Botticelli","Pintura",1445,1510), ("Borromini","Arquitectura",1599,1667), ("Bach","Musica",1685,1750)] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16.1. Definir la función -- nombres :: [(String,String,Int,Int)] -> [String] -- tal que (nombres bd) es la lista de los nombres de las personas de la -- base de datos bd. Por ejemplo, -- ghci> nombres personas -- ["Cervantes","Velazquez","Picasso","Beethoven","Poincare", -- "Quevedo","Goya","Einstein","Mozart","Botticelli","Borromini","Bach"] -- --------------------------------------------------------------------- nombres :: [(String,String,Int,Int)] -> [String] nombres bd = [x | (x,_,_,_) <- bd] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16.2. Definir la función -- musicos :: [(String,String,Int,Int)] -> [String] -- tal que (musicos bd) es la lista de los nombres de los músicos de la -- base de datos bd. Por ejemplo, -- musicos personas == ["Beethoven","Mozart","Bach"] -- --------------------------------------------------------------------- musicos :: [(String,String,Int,Int)] -> [String] musicos bd = [x | (x,"Musica",_,_) <- bd] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16.3. Definir la función -- seleccion :: [(String,String,Int,Int)] -> String -> [String] -- tal que (seleccion bd m) es la lista de los nombres de las personas -- de la base de datos bd cuya actividad es m. Por ejemplo, -- ghci> seleccion personas "Pintura" -- ["Velazquez","Picasso","Goya","Botticelli"] -- ghci> seleccion personas "Musica" -- ["Beethoven","Mozart","Bach"] -- --------------------------------------------------------------------- seleccion :: [(String,String,Int,Int)] -> String -> [String] seleccion bd m = [ x | (x,m',_,_) <- bd, m == m' ] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16.4. Definir, usando el apartado anterior, la función -- musicos' :: [(String,String,Int,Int)] -> [String] -- tal que (musicos' bd) es la lista de los nombres de los músicos de la -- base de datos bd. Por ejemplo, -- ghci> musicos' personas -- ["Beethoven","Mozart","Bach"] -- --------------------------------------------------------------------- musicos' :: [(String,String,Int,Int)] -> [String] musicos' bd = seleccion bd "Musica" -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16.5. Definir la función -- vivas :: [(String,String,Int,Int)] -> Int -> [String] -- tal que (vivas bd a) es la lista de los nombres de las personas de la -- base de datos bd que estaban vivas en el año a. Por ejemplo, -- ghci> vivas personas 1600 -- ["Cervantes","Velazquez","Quevedo","Borromini"] -- --------------------------------------------------------------------- vivas :: [(String,String,Int,Int)] -> Int -> [String] vivas ps a = [x | (x,_,a1,a2) <- ps, a1 <= a, a <= a2] |