I1M2017: Cálculo numérico en Haskell (2º parte)
En la segunda parte de la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas se han explicado las soluciones de los ejercicios de la relación 27, en la que se definen funciones para resolver los siguientes problemas de cálculo numérico:
- Cálculo de límites.
- Cálculo de los ceros de una función por el método de la bisección.
- Cálculo de raíces enteras.
- Cálculo de integrales por el método de los rectángulos.
- Algoritmo de bajada para resolver un sistema triangular inferior.
Los ejercicios, y sus soluciones, se muestran a continuación.
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-- --------------------------------------------------------------------- -- § Librerías auxiliares -- -- --------------------------------------------------------------------- import Test.QuickCheck import Data.Matrix -- --------------------------------------------------------------------- -- § Cálculo de límites -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. Definir la función -- limite :: (Double -> Double) -> Double -> Double -- tal que (limite f a) es el valor de f en el primer término x tal que, -- para todo y entre x+1 y x+100, el valor absoluto de la diferencia -- entre f(y) y f(x) es menor que a. Por ejemplo, -- limite (\n -> (2*n+1)/(n+5)) 0.001 == 1.9900110987791344 -- limite (\n -> (1+1/n)**n) 0.001 == 2.714072874546881 -- --------------------------------------------------------------------- limite :: (Double -> Double) -> Double -> Double limite f a = head [f x | x <- [1..], maximum [abs (f y - f x) | y <- [x+1..x+100]] < a] -- --------------------------------------------------------------------- -- § Ceros de una función por el método de la bisección -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. El método de bisección para calcular un cero de una -- función en el intervalo [a,b] se basa en el teorema de Bolzano: -- "Si f(x) es una función continua en el intervalo [a, b], y si, -- además, en los extremos del intervalo la función f(x) toma valores -- de signo opuesto (f(a) * f(b) < 0), entonces existe al menos un -- valor c en (a, b) para el que f(c) = 0". -- -- El método para calcular un cero de la función f en el intervalo [a,b] -- con un error menor que e consiste en tomar el punto medio del -- intervalo c = (a+b)/2 y considerar los siguientes casos: -- (*) Si |f(c)| < e, hemos encontrado una aproximación del punto que -- anula f en el intervalo con un error aceptable. -- (*) Si f(c) tiene signo distinto de f(a), repetir el proceso en el -- intervalo [a,c]. -- (*) Si no, repetir el proceso en el intervalo [c,b]. -- -- Definir la función -- biseccion :: (Double -> Double) -> Double -> Double -> Double -> Double -- tal que (biseccion f a b e) es una aproximación del punto del -- intervalo [a,b] en el que se anula la función f, con un error menor -- que e, calculada mediante el método de la bisección. Por ejemplo, -- biseccion (\x -> x^2 - 3) 0 5 0.01 == 1.7333984375 -- biseccion (\x -> x^3 - x - 2) 0 4 0.01 == 1.521484375 -- biseccion cos 0 2 0.01 == 1.5625 -- biseccion (\x -> log (50-x) - 4) (-10) 3 0.01 == -5.125 -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª solución biseccion :: (Double -> Double) -> Double -> Double -> Double -> Double biseccion f a b e | abs (f c) < e = c | (f a)*(f c) < 0 = biseccion f a c e | otherwise = biseccion f c b e where c = (a+b)/2 -- 2ª solución biseccion2 :: (Double -> Double) -> Double -> Double -> Double -> Double biseccion2 f a b e = aux a b where aux a b | abs (f c) < e = c | (f a)*(f c) < 0 = aux a c | otherwise = aux c b where c = (a+b)/2 -- --------------------------------------------------------------------- -- § Cálculo de raíces enteras -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. Definir la función -- raizEnt :: Integer -> Integer -> Integer -- tal que (raizEnt x n) es la raíz entera n-ésima de x; es decir, el -- mayor número entero y tal que y^n <= x. Por ejemplo, -- raizEnt 8 3 == 2 -- raizEnt 9 3 == 2 -- raizEnt 26 3 == 2 -- raizEnt 27 3 == 3 -- raizEnt (10^50) 2 == 10000000000000000000000000 -- -- Comprobar con QuickCheck que para todo número natural n, -- raizEnt (10^(2*n)) 2 == 10^n -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª definición raizEnt1 :: Integer -> Integer -> Integer raizEnt1 x n = last (takeWhile (\y -> y^n <= x) [0..]) -- 2ª definición raizEnt2 :: Integer -> Integer -> Integer raizEnt2 x n = floor ((fromIntegral x)**(1 / fromIntegral n)) -- Nota. La definición anterior falla para números grandes. Por ejemplo, -- λ> raizEnt2 (10^50) 2 == 10^25 -- False -- 3ª definición raizEnt3 :: Integer -> Integer -> Integer raizEnt3 x n = aux (1,x) where aux (a,b) | d == x = c | c == a = c | d < x = aux (c,b) | otherwise = aux (a,c) where c = (a+b) `div` 2 d = c^n -- Comparación de eficiencia -- λ> raizEnt1 (10^14) 2 -- 10000000 -- (6.15 secs, 6,539,367,976 bytes) -- λ> raizEnt2 (10^14) 2 -- 10000000 -- (0.00 secs, 0 bytes) -- λ> raizEnt3 (10^14) 2 -- 10000000 -- (0.00 secs, 25,871,944 bytes) -- -- λ> raizEnt2 (10^50) 2 -- 9999999999999998758486016 -- (0.00 secs, 0 bytes) -- λ> raizEnt3 (10^50) 2 -- 10000000000000000000000000 -- (0.00 secs, 0 bytes) -- La propiedad es prop_raizEnt :: Integer -> Bool prop_raizEnt n = raizEnt3 (10^(2*m)) 2 == 10^m where m = abs n -- La comprobación es -- λ> quickCheck prop_raizEnt -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- § Integración por el método de los rectángulos -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. La integral definida de una función f entre los límites -- a y b puede calcularse mediante la regla del rectángulo -- (ver en http://bit.ly/1FDhZ1z) usando la fórmula -- h * (f(a+h/2) + f(a+h+h/2) + f(a+2h+h/2) + ... + f(a+n*h+h/2)) -- con a+n*h+h/2 <= b < a+(n+1)*h+h/2 y usando valores pequeños para h. -- -- Definir la función -- integral :: (Fractional a, Ord a) => a -> a -> (a -> a) -> a -> a -- tal que (integral a b f h) es el valor de dicha expresión. Por -- ejemplo, el cálculo de la integral de f(x) = x^3 entre 0 y 1, con -- paso 0.01, es -- integral 0 1 (^3) 0.01 == 0.24998750000000042 -- Otros ejemplos son -- integral 0 1 (^4) 0.01 == 0.19998333362500048 -- integral 0 1 (\x -> 3*x^2 + 4*x^3) 0.01 == 1.9999250000000026 -- log 2 - integral 1 2 (\x -> 1/x) 0.01 == 3.124931644782336e-6 -- pi - 4 * integral 0 1 (\x -> 1/(x^2+1)) 0.01 == -8.333333331389525e-6 -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª solución -- =========== integral :: (Fractional a, Ord a) => a -> a -> (a -> a) -> a -> a integral a b f h = h * suma (a+h/2) b (+h) f -- (suma a b s f) es l valor de -- f(a) + f(s(a)) + f(s(s(a)) + ... + f(s(...(s(a))...)) -- hasta que s(s(...(s(a))...)) > b. Por ejemplo, -- suma 2 5 (1+) (^3) == 224 suma :: (Ord t, Num a) => t -> t -> (t -> t) -> (t -> a) -> a suma a b s f = sum [f x | x <- sucesion a b s] -- (sucesion x y s) es la lista -- [a, s(a), s(s(a), ..., s(...(s(a))...)] -- hasta que s(s(...(s(a))...)) > b. Por ejemplo, -- sucesion 3 20 (+2) == [3,5,7,9,11,13,15,17,19] sucesion :: Ord a => a -> a -> (a -> a) -> [a] sucesion a b s = takeWhile (<=b) (iterate s a) -- 2ª solución -- =========== integral2 :: (Fractional a, Ord a) => a -> a -> (a -> a) -> a -> a integral2 a b f h | a+h/2 > b = 0 | otherwise = h * f (a+h/2) + integral2 (a+h) b f h -- 3ª solución -- =========== integral3 :: (Fractional a, Ord a) => a -> a -> (a -> a) -> a -> a integral3 a b f h = aux a where aux x | x+h/2 > b = 0 | otherwise = h * f (x+h/2) + aux (x+h) -- Comparación de eficiencia -- ghci> integral 0 10 (^3) 0.00001 -- 2499.9999998811422 -- (4.62 secs, 1084774336 bytes) -- ghci> integral2 0 10 (^3) 0.00001 -- 2499.999999881125 -- (7.90 secs, 1833360768 bytes) -- ghci> integral3 0 10 (^3) 0.00001 -- 2499.999999881125 -- (7.27 secs, 1686056080 bytes) -- --------------------------------------------------------------------- -- § Algoritmo de bajada para resolver un sistema triangular inferior -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. Un sistema de ecuaciones lineales Ax = b es triangular -- inferior si todos los elementos de la matriz A que están por encima -- de la diagonal principal son nulos; es decir, es de la forma -- a(1,1)*x(1) = b(1) -- a(2,1)*x(1) + a(2,2)*x(2) = b(2) -- a(3,1)*x(1) + a(3,2)*x(2) + a(3,3)*x(3) = b(3) -- ... -- a(n,1)*x(1) + a(n,2)*x(2) + a(n,3)*x(3) +...+ a(x,x)*x(n) = b(n) -- -- El sistema es compatible si, y sólo si, el producto de los elementos -- de la diagonal principal es distinto de cero. En este caso, la -- solución se puede calcular mediante el algoritmo de bajada: -- x(1) = b(1) / a(1,1) -- x(2) = (b(2) - a(2,1)*x(1)) / a(2,2) -- x(3) = (b(3) - a(3,1)*x(1) - a(3,2)*x(2)) / a(3,3) -- ... -- x(n) = (b(n) - a(n,1)*x(1) - a(n,2)*x(2) -...- a(n,n-1)*x(n-1)) / a(n,n) -- -- Definir la función -- bajada :: Matrix Double -> Matrix Double -> Matrix Double -- tal que (bajada a b) es la solución, mediante el algoritmo de bajada, -- del sistema compatible triangular superior ax = b. Por ejemplo, -- ghci> let a = fromLists [[2,0,0],[3,1,0],[4,2,5.0]] -- ghci> let b = fromLists [[3],[6.5],[10]] -- ghci> bajada a b -- ( 1.5 ) -- ( 2.0 ) -- ( 0.0 ) -- Es decir, la solución del sistema -- 2x = 3 -- 3x + y = 6.5 -- 4x + 2y + 5 z = 10 -- es x=1.5, y=2 y z=0. -- --------------------------------------------------------------------- bajada :: Matrix Double -> Matrix Double -> Matrix Double bajada a b = fromLists [[x i] | i <- [1..m]] where m = nrows a x k = (b!(k,1) - sum [a!(k,j) * x j | j <- [1..k-1]]) / a!(k,k) |