I1M2016: Ejercicios sobre vectores y matrices con las librerías

En la primera parte de la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos comentado las soluciones de los ejercicios de la relación 17 sobre vectores y matrices en Haskell usando las librerías Data.Vector y Data.Matrix.

Los ejercicios y su solución se muestran a continuación

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Introducción                                                       --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- El objetivo de esta relación es adaptar los ejercicios de las
-- relaciones 15 y 16 (sobre vectores y matrices) usando las librerías
-- Data.Vector y Data.Matrix. 
--
-- El manual, con ejemplos, de la librería de vectores de encuentra en
-- http://bit.ly/1PNZ6Br y el de matrices en http://bit.ly/1PNZ9ND
--
-- Para instalar las librerías basta escribir en la consola
--    cabal update
--    cabal install vector matrix
 
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Importación de librerías                                           --
-- ---------------------------------------------------------------------

import qualified Data.Vector as V 
import Data.Matrix 
import Data.Ratio
import Data.Maybe

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Tipos de los vectores y de las matrices                            --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Los vectores (con elementos de tipo a son del tipo (V.Vector a).
-- Los matrices (con elementos de tipo a son del tipo (Matrix a).

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Operaciones básicas con matrices                                   --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1. Definir la función
--    listaVector :: Num a => [a] -> V.Vector a
-- tal que (listaVector xs) es el vector correspondiente a la lista
-- xs. Por ejemplo, 
--    ghci> listaVector [3,2,5]
--    fromList [3,2,5]
-- ---------------------------------------------------------------------

listaVector :: Num a => [a] -> V.Vector a
listaVector = V.fromList 

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2. Definir la función
--    listaMatriz :: Num a => [[a]] -> Matrix a
-- tal que (listaMatriz xss) es la matriz cuyas filas son los elementos
-- de xss. Por ejemplo,
--    ghci> listaMatriz [[1,3,5],[2,4,7]]
--    ( 1 3 5 )
--    ( 2 4 7 )
-- ---------------------------------------------------------------------

listaMatriz :: Num a => [[a]] -> Matrix a
listaMatriz = fromLists

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3. Definir la función
--    numFilas :: Num a => Matrix a -> Int
-- tal que (numFilas m) es el número de filas de la matriz m. Por
-- ejemplo,
--    numFilas (listaMatriz [[1,3,5],[2,4,7]])  ==  2
-- ---------------------------------------------------------------------

numFilas :: Num a => Matrix a -> Int
numFilas = nrows

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4. Definir la función
--    numColumnas :: Num a => Matrix a -> Int
-- tal que (numColumnas m) es el número de columnas de la matriz
-- m. Por ejemplo,
--    numColumnas (listaMatriz [[1,3,5],[2,4,7]])  ==  3
-- ---------------------------------------------------------------------

numColumnas:: Num a => Matrix a -> Int
numColumnas = ncols

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5. Definir la función
--    dimension :: Num a => Matrix a -> (Int,Int)
-- tal que (dimension m) es la dimensión de la matriz m. Por ejemplo, 
--    dimension (listaMatriz [[1,3,5],[2,4,7]])  ==  (2,3)
-- ---------------------------------------------------------------------

dimension :: Num a => Matrix a -> (Int,Int)
dimension p = (nrows p, ncols p)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7. Definir la función
--    matrizLista :: Num a => Matrix a -> [[a]]
-- tal que (matrizLista x) es la lista de las filas de la matriz x. Por
-- ejemplo, 
--    ghci> let m = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6]]
--    ghci> m
--    ( 5 1 0 )
--    ( 3 2 6 )
--    ghci> matrizLista m
--    [[5,1,0],[3,2,6]]
-- ---------------------------------------------------------------------

matrizLista :: Num a => Matrix a -> [[a]]
matrizLista = toLists

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8. Definir la función
--    vectorLista :: Num a => V.Vector a -> [a]
-- tal que (vectorLista x) es la lista de los elementos del vector
-- v. Por ejemplo, 
--    ghci> let v = listaVector [3,2,5]
--    ghci> v
--    fromList [3,2,5]
--    ghci> vectorLista v
--    [3,2,5]
-- ---------------------------------------------------------------------

vectorLista :: Num a => V.Vector a -> [a]
vectorLista = V.toList

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Suma de matrices                                                   --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9. Definir la función
--    sumaMatrices:: Num a => Matrix a -> Matrix a -> Matrix a
-- tal que (sumaMatrices x y) es la suma de las matrices x e y. Por
-- ejemplo, 
--    ghci> let m1 = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6]]
--    ghci> let m2 = listaMatriz [[4,6,3],[1,5,2]]
--    ghci> sumaMatrices m1 m2
--    ( 9 7 3 )
--    ( 4 7 8 )
-- ---------------------------------------------------------------------

sumaMatrices:: Num a => Matrix a -> Matrix a -> Matrix a
sumaMatrices = (+)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10. Definir la función
--    filaMat :: Num a => Int -> Matrix a -> V.Vector a
-- tal que (filaMat i p) es el vector correspondiente a la fila i-ésima
-- de la matriz p. Por ejemplo,
--    ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,5,7]]
--    ghci> filaMat 2 p
--    fromList [3,2,6]
--    ghci> vectorLista (filaMat 2 p)
--    [3,2,6]
-- ---------------------------------------------------------------------

filaMat :: Num a => Int -> Matrix a -> V.Vector a
filaMat = getRow

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 11. Definir la función
--    columnaMat :: Num a => Int -> Matrix a -> V.Vector a
-- tal que (columnaMat j p) es el vector correspondiente a la columna
-- j-ésima de la matriz p. Por ejemplo,
--    ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,5,7]]
--    ghci> columnaMat 2 p
--    fromList [1,2,5]
--    ghci> vectorLista (columnaMat 2 p)
--    [1,2,5]
-- ---------------------------------------------------------------------

columnaMat :: Num a => Int -> Matrix a -> V.Vector a
columnaMat = getCol

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Producto de matrices                                               --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 12. Definir la función
--    prodEscalar :: Num a => V.Vector a -> V.Vector a -> a
-- tal que (prodEscalar v1 v2) es el producto escalar de los vectores v1
-- y v2. Por ejemplo,
--    ghci> let v = listaVector [3,1,10]
--    ghci> prodEscalar v v
--    110
-- ---------------------------------------------------------------------

prodEscalar :: Num a => V.Vector a -> V.Vector a -> a
prodEscalar v1 v2 = V.sum (V.zipWith (*) v1 v2) 

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13. Definir la función
--    prodMatrices:: Num a => Matrix a -> Matrix a -> Matrix a
-- tal que (prodMatrices p q) es el producto de las matrices p y q. Por
-- ejemplo, 
--    ghci> let p = listaMatriz [[3,1],[2,4]]
--    ghci> prodMatrices p p
--    ( 11  7 )
--    ( 14 18 )
--    ghci> let q = listaMatriz [[7],[5]]
--    ghci> prodMatrices p q
--    ( 26 )
--    ( 34 )
-- ---------------------------------------------------------------------

prodMatrices:: Num a => Matrix a -> Matrix a -> Matrix a
prodMatrices = (*)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Traspuestas y simétricas                                           --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 14. Definir la función
--    traspuesta :: Num a => Matrix a -> Matrix a
-- tal que (traspuesta p) es la traspuesta de la matriz p. Por ejemplo,
--    ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6]]
--    ghci> traspuesta p
--    ( 5 3 )
--    ( 1 2 )
--    ( 0 6 )
-- ---------------------------------------------------------------------

traspuesta :: Num a => Matrix a -> Matrix a
traspuesta = transpose

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 15. Definir la función
--    esCuadrada :: Num a => Matrix a -> Bool
-- tal que (esCuadrada p) se verifica si la matriz p es cuadrada. Por
-- ejemplo, 
--    ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6]]
--    ghci> esCuadrada p
--    False
--    ghci> let q = listaMatriz [[5,1],[3,2]]
--    ghci> esCuadrada q
--    True
-- ---------------------------------------------------------------------

esCuadrada :: Num a => Matrix a -> Bool
esCuadrada p = nrows p == ncols p

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 16. Definir la función
--    esSimetrica :: (Num a, Eq a) => Matrix a -> Bool
-- tal que (esSimetrica p) se verifica si la matriz p es simétrica. Por
-- ejemplo, 
--    ghci> let p = listaMatriz [[5,1,3],[1,4,7],[3,7,2]]
--    ghci> esSimetrica p
--    True
--    ghci> let q = listaMatriz [[5,1,3],[1,4,7],[3,4,2]]
--    ghci> esSimetrica q
--    False
-- ---------------------------------------------------------------------    

esSimetrica :: (Num a, Eq a) => Matrix a -> Bool
esSimetrica x = x == transpose x

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Diagonales de una matriz                                           --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 17. Definir la función
--    diagonalPral :: Num a => Matrix a -> V.Vector a
-- tal que (diagonalPral p) es la diagonal principal de la matriz p. Por
-- ejemplo, 
--    ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6]]
--    ghci> diagonalPral p
--    fromList [5,2]
-- ---------------------------------------------------------------------

diagonalPral :: Num a => Matrix a -> V.Vector a
diagonalPral = getDiag

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 18. Definir la función
--    diagonalSec :: Num a => Matrix a -> V.Vector a
-- tal que (diagonalSec p) es la diagonal secundaria de la matriz p. Por
-- ejemplo, 
--    ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6]]
--    ghci> diagonalSec p
--    fromList [1,3]
--    ghci> let q = traspuesta p
--    ghci> matrizLista q
--    [[5,3],[1,2],[0,6]]
--    ghci> diagonalSec q
--    fromList [1,2]
-- ---------------------------------------------------------------------

diagonalSec :: Num a => Matrix a -> V.Vector a
diagonalSec p = V.fromList [p!(i,n+1-i) | i <- [1..n]]
    where n = min (nrows p) (ncols p)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Submatrices                                                        --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 19. Definir la función
--    submatriz :: Num a => Int -> Int -> Matrix a -> Matrix a
-- tal que (submatriz i j p) es la matriz obtenida a partir de la p
-- eliminando la fila i y la columna j. Por ejemplo,
--    ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]
--    ghci> submatriz 2 3 p
--    ( 5 1 )
--    ( 4 6 )
-- ---------------------------------------------------------------------

submatriz :: Num a => Int -> Int -> Matrix a -> Matrix a
submatriz = minorMatrix

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Transformaciones elementales                                       --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 20. Definir la función
--    intercambiaFilas :: Num a => Int -> Int -> Matrix a -> Matrix a
-- tal que (intercambiaFilas k l p) es la matriz obtenida intercambiando
-- las filas k y l de la matriz p. Por ejemplo, 
--    ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]
--    ghci> intercambiaFilas 1 3 p
--    ( 4 6 9 )
--    ( 3 2 6 )
--    ( 5 1 0 )
-- ---------------------------------------------------------------------

intercambiaFilas :: Num a => Int -> Int -> Matrix a -> Matrix a
intercambiaFilas = switchRows

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 21. Definir la función
--    intercambiaColumnas :: Num a => Int -> Int -> Matrix a -> Matrix a
-- tal que (intercambiaColumnas k l p) es la matriz obtenida
-- intercambiando las columnas k y l de la matriz p. Por ejemplo, 
--    ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]
--    ghci> intercambiaColumnas 1 3 p
--    ( 0 1 5 )
--    ( 6 2 3 )
--    ( 9 6 4 )
-- ---------------------------------------------------------------------

intercambiaColumnas :: Num a => Int -> Int -> Matrix a -> Matrix a
intercambiaColumnas = switchCols

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 22. Definir la función
--    multFilaPor :: Num a => Int -> a -> Matrix a -> Matrix a
-- tal que (multFilaPor k x p) es la matriz obtenida multiplicando la
-- fila k de la matriz p por el número x. Por ejemplo,
--    ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]
--    ghci> multFilaPor 2 3 p
--    (  5  1  0 )
--    (  9  6 18 )
--    (  4  6  9 )
-- ---------------------------------------------------------------------

multFilaPor :: Num a => Int -> a -> Matrix a -> Matrix a
multFilaPor k x p = scaleRow x k p

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 23. Definir la función
--    sumaFilaFila :: Num a => Int -> Int -> Matrix a -> Matrix a
-- tal que (sumaFilaFila k l p) es la matriz obtenida sumando la fila l
-- a la fila k de la matriz p. Por ejemplo,
--    ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]
--    ghci> sumaFilaFila 2 3 p
--    (  5  1  0 )
--    (  7  8 15 )
--    (  4  6  9 )
-- ---------------------------------------------------------------------

sumaFilaFila :: Num a => Int -> Int -> Matrix a -> Matrix a
sumaFilaFila k l p = combineRows k 1 l p

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 24. Definir la función
--    sumaFilaPor :: Num a => Int -> Int -> a -> Matrix a -> Matrix a
-- tal que (sumaFilaPor k l x p) es la matriz obtenida sumando a la fila
-- k de la matriz p la fila l multiplicada por x. Por ejemplo,
--    ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]
--    ghci> sumaFilaPor 2 3 10 p
--    (  5  1  0 )
--    ( 43 62 96 )
--    (  4  6  9 )
-- ---------------------------------------------------------------------

sumaFilaPor :: Num a => Int -> Int -> a -> Matrix a -> Matrix a
sumaFilaPor k l x p = combineRows k x l p

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Triangularización de matrices                                      --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 25. Definir la función
--    buscaIndiceDesde :: (Num a, Eq a) => 
--                        Matrix a -> Int -> Int -> Maybe Int
-- tal que (buscaIndiceDesde p j i) es el menor índice k, mayor o igual
-- que i, tal que el elemento de la matriz p en la posición (k,j) es no
-- nulo. Por ejemplo,
--    ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]
--    ghci> buscaIndiceDesde p 3 2
--    Just 2
--    ghci> let q = listaMatriz [[5,1,1],[3,2,0],[4,6,0]]
--    ghci> buscaIndiceDesde q 3 2
--    Nothing
-- ---------------------------------------------------------------------

-- 1ª definición
buscaIndiceDesde :: (Num a, Eq a) => Matrix a -> Int -> Int -> Maybe Int
buscaIndiceDesde p j i 
    | null xs   = Nothing
    | otherwise = Just (head xs)
    where xs = [k | k <- [i..nrows p], p!(k,j) /= 0]

-- 2ª definición (con listToMaybe http://bit.ly/212iSgl)
buscaIndiceDesde2 :: (Num a, Eq a) => Matrix a -> Int -> Int -> Maybe Int
buscaIndiceDesde2 p j i =
    listToMaybe [k | k <- [i..nrows p], p!(k,j) /= 0]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 26. Definir la función
--    buscaPivoteDesde :: (Num a, Eq a) => 
--                        Matrix a -> Int -> Int -> Maybe a
-- tal que (buscaPivoteDesde p j i) es el elemento de la matriz p en la
-- posición (k,j) donde k es (buscaIndiceDesde p j i). Por ejemplo,
--    ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]
--    ghci> buscaPivoteDesde p 3 2
--    Just 6
--    ghci> let q = listaMatriz [[5,1,1],[3,2,0],[4,6,0]]
--    ghci> buscaPivoteDesde q 3 2
--    Nothing
-- ---------------------------------------------------------------------

-- 1ª definición
buscaPivoteDesde :: (Num a, Eq a) => Matrix a -> Int -> Int -> Maybe a
buscaPivoteDesde p j i 
    | null xs   = Nothing
    | otherwise = Just (head xs)
    where xs = [y | k <- [i..nrows p], let y = p!(k,j), y /= 0]

-- 2ª definición (con listToMaybe http://bit.ly/212iSgl)
buscaPivoteDesde2 :: (Num a, Eq a) => Matrix a -> Int -> Int -> Maybe a
buscaPivoteDesde2 p j i = 
    listToMaybe [y | k <- [i..nrows p], let y = p!(k,j), y /= 0]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 27. Definir la función
--    anuladaColumnaDesde :: (Num a, Eq a) => 
--                           Int -> Int -> Matrix a -> Bool
-- tal que (anuladaColumnaDesde j i p) se verifica si todos los
-- elementos de la columna j de la matriz p desde i+1 en adelante son
-- nulos. Por ejemplo,
--    ghci> let q = listaMatriz [[5,1,1],[3,2,0],[4,6,0]]
--    ghci> anuladaColumnaDesde q 3 2
--    True
--    ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]
--    ghci> anuladaColumnaDesde p 3 2
--    False
-- ---------------------------------------------------------------------

anuladaColumnaDesde :: (Num a, Eq a) => Matrix a -> Int -> Int -> Bool
anuladaColumnaDesde p j i = 
    buscaIndiceDesde p j (i+1) == Nothing

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 28. Definir la función
--    anulaEltoColumnaDesde :: (Fractional a, Eq a) => 
--                             Matrix a -> Int -> Int -> Matrix a
-- tal que (anulaEltoColumnaDesde p j i) es la matriz obtenida a partir
-- de p anulando el primer elemento de la columna j por debajo de la
-- fila i usando el elemento de la posición (i,j). Por ejemplo,
--    ghci> let p = listaMatriz [[2,3,1],[5,0,5],[8,6,9]] :: Matrix Double
--    ghci> matrizLista (anulaEltoColumnaDesde p 2 1)
--    [[2.0,3.0,1.0],[5.0,0.0,5.0],[4.0,0.0,7.0]]
-- ---------------------------------------------------------------------

anulaEltoColumnaDesde :: (Fractional a, Eq a) => 
                         Matrix a -> Int -> Int -> Matrix a
anulaEltoColumnaDesde p j i = 
    sumaFilaPor l i (-(p!(l,j)/a)) p
    where Just l = buscaIndiceDesde p j (i+1)
          a      = p!(i,j)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 29. Definir la función
--    anulaColumnaDesde :: (Fractional a, Eq a) => 
--                         Matrix a -> Int -> Int -> Matrix a
-- tal que (anulaColumnaDesde p j i) es la matriz obtenida anulando
-- todos los elementos de la columna j de la matriz p por debajo del la
-- posición (i,j) (se supone que el elemnto p_(i,j) es no nulo). Por
-- ejemplo, 
--    ghci> let p = listaMatriz [[2,2,1],[5,4,5],[10,8,9]] :: Matrix Double
--    ghci> matrizLista (anulaColumnaDesde p 2 1)
--    [[2.0,2.0,1.0],[1.0,0.0,3.0],[2.0,0.0,5.0]]
--    ghci> let p = listaMatriz [[4,5],[2,7%2],[6,10]] 
--    ghci> matrizLista (anulaColumnaDesde p 1 1)
--    [[4 % 1,5 % 1],[0 % 1,1 % 1],[0 % 1,5 % 2]]
-- ---------------------------------------------------------------------

anulaColumnaDesde :: (Fractional a, Eq a) => 
                     Matrix a -> Int -> Int -> Matrix a
anulaColumnaDesde p j i
    | anuladaColumnaDesde p j i = p
    | otherwise = anulaColumnaDesde (anulaEltoColumnaDesde p j i) j i 

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Algoritmo de Gauss para triangularizar matrices                    --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 30. Definir la función
--    elementosNoNulosColDesde :: (Num a, Eq a) => 
--                                Matrix a -> Int -> Int -> [a]
-- tal que (elementosNoNulosColDesde p j i) es la lista de los elementos
-- no nulos de la columna j a partir de la fila i. Por ejemplo,
--    ghci> let p = listaMatriz [[3,2],[5,1],[0,4]]
--    ghci> elementosNoNulosColDesde p 1 2
--    [5]
-- ---------------------------------------------------------------------

elementosNoNulosColDesde :: (Num a, Eq a) => Matrix a -> Int -> Int -> [a]
elementosNoNulosColDesde p j i = 
    [y | k <- [i..nrows p], let y = p!(k,j), y /= 0]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 31. Definir la función
--    existeColNoNulaDesde :: (Num a, Eq a) => 
--                            Matrix a -> Int -> Int -> Bool
-- tal que (existeColNoNulaDesde p j i) se verifica si la matriz p tiene
-- una columna a partir de la j tal que tiene algún elemento no nulo por
-- debajo de la j; es decir, si la submatriz de p obtenida eliminando
-- las i-1 primeras filas y las j-1 primeras columnas es no nula. Por
-- ejemplo, 
--    ghci> let p = listaMatriz [[3,2,5],[5,0,0],[6,0,0]]
--    ghci> existeColNoNulaDesde p 2 2
--    False
--    ghci> let q = listaMatriz [[3,2,5],[5,7,0],[6,0,0]]
--    ghci> existeColNoNulaDesde q 2 2
--    True
-- ---------------------------------------------------------------------
  
existeColNoNulaDesde :: (Num a, Eq a) => Matrix a -> Int -> Int -> Bool
existeColNoNulaDesde p j i = 
    or [not (null (elementosNoNulosColDesde p l i)) | l <- [j..n]]
    where n = numColumnas p

-- 2ª solución
existeColNoNulaDesde2 :: (Num a, Eq a) => Matrix a -> Int -> Int -> Bool
existeColNoNulaDesde2 p j i = 
    submatrix i m j n p /= zero (m-i+1) (n-j+1)
    where (m,n) = dimension p

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 32. Definir la función
--    menorIndiceColNoNulaDesde :: (Num a, Eq a) => 
--                                 Matrix a -> Int -> Int -> Maybe Int
-- tal que (menorIndiceColNoNulaDesde p j i) es el índice de la primera
-- columna, a partir de la j, en el que la matriz p tiene un elemento no
-- nulo a partir de la fila i. Por ejemplo,
--    ghci> let p = listaMatriz [[3,2,5],[5,7,0],[6,0,0]]
--    ghci> menorIndiceColNoNulaDesde p 2 2
--    Just 2
--    ghci> let q = listaMatriz [[3,2,5],[5,0,0],[6,0,2]]
--    ghci> menorIndiceColNoNulaDesde q 2 2
--    Just 3
--    ghci> let r = listaMatriz [[3,2,5],[5,0,0],[6,0,0]]
--    ghci> menorIndiceColNoNulaDesde r 2 2
--    Nothing
-- ---------------------------------------------------------------------

-- 1ª definición
menorIndiceColNoNulaDesde :: (Num a, Eq a) => 
                             Matrix a -> Int -> Int -> Maybe Int
menorIndiceColNoNulaDesde p j i 
    | null js   = Nothing
    | otherwise = Just (head js)
    where n  = numColumnas p
          js = [j' | j' <- [j..n], 
                     not (null (elementosNoNulosColDesde p j' i))]

-- 2ª definición (con listToMaybe http://bit.ly/212iSgl)
menorIndiceColNoNulaDesde2 :: (Num a, Eq a) => 
                              Matrix a -> Int -> Int -> Maybe Int
menorIndiceColNoNulaDesde2 p j i =
    listToMaybe [j' | j' <- [j..n], 
                      not (null (elementosNoNulosColDesde p j' i))]
    where n  = numColumnas p

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 33. Definir la función
--    gaussAux :: (Fractional a, Eq a) => 
--                Matrix a -> Int -> Int -> Matrix a
-- tal que (gaussAux p i j) es la matriz que en el que las i-1 primeras
-- filas y las j-1 primeras columnas son las de p y las restantes están
-- triangularizadas por el método de Gauss; es decir,
--    1. Si la dimensión de p es (i,j), entonces p.
--    2. Si la submatriz de p sin las i-1 primeras filas y las j-1
--       primeras columnas es nulas, entonces p.
--    3. En caso contrario, (gaussAux p' (i+1) (j+1)) siendo
--    3.1. j' la primera columna a partir de la j donde p tiene
--         algún elemento no nulo a partir de la fila i,
--    3.2. p1 la matriz obtenida intercambiando las columnas j y j'
--         de p,
--    3.3. i' la primera fila a partir de la i donde la columna j de
--         p1 tiene un elemento no nulo,
--    3.4. p2 la matriz obtenida intercambiando las filas i e i' de
--         la matriz p1 y
--    3.5. p' la matriz obtenida anulando todos los elementos de la
--         columna j de p2 por debajo de la fila i.
-- Por ejemplo,
--    ghci> let p = listaMatriz [[1.0,2,3],[1,2,4],[3,2,5]]
--    ghci> gaussAux p 2 2
--    ( 1.0 2.0 3.0 )
--    ( 1.0 2.0 4.0 )
--    ( 2.0 0.0 1.0 )
-- ---------------------------------------------------------------------

gaussAux :: (Fractional a, Eq a) => Matrix a -> Int -> Int -> Matrix a
gaussAux p i j 
    | dimension p == (i,j)             = p                        -- 1
    | not (existeColNoNulaDesde p j i) = p                        -- 2  
    | otherwise                        = gaussAux p' (i+1) (j+1)  -- 3
    where Just j' = menorIndiceColNoNulaDesde p j i               -- 3.1 
          p1      = intercambiaColumnas j j' p                    -- 3.2
          Just i' = buscaIndiceDesde p1 j i                       -- 3.3
          p2      = intercambiaFilas i i' p1                      -- 3.4
          p'      = anulaColumnaDesde p2 j i                      -- 3.5

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 34. Definir la función
--    gauss :: (Fractional a, Eq a) => Matrix a -> Matrix a
-- tal que (gauss p) es la triangularización de la matriz p por el método
-- de Gauss. Por ejemplo, 
--    ghci> let p = listaMatriz [[1.0,2,3],[1,2,4],[1,2,5]]
--    ghci> gauss p
--    ( 1.0 3.0 2.0 )
--    ( 0.0 1.0 0.0 )
--    ( 0.0 0.0 0.0 )
--    ghci> let p = listaMatriz [[3%1,2,3],[1,2,4],[1,2,5]]
--    ghci> gauss p
--    ( 3 % 1 2 % 1 3 % 1 )
--    ( 0 % 1 4 % 3 3 % 1 )
--    ( 0 % 1 0 % 1 1 % 1 )
--    ghci> let p = listaMatriz [[1.0,0,3],[1,0,4],[3,0,5]]
--    ghci> gauss p
--    ( 1.0 3.0 0.0 )
--    ( 0.0 1.0 0.0 )
--    ( 0.0 0.0 0.0 )
-- ---------------------------------------------------------------------

gauss :: (Fractional a, Eq a) => Matrix a -> Matrix a
gauss p = gaussAux p 1 1

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Determinante                                                       --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 35. Definir la función
--    gaussCAux :: (Fractional a, Eq a) => 
--                 Matriz a -> Int -> Int -> Int -> Matriz a
-- tal que (gaussCAux p i j c) es el par (n,q) donde q es la matriz que
-- en el que las i-1 primeras filas y las j-1 primeras columnas son las
-- de p y las restantes están triangularizadas por el método de Gauss;
-- es decir, 
--    1. Si la dimensión de p es (i,j), entonces p.
--    2. Si la submatriz de p sin las i-1 primeras filas y las j-1
--       primeras columnas es nulas, entonces p.
--    3. En caso contrario, (gaussAux p' (i+1) (j+1)) siendo
--    3.1. j' la primera columna a partir de la j donde p tiene
--         algún elemento no nulo a partir de la fila i,
--    3.2. p1 la matriz obtenida intercambiando las columnas j y j'
--         de p,
--    3.3. i' la primera fila a partir de la i donde la columna j de
--         p1 tiene un elemento no nulo,
--    3.4. p2 la matriz obtenida intercambiando las filas i e i' de
--         la matriz p1 y
--    3.5. p' la matriz obtenida anulando todos los elementos de la
--         columna j de p2 por debajo de la fila i.
-- y n es c más el número de intercambios de columnas y filas que se han 
-- producido durante el cálculo. Por ejemplo,
--    ghci> gaussCAux (fromLists [[1.0,2,3],[1,2,4],[1,2,5]]) 1 1 0
--    (1,( 1.0 3.0 2.0 )
--       ( 0.0 1.0 0.0 )
--       ( 0.0 0.0 0.0 ))
-- ---------------------------------------------------------------------

gaussCAux :: (Fractional a, Eq a) => 
             Matrix a -> Int -> Int -> Int -> (Int,Matrix a)
gaussCAux p i j c 
    | dimension p == (i,j)             = (c,p)                        -- 1
    | not (existeColNoNulaDesde p j i) = (c,p)                        -- 2  
    | otherwise                        = gaussCAux p' (i+1) (j+1) c'  -- 3
    where Just j' = menorIndiceColNoNulaDesde p j i                   -- 3.1 
          p1      = switchCols j j' p                                 -- 3.2
          Just i' = buscaIndiceDesde p1 j i                           -- 3.3
          p2      = switchRows i i' p1                                -- 3.4
          p'      = anulaColumnaDesde p2 j i                          -- 3.5
          c'      = c + signum (abs (j-j')) + signum (abs (i-i'))

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 36. Definir la función
--    gaussC :: (Fractional a, Eq a) => Matriz a -> Matriz a
-- tal que (gaussC p) es el par (n,q), donde q es la triangularización
-- de la matriz p por el método de Gauss y n es el número de
-- intercambios de columnas y filas que se han producido durante el
-- cálculo. Por ejemplo,  
--    ghci> gaussC (fromLists [[1.0,2,3],[1,2,4],[1,2,5]])
--    (1, ( 1.0 3.0 2.0 )
--        ( 0.0 1.0 0.0 )
--        ( 0.0 0.0 0.0 )
-- ---------------------------------------------------------------------

gaussC :: (Fractional a, Eq a) => Matrix a -> (Int,Matrix a)
gaussC p = gaussCAux p 1 1 0

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 37. Definir la función
--    determinante :: (Fractional a, Eq a) => Matriz a -> a
-- tal que (determinante p) es el determinante de la matriz p. Por
-- ejemplo, 
--    ghci> determinante (fromLists [[1.0,2,3],[1,3,4],[1,2,5]])
--    2.0
-- ---------------------------------------------------------------------

determinante :: (Fractional a, Eq a) => Matrix a -> a
determinante p = (-1)^c * V.product (getDiag p')
    where (c,p') = gaussC p

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-- ---------------------------------------------------------------------

-- Introducción --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- El objetivo de esta relación es adaptar los ejercicios de las

-- relaciones 15 y 16 (sobre vectores y matrices) usando las librerías

-- Data.Vector y Data.Matrix.

-- El manual, con ejemplos, de la librería de vectores de encuentra en

-- http://bit.ly/1PNZ6Br y el de matrices en http://bit.ly/1PNZ9ND

-- Para instalar las librerías basta escribir en la consola

-- cabal update

-- cabal install vector matrix

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Importación de librerías --

-- ---------------------------------------------------------------------

import qualified Data.Vector as V

import Data.Matrix

import Data.Ratio

import Data.Maybe

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Tipos de los vectores y de las matrices --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Los vectores (con elementos de tipo a son del tipo (V.Vector a).

-- Los matrices (con elementos de tipo a son del tipo (Matrix a).

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Operaciones básicas con matrices --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 1. Definir la función

-- listaVector :: Num a => [a] -> V.Vector a

-- tal que (listaVector xs) es el vector correspondiente a la lista

-- xs. Por ejemplo,

-- ghci> listaVector [3,2,5]

-- fromList [3,2,5]

-- ---------------------------------------------------------------------

listaVector :: Num a => [a] -> V.Vector a

listaVector = V.fromList

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 2. Definir la función

-- listaMatriz :: Num a => [[a]] -> Matrix a

-- tal que (listaMatriz xss) es la matriz cuyas filas son los elementos

-- de xss. Por ejemplo,

-- ghci> listaMatriz [[1,3,5],[2,4,7]]

-- ( 1 3 5 )

-- ( 2 4 7 )

-- ---------------------------------------------------------------------

listaMatriz :: Num a => [[a]] -> Matrix a

listaMatriz = fromLists

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 3. Definir la función

-- numFilas :: Num a => Matrix a -> Int

-- tal que (numFilas m) es el número de filas de la matriz m. Por

-- ejemplo,

-- numFilas (listaMatriz [[1,3,5],[2,4,7]]) == 2

-- ---------------------------------------------------------------------

numFilas :: Num a => Matrix a -> Int

numFilas = nrows

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 4. Definir la función

-- numColumnas :: Num a => Matrix a -> Int

-- tal que (numColumnas m) es el número de columnas de la matriz

-- m. Por ejemplo,

-- numColumnas (listaMatriz [[1,3,5],[2,4,7]]) == 3

-- ---------------------------------------------------------------------

numColumnas:: Num a => Matrix a -> Int

numColumnas = ncols

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 5. Definir la función

-- dimension :: Num a => Matrix a -> (Int,Int)

-- tal que (dimension m) es la dimensión de la matriz m. Por ejemplo,

-- dimension (listaMatriz [[1,3,5],[2,4,7]]) == (2,3)

-- ---------------------------------------------------------------------

dimension :: Num a => Matrix a -> (Int,Int)

dimension p = (nrows p, ncols p)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 7. Definir la función

-- matrizLista :: Num a => Matrix a -> [[a]]

-- tal que (matrizLista x) es la lista de las filas de la matriz x. Por

-- ejemplo,

-- ghci> let m = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6]]

-- ghci> m

-- ( 5 1 0 )

-- ( 3 2 6 )

-- ghci> matrizLista m

-- [[5,1,0],[3,2,6]]

-- ---------------------------------------------------------------------

matrizLista :: Num a => Matrix a -> [[a]]

matrizLista = toLists

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 8. Definir la función

-- vectorLista :: Num a => V.Vector a -> [a]

-- tal que (vectorLista x) es la lista de los elementos del vector

-- v. Por ejemplo,

-- ghci> let v = listaVector [3,2,5]

-- ghci> v

-- fromList [3,2,5]

-- ghci> vectorLista v

-- [3,2,5]

-- ---------------------------------------------------------------------

vectorLista :: Num a => V.Vector a -> [a]

vectorLista = V.toList

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Suma de matrices --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 9. Definir la función

-- sumaMatrices:: Num a => Matrix a -> Matrix a -> Matrix a

-- tal que (sumaMatrices x y) es la suma de las matrices x e y. Por

-- ejemplo,

-- ghci> let m1 = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6]]

-- ghci> let m2 = listaMatriz [[4,6,3],[1,5,2]]

-- ghci> sumaMatrices m1 m2

-- ( 9 7 3 )

-- ( 4 7 8 )

-- ---------------------------------------------------------------------

sumaMatrices:: Num a => Matrix a -> Matrix a -> Matrix a

sumaMatrices = (+)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 10. Definir la función

-- filaMat :: Num a => Int -> Matrix a -> V.Vector a

-- tal que (filaMat i p) es el vector correspondiente a la fila i-ésima

-- de la matriz p. Por ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,5,7]]

-- ghci> filaMat 2 p

-- fromList [3,2,6]

-- ghci> vectorLista (filaMat 2 p)

-- [3,2,6]

-- ---------------------------------------------------------------------

filaMat :: Num a => Int -> Matrix a -> V.Vector a

filaMat = getRow

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 11. Definir la función

-- columnaMat :: Num a => Int -> Matrix a -> V.Vector a

-- tal que (columnaMat j p) es el vector correspondiente a la columna

-- j-ésima de la matriz p. Por ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,5,7]]

-- ghci> columnaMat 2 p

-- fromList [1,2,5]

-- ghci> vectorLista (columnaMat 2 p)

-- [1,2,5]

-- ---------------------------------------------------------------------

columnaMat :: Num a => Int -> Matrix a -> V.Vector a

columnaMat = getCol

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Producto de matrices --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 12. Definir la función

-- prodEscalar :: Num a => V.Vector a -> V.Vector a -> a

-- tal que (prodEscalar v1 v2) es el producto escalar de los vectores v1

-- y v2. Por ejemplo,

-- ghci> let v = listaVector [3,1,10]

-- ghci> prodEscalar v v

-- 110

-- ---------------------------------------------------------------------

prodEscalar :: Num a => V.Vector a -> V.Vector a -> a

prodEscalar v1 v2 = V.sum (V.zipWith (*) v1 v2)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 13. Definir la función

-- prodMatrices:: Num a => Matrix a -> Matrix a -> Matrix a

-- tal que (prodMatrices p q) es el producto de las matrices p y q. Por

-- ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[3,1],[2,4]]

-- ghci> prodMatrices p p

-- ( 11 7 )

-- ( 14 18 )

-- ghci> let q = listaMatriz [[7],[5]]

-- ghci> prodMatrices p q

-- ( 26 )

-- ( 34 )

-- ---------------------------------------------------------------------

prodMatrices:: Num a => Matrix a -> Matrix a -> Matrix a

prodMatrices = (*)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Traspuestas y simétricas --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 14. Definir la función

-- traspuesta :: Num a => Matrix a -> Matrix a

-- tal que (traspuesta p) es la traspuesta de la matriz p. Por ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6]]

-- ghci> traspuesta p

-- ( 5 3 )

-- ( 1 2 )

-- ( 0 6 )

-- ---------------------------------------------------------------------

traspuesta :: Num a => Matrix a -> Matrix a

traspuesta = transpose

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 15. Definir la función

-- esCuadrada :: Num a => Matrix a -> Bool

-- tal que (esCuadrada p) se verifica si la matriz p es cuadrada. Por

-- ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6]]

-- ghci> esCuadrada p

-- False

-- ghci> let q = listaMatriz [[5,1],[3,2]]

-- ghci> esCuadrada q

-- True

-- ---------------------------------------------------------------------

esCuadrada :: Num a => Matrix a -> Bool

esCuadrada p = nrows p == ncols p

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 16. Definir la función

-- esSimetrica :: (Num a, Eq a) => Matrix a -> Bool

-- tal que (esSimetrica p) se verifica si la matriz p es simétrica. Por

-- ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,3],[1,4,7],[3,7,2]]

-- ghci> esSimetrica p

-- True

-- ghci> let q = listaMatriz [[5,1,3],[1,4,7],[3,4,2]]

-- ghci> esSimetrica q

-- False

-- ---------------------------------------------------------------------

esSimetrica :: (Num a, Eq a) => Matrix a -> Bool

esSimetrica x = x == transpose x

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Diagonales de una matriz --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 17. Definir la función

-- diagonalPral :: Num a => Matrix a -> V.Vector a

-- tal que (diagonalPral p) es la diagonal principal de la matriz p. Por

-- ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6]]

-- ghci> diagonalPral p

-- fromList [5,2]

-- ---------------------------------------------------------------------

diagonalPral :: Num a => Matrix a -> V.Vector a

diagonalPral = getDiag

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 18. Definir la función

-- diagonalSec :: Num a => Matrix a -> V.Vector a

-- tal que (diagonalSec p) es la diagonal secundaria de la matriz p. Por

-- ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6]]

-- ghci> diagonalSec p

-- fromList [1,3]

-- ghci> let q = traspuesta p

-- ghci> matrizLista q

-- [[5,3],[1,2],[0,6]]

-- ghci> diagonalSec q

-- fromList [1,2]

-- ---------------------------------------------------------------------

diagonalSec :: Num a => Matrix a -> V.Vector a

diagonalSec p = V.fromList [p!(i,n+1-i) | i <- [1..n]]

where n = min (nrows p) (ncols p)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Submatrices --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 19. Definir la función

-- submatriz :: Num a => Int -> Int -> Matrix a -> Matrix a

-- tal que (submatriz i j p) es la matriz obtenida a partir de la p

-- eliminando la fila i y la columna j. Por ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]

-- ghci> submatriz 2 3 p

-- ( 5 1 )

-- ( 4 6 )

-- ---------------------------------------------------------------------

submatriz :: Num a => Int -> Int -> Matrix a -> Matrix a

submatriz = minorMatrix

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Transformaciones elementales --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 20. Definir la función

-- intercambiaFilas :: Num a => Int -> Int -> Matrix a -> Matrix a

-- tal que (intercambiaFilas k l p) es la matriz obtenida intercambiando

-- las filas k y l de la matriz p. Por ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]

-- ghci> intercambiaFilas 1 3 p

-- ( 4 6 9 )

-- ( 3 2 6 )

-- ( 5 1 0 )

-- ---------------------------------------------------------------------

intercambiaFilas :: Num a => Int -> Int -> Matrix a -> Matrix a

intercambiaFilas = switchRows

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 21. Definir la función

-- intercambiaColumnas :: Num a => Int -> Int -> Matrix a -> Matrix a

-- tal que (intercambiaColumnas k l p) es la matriz obtenida

-- intercambiando las columnas k y l de la matriz p. Por ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]

-- ghci> intercambiaColumnas 1 3 p

-- ( 0 1 5 )

-- ( 6 2 3 )

-- ( 9 6 4 )

-- ---------------------------------------------------------------------

intercambiaColumnas :: Num a => Int -> Int -> Matrix a -> Matrix a

intercambiaColumnas = switchCols

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 22. Definir la función

-- multFilaPor :: Num a => Int -> a -> Matrix a -> Matrix a

-- tal que (multFilaPor k x p) es la matriz obtenida multiplicando la

-- fila k de la matriz p por el número x. Por ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]

-- ghci> multFilaPor 2 3 p

-- ( 5 1 0 )

-- ( 9 6 18 )

-- ( 4 6 9 )

-- ---------------------------------------------------------------------

multFilaPor :: Num a => Int -> a -> Matrix a -> Matrix a

multFilaPor k x p = scaleRow x k p

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 23. Definir la función

-- sumaFilaFila :: Num a => Int -> Int -> Matrix a -> Matrix a

-- tal que (sumaFilaFila k l p) es la matriz obtenida sumando la fila l

-- a la fila k de la matriz p. Por ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]

-- ghci> sumaFilaFila 2 3 p

-- ( 5 1 0 )

-- ( 7 8 15 )

-- ( 4 6 9 )

-- ---------------------------------------------------------------------

sumaFilaFila :: Num a => Int -> Int -> Matrix a -> Matrix a

sumaFilaFila k l p = combineRows k 1 l p

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 24. Definir la función

-- sumaFilaPor :: Num a => Int -> Int -> a -> Matrix a -> Matrix a

-- tal que (sumaFilaPor k l x p) es la matriz obtenida sumando a la fila

-- k de la matriz p la fila l multiplicada por x. Por ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]

-- ghci> sumaFilaPor 2 3 10 p

-- ( 5 1 0 )

-- ( 43 62 96 )

-- ( 4 6 9 )

-- ---------------------------------------------------------------------

sumaFilaPor :: Num a => Int -> Int -> a -> Matrix a -> Matrix a

sumaFilaPor k l x p = combineRows k x l p

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Triangularización de matrices --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 25. Definir la función

-- buscaIndiceDesde :: (Num a, Eq a) =>

-- Matrix a -> Int -> Int -> Maybe Int

-- tal que (buscaIndiceDesde p j i) es el menor índice k, mayor o igual

-- que i, tal que el elemento de la matriz p en la posición (k,j) es no

-- nulo. Por ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]

-- ghci> buscaIndiceDesde p 3 2

-- Just 2

-- ghci> let q = listaMatriz [[5,1,1],[3,2,0],[4,6,0]]

-- ghci> buscaIndiceDesde q 3 2

-- Nothing

-- ---------------------------------------------------------------------

-- 1ª definición

buscaIndiceDesde :: (Num a, Eq a) => Matrix a -> Int -> Int -> Maybe Int

buscaIndiceDesde p j i

| null xs = Nothing

| otherwise = Just (head xs)

where xs = [k | k <- [i..nrows p], p!(k,j) /= 0]

-- 2ª definición (con listToMaybe http://bit.ly/212iSgl)

buscaIndiceDesde2 :: (Num a, Eq a) => Matrix a -> Int -> Int -> Maybe Int

buscaIndiceDesde2 p j i =

listToMaybe [k | k <- [i..nrows p], p!(k,j) /= 0]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 26. Definir la función

-- buscaPivoteDesde :: (Num a, Eq a) =>

-- Matrix a -> Int -> Int -> Maybe a

-- tal que (buscaPivoteDesde p j i) es el elemento de la matriz p en la

-- posición (k,j) donde k es (buscaIndiceDesde p j i). Por ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]

-- ghci> buscaPivoteDesde p 3 2

-- Just 6

-- ghci> let q = listaMatriz [[5,1,1],[3,2,0],[4,6,0]]

-- ghci> buscaPivoteDesde q 3 2

-- Nothing

-- ---------------------------------------------------------------------

-- 1ª definición

buscaPivoteDesde :: (Num a, Eq a) => Matrix a -> Int -> Int -> Maybe a

buscaPivoteDesde p j i

| null xs = Nothing

| otherwise = Just (head xs)

where xs = [y | k <- [i..nrows p], let y = p!(k,j), y /= 0]

-- 2ª definición (con listToMaybe http://bit.ly/212iSgl)

buscaPivoteDesde2 :: (Num a, Eq a) => Matrix a -> Int -> Int -> Maybe a

buscaPivoteDesde2 p j i =

listToMaybe [y | k <- [i..nrows p], let y = p!(k,j), y /= 0]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 27. Definir la función

-- anuladaColumnaDesde :: (Num a, Eq a) =>

-- Int -> Int -> Matrix a -> Bool

-- tal que (anuladaColumnaDesde j i p) se verifica si todos los

-- elementos de la columna j de la matriz p desde i+1 en adelante son

-- nulos. Por ejemplo,

-- ghci> let q = listaMatriz [[5,1,1],[3,2,0],[4,6,0]]

-- ghci> anuladaColumnaDesde q 3 2

-- True

-- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]

-- ghci> anuladaColumnaDesde p 3 2

-- False

-- ---------------------------------------------------------------------

anuladaColumnaDesde :: (Num a, Eq a) => Matrix a -> Int -> Int -> Bool

anuladaColumnaDesde p j i =

buscaIndiceDesde p j (i+1) == Nothing

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 28. Definir la función

-- anulaEltoColumnaDesde :: (Fractional a, Eq a) =>

-- Matrix a -> Int -> Int -> Matrix a

-- tal que (anulaEltoColumnaDesde p j i) es la matriz obtenida a partir

-- de p anulando el primer elemento de la columna j por debajo de la

-- fila i usando el elemento de la posición (i,j). Por ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[2,3,1],[5,0,5],[8,6,9]] :: Matrix Double

-- ghci> matrizLista (anulaEltoColumnaDesde p 2 1)

-- [[2.0,3.0,1.0],[5.0,0.0,5.0],[4.0,0.0,7.0]]

-- ---------------------------------------------------------------------

anulaEltoColumnaDesde :: (Fractional a, Eq a) =>

Matrix a -> Int -> Int -> Matrix a

anulaEltoColumnaDesde p j i =

sumaFilaPor l i (-(p!(l,j)/a)) p

where Just l = buscaIndiceDesde p j (i+1)

a = p!(i,j)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 29. Definir la función

-- anulaColumnaDesde :: (Fractional a, Eq a) =>

-- Matrix a -> Int -> Int -> Matrix a

-- tal que (anulaColumnaDesde p j i) es la matriz obtenida anulando

-- todos los elementos de la columna j de la matriz p por debajo del la

-- posición (i,j) (se supone que el elemnto p_(i,j) es no nulo). Por

-- ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[2,2,1],[5,4,5],[10,8,9]] :: Matrix Double

-- ghci> matrizLista (anulaColumnaDesde p 2 1)

-- [[2.0,2.0,1.0],[1.0,0.0,3.0],[2.0,0.0,5.0]]

-- ghci> let p = listaMatriz [[4,5],[2,7%2],[6,10]]

-- ghci> matrizLista (anulaColumnaDesde p 1 1)

-- [[4 % 1,5 % 1],[0 % 1,1 % 1],[0 % 1,5 % 2]]

-- ---------------------------------------------------------------------

anulaColumnaDesde :: (Fractional a, Eq a) =>

Matrix a -> Int -> Int -> Matrix a

anulaColumnaDesde p j i

| anuladaColumnaDesde p j i = p

| otherwise = anulaColumnaDesde (anulaEltoColumnaDesde p j i) j i

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Algoritmo de Gauss para triangularizar matrices --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 30. Definir la función

-- elementosNoNulosColDesde :: (Num a, Eq a) =>

-- Matrix a -> Int -> Int -> [a]

-- tal que (elementosNoNulosColDesde p j i) es la lista de los elementos

-- no nulos de la columna j a partir de la fila i. Por ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[3,2],[5,1],[0,4]]

-- ghci> elementosNoNulosColDesde p 1 2

-- [5]

-- ---------------------------------------------------------------------

elementosNoNulosColDesde :: (Num a, Eq a) => Matrix a -> Int -> Int -> [a]

elementosNoNulosColDesde p j i =

[y | k <- [i..nrows p], let y = p!(k,j), y /= 0]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 31. Definir la función

-- existeColNoNulaDesde :: (Num a, Eq a) =>

-- Matrix a -> Int -> Int -> Bool

-- tal que (existeColNoNulaDesde p j i) se verifica si la matriz p tiene

-- una columna a partir de la j tal que tiene algún elemento no nulo por

-- debajo de la j; es decir, si la submatriz de p obtenida eliminando

-- las i-1 primeras filas y las j-1 primeras columnas es no nula. Por

-- ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[3,2,5],[5,0,0],[6,0,0]]

-- ghci> existeColNoNulaDesde p 2 2

-- False

-- ghci> let q = listaMatriz [[3,2,5],[5,7,0],[6,0,0]]

-- ghci> existeColNoNulaDesde q 2 2

-- True

-- ---------------------------------------------------------------------

existeColNoNulaDesde :: (Num a, Eq a) => Matrix a -> Int -> Int -> Bool

existeColNoNulaDesde p j i =

or [not (null (elementosNoNulosColDesde p l i)) | l <- [j..n]]

where n = numColumnas p

-- 2ª solución

existeColNoNulaDesde2 :: (Num a, Eq a) => Matrix a -> Int -> Int -> Bool

existeColNoNulaDesde2 p j i =

submatrix i m j n p /= zero (m-i+1) (n-j+1)

where (m,n) = dimension p

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 32. Definir la función

-- menorIndiceColNoNulaDesde :: (Num a, Eq a) =>

-- Matrix a -> Int -> Int -> Maybe Int

-- tal que (menorIndiceColNoNulaDesde p j i) es el índice de la primera

-- columna, a partir de la j, en el que la matriz p tiene un elemento no

-- nulo a partir de la fila i. Por ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[3,2,5],[5,7,0],[6,0,0]]

-- ghci> menorIndiceColNoNulaDesde p 2 2

-- Just 2

-- ghci> let q = listaMatriz [[3,2,5],[5,0,0],[6,0,2]]

-- ghci> menorIndiceColNoNulaDesde q 2 2

-- Just 3

-- ghci> let r = listaMatriz [[3,2,5],[5,0,0],[6,0,0]]

-- ghci> menorIndiceColNoNulaDesde r 2 2

-- Nothing

-- ---------------------------------------------------------------------

-- 1ª definición

menorIndiceColNoNulaDesde :: (Num a, Eq a) =>

Matrix a -> Int -> Int -> Maybe Int

menorIndiceColNoNulaDesde p j i

| null js = Nothing

| otherwise = Just (head js)

where n = numColumnas p

js = [j' | j' <- [j..n],

not (null (elementosNoNulosColDesde p j' i))]

-- 2ª definición (con listToMaybe http://bit.ly/212iSgl)

menorIndiceColNoNulaDesde2 :: (Num a, Eq a) =>

Matrix a -> Int -> Int -> Maybe Int

menorIndiceColNoNulaDesde2 p j i =

listToMaybe [j' | j' <- [j..n],

not (null (elementosNoNulosColDesde p j' i))]

where n = numColumnas p

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 33. Definir la función

-- gaussAux :: (Fractional a, Eq a) =>

-- Matrix a -> Int -> Int -> Matrix a

-- tal que (gaussAux p i j) es la matriz que en el que las i-1 primeras

-- filas y las j-1 primeras columnas son las de p y las restantes están

-- triangularizadas por el método de Gauss; es decir,

-- 1. Si la dimensión de p es (i,j), entonces p.

-- 2. Si la submatriz de p sin las i-1 primeras filas y las j-1

-- primeras columnas es nulas, entonces p.

-- 3. En caso contrario, (gaussAux p' (i+1) (j+1)) siendo

-- 3.1. j' la primera columna a partir de la j donde p tiene

-- algún elemento no nulo a partir de la fila i,

-- 3.2. p1 la matriz obtenida intercambiando las columnas j y j'

-- de p,

-- 3.3. i' la primera fila a partir de la i donde la columna j de

-- p1 tiene un elemento no nulo,

-- 3.4. p2 la matriz obtenida intercambiando las filas i e i' de

-- la matriz p1 y

-- 3.5. p' la matriz obtenida anulando todos los elementos de la

-- columna j de p2 por debajo de la fila i.

-- Por ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[1.0,2,3],[1,2,4],[3,2,5]]

-- ghci> gaussAux p 2 2

-- ( 1.0 2.0 3.0 )

-- ( 1.0 2.0 4.0 )

-- ( 2.0 0.0 1.0 )

-- ---------------------------------------------------------------------

gaussAux :: (Fractional a, Eq a) => Matrix a -> Int -> Int -> Matrix a

gaussAux p i j

| dimension p == (i,j) = p -- 1

| not (existeColNoNulaDesde p j i) = p -- 2

| otherwise = gaussAux p' (i+1) (j+1) -- 3

where Just j' = menorIndiceColNoNulaDesde p j i -- 3.1

p1 = intercambiaColumnas j j' p -- 3.2

Just i' = buscaIndiceDesde p1 j i -- 3.3

p2 = intercambiaFilas i i' p1 -- 3.4

p' = anulaColumnaDesde p2 j i -- 3.5

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 34. Definir la función

-- gauss :: (Fractional a, Eq a) => Matrix a -> Matrix a

-- tal que (gauss p) es la triangularización de la matriz p por el método

-- de Gauss. Por ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[1.0,2,3],[1,2,4],[1,2,5]]

-- ghci> gauss p

-- ( 1.0 3.0 2.0 )

-- ( 0.0 1.0 0.0 )

-- ( 0.0 0.0 0.0 )

-- ghci> let p = listaMatriz [[3%1,2,3],[1,2,4],[1,2,5]]

-- ghci> gauss p

-- ( 3 % 1 2 % 1 3 % 1 )

-- ( 0 % 1 4 % 3 3 % 1 )

-- ( 0 % 1 0 % 1 1 % 1 )

-- ghci> let p = listaMatriz [[1.0,0,3],[1,0,4],[3,0,5]]

-- ghci> gauss p

-- ( 1.0 3.0 0.0 )

-- ( 0.0 1.0 0.0 )

-- ( 0.0 0.0 0.0 )

-- ---------------------------------------------------------------------

gauss :: (Fractional a, Eq a) => Matrix a -> Matrix a

gauss p = gaussAux p 1 1

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Determinante --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 35. Definir la función

-- gaussCAux :: (Fractional a, Eq a) =>

-- Matriz a -> Int -> Int -> Int -> Matriz a

-- tal que (gaussCAux p i j c) es el par (n,q) donde q es la matriz que

-- en el que las i-1 primeras filas y las j-1 primeras columnas son las

-- de p y las restantes están triangularizadas por el método de Gauss;

-- es decir,

-- 1. Si la dimensión de p es (i,j), entonces p.

-- 2. Si la submatriz de p sin las i-1 primeras filas y las j-1

-- primeras columnas es nulas, entonces p.

-- 3. En caso contrario, (gaussAux p' (i+1) (j+1)) siendo

-- 3.1. j' la primera columna a partir de la j donde p tiene

-- algún elemento no nulo a partir de la fila i,

-- 3.2. p1 la matriz obtenida intercambiando las columnas j y j'

-- de p,

-- 3.3. i' la primera fila a partir de la i donde la columna j de

-- p1 tiene un elemento no nulo,

-- 3.4. p2 la matriz obtenida intercambiando las filas i e i' de

-- la matriz p1 y

-- 3.5. p' la matriz obtenida anulando todos los elementos de la

-- columna j de p2 por debajo de la fila i.

-- y n es c más el número de intercambios de columnas y filas que se han

-- producido durante el cálculo. Por ejemplo,

-- ghci> gaussCAux (fromLists [[1.0,2,3],[1,2,4],[1,2,5]]) 1 1 0

-- (1,( 1.0 3.0 2.0 )

-- ( 0.0 1.0 0.0 )

-- ( 0.0 0.0 0.0 ))

-- ---------------------------------------------------------------------

gaussCAux :: (Fractional a, Eq a) =>

Matrix a -> Int -> Int -> Int -> (Int,Matrix a)

gaussCAux p i j c

| dimension p == (i,j) = (c,p) -- 1

| not (existeColNoNulaDesde p j i) = (c,p) -- 2

| otherwise = gaussCAux p' (i+1) (j+1) c' -- 3

where Just j' = menorIndiceColNoNulaDesde p j i -- 3.1

p1 = switchCols j j' p -- 3.2

Just i' = buscaIndiceDesde p1 j i -- 3.3

p2 = switchRows i i' p1 -- 3.4

p' = anulaColumnaDesde p2 j i -- 3.5

c' = c + signum (abs (j-j')) + signum (abs (i-i'))

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 36. Definir la función

-- gaussC :: (Fractional a, Eq a) => Matriz a -> Matriz a

-- tal que (gaussC p) es el par (n,q), donde q es la triangularización

-- de la matriz p por el método de Gauss y n es el número de

-- intercambios de columnas y filas que se han producido durante el

-- cálculo. Por ejemplo,

-- ghci> gaussC (fromLists [[1.0,2,3],[1,2,4],[1,2,5]])

-- (1, ( 1.0 3.0 2.0 )

-- ( 0.0 1.0 0.0 )

-- ( 0.0 0.0 0.0 )

-- ---------------------------------------------------------------------

gaussC :: (Fractional a, Eq a) => Matrix a -> (Int,Matrix a)

gaussC p = gaussCAux p 1 1 0

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 37. Definir la función

-- determinante :: (Fractional a, Eq a) => Matriz a -> a

-- tal que (determinante p) es el determinante de la matriz p. Por

-- ejemplo,

-- ghci> determinante (fromLists [[1.0,2,3],[1,3,4],[1,2,5]])

-- 2.0

-- ---------------------------------------------------------------------

determinante :: (Fractional a, Eq a) => Matrix a -> a

determinante p = (-1)^c * V.product (getDiag p')

where (c,p') = gaussC p

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