I1M2016: Ejercicios de evaluación perezosa y listas infinitas en Haskell (2)
En clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos comentando las soluciones de ejercicios de evaluación perezosa y listas infinitas de la 11ª relación.
Los ejercicios, y sus soluciones, se muestran a continuación.
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-- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Definir, por recursión, la función -- itera :: (a -> a) -> a -> [a] -- tal que (itera f x) es la lista cuyo primer elemento es x y los -- siguientes elementos se calculan aplicando la función f al elemento -- anterior. Por ejemplo, -- ghci> itera (+1) 3 -- [3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,{Interrupted!} -- ghci> itera (*2) 1 -- [1,2,4,8,16,32,64,{Interrupted!} -- ghci> itera (`div` 10) 1972 -- [1972,197,19,1,0,0,0,0,0,0,{Interrupted!} -- -- Nota: La función repite es equivalente a la función iterate definida -- en el preludio de Haskell. -- --------------------------------------------------------------------- itera :: (a -> a) -> a -> [a] itera f x = x : itera f (f x) -- ---------------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.1. Definir, por recursión, la función -- agrupaR :: Int -> [a] -> [[a]] -- tal que (agrupaR n xs) es la lista formada por listas de n elementos -- consecutivos de la lista xs (salvo posiblemente la última que puede -- tener menos de n elementos). Por ejemplo, -- ghci> agrupaR 2 [3,1,5,8,2,7] -- [[3,1],[5,8],[2,7]] -- ghci> agrupaR 2 [3,1,5,8,2,7,9] -- [[3,1],[5,8],[2,7],[9]] -- ghci> agrupaR 5 "todo necio confunde valor y precio" -- ["todo ","necio"," conf","unde ","valor"," y pr","ecio"] -- ---------------------------------------------------------------------------- agrupaR :: Int -> [a] -> [[a]] agrupaR n [] = [] agrupaR n xs = take n xs : agrupaR n (drop n xs) -- ---------------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.2. Definir, de manera no recursiva con iterate, la función -- agrupa :: Int -> [a] -> [[a]] -- tal que (agrupa n xs) es la lista formada por listas de n elementos -- consecutivos de la lista xs (salvo posiblemente la última que puede -- tener menos de n elementos). Por ejemplo, -- ghci> agrupa 2 [3,1,5,8,2,7] -- [[3,1],[5,8],[2,7]] -- ghci> agrupa 2 [3,1,5,8,2,7,9] -- [[3,1],[5,8],[2,7],[9]] -- ghci> agrupa 5 "todo necio confunde valor y precio" -- ["todo ","necio"," conf","unde ","valor"," y pr","ecio"] -- ---------------------------------------------------------------------------- agrupa :: Int -> [a] -> [[a]] agrupa n = takeWhile (not . null) . map (take n) . iterate (drop n) -- Puede verse su funcionamiento en el siguiente ejemplo, -- iterate (drop 2) [5..10] -- ==> [[5,6,7,8,9,10],[7,8,9,10],[9,10],[],[],... -- map (take 2) (iterate (drop 2) [5..10]) -- ==> [[5,6],[7,8],[9,10],[],[],[],[],... -- takeWhile (not . null) (map (take 2) (iterate (drop 2) [5..10])) -- ==> [[5,6],[7,8],[9,10]] -- ---------------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.3. Comprobar con QuickCheck que todos los grupos de -- (agrupa n xs) tienen longitud n (salvo el último que puede tener una -- longitud menor). -- ---------------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_AgrupaLongitud :: Int -> [Int] -> Property prop_AgrupaLongitud n xs = n > 0 && not (null gs) ==> and [length g == n | g <- init gs] && 0 < length (last gs) && length (last gs) <= n where gs = agrupa n xs -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_AgrupaLongitud -- OK, passed 100 tests. -- ---------------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.4. Comprobar con QuickCheck que combinando todos los -- grupos de ((agrupa n xs)) se obtiene la lista xs. -- ---------------------------------------------------------------------------- -- La segunda propiedad es prop_AgrupaCombina :: Int -> [Int] -> Property prop_AgrupaCombina n xs = n > 0 ==> concat (agrupa n xs) == xs -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_AgrupaCombina -- OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6.1. Sea la siguiente operación, aplicable a cualquier -- número entero positivo: -- * Si el número es par, se divide entre 2. -- * Si el número es impar, se multiplica por 3 y se suma 1. -- Dado un número cualquiera, podemos considerar su órbita, es decir, -- las imágenes sucesivas al iterar la función. Por ejemplo, la órbita -- de 13 es -- 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1,... -- Si observamos este ejemplo, la órbita de 13 es periódica, es decir, -- se repite indefinidamente a partir de un momento dado). La conjetura -- de Collatz dice que siempre alcanzaremos el 1 para cualquier número -- con el que comencemos. Ejemplos: -- * Empezando en n = 6 se obtiene 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. -- * Empezando en n = 11 se obtiene: 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, -- 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. -- * Empezando en n = 27, la sucesión tiene 112 pasos, llegando hasta -- 9232 antes de descender a 1: 27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, -- 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, -- 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, -- 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, -- 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, -- 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, -- 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, -- 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, -- 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, -- 16, 8, 4, 2, 1. -- -- Definir la función -- siguiente :: Integer -> Integer -- tal que (siguiente n) es el siguiente de n en la sucesión de -- Collatz. Por ejemplo, -- siguiente 13 == 40 -- siguiente 40 == 20 -- --------------------------------------------------------------------- siguiente n | even n = n `div` 2 | otherwise = 3*n+1 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6.2. Definir, por recursión, la función -- collatzR :: Integer -> [Integer] -- tal que (collatzR n) es la órbita de CollatzR de n hasta alcanzar el -- 1. Por ejemplo, -- collatzR 13 == [13,40,20,10,5,16,8,4,2,1] -- --------------------------------------------------------------------- collatzR :: Integer -> [Integer] collatzR 1 = [1] collatzR n = n : collatzR (siguiente n) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6.3. Definir, sin recursión y con iterate, la función -- collatz :: Integer -> [Integer] -- tal que (collatz n) es la órbita de Collatz d n hasta alcanzar el -- 1. Por ejemplo, -- collatz 13 == [13,40,20,10,5,16,8,4,2,1] -- Indicación: Usar takeWhile e iterate. -- --------------------------------------------------------------------- collatz :: Integer -> [Integer] collatz n = takeWhile (/=1) (iterate siguiente n) ++ [1] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6.4. Definir la función -- menorCollatzMayor :: Int -> Integer -- tal que (menorCollatzMayor x) es el menor número cuya órbita de -- Collatz tiene más de x elementos. Por ejemplo, -- menorCollatzMayor 100 == 27 -- --------------------------------------------------------------------- menorCollatzMayor :: Int -> Integer menorCollatzMayor x = head [y | y <- [1..], length (collatz y) > x] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6.5. Definir la función -- menorCollatzSupera :: Integer -> Integer -- tal que (menorCollatzSupera x) es el menor número cuya órbita de -- Collatz tiene algún elemento mayor que x. Por ejemplo, -- menorCollatzSupera 100 == 15 -- --------------------------------------------------------------------- menorCollatzSupera :: Integer -> Integer menorCollatzSupera x = head [y | y <- [1..], maximum (collatz y) > x] -- Otra definición alternativa es menorCollatzSupera2 :: Integer -> Integer menorCollatzSupera2 x = head [n | n <- [1..], t <- collatz n, t > x] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7. Definir, usando takeWhile y map, la función -- potenciasMenores :: Int -> Int -> [Int] -- tal que (potenciasMenores x y) es la lista de las potencias de x -- menores que y. Por ejemplo, -- potenciasMenores 2 1000 == [2,4,8,16,32,64,128,256,512] -- --------------------------------------------------------------------- potenciasMenores :: Int -> Int -> [Int] potenciasMenores x y = takeWhile (<y) (map (x^) [1..]) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8.1. Definir, usando la criba de Eratóstenes, la constante -- primos :: Integral a => [a] -- cuyo valor es la lista de los números primos. Por ejemplo, -- take 10 primos == [2,3,5,7,11,13,17,19,23,29] -- --------------------------------------------------------------------- primos :: Integral a => [a] primos = criba [2..] where criba [] = [] criba (n:ns) = n : criba (elimina n ns) elimina n xs = [x | x <- xs, x `mod` n /= 0] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8.2. Definir la función -- primo :: Integral a => a -> Bool -- tal que (primo n) se verifica si n es primo. Por ejemplo, -- primo 7 == True -- primo 9 == False -- --------------------------------------------------------------------- primo :: Int -> Bool primo n = head (dropWhile (<n) primos) == n -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8.3. Definir la función -- sumaDeDosPrimos :: Int -> [(Int,Int)] -- tal que (sumaDeDosPrimos n) es la lista de las distintas -- descomposiciones de n como suma de dos números primos. Por ejemplo, -- sumaDeDosPrimos 30 == [(7,23),(11,19),(13,17)] -- sumaDeDosPrimos 10 == [(3,7),(5,5)] -- Calcular, usando la función sumaDeDosPrimos, el menor número que -- puede escribirse de 10 formas distintas como suma de dos primos. -- --------------------------------------------------------------------- sumaDeDosPrimos :: Int -> [(Int,Int)] sumaDeDosPrimos n = [(x,n-x) | x <- primosN, (n - x) `elem` primosN] where primosN = takeWhile (<= (n `div` 2)) primos -- El cálculo es -- ghci> head [x | x <- [1..], length (sumaDeDosPrimos x) == 10] -- 114 -- --------------------------------------------------------------------- -- § La lista infinita de factoriales, -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9.1. Definir, por comprensión, la función -- factoriales1 :: [Integer] -- tal que factoriales1 es la lista de los factoriales. Por ejemplo, -- take 10 factoriales1 == [1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880] -- --------------------------------------------------------------------- factoriales1 :: [Integer] factoriales1 = [factorial n | n <- [0..]] -- (factorial n) es el factorial de n. Por ejemplo, -- factorial 4 == 24 factorial :: Integer -> Integer factorial n = product [1..n] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9.2. Definir, usando zipWith, la función -- factoriales2 :: [Integer] -- tal que factoriales2 es la lista de los factoriales. Por ejemplo, -- take 10 factoriales2 == [1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880] -- --------------------------------------------------------------------- factoriales2 :: [Integer] factoriales2 = 1 : zipWith (*) [1..] factoriales2 -- El cálculo es -- take 4 factoriales2 -- = take 4 (1 : zipWith (*) [1..] factoriales2) -- = 1 : take 3 (zipWith (*) [1..] factoriales2) -- = 1 : take 3 (zipWith (*) [1..] [1|R1]) {R1 es tail factoriales2} -- = 1 : take 3 (1 : zipWith (*) [2..] [R1]) -- = 1 : 1 : take 2 (zipWith (*) [2..] [1|R2]) {R2 es drop 2 factoriales2} -- = 1 : 1 : take 2 (2 : zipWith (*) [3..] [R2]) -- = 1 : 1 : 2 : take 1 (zipWith (*) [3..] [2|R3]) {R3 es drop 3 factoriales2} -- = 1 : 1 : 2 : take 1 (6 : zipWith (*) [4..] [R3]) -- = 1 : 1 : 2 : 6 : take 0 (zipWith (*) [4..] [R3]) -- = 1 : 1 : 2 : 6 : [] -- = [1, 1, 2, 6] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9.3. Comparar el tiempo y espacio necesarios para calcular -- las siguientes expresiones -- let xs = take 3000 factoriales1 in (sum xs - sum xs) -- let xs = take 3000 factoriales2 in (sum xs - sum xs) -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- ghci> let xs = take 3000 factoriales1 in (sum xs - sum xs) -- 0 -- (17.51 secs, 5631214332 bytes) -- ghci> let xs = take 3000 factoriales2 in (sum xs - sum xs) -- 0 -- (0.04 secs, 17382284 bytes) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9.4. Definir, por recursión, la función -- factoriales3 :: [Integer] -- tal que factoriales3 es la lista de los factoriales. Por ejemplo, -- take 10 factoriales3 == [1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880] -- --------------------------------------------------------------------- factoriales3 :: [Integer] factoriales3 = 1 : aux 1 [1..] where aux x (y:ys) = z : aux z ys where z = x*y -- El cálculo es -- take 4 factoriales3 -- = take 4 (1 : aux 1 [1..]) -- = 1 : take 3 (aux 1 [1..]) -- = 1 : take 3 (1 : aux 1 [2..]) -- = 1 : 1 : take 2 (aux 1 [2..]) -- = 1 : 1 : take 2 (2 : aux 2 [3..]) -- = 1 : 1 : 2 : take 1 (aux 2 [3..]) -- = 1 : 1 : 2 : take 1 (6 : aux 6 [4..]) -- = 1 : 1 : 2 : 6 : take 0 (aux 6 [4..]) -- = 1 : 1 : 2 : 6 : [] -- = [1,1,2,6] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9.5. Comparar el tiempo y espacio necesarios para calcular -- las siguientes expresiones -- let xs = take 3000 factoriales2 in (sum xs - sum xs) -- let xs = take 3000 factoriales3 in (sum xs - sum xs) -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- ghci> let xs = take 3000 factoriales2 in (sum xs - sum xs) -- 0 -- (0.04 secs, 17382284 bytes) -- ghci> let xs = take 3000 factoriales3 in (sum xs - sum xs) -- 0 -- (0.04 secs, 18110224 bytes) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9.6. Definir, usando scanl1, la función -- factoriales4 :: [Integer] -- tal que factoriales4 es la lista de los factoriales. Por ejemplo, -- take 10 factoriales4 == [1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880] -- --------------------------------------------------------------------- factoriales4 :: [Integer] factoriales4 = 1 : scanl1 (*) [1..] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9.7. Comparar el tiempo y espacio necesarios para calcular -- las siguientes expresiones -- let xs = take 3000 factoriales3 in (sum xs - sum xs) -- let xs = take 3000 factoriales4 in (sum xs - sum xs) -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- ghci> let xs = take 3000 factoriales3 in (sum xs - sum xs) -- 0 -- (0.04 secs, 18110224 bytes) -- ghci> let xs = take 3000 factoriales4 in (sum xs - sum xs) -- 0 -- (0.03 secs, 11965328 bytes) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9.8. Definir, usando iterate, la función -- factoriales5 :: [Integer] -- tal que factoriales5 es la lista de los factoriales. Por ejemplo, -- take 10 factoriales5 == [1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880] -- --------------------------------------------------------------------- factoriales5 :: [Integer] factoriales5 = map snd aux where aux = iterate f (1,1) where f (x,y) = (x+1,x*y) -- El cálculo es -- take 4 factoriales5 -- = take 4 (map snd aux) -- = take 4 (map snd (iterate f (1,1))) -- = take 4 (map snd [(1,1),(2,1),(3,2),(4,6),...]) -- = take 4 [1,1,2,6,...] -- = [1,1,2,6] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9.9. Comparar el tiempo y espacio necesarios para calcular -- las siguientes expresiones -- let xs = take 3000 factoriales4 in (sum xs - sum xs) -- let xs = take 3000 factoriales5 in (sum xs - sum xs) -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- ghci> let xs = take 3000 factoriales4 in (sum xs - sum xs) -- 0 -- (0.04 secs, 18110224 bytes) -- ghci> let xs = take 3000 factoriales5 in (sum xs - sum xs) -- 0 -- (0.03 secs, 11965760 bytes) -- --------------------------------------------------------------------- -- § La sucesión de Fibonacci -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10.1. La sucesión de Fibonacci está definida por -- f(0) = 0 -- f(1) = 1 -- f(n) = f(n-1)+f(n-2), si n > 1. -- -- Definir la función -- fib :: Integer -> Integer -- tal que (fib n) es el n-ésimo término de la sucesión de Fibonacci. -- Por ejemplo, -- fib 8 == 21 -- --------------------------------------------------------------------- fib :: Integer -> Integer fib 0 = 0 fib 1 = 1 fib n = fib (n-1) + fib (n-2) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10.2. Definir, por comprensión, la función -- fibs1 :: [Integer] -- tal que fibs1 es la sucesión de Fibonacci. Por ejemplo, -- take 10 fibs1 == [0,1,1,2,3,5,8,13,21,34] -- --------------------------------------------------------------------- fibs1 :: [Integer] fibs1 = [fib n | n <- [0..]] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10.3. Definir, por recursión, la función -- fibs2 :: [Integer] -- tal que fibs2 es la sucesión de Fibonacci. Por ejemplo, -- take 10 fibs2 == [0,1,1,2,3,5,8,13,21,34] -- --------------------------------------------------------------------- fibs2 :: [Integer] fibs2 = aux 0 1 where aux x y = x : aux y (x+y) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10.4. Comparar el tiempo y espacio necesarios para calcular -- las siguientes expresiones -- let xs = take 30 fibs1 in (sum xs - sum xs) -- let xs = take 30 fibs2 in (sum xs - sum xs) -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- ghci> let xs = take 30 fibs1 in (sum xs - sum xs) -- 0 -- (6.02 secs, 421589672 bytes) -- ghci> let xs = take 30 fibs2 in (sum xs - sum xs) -- 0 -- (0.01 secs, 515856 bytes) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10.5. Definir, por recursión con zipWith, la función -- fibs3 :: [Integer] -- tal que fibs3 es la sucesión de Fibonacci. Por ejemplo, -- take 10 fibs3 == [0,1,1,2,3,5,8,13,21,34] -- --------------------------------------------------------------------- fibs3 :: [Integer] fibs3 = 0 : 1: zipWith (+) fibs3 (tail fibs3) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10.6. Comparar el tiempo y espacio necesarios para calcular -- las siguientes expresiones -- let xs = take 40000 fibs2 in (sum xs - sum xs) -- let xs = take 40000 fibs3 in (sum xs - sum xs) -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- ghci> let xs = take 40000 fibs2 in (sum xs - sum xs) -- 0 -- (0.90 secs, 221634544 bytes) -- ghci> let xs = take 40000 fibs3 in (sum xs - sum xs) -- 0 -- (1.14 secs, 219448176 bytes) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10.7. Definir, por recursión con acumuladores, la función -- fibs4 :: [Integer] -- tal que fibs4 es la sucesión de Fibonacci. Por ejemplo, -- take 10 fibs4 == [0,1,1,2,3,5,8,13,21,34] -- --------------------------------------------------------------------- fibs4 :: [Integer] fibs4 = fs where (xs,ys,fs) = (zipWith (+) ys fs, 1:xs, 0:ys) -- El cálculo de fibs4 es -- +------------------------+-----------------+-------------------+ -- | xs = zipWith (+) ys fs | ys = 1:xs | fs = 0:ys | -- +------------------------+-----------------+-------------------+ -- | | 1:... | 0:... | -- | | ^ | ^ | -- | 1:... | 1:1:... | 0:1:1:... | -- | | ^ | ^ | -- | 1:2:... | 1:1:2:... | 0:1:1:2:... | -- | | ^ | ^ | -- | 1:2:3:... | 1:1:2:3:... | 0:1:1:2:3:... | -- | | ^ | ^ | -- | 1:2:3:5:... | 1:1:2:3:5:... | 0:1:1:2:3:5:... | -- | | ^ | ^ | -- | 1:2:3:5:8:... | 1:1:2:3:5:8:... | 0:1:1:2:3:5:8:... | -- +------------------------+-----------------+-------------------+ -- En la tercera columna se va construyendo la sucesión. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10.8. Comparar el tiempo y espacio necesarios para calcular -- las siguientes expresiones -- let xs = take 40000 fibs3 in (sum xs - sum xs) -- let xs = take 40000 fibs4 in (sum xs - sum xs) -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- ghci> let xs = take 40000 fibs2 in (sum xs - sum xs) -- 0 -- (0.90 secs, 221634544 bytes) -- ghci> let xs = take 40000 fibs4 in (sum xs - sum xs) -- 0 -- (0.84 secs, 219587064 bytes) |