I1M2016: Ejercicios de definiciones por recursión (2)
En la segunda parte de la clase de hoy del curso de Informática de 1º del Grado en Matemáticas se han comentado las soluciones de los ejercicios de la 5ª relación sobre definiciones por recursión.
Los ejercicios y su solución se muestran a continuación
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-- --------------------------------------------------------------------- -- Introducción -- -- --------------------------------------------------------------------- -- En esta relación se presentan ejercicios con definiciones por -- recursión correspondientes al tema 6 cuyas transparencias se -- encuentran en -- http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m-16/temas/tema-6.html -- --------------------------------------------------------------------- -- Importación de librerías auxiliares -- -- --------------------------------------------------------------------- import Test.QuickCheck import Data.Char -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.1. Definir, por recursión, la función -- sumaCuadradosR :: Integer -> Integer -- tal que (sumaCuadradosR n) es la suma de los cuadrados de los números -- de 1 a n. Por ejemplo, -- sumaCuadradosR 4 == 30 -- --------------------------------------------------------------------- sumaCuadradosR :: Integer -> Integer sumaCuadradosR 0 = 0 sumaCuadradosR n = n^2 + sumaCuadradosR (n-1) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.2. Comprobar con QuickCheck si sumaCuadradosR n es igual a -- n(n+1)(2n+1)/6. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_SumaCuadrados :: Integer -> Property prop_SumaCuadrados n = n >= 0 ==> sumaCuadradosR n == n * (n+1) * (2*n+1) `div` 6 -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_SumaCuadrados -- OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.3. Definir, por comprensión, la función -- sumaCuadradosC :: Integer --> Integer -- tal que (sumaCuadradosC n) es la suma de los cuadrados de los números -- de 1 a n. Por ejemplo, -- sumaCuadradosC 4 == 30 -- --------------------------------------------------------------------- sumaCuadradosC :: Integer -> Integer sumaCuadradosC n = sum [x^2 | x <- [1..n]] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.4. Comprobar con QuickCheck que las funciones -- sumaCuadradosR y sumaCuadradosC son equivalentes sobre los números -- naturales. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_sumaCuadradosR :: Integer -> Property prop_sumaCuadradosR n = n >= 0 ==> sumaCuadradosR n == sumaCuadradosC n -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_sumaCuadrados -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.1. Definir, por recursión, la función -- digitosR :: Integer -> [Integer] -- tal que (digitosR n) es la lista de los dígitos del número n. Por -- ejemplo, -- digitosR 320274 == [3,2,0,2,7,4] -- --------------------------------------------------------------------- digitosR :: Integer -> [Integer] digitosR n = reverse (digitosR' n) digitosR' n | n < 10 = [n] | otherwise = (n `rem` 10) : digitosR' (n `div` 10) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.2. Definir, por comprensión, la función -- digitosC :: Integer -> [Integer] -- tal que (digitosC n) es la lista de los dígitos del número n. Por -- ejemplo, -- digitosC 320274 == [3,2,0,2,7,4] -- Indicación: Usar las funciones show y read. -- --------------------------------------------------------------------- digitosC :: Integer -> [Integer] digitosC n = [read [x] | x <- show n] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.3. Comprobar con QuickCheck que las funciones digitosR y -- digitosC son equivalentes. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_digitos :: Integer -> Property prop_digitos n = n >= 0 ==> digitosR n == digitosC n -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_digitos -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.1. Definir, por recursión, la función -- sumaDigitosR :: Integer -> Integer -- tal que (sumaDigitosR n) es la suma de los dígitos de n. Por ejemplo, -- sumaDigitosR 3 == 3 -- sumaDigitosR 2454 == 15 -- sumaDigitosR 20045 == 11 -- --------------------------------------------------------------------- sumaDigitosR :: Integer -> Integer sumaDigitosR n | n < 10 = n | otherwise = n `rem` 10 + sumaDigitosR (n `div` 10) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.2. Definir, sin usar recursión, la función -- sumaDigitosNR :: Integer -> Integer -- tal que (sumaDigitosNR n) es la suma de los dígitos de n. Por ejemplo, -- sumaDigitosNR 3 == 3 -- sumaDigitosNR 2454 == 15 -- sumaDigitosNR 20045 == 11 -- --------------------------------------------------------------------- sumaDigitosNR :: Integer -> Integer sumaDigitosNR n = sum (digitosC n) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.3. Comprobar con QuickCheck que las funciones sumaDigitosR -- y sumaDigitosNR son equivalentes. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_sumaDigitos :: Integer -> Property prop_sumaDigitos n = n >= 0 ==> sumaDigitosR n == sumaDigitosNR n -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_sumaDigitos -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4.1. Definir, por recursión, la función -- listaNumeroR :: [Integer] -> Integer -- tal que (listaNumeroR xs) es el número formado por los dígitos xs. Por -- ejemplo, -- listaNumeroR [5] == 5 -- listaNumeroR [1,3,4,7] == 1347 -- listaNumeroR [0,0,1] == 1 -- --------------------------------------------------------------------- listaNumeroR :: [Integer] -> Integer listaNumeroR xs = listaNumeroR' (reverse xs) listaNumeroR' :: [Integer] -> Integer listaNumeroR' [] = 0 listaNumeroR' (x:xs) = x + 10 * (listaNumeroR' xs) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4.2. Definir, por comprensión, la función -- listaNumeroC :: [Integer] -> Integer -- tal que (listaNumeroC xs) es el número formado por los dígitos xs. Por -- ejemplo, -- listaNumeroC [5] == 5 -- listaNumeroC [1,3,4,7] == 1347 -- listaNumeroC [0,0,1] == 1 -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª definición: listaNumeroC :: [Integer] -> Integer listaNumeroC xs = sum [y*10^n | (y,n) <- zip (reverse xs) [0..]] -- 2ª definición: listaNumeroC2 :: [Integer] -> Integer listaNumeroC2 xs = read [x | x <- show xs, isDigit x] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4.3. Comprobar con QuickCheck que las funciones -- listaNumeroR y listaNumeroC son equivalentes. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_listaNumero :: [Integer] -> Bool prop_listaNumero xs = listaNumeroR xs == listaNumeroC xs -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_listaNumero -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.1. Definir, por recursión, la función -- mayorExponenteR :: Integer -> Integer -> Integer -- tal que (mayorExponenteR a b) es el exponente de la mayor potencia de -- a que divide b. Por ejemplo, -- mayorExponenteR 2 8 == 3 -- mayorExponenteR 2 9 == 0 -- mayorExponenteR 5 100 == 2 -- mayorExponenteR 2 60 == 2 -- --------------------------------------------------------------------- mayorExponenteR :: Integer -> Integer -> Integer mayorExponenteR a b | rem b a /= 0 = 0 | otherwise = 1 + mayorExponenteR a (b `div` a) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.2. Definir, por comprensión, la función -- mayorExponenteC :: Integer -> Integer -> Integer -- tal que (mayorExponenteC a b) es el exponente de la mayor potencia de -- a que divide a b. Por ejemplo, -- mayorExponenteC 2 8 == 3 -- mayorExponenteC 5 100 == 2 -- mayorExponenteC 5 101 == 0 -- --------------------------------------------------------------------- mayorExponenteC :: Integer -> Integer -> Integer mayorExponenteC a b = head [x-1 | x <- [0..], mod b (a^x) /= 0] |