I1M2016: Ejercicios de definiciones por comprensión (1)
En la segunda parte de la clase de hoy del curso de Informática de 1º del Grado en Matemáticas se han comentado las soluciones de los 6 primeros ejercicios de la 3ª relación sobre definiciones por comprensión.
Los ejercicios y su solución se muestran a continuación
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-- I1M 2016-17: Rel_4.hs (5 de Octubre de 2016) -- Definiciones por comprensión -- Departamento de Ciencias de la Computación e I.A. -- Universidad de Sevilla -- ===================================================================== -- --------------------------------------------------------------------- -- Introducción -- -- --------------------------------------------------------------------- -- En esta relación se presentan ejercicios con definiciones por -- comprensión correspondientes al tema 5 que se encuentra -- http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m-16/temas/tema-5.html -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. Definir, por comprensión, la función -- sumaDeCuadrados :: Integer -> Integer -- tal que (sumaDeCuadrados n) es la suma de los cuadrados de los -- primeros n números; es decir, 1^2 + 2^2 + ... + n^2. Por ejemplo, -- sumaDeCuadrados 3 == 14 -- sumaDeCuadrados 100 == 338350 -- --------------------------------------------------------------------- sumaDeCuadrados :: Integer -> Integer sumaDeCuadrados n = sum [x^2 | x <- [1..n]] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. Definir por comprensión la función -- replica :: Int -> a -> [a] -- tal que (replica n x) es la lista formada por n copias del elemento -- x. Por ejemplo, -- replica 4 7 == [7,7,7,7] -- replica 3 True == [True, True, True] -- Nota: La función replica es equivalente a la predefinida replicate. -- --------------------------------------------------------------------- replica :: Int -> a -> [a] replica n x = [x | _ <- [1..n]] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.1. Definir la función -- suma :: Integer -> Integer -- tal (suma n) es la suma de los n primeros números. Por ejemplo, -- suma 3 == 6 -- --------------------------------------------------------------------- suma :: Integer -> Integer suma n = sum [1..n] -- Otra definición más eficiente es suma2 :: Integer -> Integer suma2 n = (1+n)*n `div` 2 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.2. Los triángulos aritméticos se forman como sigue -- 1 -- 2 3 -- 4 5 6 -- 7 8 9 10 -- 11 12 13 14 15 -- 16 17 18 19 20 21 -- Definir la función -- linea :: Integer -> [Integer] -- tal que (linea n) es la línea n-ésima de los triángulos -- aritméticos. Por ejemplo, -- linea 4 == [7,8,9,10] -- linea 5 == [11,12,13,14,15] -- --------------------------------------------------------------------- linea :: Integer -> [Integer] linea n = [suma (n-1)+1..suma n] -- La definición puede mejorarse linea2 :: Integer -> [Integer] linea2 n = [s+1..s+n] where s = suma (n-1) -- Una variante más eficiente es linea3 :: Integer -> [Integer] linea3 n = [s+1..s+n] where s = suma2 (n-1) -- La mejora de la eficiencia se puede observar como sigue: -- ghci> :set +s -- ghci> head (linea 1000000) -- 499999500001 -- (17.94 secs, 309207420 bytes) -- ghci> head (linea3 1000000) -- 499999500001 -- (0.01 secs, 525496 bytes) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.3. Definir la función -- triangulo :: Integer -> [[Integer]] -- tal que (triangulo n) es el triángulo aritmético de altura n. Por -- ejemplo, -- triangulo 3 == [[1],[2,3],[4,5,6]] -- triangulo 4 == [[1],[2,3],[4,5,6],[7,8,9,10]] -- --------------------------------------------------------------------- triangulo :: Integer -> [[Integer]] triangulo n = [linea m | m <- [1..n]] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Un entero positivo es perfecto si es igual a la suma de -- sus factores, excluyendo el propio número. -- -- Definir por comprensión la función -- perfectos :: Int -> [Int] -- tal que (perfectos n) es la lista de todos los números perfectos -- menores que n. Por ejemplo, -- perfectos 500 == [6,28,496] -- Indicación: Usar la función factores del tema 5. -- --------------------------------------------------------------------- -- La función factores del tema es factores :: Int -> [Int] factores n = [x | x <- [1..n], n `mod` x == 0] -- La definición es perfectos :: Int -> [Int] perfectos n = [x | x <- [1..n], sum (init (factores x)) == x] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.1. Un número natural n se denomina abundante si es menor -- que la suma de sus divisores propios. Por ejemplo, 12 y 30 son -- abundantes pero 5 y 28 no lo son. -- -- Definir la función -- numeroAbundante :: Int -> Bool -- tal que (numeroAbundante n) se verifica si n es un número -- abundante. Por ejemplo, -- numeroAbundante 5 == False -- numeroAbundante 12 == True -- numeroAbundante 28 == False -- numeroAbundante 30 == True -- --------------------------------------------------------------------- divisores :: Int -> [Int] divisores n = [m | m <- [1..n-1], n `mod` m == 0] numeroAbundante :: Int -> Bool numeroAbundante n = n < sum (divisores n) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.2. Definir la función -- numerosAbundantesMenores :: Int -> [Int] -- tal que (numerosAbundantesMenores n) es la lista de números -- abundantes menores o iguales que n. Por ejemplo, -- numerosAbundantesMenores 50 == [12,18,20,24,30,36,40,42,48] -- --------------------------------------------------------------------- numerosAbundantesMenores :: Int -> [Int] numerosAbundantesMenores n = [x | x <- [1..n], numeroAbundante x] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.3. Definir la función -- todosPares :: Int -> Bool -- tal que (todosPares n) se verifica si todos los números abundantes -- menores o iguales que n son pares. Por ejemplo, -- todosPares 10 == True -- todosPares 100 == True -- todosPares 1000 == False -- --------------------------------------------------------------------- todosPares :: Int -> Bool todosPares n = and [even x | x <- numerosAbundantesMenores n] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.4. Definir la constante -- primerAbundanteImpar :: Int -- que calcule el primer número natural abundante impar. Determinar el -- valor de dicho número. -- --------------------------------------------------------------------- primerAbundanteImpar :: Int primerAbundanteImpar = head [x | x <- [1,3..], numeroAbundante x] -- Su cálculo es -- ghci> primerAbundanteImpar -- 945 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6 (Problema 1 del proyecto Euler) Definir la función -- euler1 :: Int -> Int -- tal que (euler1 n) es la suma de todos los múltiplos de 3 ó 5 menores -- que n. Por ejemplo, -- euler1 10 == 23 -- -- Calcular la suma de todos los múltiplos de 3 ó 5 menores que 1000. -- --------------------------------------------------------------------- euler1 :: Int -> Int euler1 n = sum [x | x <- [1..n-1], multiplo x 3 || multiplo x 5] where multiplo x y = mod x y == 0 -- Cálculo: -- ghci> euler1 1000 -- 233168 |