I1M2016: 2º examen de programación con Haskell
Hoy se ha realizado el 2º examen del curso de Informática (de 1º de Grado en Matemáticas). Los ejercicios, y sus soluciones, se muestran a continuación.
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-- --------------------------------------------------------------------- -- § Librerías auxiliares -- -- --------------------------------------------------------------------- import Data.List import Data.Numbers.Primes -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. [2 puntos] La persistencia multiplicativa de un número -- es la cantidad de pasos requeridos para reducirlo a una dígito -- multiplicando sus dígitos. Por ejemplo, la persistencia de 39 es 3 -- porque 3*9 = 27, 2*7 = 14 y 1*4 = 4. -- -- Definir la función -- persistencia :: Integer -> Integer -- tale que (persistencia x) es la persistencia de x. Por ejemplo, -- persistencia 39 == 3 -- persistencia 2677889 == 8 -- persistencia 26888999 == 9 -- persistencia 3778888999 == 10 -- persistencia 277777788888899 == 11 -- persistencia 77777733332222222222222222222 == 11 -- --------------------------------------------------------------------- persistencia :: Integer -> Integer persistencia x | x < 10 = 0 | otherwise = 1 + persistencia (productoDigitos x) productoDigitos :: Integer -> Integer productoDigitos x | x < 10 = x | otherwise = r * productoDigitos y where (y,r) = quotRem x 10 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. [2 puntos] Definir la función -- intercala :: [a] -> [a] -> [[a]] -- tal que (intercala xs ys) es la lista obtenida intercalando los -- elementos de ys entre los de xs. Por ejemplo, -- ghci> intercala "79" "15" -- ["719","759"] -- ghci> intercala "79" "154" -- ["719","759","749"] -- ghci> intercala "796" "15" -- ["71916","71956","75916","75956"] -- ghci> intercala "796" "154" -- ["71916","71956","71946", -- "75916","75956","75946", -- "74916","74956","74946"] -- --------------------------------------------------------------------- intercala :: [a] -> [a] -> [[a]] intercala [] _ = [] intercala [x] _ = [[x]] intercala (x:xs) ys = [x:y:zs | y <- ys , zs <- intercala xs ys] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. [2 puntos] Un número primo se dice que es un primo de -- Kamenetsky si al anteponerlo cualquier dígito se obtiene un número -- compuesto. Por ejemplo, el 5 es un primo de Kamenetsky ya que 15, 25, -- 35, 45, 55, 65, 75, 85 y 95 son compuestos. También lo es 149 ya que -- 1149, 2149, 3149, 4149, 5149, 6149, 7149, 8149 y 9149 son compuestos. -- -- Definir la sucesión -- primosKamenetsky :: [Integer] -- tal que sus elementos son los números primos de Kamenetsky. Por -- ejemplo, -- take 5 primosKamenetsky == [2,5,149,401,509] -- --------------------------------------------------------------------- primosKamenetsky :: [Integer] primosKamenetsky = [x | x <- primes , esKamenetsky x] esKamenetsky :: Integer -> Bool esKamenetsky x = all (not . isPrime) [read (d:xs) | d <- "123456789"] where xs = show x -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. [2 puntos] Representamos los árboles binarios con -- elementos en las hojas y en los nodos mediante el tipo de dato -- data Arbol a = H a -- | N a (Arbol a) (Arbol a) -- deriving Show -- Por ejemplo, -- ej1 :: Arbol Int -- ej1 = N 5 (N 2 (H 1) (H 2)) (N 3 (H 4) (H 2)) -- -- Definir la función -- ramasCon :: Eq a => Arbol a -> a -> [[a]] -- tal que (ramasCon a x) es la lista de las ramas del árbol a en las -- que aparece el elemento x. Por ejemplo, -- ramasCon ej1 2 == [[5,2,1],[5,2,2],[5,3,2]] -- --------------------------------------------------------------------- data Arbol a = H a | N a (Arbol a) (Arbol a) deriving Show ej1 :: Arbol Int ej1 = N 5 (N 2 (H 1) (H 2)) (N 3 (H 4) (H 2)) ramasCon :: Eq a => Arbol a -> a -> [[a]] ramasCon a x = [ys | ys <- ramas a, x `elem` ys] ramas :: Arbol a -> [[a]] ramas (H x) = [[x]] ramas (N x i d) = [x:ys | ys <- ramas i ++ ramas d] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. [2 puntos] El valor máximo de la suma de elementos -- consecutivos de la lista [3,-4,4,1] es 5 obtenido sumando los -- elementos del segmento [4,1] y para la lista [-2,1,4,-3,5,-7,6] es 7 -- obtenido sumando los elementos del segmento [1,4,-3,5]. -- -- Definir la función -- sumaMaxima :: [Integer] -> Integer -- tal que (sumaMaxima xs) es el valor máximo de la suma de elementos -- consecutivos de la lista xs. Por ejemplo, -- sumaMaxima1 [3,-4,4,1] == 5 -- sumaMaxima1 [-2,1,4,-3,5,-7,6] == 7 -- sumaMaxima [] == 0 -- sumaMaxima [2,-2,3,-3,4] == 4 -- sumaMaxima [-1,-2,-3] == 0 -- sumaMaxima [2,-1,3,-2,3] == 5 -- sumaMaxima [1,-1,3,-2,4] == 5 -- sumaMaxima [2,-1,3,-2,4] == 6 -- sumaMaxima [1..10^6] == 500000500000 -- ---------------------------------------------------------------------------- -- 1ª definición -- ============= sumaMaxima1 :: [Integer] -> Integer sumaMaxima1 [] = 0 sumaMaxima1 xs = maximum (0 : map sum [sublista xs i j | i <- [0..length xs - 1], j <- [i..length xs - 1]]) sublista :: [Integer] -> Int -> Int -> [Integer] sublista xs i j = [xs!!k | k <- [i..j]] -- 2ª definición -- ============= sumaMaxima2 :: [Integer] -> Integer sumaMaxima2 [] = 0 sumaMaxima2 xs = sumaMaximaAux 0 0 xs where m = maximum xs sumaMaximaAux :: Integer -> Integer -> [Integer] -> Integer sumaMaximaAux m v [] = max m v sumaMaximaAux m v (x:xs) | x >= 0 = sumaMaximaAux m (v+x) xs | v+x > 0 = sumaMaximaAux (max m v) (v+x) xs | otherwise = sumaMaximaAux (max m v) 0 xs -- 3ª definición -- ============= sumaMaxima3 :: [Integer] -> Integer sumaMaxima3 [] = 0 sumaMaxima3 xs = maximum (map sum (segmentos xs)) -- (segmentos xs) es la lista de los segmentos de xs. Por ejemplo -- segmentos "abc" == ["", "a","ab","abc","b","bc","c"] segmentos :: [a] -> [[a]] segmentos xs = [] : concat [tail (inits ys) | ys <- init (tails xs)] -- 4ª definición -- ============= sumaMaxima4 :: [Integer] -> Integer sumaMaxima4 [] = 0 sumaMaxima4 xs = maximum (concat [scanl (+) 0 ys | ys <- tails xs]) -- Comparación de eficiencia -- ========================= -- λ> let n = 10^2 in sumaMaxima1 [-n..n] -- 5050 -- (2.10 secs, 390,399,104 bytes) -- λ> let n = 10^2 in sumaMaxima2 [-n..n] -- 5050 -- (0.02 secs, 0 bytes) -- λ> let n = 10^2 in sumaMaxima3 [-n..n] -- 5050 -- (0.27 secs, 147,705,184 bytes) -- λ> let n = 10^2 in sumaMaxima4 [-n..n] -- 5050 -- (0.04 secs, 11,582,520 bytes) |