I1M2015: Tipos de datos algebraicos: Árboles binarios
En la segunda parte de la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos comentado las soluciones a los ejercicios de la relación 11 sobre aboles binarios definidos como tipo de dato algebraico.
Los ejercicios y su solución se muestran a continuación
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-- --------------------------------------------------------------------- -- Introducción -- -- --------------------------------------------------------------------- -- En esta relación se presenta ejercicios sobre árboles binarios -- definidos como tipos de datos algebraicos. -- -- Los ejercicios corresponden al tema 9 que se encuentran en -- http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m-15/temas/tema-9.html -- --------------------------------------------------------------------- -- § Librerías auxiliares -- -- --------------------------------------------------------------------- import Test.QuickCheck import Control.Monad -- --------------------------------------------------------------------- -- Nota. En los siguientes ejercicios se trabajará con los árboles -- binarios definidos como sigue -- data Arbol a = H -- | N a (Arbol a) (Arbol a) -- deriving (Show, Eq) -- Por ejemplo, el árbol -- 9 -- / \ -- / \ -- 3 7 -- / \ -- 2 4 -- se representa por -- N 9 (N 3 (H 2) (H 4)) (H 7) -- --------------------------------------------------------------------- data Arbol a = H a | N a (Arbol a) (Arbol a) deriving (Show, Eq) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. Definir la función -- nHojas :: Arbol a -> Int -- tal que (nHojas x) es el número de hojas del árbol x. Por ejemplo, -- nHojas (N 9 (N 3 (H 2) (H 4)) (H 7)) == 3 -- --------------------------------------------------------------------- nHojas :: Arbol a -> Int nHojas (H _) = 1 nHojas (N x i d) = nHojas i + nHojas d -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.1. Definir la función -- nNodos :: Arbol a -> Int -- tal que (nNodos x) es el número de nodos del árbol x. Por ejemplo, -- nNodos (N 9 (N 3 (H 2) (H 4)) (H 7)) == 2 -- --------------------------------------------------------------------- nNodos :: Arbol a -> Int nNodos (H _) = 0 nNodos (N x i d) = 1 + nNodos i + nNodos d -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.2. Comprobar con QuickCheck que en todo árbol binario el -- número de sus hojas es igual al número de sus nodos más uno. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_nHojas :: Arbol Int -> Bool prop_nHojas x = nHojas x == nNodos x + 1 -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_nHojas -- OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.1. Definir la función -- profundidad :: Arbol a -> Int -- tal que (profundidad x) es la profundidad del árbol x. Por ejemplo, -- profundidad (N 9 (N 3 (H 2) (H 4)) (H 7)) == 2 -- profundidad (N 9 (N 3 (H 2) (N 1 (H 4) (H 5))) (H 7)) == 3 -- profundidad (N 4 (N 5 (H 4) (H 2)) (N 3 (H 7) (H 4))) == 2 -- --------------------------------------------------------------------- profundidad :: Arbol a -> Int profundidad (H _) = 0 profundidad (N x i d) = 1 + max (profundidad i) (profundidad d) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.2. Comprobar con QuickCheck que para todo árbol biario -- x, se tiene que -- nNodos x <= 2^(profundidad x) - 1 -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_nNodosProfundidad :: Arbol Int -> Bool prop_nNodosProfundidad x = nNodos x <= 2^(profundidad x) - 1 -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_nNodosProfundidad -- OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4.1. Definir la función -- preorden :: Arbol a -> [a] -- tal que (preorden x) es la lista correspondiente al recorrido -- preorden del árbol x; es decir, primero visita la raíz del árbol, a -- continuación recorre el subárbol izquierdo y, finalmente, recorre el -- subárbol derecho. Por ejemplo, -- preorden (N 9 (N 3 (H 2) (H 4)) (H 7)) == [9,3,2,4,7] -- --------------------------------------------------------------------- preorden :: Arbol a -> [a] preorden (H x) = [x] preorden (N x i d) = x : (preorden i ++ preorden d) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4.2. Comprobar con QuickCheck que la longitud de la lista -- obtenida recorriendo un árbol en sentido preorden es igual al número -- de nodos del árbol más el número de hojas. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_length_preorden :: Arbol Int -> Bool prop_length_preorden x = length (preorden x) == nNodos x + nHojas x -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_length_preorden -- OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. Definir la función -- postorden :: Arbol a -> [a] -- tal que (postorden x) es la lista correspondiente al recorrido -- postorden del árbol x; es decir, primero recorre el subárbol -- izquierdo, a continuación el subárbol derecho y, finalmente, la raíz -- del árbol. Por ejemplo, -- postorden (N 9 (N 3 (H 2) (H 4)) (H 7)) == [2,4,3,7,9] -- --------------------------------------------------------------------- postorden :: Arbol a -> [a] postorden (H x) = [x] postorden (N x i d) = postorden i ++ postorden d ++ [x] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6.1. Definir, usando un acumulador, la función -- preordenIt :: Arbol a -> [a] -- tal que (preordenIt x) es la lista correspondiente al recorrido -- preorden del árbol x; es decir, primero visita la raíz del árbol, a -- continuación recorre el subárbol izquierdo y, finalmente, recorre el -- subárbol derecho. Por ejemplo, -- preordenIt (N 9 (N 3 (H 2) (H 4)) (H 7)) == [9,3,2,4,7] -- -- Nota: No usar (++) en la definición -- --------------------------------------------------------------------- preordenIt :: Arbol a -> [a] preordenIt x = preordenItAux x [] where preordenItAux (H x) xs = x:xs preordenItAux (N x i d) xs = x : preordenItAux i (preordenItAux d xs) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6.2. Comprobar con QuickCheck que preordenIt es equivalente -- a preorden. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_preordenIt :: Arbol Int -> Bool prop_preordenIt x = preordenIt x == preorden x -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_preordenIt -- OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7.1. Definir la función -- espejo :: Arbol a -> Arbol a -- tal que (espejo x) es la imagen especular del árbol x. Por ejemplo, -- espejo (N 9 (N 3 (H 2) (H 4)) (H 7)) == N 9 (H 7) (N 3 (H 4) (H 2)) -- --------------------------------------------------------------------- espejo :: Arbol a -> Arbol a espejo (H x) = H x espejo (N x i d) = N x (espejo d) (espejo i) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7.2. Comprobar con QuickCheck que para todo árbol x, -- espejo (espejo x) = x -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_espejo :: Arbol Int -> Bool prop_espejo x = espejo (espejo x) == x -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_espejo -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7.3. Comprobar con QuickCheck que para todo árbol binario -- x, se tiene que -- reverse (preorden (espejo x)) = postorden x -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_reverse_preorden_espejo :: Arbol Int -> Bool prop_reverse_preorden_espejo x = reverse (preorden (espejo x)) == postorden x -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_reverse_preorden_espejo -- OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7.4. Comprobar con QuickCheck que para todo árbol x, -- postorden (espejo x) = reverse (preorden x) -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_recorrido :: Arbol Int -> Bool prop_recorrido x = postorden (espejo x) == reverse (preorden x) -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_recorrido -- OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8.1. La función take está definida por -- take :: Int -> [a] -> [a] -- take 0 = [] -- take (n+1) [] = [] -- take (n+1) (x:xs) = x : take n xs -- -- Definir la función -- takeArbol :: Int -> Arbol a -> Arbol a -- tal que (takeArbol n t) es el subárbol de t de profundidad n. Por -- ejemplo, -- takeArbol 0 (N 9 (N 3 (H 2) (H 4)) (H 7)) == H 9 -- takeArbol 1 (N 9 (N 3 (H 2) (H 4)) (H 7)) == N 9 (H 3) (H 7) -- takeArbol 2 (N 9 (N 3 (H 2) (H 4)) (H 7)) == N 9 (N 3 (H 2) (H 4)) (H 7) -- takeArbol 3 (N 9 (N 3 (H 2) (H 4)) (H 7)) == N 9 (N 3 (H 2) (H 4)) (H 7) -- --------------------------------------------------------------------- takeArbol :: Int -> Arbol a -> Arbol a takeArbol _ (H x) = H x takeArbol 0 (N x i d) = H x takeArbol n (N x i d) = N x (takeArbol (n-1) i) (takeArbol (n-1) d) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8.2. Comprobar con QuickCheck que la profundidad de -- (takeArbol n x) es menor o igual que n, para todo número natural n y -- todo árbol x. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_takeArbol:: Int -> Arbol Int -> Property prop_takeArbol n x = n >= 0 ==> profundidad (takeArbol n x) <= n -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_takeArbol -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9. La función -- repeat :: a -> [a] -- está definida de forma que (repeat x) es la lista formada por -- infinitos elementos x. Por ejemplo, -- repeat 3 == [3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,... -- La definición de repeat es -- repeat x = xs where xs = x:xs -- -- Definir la función -- repeatArbol :: a -> Arbol a -- tal que (repeatArbol x) es es árbol con infinitos nodos x. Por -- ejemplo, -- takeArbol 0 (repeatArbol 3) == H 3 -- takeArbol 1 (repeatArbol 3) == N 3 (H 3) (H 3) -- takeArbol 2 (repeatArbol 3) == N 3 (N 3 (H 3) (H 3)) (N 3 (H 3) (H 3)) -- --------------------------------------------------------------------- repeatArbol :: a -> Arbol a repeatArbol x = N x t t where t = repeatArbol x -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10.1. La función -- replicate :: Int -> a -> [a] -- está definida por -- replicate n = take n . repeat -- es tal que (replicate n x) es la lista de longitud n cuyos elementos -- son x. Por ejemplo, -- replicate 3 5 == [5,5,5] -- -- Definir la función -- replicateArbol :: Int -> a -> Arbol a -- tal que (replicate n x) es el árbol de profundidad n cuyos nodos son -- x. Por ejemplo, -- replicateArbol 0 5 == H 5 -- replicateArbol 1 5 == N 5 (H 5) (H 5) -- replicateArbol 2 5 == N 5 (N 5 (H 5) (H 5)) (N 5 (H 5) (H 5)) -- --------------------------------------------------------------------- replicateArbol :: Int -> a -> Arbol a replicateArbol n = takeArbol n . repeatArbol -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10.2. Comprobar con QuickCheck que el número de hojas de -- (replicateArbol n x) es 2^n, para todo número natural n -- -- Nota. Al hacer la comprobación limitar el tamaño de las pruebas como -- se indica a continuación -- quickCheckWith (stdArgs {maxSize=7}) prop_replicateArbol -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_replicateArbol :: Int -> Int -> Property prop_replicateArbol n x = n >= 0 ==> nHojas (replicateArbol n x) == 2^n -- La comprobación es -- ghci> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=7}) prop_replicateArbol -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11.1. Definir la función -- mapArbol :: (a -> a) -> Arbol a -> Arbol a -- tal que (mapArbol f x) es el árbol obtenido aplicándole a cada nodo de -- x la función f. Por ejemplo, -- ghci> mapArbol (*2) (N 9 (N 3 (H 2) (H 4)) (H 7)) -- N 18 (N 6 (H 4) (H 8)) (H 14) -- --------------------------------------------------------------------- mapArbol :: (a -> a) -> Arbol a -> Arbol a mapArbol f (H x) = H (f x) mapArbol f (N x i d) = N (f x) (mapArbol f i) (mapArbol f d) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11.2. Comprobar con QuickCheck que -- (mapArbol (1+)) . espejo = espejo . (mapArbol (1+)) -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_mapArbol_espejo :: Arbol Int -> Bool prop_mapArbol_espejo x = ((mapArbol (1+)) . espejo) x == (espejo . (mapArbol (1+))) x -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_mapArbol_espejo -- OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11.3. Comprobar con QuickCheck que -- (map (1+)) . preorden = preorden . (mapArbol (1+)) -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_map_preorden :: Arbol Int -> Bool prop_map_preorden x = ((map (1+)) . preorden) x == (preorden . (mapArbol (1+))) x -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_map_preorden -- OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Nota. Para comprobar propiedades de árboles con QuickCheck se -- utilizará el siguiente generador. -- --------------------------------------------------------------------- instance Arbitrary a => Arbitrary (Arbol a) where arbitrary = sized arbol where arbol 0 = liftM H arbitrary arbol n | n>0 = oneof [liftM H arbitrary, liftM3 N arbitrary subarbol subarbol] where subarbol = arbol (div n 2) |
El código correspondiente se encuentra en GitHub.