I1M2015: Soluciones en Maxima del 4º examen
Hoy se ha realizado el 4º examen del curso de Informática (de 1º de Grado en Matemáticas) y sus soluciones en Haskell se han publicado en la entrada anterior.
Las soluciones de los ejercicios también se pueden definir en Maxima, como se muestra a continuación
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/* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 1. Definir la función siguiente tal que siguiente(x,ys) es justo el elemento siguiente a la primera ocurrencia de x en ys o Nothing si x no pertenece a ys. Por ejemplo, siguiente (5,[3,5,2,5,7]) == Just(2) siguiente (7,[3,5,2,5,7]) == Nothing siguiente (4,[3,5,2,5,7]) == Nothing ------------------------------------------------------------------ */ /* 1ª definición ============= */ siguiente1 (x,ys) := if length (ys) <= 1 then Nothing elseif x = first (ys) then Just (second (ys)) else siguiente1 (x,rest(ys))$ /* 2ª definición ============= */ siguiente2 (x,ys) := block ([], unless (first (ys) = x or length (ys) < 2) do ys : rest (ys), if length (ys) < 2 then Nothing elseif first (ys) = x then Just (second (ys)) else Nothing)$ /* Comparación de eficiencia ========================= (%i5) siguiente1 (400, makelist (k,k,1,500)); Unrecoverable error: bind stack overflow. (%i6) siguiente2 (400, makelist (k,k,1,500)); Evaluation took 0.0100 seconds (0.0200 elapsed) (%o6) Just(401) */ /* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 2. Un número n es k-belga si la sucesión cuyo primer elemento es k y cuyos elementos se obtienen sumando reiteradamente los dígitos de n contiene a n. Por ejemplo, + El 18 es 0-belga, porque a partir del 0 vamos a ir sumando sucesivamente 1, 8, 1, 8, ... hasta llegar o sobrepasar el 18: 0, 1, 9, 10, 18, ... Como se alcanza el 18, resulta que el 18 es 0-belga. + El 19 no es 1-belga, porque a partir del 1 vamos a ir sumando sucesivamente 1, 9, 1, 9, ... hasta llegar o sobrepasar el 19: 1, 2, 11, 12, 21, ... Como no se alcanza el 19, resulta que el 19 no es 1-belga. Definir la función esBelga tal que esBelga(k,n) se verifica si n es k-belga. Por ejemplo, esBelga (0,18) == true esBelga (1,19) == false esBelga (0,2016) == true Otros ejemplos, (%i5) sublist (makelist (x,x,1,30), lambda ([x], esBelga (7,x))); (%o5) [7, 10, 11, 21, 27, 29] (%i6) sublist (makelist (x,x,1,30), lambda ([x], esBelga (10,x))); (%o6) [10, 11, 20, 21, 22, 24, 26] (%i7) length (sublist (makelist (x,x,1,9000), lambda ([x], esBelga (0,x)))); (%o7) 2857 ------------------------------------------------------------------ */ /* 1ª definición ============= */ esBelga1 (k,n) := block ( [s:k, sucesion : repite (n,digitos(n))], while s < n do ( s : s + first (sucesion), sucesion : rest (sucesion) ), is (s = n))$ /* digitos(n) es la lista de los digitos del número n. Por ejemplo, digitos (320274) == [3,2,0,2,7,4] */ digitos (n) := block([q, r, ys:[]], [q,r] : divide(n,10), unless q = 0 do ( ys : cons(r,ys), [q,r] : divide(q,10)), cons(r,ys))$ /* repite (n,xs) es una lista obtenida concatenando n copias de xs. Por ejemplo, repite (3,[1,5,7]) == [1, 5, 7, 1, 5, 7, 1, 5, 7] */ repite (n,xs) := block ([ys:[]], for i:1 thru n do ys : append (xs,ys), ys)$ /* 2ª definición ============= */ esBelga2 (k,n) := block ([ds,s,q,r], if k > n then return (false) else ds : digitos (n), s : lreduce ("+",ds), q : quotient (n-k,s), r : k + q * s, while r < n do ( r : r + first (ds), ds : rest (ds) ), is (r = n))$ /* Comparación de eficiencia ========================= (%i6) showtime : true$ Evaluation took 0.0000 seconds (0.0000 elapsed) (%i7) length (sublist (makelist (x,x,1,1000), lambda ([x], esBelga2 (0,x)))); Evaluation took 7.5600 seconds (7.5700 elapsed) (%o7) 362 (%i8) length (sublist (makelist (x,x,1,1000), lambda ([x], esBelga3 (0,x)))); Evaluation took 0.1700 seconds (0.1600 elapsed) (%o8) 362 */ /* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 3. Los árboles binarios con datos en los nodos y hojas se pueden representar mediante lista donde el primer elemento es la raíz, el segundo el subárbol izquierdo y el tercero el derecho. Por ejemplo, el árbol 3 / \ / \ 4 7 / \ / \ 5 1 9 3 / \ 2 0 se representa por ejArbol : [3, [4, [5, 2, 0], 1], [7, 9, 3]]$ Anotando cada elemento del árbol anterior con su profundidad, se obtiene el árbol siguiente 3-0 / \ / \ / \ 4-1 7-1 / \ / \ 5-2 1-2 9-2 3-2 / \ 2-3 0-3 Definir la función anotado tal que anotado(x) es el árbol obtenido anotando los elementos de x con su profundidad. Por ejemplo, (%i3) anotado (ejArbol); (%o3) [p(3, 0), [p(4, 1), [p(5, 2), p(2, 3), p(0, 3)], p(1, 2)], [p(7, 1), p(9, 2), p(3, 2)]] ------------------------------------------------------------------ */ ejArbol : [3, [4, [5, 2, 0], 1], [7, 9, 3]]$ esHoja (a) := atom (a)$ raiz (a) := first (a)$ izquierdo (a) := second (a)$ derecho (a) := third (a)$ anotado (a) := if esHoja (a) then p(a,0) else anotadoAux (a,0)$ anotadoAux (a,n) := if esHoja (a) then p a,n) else [p(raiz (a),n), anotadoAux (izquierdo (a), n+1), anotadoAux (derecho (a), n+1)]$ /* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 4. El pasado 11 de marzo se ha publicado el artículo "Unexpected biases in the distribution of consecutive primes" en el que muestra que los números primos repelen a otros primos que terminan en el mismo dígito. La lista de los últimos dígitos de los 30 primeros números es [2,3,5,7,1,3,7,9,3,9,1,7,1,3,7,3,9,1,7,1,3,9,3,9,7,1,3,7,9,3] Se observa que hay 6 números que su último dígito es un 1 y de sus consecutivos 4 terminan en 3 y 2 terminan en 7. Definir la función distribucionUltimos tal que distribucionUltimos(n) es la matriz cuyo elemento (i,j) indica cuántos de los n primeros números primos terminan en i y su siguiente número primo termina en j. Por ejemplo, (%i6) distribucionUltimos (30); [ 0 0 4 0 0 0 2 0 0 ] [ ] [ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ] [ ] [ 0 0 0 0 1 0 4 0 4 ] [ ] [ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] [ ] (%o6) [ 0 0 0 0 0 0 1 0 0 ] [ ] [ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] [ ] [ 4 0 1 0 0 0 0 0 2 ] [ ] [ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] [ ] [ 2 0 3 0 0 0 1 0 0 ] (%i7) distribucionUltimos (10^4); [ 365 0 833 0 0 0 889 0 397 ] [ ] [ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ] [ ] [ 529 0 324 0 1 0 754 0 907 ] [ ] [ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] [ ] (%o7) [ 0 0 0 0 0 0 1 0 0 ] [ ] [ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] [ ] [ 655 0 722 0 0 0 323 0 808 ] [ ] [ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] [ ] [ 935 0 636 0 0 0 541 0 379 ] Nota: Se observa cómo se "repelen" ya que en las filas del 1, 3, 7 y 9 el menor elemento es el de la diagonal. ------------------------------------------------------------------ */ distribucionUltimos (n) := block ( [r : zeromatrix (9,9), xs : ultimos (n), i, j], unless length (xs) < 2 do ( i : first (xs), j : second (xs), r[i,j] : 1 + r[i,j], xs : rest (xs)), r)$ /* ultimos(n) es la lista del último dígito de los n primeros primos. (%i5) ultimos (30); (%o5) [2,3,5,7,1,3,7,9,3,9,1,7,1,3,7,3,9,1,7,1,3,9,3,9,7,1,3,7,9,3,7] */ ultimos (n) := block ([r:[], p:2], for k from 0 thru n do ( r : cons (mod (p,10), r), p : next_prime (p) ), reverse (r))$ |