I1M2015: 4º examen de programación con Haskell
Hoy se ha realizado el 4º examen del curso de Informática (de 1º de Grado en Matemáticas). Los ejercicios, y sus soluciones, se muestran a continuación.
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 |
-- --------------------------------------------------------------------- -- § Librerías auxiliares -- -- --------------------------------------------------------------------- import Data.Array import Data.Char import Data.Numbers.Primes import qualified Data.Matrix as M -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. Definir la función -- siguiente :: Eq a => a -> [a] -> Maybe a -- tal que (siguiente x ys) es justo el elemento siguiente a la primera -- ocurrencia de x en ys o Nothing si x no pertenece a ys. Por ejemplo, -- siguiente 5 [3,5,2,5,7] == Just 2 -- siguiente 9 [3,5,2,5,7] == Nothing -- siguiente 'd' "afdegdb" == Just 'e' -- siguiente "todo" ["En","todo","la","medida"] == Just "la" -- siguiente "nada" ["En","todo","la","medida"] == Nothing -- siguiente 999999 [1..1000000] == Just 1000000 -- siguiente 1000000 [1..1000000] == Nothing -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª solución (por recursión): siguiente1 :: Eq a => a -> [a] -> Maybe a siguiente1 x (y1:y2:ys) | x == y1 = Just y2 | otherwise = siguiente1 x (y2:ys) siguiente1 x _ = Nothing -- 2ª solución (por comprensión): siguiente2 :: Eq a => a -> [a] -> Maybe a siguiente2 x ys | null zs = Nothing | otherwise = Just (snd (head zs)) where zs = [(u,v) | (u,v) <- zip ys (tail ys), u == x] -- 3ª solución (con dropWhile) siguiente3 :: Eq a => a -> [a] -> Maybe a siguiente3 x = aux . drop 1 . dropWhile (/=x) where aux [] = Nothing aux (y:_) = Just y -- Comparación de eficiencia -- ========================= -- La comparación es -- ghci> let n=10^6 in siguiente1 (n-1) [1..n] -- Just 1000000 -- (1.34 secs, 277352616 bytes) -- -- ghci> let n=10^6 in siguiente2 (n-1) [1..n] -- Just 1000000 -- (1.45 secs, 340836576 bytes) -- -- ghci> let n=10^6 in siguiente3 (n-1) [1..n] -- Just 1000000 -- (0.26 secs, 84987544 bytes) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. Un número n es k-belga si la sucesión cuyo primer -- elemento es k y cuyos elementos se obtienen sumando reiteradamente -- los dígitos de n contiene a n. Por ejemplo, -- + El 18 es 0-belga, porque a partir del 0 vamos a ir sumando -- sucesivamente 1, 8, 1, 8, ... hasta llegar o sobrepasar el 18: 0, 1, -- 9, 10, 18, ... Como se alcanza el 18, resulta que el 18 es 0-belga. -- + El 19 no es 1-belga, porque a partir del 1 vamos a ir sumando -- sucesivamente 1, 9, 1, 9, ... hasta llegar o sobrepasar el 18: 1, 2, -- 11, 12, 21, 22, ... Como no se alcanza el 19, resulta que el 19 no es -- 1-belga. -- -- Definir la función -- esBelga :: Int -> Int -> Bool -- tal que (esBelga k n) se verifica si n es k-belga. Por ejemplo, -- esBelga 0 18 == True -- esBelga 1 19 == False -- esBelga 0 2016 == True -- [x | x <- [0..30], esBelga 7 x] == [7,10,11,21,27,29] -- [x | x <- [0..30], esBelga 10 x] == [10,11,20,21,22,24,26] -- length [n | n <- [1..9000], esBelga 0 n] == 2857 -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª solución -- =========== esBelga1 :: Int -> Int -> Bool esBelga1 k n = n == head (dropWhile (<n) (scanl (+) k (cycle (digitos n)))) digitos :: Int -> [Int] digitos n = map digitToInt (show n) -- 2ª solución -- =========== esBelga2 :: Int -> Int -> Bool esBelga2 k n = k <= n && n == head (dropWhile (<n) (scanl (+) (k + q * s) ds)) where ds = digitos n s = sum ds q = (n - k) `div` s -- Comparación de eficiencia -- ========================= -- λ> length [n | n <- [1..9000], esBelga1 0 n] -- 2857 -- (2.95 secs, 1,115,026,728 bytes) -- λ> length [n | n <- [1..9000], esBelga2 0 n] -- 2857 -- (0.10 secs, 24,804,480 bytes) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. Los árboles binarios con datos en los nodos y hojas se -- definen por -- data Arbol a = H a -- | N a (Arbol a) (Arbol a) -- deriving (Eq, Show) -- Por ejemplo, el árbol -- 3 -- / \ -- / \ -- 4 7 -- / \ / \ -- 5 0 0 3 -- / \ -- 2 0 -- se representa por -- ejArbol :: Arbol Integer -- ejArbol = N 3 (N 4 (N 5 (H 2)(H 0)) (H 0)) (N 7 (H 0) (H 3)) -- -- Anotando cada elemento del árbol anterior con su profundidad, se -- obtiene el árbol siguiente -- 3-0 -- / \ -- / \ -- / \ -- 4-1 7-1 -- / \ / \ -- 5-2 0-2 0-2 3-2 -- / \ -- 2-3 0-3 -- -- Definir la función -- anotado :: Arbol a -> Arbol (a,Int) -- tal que (anotado x) es el árbol obtenido anotando los elementos de x -- con su profundidad. Por ejemplo, -- λ> anotado ejArbol -- N (3,0) -- (N (4,1) -- (N (5,2) (H (2,3)) (H (0,3))) -- (H (0,2))) -- (N (7,1) (H (0,2)) (H (3,2))) -- --------------------------------------------------------------------- data Arbol a = H a | N a (Arbol a) (Arbol a) deriving (Eq, Show) ejArbol :: Arbol Integer ejArbol = N 3 (N 4 (N 5 (H 2)(H 0)) (H 0)) (N 7 (H 0) (H 3)) -- 1ª solución -- =========== anotado1 :: Arbol a -> Arbol (a,Int) anotado1 (H x) = H (x,0) anotado1 (N x i d) = aux (N x i d) 0 where aux (H x) n = H (x,n) aux (N x i d) n = N (x,n) (aux i (n+1)) (aux d (n+1)) -- 2ª solución anotado2 :: Arbol a -> Arbol (a, Int) anotado2 a = aux a [0..] where aux (H a) (n:_ ) = H (a,n) aux (N a i d) (n:ns) = N (a,n) (aux i ns) (aux d ns) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. El pasado 11 de marzo se ha publicado el artículo -- "Unexpected biases in the distribution of consecutive primes" en el -- que muestra que los números primos repelen a otros primos que -- terminan en el mismo dígito. -- -- La lista de los últimos dígitos de los 30 primeros números es -- [2,3,5,7,1,3,7,9,3,9,1,7,1,3,7,3,9,1,7,1,3,9,3,9,7,1,3,7,9,3] -- Se observa que hay 6 números que su último dígito es un 1 y de sus -- consecutivos 4 terminan en 3 y 2 terminan en 7. -- -- Definir la función -- distribucionUltimos :: Int -> M.Matrix Int -- tal que (distribucionUltimos n) es la matriz cuyo elemento (i,j) -- indica cuántos de los n primeros números primos terminan en i y su -- siguiente número primo termina en j. Por ejemplo, -- λ> distribucionUltimos 30 -- ( 0 0 4 0 0 0 2 0 0 ) -- ( 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ) -- ( 0 0 0 0 1 0 4 0 4 ) -- ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) -- ( 0 0 0 0 0 0 1 0 0 ) -- ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) -- ( 4 0 1 0 0 0 0 0 2 ) -- ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) -- ( 2 0 3 0 0 0 1 0 0 ) -- -- λ> distribucionUltimos (10^5) -- ( 4104 0 7961 0 0 0 8297 0 4605 ) -- ( 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ) -- ( 5596 0 3604 0 1 0 7419 0 8387 ) -- ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) -- ( 0 0 0 0 0 0 1 0 0 ) -- ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) -- ( 6438 0 6928 0 0 0 3627 0 8022 ) -- ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) -- ( 8830 0 6513 0 0 0 5671 0 3995 ) -- -- Nota: Se observa cómo se "repelen" ya que en las filas del 1, 3, 7 y -- 9 el menor elemento es el de la diagonal. -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª solución -- =========== distribucionUltimos1 :: Int -> M.Matrix Int distribucionUltimos1 n = M.matrix 9 9 (\(i,j) -> length (filter (==(i,j)) (take n ultimosConsecutivos))) -- (ultimo n) es el último dígito de n. ultimo :: Int -> Int ultimo n = n `mod` 10 -- ultimos es la lista de el último dígito de los primos. -- λ> take 20 ultimos -- [2,3,5,7,1,3,7,9,3,9,1,7,1,3,7,3,9,1,7,1] ultimos :: [Int] ultimos = map ultimo primes -- ultimosConsecutivos es la lista de los últimos dígitos de los primos -- consecutivos. -- λ> take 10 ultimosConsecutivos -- [(2,3),(3,5),(5,7),(7,1),(1,3),(3,7),(7,9),(9,3),(3,9),(9,1)] ultimosConsecutivos :: [(Int,Int)] ultimosConsecutivos = zip ultimos (tail ultimos) -- 2ª solución -- =========== distribucionUltimos2 :: Int -> M.Matrix Int distribucionUltimos2 n = M.fromList 9 9 (elems (histograma ((1,1),(9,9)) (take n ultimosConsecutivos))) -- (histograma r is) es el vector formado contando cuantas veces -- aparecen los elementos del rango r en la lista de índices is. Por -- ejemplo, -- ghci> histograma (0,5) [3,1,4,1,5,4,2,7] -- array (0,5) [(0,0),(1,2),(2,1),(3,1),(4,2),(5,1)] histograma :: (Ix a, Num b) => (a,a) -> [a] -> Array a b histograma r is = accumArray (+) 0 r [(i,1) | i <- is, inRange r i] -- 3ª definición -- ============= distribucionUltimos3 :: Int -> M.Matrix Int distribucionUltimos3 n | n < 4 = distribucionUltimos1 n | otherwise = M.matrix 9 9 (\(i,j) -> f i j) where f i j | elem (i,j) [(2,3),(3,5),(5,7)] = 1 | even i || even j = 0 | otherwise = length (filter (==(i,j)) (take n ultimosConsecutivos)) -- Comparación de eficiencia -- ========================= -- λ> distribucionUltimos1 (10^5) -- ( 4104 0 7961 0 0 0 8297 0 4605 ) -- ( 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ) -- ( 5596 0 3604 0 1 0 7419 0 8387 ) -- ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) -- ( 0 0 0 0 0 0 1 0 0 ) -- ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) -- ( 6438 0 6928 0 0 0 3627 0 8022 ) -- ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) -- ( 8830 0 6513 0 0 0 5671 0 3995 ) -- -- (3.51 secs, 941,474,520 bytes) -- λ> distribucionUltimos2 (10^5) -- ( 4104 0 7961 0 0 0 8297 0 4605 ) -- ( 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ) -- ( 5596 0 3604 0 1 0 7419 0 8387 ) -- ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) -- ( 0 0 0 0 0 0 1 0 0 ) -- ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) -- ( 6438 0 6928 0 0 0 3627 0 8022 ) -- ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) -- ( 8830 0 6513 0 0 0 5671 0 3995 ) -- -- (1.75 secs, 560,891,792 bytes) -- λ> distribucionUltimos3 (10^5) -- ( 4104 0 7961 0 0 0 8297 0 4605 ) -- ( 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ) -- ( 5596 0 3604 0 1 0 7419 0 8387 ) -- ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) -- ( 0 0 0 0 0 0 1 0 0 ) -- ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) -- ( 6438 0 6928 0 0 0 3627 0 8022 ) -- ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) -- ( 8830 0 6513 0 0 0 5671 0 3995 ) -- -- (1.70 secs, 623,371,360 bytes) |