I1M2015: Relaciones binarias homogéneas con la librería de conjuntos de Haskell
En la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos comentado las soluciones a los ejercicios de la relación 27 sobre relaciones binarias homogéneas usando la librería Data.Set de Haskell.
Los ejercicios y su solución se muestran a continuación
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-- --------------------------------------------------------------------- -- § Pragmas -- -- --------------------------------------------------------------------- {-# LANGUAGE TypeSynonymInstances, FlexibleInstances #-} -- --------------------------------------------------------------------- -- § Librerías auxiliares -- -- --------------------------------------------------------------------- import Test.QuickCheck import Data.Set -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. Una relación binaria R sobre un conjunto A puede -- representar mediante un par (xs,ps) donde xs es el conjunto de los -- elementos de A (el universo de R) y ps es el conjunto de pares de R -- (el grafo de R). Definir el tipo de dato (Rel a) para representar las -- relaciones binarias sobre a. -- --------------------------------------------------------------------- type Rel a = (Set a, Set (a,a)) -- --------------------------------------------------------------------- -- Nota. En los ejemplos usaremos las siguientes relaciones binarias: -- r1, r2, r3 :: Rel Int -- r1 = (fromList [1..9],fromList [(1,3), (2,6), (8,9), (2,7)]) -- r2 = (fromList [1..9],fromList [(1,3), (2,6), (8,9), (3,7)]) -- r3 = (fromList [1..9],fromList [(1,3), (2,6), (8,9), (3,6)]) -- --------------------------------------------------------------------- r1, r2, r3 :: Rel Int r1 = (fromList [1..9],fromList [(1,3), (2,6), (8,9), (2,7)]) r2 = (fromList [1..9],fromList [(1,3), (2,6), (8,9), (3,7)]) r3 = (fromList [1..9],fromList [(1,3), (2,6), (8,9), (3,6)]) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. Definir la función -- universo :: Ord a => Rel a -> Set a -- tal que (universo r) es el universo de la relación r. Por ejemplo, -- universo r1 == fromList [1,2,3,4,5,6,7,8,9] -- --------------------------------------------------------------------- universo :: Ord a => Rel a -> Set a universo (u,_) = u -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. Definir la función -- grafo :: Ord a => Rel a -> [(a,a)] -- tal que (grafo r) es el grafo de la relación r. Por ejemplo, -- grafo r1 == fromList [(1,3),(2,6),(2,7),(8,9)] -- --------------------------------------------------------------------- grafo :: Ord a => Rel a -> Set (a,a) grafo (_,g) = g -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Definir la función -- reflexiva :: Ord a => Rel a -> Bool -- tal que (reflexiva r) se verifica si la relación r es reflexiva. Por -- ejemplo, -- ghci> reflexiva (fromList [1,3], fromList [(1,1),(1,3),(3,3)]) -- True -- ghci> reflexiva (fromList [1,2,3], fromList [(1,1),(1,3),(3,3)]) -- False -- --------------------------------------------------------------------- reflexiva :: Ord a => Rel a -> Bool reflexiva (u,g) = and [(x,x) `member` g | x <- elems u] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. Definir la función -- simetrica :: Ord a => Rel a -> Bool -- tal que (simetrica r) se verifica si la relación r es simétrica. Por -- ejemplo, -- ghci> simetrica (fromList [1,3], fromList [(1,1),(1,3),(3,1)]) -- True -- ghci> simetrica (fromList [1,3], fromList [(1,1),(1,3),(3,2)]) -- False -- ghci> simetrica (fromList [1,3], fromList []) -- True -- --------------------------------------------------------------------- simetrica :: Ord a => Rel a -> Bool simetrica (u,g) = and [(y,x) `member` g | (x,y) <- elems g] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6. Definir la función -- subconjunto :: Ord a => Set a -> Set a -> Bool -- tal que (subconjunto c1 c2) se verifica si c1 es un subconjunto de -- c2. Por ejemplo, -- subconjunto (fromList [1,3]) (fromList [3,1,5]) == True -- subconjunto (fromList [3,1,5]) (fromList [1,3]) == False -- --------------------------------------------------------------------- subconjunto :: Ord a => Set a -> Set a -> Bool subconjunto = isSubsetOf -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7. Definir la función -- composicion :: Ord a => Rel a -> Rel a -> Rel a -- tal que (composicion r s) es la composición de las relaciones r y -- s. Por ejemplo, -- ghci> let r1 = (fromList [1,2], fromList [(1,2),(2,2)]) -- ghci> let r2 = (fromList [1,2], fromList [(2,1)]) -- ghci> let r3 = (fromList [1,2], fromList [(1,1)]) -- ghci> composicion r1 r2 -- (fromList [1,2],fromList [(1,1),(2,1)]) -- ghci> composicion r1 r3 -- (fromList [1,2,3,4,5,6,7,8,9],fromList []) -- --------------------------------------------------------------------- composicion :: Ord a => Rel a -> Rel a -> Rel a composicion (u,g1) (_,g2) = (u,fromList [(x,z) | (x,y1) <- elems g1, (y2,z) <- elems g2, y1 == y2]) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8. Definir la función -- transitiva :: Ord a => Rel a -> Bool -- tal que (transitiva r) se verifica si la relación r es transitiva. -- Por ejemplo, -- ghci> transitiva (fromList [1,3,5],fromList [(1,1),(1,3),(3,1),(3,3),(5,5)]) -- True -- ghci> transitiva (fromList [1,3,5],fromList [(1,1),(1,3),(3,1),(5,5)]) -- False -- --------------------------------------------------------------------- transitiva :: Ord a => Rel a -> Bool transitiva r@(u,g) = isSubsetOf (grafo (composicion r r)) g -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9. Definir la función -- esEquivalencia :: Ord a => Rel a -> Bool -- tal que (esEquivalencia r) se verifica si la relación r es de -- equivalencia. Por ejemplo, -- ghci> esEquivalencia (fromList [1,3,5], -- fromList [(1,1),(1,3),(3,1),(3,3),(5,5)]) -- True -- ghci> esEquivalencia (fromList [1,2,3,5], -- fromList [(1,1),(1,3),(3,1),(3,3),(5,5)]) -- False -- ghci> esEquivalencia (fromList [1,3,5], -- fromList [(1,1),(1,3),(3,3),(5,5)]) -- False -- --------------------------------------------------------------------- esEquivalencia :: Ord a => Rel a -> Bool esEquivalencia r = reflexiva r && simetrica r && transitiva r -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10. Definir la función -- irreflexiva :: Ord a => Rel a -> Bool -- tal que (irreflexiva r) se verifica si la relación r es irreflexiva; -- es decir, si ningún elemento de su universo está relacionado con -- él mismo. Por ejemplo, -- ghci> irreflexiva (fromList [1,2,3],fromList [(1,2),(2,1),(2,3)]) -- True -- ghci> irreflexiva (fromList [1,2,3],fromList [(1,2),(2,1),(3,3)]) -- False -- --------------------------------------------------------------------- irreflexiva :: Ord a => Rel a -> Bool irreflexiva (u,g) = and [(x,x) `notMember` g | x <- elems u] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11. Definir la función -- antisimetrica :: Ord a => Rel a -> Bool -- tal que (antisimetrica r) se verifica si la relación r es -- antisimétrica; es decir, si (x,y) e (y,x) están relacionado, entonces -- x=y. Por ejemplo, -- antisimetrica (fromList [1,2],fromList [(1,2)]) == True -- antisimetrica (fromList [1,2],fromList [(1,2),(2,1)]) == False -- antisimetrica (fromList [1,2],fromList [(1,1),(2,1)]) == True -- --------------------------------------------------------------------- antisimetrica :: Ord a => Rel a -> Bool antisimetrica (_,g) = [(x,y) | (x,y) <- elems g, x /= y, (y,x) `member` g] == [] -- Otra definición es antisimetrica2 :: Ord a => Rel a -> Bool antisimetrica2 (u,g) = and [((x,y) `member` g && (y,x) `member` g) --> (x == y) | x <- elems u, y <- elems u] where p --> q = not p || q -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12. Definir la función -- total :: Ord a => Rel a -> Bool -- tal que (total r) se verifica si la relación r es total; es decir, si -- para cualquier par x, y de elementos del universo de r, se tiene que -- x está relacionado con y ó y etá relacionado con x. Por ejemplo, -- total (fromList [1,3],fromList [(1,1),(3,1),(3,3)]) == True -- total (fromList [1,3],fromList [(1,1),(3,1)]) == False -- total (fromList [1,3],fromList [(1,1),(3,3)]) == False -- --------------------------------------------------------------------- total :: Ord a => Rel a -> Bool total (u,g) = and [(x,y) `member` g || (y,x) `member` g | x <- xs, y <- xs] where xs = elems u -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13. Comprobar con QuickCheck que las relaciones totales son -- reflexivas. -- --------------------------------------------------------------------- prop_total_reflexiva :: Rel Int -> Property prop_total_reflexiva r = total r ==> reflexiva r -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_total_reflexiva -- *** *** Gave up! Passed only 77 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- § Clausuras -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14. Definir la función -- clausuraReflexiva :: Ord a => Rel a -> Rel a -- tal que (clausuraReflexiva r) es la clausura reflexiva de r; es -- decir, la menor relación reflexiva que contiene a r. Por ejemplo, -- ghci> clausuraReflexiva (fromList [1,3], fromList [(1,1),(3,1)]) -- (fromList [1,3],fromList [(1,1),(3,1),(3,3)]) -- --------------------------------------------------------------------- clausuraReflexiva :: Ord a => Rel a -> Rel a clausuraReflexiva (u,g) = (u, g `union` fromList [(x,x) | x <- elems u]) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 15. Comprobar con QuickCheck que clausuraReflexiva es -- reflexiva. -- --------------------------------------------------------------------- prop_ClausuraReflexiva :: Rel Int -> Bool prop_ClausuraReflexiva r = reflexiva (clausuraReflexiva r) -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_ClausuraReflexiva -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16. Definir la función -- clausuraSimetrica :: Ord a => Rel a -> Rel a -- tal que (clausuraSimetrica r) es la clausura simétrica de r; es -- decir, la menor relación simétrica que contiene a r. Por ejemplo, -- ghci> clausuraSimetrica (fromList [1,3,5],fromList [(1,1),(3,1),(1,5)]) -- (fromList [1,3,5],fromList [(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(5,1)]) -- --------------------------------------------------------------------- clausuraSimetrica :: Ord a => Rel a -> Rel a clausuraSimetrica (u,g) = (u, g `union` fromList [(y,x) | (x,y) <- elems g]) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 17. Comprobar con QuickCheck que clausuraSimetrica es -- simétrica. -- --------------------------------------------------------------------- prop_ClausuraSimetrica :: Rel Int -> Bool prop_ClausuraSimetrica r = simetrica (clausuraSimetrica r) -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_ClausuraSimetrica -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 18. Definir la función -- clausuraTransitiva :: Ord a => Rel a -> Rel a -- tal que (clausuraTransitiva r) es la clausura transitiva de r; es -- decir, la menor relación transitiva que contiene a r. Por ejemplo, -- ghci> clausuraTransitiva (fromList [1..6],fromList [(1,2),(2,5),(5,6)]) -- (fromList [1,2,3,4,5,6],fromList [(1,2),(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(5,6)]) -- --------------------------------------------------------------------- clausuraTransitiva :: Ord a => Rel a -> Rel a clausuraTransitiva (u,g) = (u, aux g) where aux r | cerradoTr r = r | otherwise = aux (r `union` comp r r) cerradoTr r = isSubsetOf (comp r r) r comp r s = fromList [(x,z) | (x,y1) <- elems r, (y2,z) <- elems s, y1 == y2] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 19. Comprobar con QuickCheck que clausuraTransitiva es -- transitiva. -- --------------------------------------------------------------------- prop_ClausuraTransitiva :: Rel Int -> Bool prop_ClausuraTransitiva r = transitiva (clausuraTransitiva r) -- La comprobación es -- ghci> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=7}) prop_ClausuraTransitiva -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- § Generador de relaciones -- -- --------------------------------------------------------------------- -- genSet es un generador de relaciones binarias. Por ejemplo, -- ghci> sample genRel -- (fromList [0],fromList []) -- (fromList [-1,1],fromList [(-1,1)]) -- (fromList [-3,-2],fromList []) -- (fromList [-2,0,1,6],fromList [(0,0),(6,0)]) -- (fromList [-7,0,2],fromList [(-7,0),(2,0)]) -- (fromList [2,11],fromList [(2,2),(2,11),(11,2),(11,11)]) -- (fromList [-4,-2,1,4,5],fromList [(1,-2),(1,1),(1,5)]) -- (fromList [-4,-3,-2,6,7],fromList [(-3,-4),(7,-3),(7,-2)]) -- (fromList [-9,-7,0,10],fromList [(10,-9)]) -- (fromList [-10,3,8,10],fromList [(3,3),(10,-10)]) -- (fromList [-10,-9,-7,-6,-5,-4,-2,8,12],fromList []) genRel :: (Arbitrary a, Integral a) => Gen (Rel a) genRel = do xs <- listOf1 arbitrary ys <- listOf (elements [(x,y) | x <- xs, y <- xs]) return (fromList xs, fromList ys) instance (Arbitrary a, Integral a) => Arbitrary (Rel a) where arbitrary = genRel |