I1M2015: Estadística descriptiva en Haskell

En la segunda parte de la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos comentado las soluciones a los ejercicios de la relación 7 sobre estadística descriptiva.

Los ejercicios y su solución se muestran a continuación

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-- Introducción                                                       --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- El objetivo de esta relación es definir las principales medidas
-- estadísticas de centralización (medias, mediana y modas) y de
-- dispersión (rango, desviación media, varianza y desviación típica)
-- que se estudian en 3º de ESO (como en http://bit.ly/1yXc7mv ).
--
-- En las soluciones de los ejercicios se pueden usar las siguientes
-- funciones de la librería Data.List fromIntegral, genericLength, sort,
-- y group (cuya descripción se puede consultar en el "Manual de
-- funciones básicas de Haskell" http://bit.ly/1PqHagT ).

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Librerías auxiliares                                               --
-- ---------------------------------------------------------------------

import Data.List
import Test.QuickCheck

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Medidas de centralización                                          --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1. Definir la función
--    media :: Floating a => [a] -> a
-- tal que (media xs) es la media aritmética de los números de la lista
-- xs. Por ejemplo,
--    media [4,8,4,5,9]  ==  6.0
-- ---------------------------------------------------------------------

media :: Floating a => [a] -> a
media xs = sum xs / genericLength xs

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2. La mediana de una lista de valores es el valor de 
-- la lista que ocupa el lugar central de los valores ordenados de menor
-- a mayor. Si el número de datos es impar se toma como valor de la
-- mediana el valor central. Si el número de datos es par se toma como
-- valor de la mediana la media aritmética de los dos valores
-- centrales.
-- 
-- Definir la función 
--    mediana :: (Floating a, Ord a) => [a] -> a
-- tal que (mediana xs) es la mediana de la lista xs. Por ejemplo, 
--    mediana [2,3,6,8,9]    ==  6.0
--    mediana [2,3,4,6,8,9]  ==  5.0
--    mediana [9,6,8,4,3,2]  ==  5.0
-- ---------------------------------------------------------------------

mediana :: (Floating a, Ord a) => [a] -> a
mediana xs | odd n  = ys !! i
           | even n = media [ys !! (i-1), ys !! i]
    where ys = sort xs
          n  = length xs
          i  = n `div` 2

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3. Comprobar con QuickCheck que para cualquier lista no
-- vacía xs el número de elementos de xs menores que su median es menor
-- o igual que la mitad de los elementos de xs y lo mismo pasa con los
-- mayores o iguales que la mediana.
-- --------------------------------------------------------------------- 

-- La propiedad es
prop_mediana :: (Floating a, Ord a) => [a] -> Property
prop_mediana xs =
    not (null xs) ==> 
    genericLength [x | x <- xs, x < m] <= n/2 &&
    genericLength [x | x <- xs, x > m] <= n/2
    where m = mediana xs
          n = genericLength xs

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_mediana
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4. Definir la función
--    frecuencias :: Ord a => [a] -> [(a,Int)]
-- tal que (frecuencias xs) es la lista formada por los elementos de xs
-- junto con el número de veces que aparecen en xs. Por ejemplo,  
--    frecuencias "sosos" ==  [('o',2),('s',3)]
--
-- Nota: El orden de los pares no importa
-- ---------------------------------------------------------------------

-- 1ª solución
frecuencias :: Ord a => [a] -> [(a,Int)]
frecuencias xs = [(y,ocurrencias y xs) | y <- sort (nub xs)]
    where ocurrencias y xs = length [1 | x <- xs, x == y]

-- 2ª solución
frecuencias2 :: Ord a => [a] -> [(a,Int)]
frecuencias2 xs = [(x,1 + length xs) | (x:xs) <- group (sort xs)]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5. Las modas de una lista son los elementos de la lista
-- que más se repiten. 
--
-- Definir la función
--    modas :: Ord a => [a] -> [a]
-- tal que (modas xs) es la lista ordenada de las modas de xs. Por
-- ejemplo 
--    modas [7,3,7,5,3,1,6,9,6]  ==  [3,6,7]
-- ---------------------------------------------------------------------

modas :: Ord a => [a] -> [a]
modas xs = [y | (y,n) <- ys, n == m]
    where ys = frecuencias xs
          m  = maximum (map snd ys)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6. La media geométrica de una lista de n números es la
-- raíz n-ésima del producto de todos los números.
-- 
-- Definir la función
--    mediaGeometrica :: Floating a => [a] -> a
-- tal que (mediaGeometrica xs) es la media geométrica de xs. Por
-- ejemplo, 
--    mediaGeometrica [2,18]   ==  6.0
--    mediaGeometrica [3,1,9]  ==  3.0
-- ---------------------------------------------------------------------

mediaGeometrica :: Floating a => [a] -> a
mediaGeometrica xs = (product xs)**(1 / genericLength xs)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7. Comprobar con QuickCheck que la media geométrica de
-- cualquier lista no vacía de números no negativos es siempre menor o
-- igual que la media aritmética. 
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_mediaGeometrica :: (Floating a, Ord a) => [a] -> Property
prop_mediaGeometrica xs = 
    not (null xs) ==>
    mediaGeometrica ys <= media ys
    where ys = map abs xs        

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_mediaGeometrica
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Medidas de dispersión                                              --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8. El recorrido (o rango) de una lista de valores es la
-- diferencia entre el mayor y el menor.
-- 
-- Definir la función 
--    rango :: (Num a, Ord a) => [a] -> a
-- tal que (rango xs) es el rango de xs. Por ejemplo,
--    rango [4,2,4,7,3]  ==  5
-- ---------------------------------------------------------------------

rango :: (Num a, Ord a) => [a] -> a
rango xs = maximum xs - minimum xs
 
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9. La desviación media de una lista de datos xs es la
-- media de las distancias de los datos a la media xs, donde la
-- distancia entre dos elementos es el valor absoluto de su
-- diferencia. Por ejemplo, la desviación media de [4,8,4,5,9] es 2 ya
-- que la media de [4,8,4,5,9] es 6 y
--      (|4-6| + |8-6| + |4-6| + |5-6| + |9-6|) / 5
--    = (2 + 2 + 2 + 1 + 3) / 5
--    = 2
-- 
-- Definir la función
--    desviacionMedia :: Floating a => [a] -> a
-- tal que (desviacionMedia xs) es la desviación media de xs. Por
-- ejemplo, 
--    desviacionMedia [4,8,4,5,9]       ==  2.0
--    desviacionMedia (replicate 10 3)  ==  0.0
-- ---------------------------------------------------------------------

desviacionMedia :: Floating a => [a] -> a
desviacionMedia xs = media [abs(x - m) | x <- xs]
    where m = media xs

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10. La varianza de una lista datos es la media de los
-- cuadrados de las distancias de los datos a la media. Por ejemplo, la
-- varianza de [4,8,4,5,9] es 4.4 ya que la media de [4,8,4,5,9] es 6 y
--      ((4-6)^2 + (8-6)^2 + (4-6)^2 + (5-6)^2 + (9-6)^2) / 5
--    = (4 + 4 + 4 + 1 + 9) / 5
--    = 4.4
-- 
-- Definir la función
--    varianza :: Floating a => [a] -> a
-- tal que (desviacionMedia xs) es la varianza de xs. Por ejemplo, 
--    varianza [4,8,4,5,9]       ==  4.4
--    varianza (replicate 10 3)  ==  0.0
-- ---------------------------------------------------------------------

varianza :: Floating a => [a] -> a
varianza xs = media [(x-m)^2 | x <- xs]
    where m = media xs

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 11. La desviación típica de una lista de datos es la raíz
-- cuadrada de su varianza.  
-- 
-- Definir la función 
--    desviacionTipica :: Floating a => [a] -> a
-- tal que (desviacionTipica xs) es la desviación típica de xs. Por
-- ejemplo, 
--    desviacionTipica [4,8,4,5,9]       ==  2.0976176963403033
--    desviacionTipica (replicate 10 3)  ==  0.0
-- ---------------------------------------------------------------------

desviacionTipica :: Floating a => [a] -> a
desviacionTipica xs = sqrt (varianza xs)

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-- Introducción --

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-- El objetivo de esta relación es definir las principales medidas

-- estadísticas de centralización (medias, mediana y modas) y de

-- dispersión (rango, desviación media, varianza y desviación típica)

-- que se estudian en 3º de ESO (como en http://bit.ly/1yXc7mv ).

-- En las soluciones de los ejercicios se pueden usar las siguientes

-- funciones de la librería Data.List fromIntegral, genericLength, sort,

-- y group (cuya descripción se puede consultar en el "Manual de

-- funciones básicas de Haskell" http://bit.ly/1PqHagT ).

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Librerías auxiliares --

-- ---------------------------------------------------------------------

import Data.List

import Test.QuickCheck

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-- Medidas de centralización --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 1. Definir la función

-- media :: Floating a => [a] -> a

-- tal que (media xs) es la media aritmética de los números de la lista

-- xs. Por ejemplo,

-- media [4,8,4,5,9] == 6.0

-- ---------------------------------------------------------------------

media :: Floating a => [a] -> a

media xs = sum xs / genericLength xs

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 2. La mediana de una lista de valores es el valor de

-- la lista que ocupa el lugar central de los valores ordenados de menor

-- a mayor. Si el número de datos es impar se toma como valor de la

-- mediana el valor central. Si el número de datos es par se toma como

-- valor de la mediana la media aritmética de los dos valores

-- centrales.

-- Definir la función

-- mediana :: (Floating a, Ord a) => [a] -> a

-- tal que (mediana xs) es la mediana de la lista xs. Por ejemplo,

-- mediana [2,3,6,8,9] == 6.0

-- mediana [2,3,4,6,8,9] == 5.0

-- mediana [9,6,8,4,3,2] == 5.0

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mediana :: (Floating a, Ord a) => [a] -> a

mediana xs | odd n = ys !! i

| even n = media [ys !! (i-1), ys !! i]

where ys = sort xs

n = length xs

i = n `div` 2

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 3. Comprobar con QuickCheck que para cualquier lista no

-- vacía xs el número de elementos de xs menores que su median es menor

-- o igual que la mitad de los elementos de xs y lo mismo pasa con los

-- mayores o iguales que la mediana.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es

prop_mediana :: (Floating a, Ord a) => [a] -> Property

prop_mediana xs =

not (null xs) ==>

genericLength [x | x <- xs, x < m] <= n/2 &&

genericLength [x | x <- xs, x > m] <= n/2

where m = mediana xs

n = genericLength xs

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_mediana

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 4. Definir la función

-- frecuencias :: Ord a => [a] -> [(a,Int)]

-- tal que (frecuencias xs) es la lista formada por los elementos de xs

-- junto con el número de veces que aparecen en xs. Por ejemplo,

-- frecuencias "sosos" == [('o',2),('s',3)]

-- Nota: El orden de los pares no importa

-- ---------------------------------------------------------------------

-- 1ª solución

frecuencias :: Ord a => [a] -> [(a,Int)]

frecuencias xs = [(y,ocurrencias y xs) | y <- sort (nub xs)]

where ocurrencias y xs = length [1 | x <- xs, x == y]

-- 2ª solución

frecuencias2 :: Ord a => [a] -> [(a,Int)]

frecuencias2 xs = [(x,1 + length xs) | (x:xs) <- group (sort xs)]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 5. Las modas de una lista son los elementos de la lista

-- que más se repiten.

-- Definir la función

-- modas :: Ord a => [a] -> [a]

-- tal que (modas xs) es la lista ordenada de las modas de xs. Por

-- ejemplo

-- modas [7,3,7,5,3,1,6,9,6] == [3,6,7]

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modas :: Ord a => [a] -> [a]

modas xs = [y | (y,n) <- ys, n == m]

where ys = frecuencias xs

m = maximum (map snd ys)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 6. La media geométrica de una lista de n números es la

-- raíz n-ésima del producto de todos los números.

-- Definir la función

-- mediaGeometrica :: Floating a => [a] -> a

-- tal que (mediaGeometrica xs) es la media geométrica de xs. Por

-- ejemplo,

-- mediaGeometrica [2,18] == 6.0

-- mediaGeometrica [3,1,9] == 3.0

-- ---------------------------------------------------------------------

mediaGeometrica :: Floating a => [a] -> a

mediaGeometrica xs = (product xs)**(1 / genericLength xs)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 7. Comprobar con QuickCheck que la media geométrica de

-- cualquier lista no vacía de números no negativos es siempre menor o

-- igual que la media aritmética.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es

prop_mediaGeometrica :: (Floating a, Ord a) => [a] -> Property

prop_mediaGeometrica xs =

not (null xs) ==>

mediaGeometrica ys <= media ys

where ys = map abs xs

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_mediaGeometrica

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Medidas de dispersión --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 8. El recorrido (o rango) de una lista de valores es la

-- diferencia entre el mayor y el menor.

-- Definir la función

-- rango :: (Num a, Ord a) => [a] -> a

-- tal que (rango xs) es el rango de xs. Por ejemplo,

-- rango [4,2,4,7,3] == 5

-- ---------------------------------------------------------------------

rango :: (Num a, Ord a) => [a] -> a

rango xs = maximum xs - minimum xs

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 9. La desviación media de una lista de datos xs es la

-- media de las distancias de los datos a la media xs, donde la

-- distancia entre dos elementos es el valor absoluto de su

-- diferencia. Por ejemplo, la desviación media de [4,8,4,5,9] es 2 ya

-- que la media de [4,8,4,5,9] es 6 y

-- (|4-6| + |8-6| + |4-6| + |5-6| + |9-6|) / 5

-- = (2 + 2 + 2 + 1 + 3) / 5

-- = 2

-- Definir la función

-- desviacionMedia :: Floating a => [a] -> a

-- tal que (desviacionMedia xs) es la desviación media de xs. Por

-- ejemplo,

-- desviacionMedia [4,8,4,5,9] == 2.0

-- desviacionMedia (replicate 10 3) == 0.0

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desviacionMedia :: Floating a => [a] -> a

desviacionMedia xs = media [abs(x - m) | x <- xs]

where m = media xs

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 10. La varianza de una lista datos es la media de los

-- cuadrados de las distancias de los datos a la media. Por ejemplo, la

-- varianza de [4,8,4,5,9] es 4.4 ya que la media de [4,8,4,5,9] es 6 y

-- ((4-6)^2 + (8-6)^2 + (4-6)^2 + (5-6)^2 + (9-6)^2) / 5

-- = (4 + 4 + 4 + 1 + 9) / 5

-- = 4.4

-- Definir la función

-- varianza :: Floating a => [a] -> a

-- tal que (desviacionMedia xs) es la varianza de xs. Por ejemplo,

-- varianza [4,8,4,5,9] == 4.4

-- varianza (replicate 10 3) == 0.0

-- ---------------------------------------------------------------------

varianza :: Floating a => [a] -> a

varianza xs = media [(x-m)^2 | x <- xs]

where m = media xs

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 11. La desviación típica de una lista de datos es la raíz

-- cuadrada de su varianza.

-- Definir la función

-- desviacionTipica :: Floating a => [a] -> a

-- tal que (desviacionTipica xs) es la desviación típica de xs. Por

-- ejemplo,

-- desviacionTipica [4,8,4,5,9] == 2.0976176963403033

-- desviacionTipica (replicate 10 3) == 0.0

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desviacionTipica :: Floating a => [a] -> a

desviacionTipica xs = sqrt (varianza xs)

El codigo correspondiente se encuentra en GitHub.

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