I1M2015: Ejercicios de evaluación perezosa y listas infinitas en Haskell

En clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos comentando las soluciones de los ejercicios de evaluación perezosa y listas infinitas de la 13ª relación.

Los ejercicios, y sus soluciones, se muestran a continuación.

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-- Introducción                                                       --
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-- En esta relación se presentan ejercicios con listas infinitas y
-- evaluación perezosa. Estos ejercicios corresponden al tema 10 que
-- se encuentra en  
--    http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m-15/temas/tema-10.html

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-- Importación de librerías auxiliares                                  
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import Test.QuickCheck

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-- Ejercicio 1.1. Definir, por recursión, la función 
--    repite :: a -> [a]
-- tal que (repite x) es la lista infinita cuyos elementos son x. Por
-- ejemplo, 
--    repite 5           ==  [5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,...
--    take 3 (repite 5)  ==  [5,5,5]
-- 
-- Nota: La función repite es equivalente a la función repeat definida
-- en el preludio de Haskell.
-- ---------------------------------------------------------------------

-- 1ª definición:
repite1 :: a -> [a]
repite1 x = x : repite1 x

-- 2ª definición:
repite2 :: a -> [a]
repite2 x = ys 
    where ys = x:ys

-- La 2ª definición es más eficiente:
--    ghci> last (take 100000000 (repite1 5))
--    5
--    (46.56 secs, 16001567944 bytes)
--    ghci> last (take 100000000 (repite2 5))
--    5
--    (2.34 secs, 5601589608 bytes)

-- Usaremos como repite la 2ª definición
repite :: a -> [a]
repite = repite2

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-- Ejercicio 1.2. Definir, por comprensión, la función 
--    repiteC :: a -> [a]
-- tal que (repiteC x) es la lista infinita cuyos elementos son x. Por
-- ejemplo, 
--    repiteC 5           ==  [5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,...
--    take 3 (repiteC 5)  ==  [5,5,5]
--
-- Nota: La función repiteC es equivalente a la función repeat definida
-- en el preludio de Haskell.
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repiteC :: a -> [a]
repiteC x = [x | _ <- [1..]]

-- La función repite2 es más eficiente que repiteC
--    λ> last (take 10000000 (repiteC 5))
--    5
--    (6.05 secs, 1,997,740,536 bytes)
--    λ> last (take 10000000 (repite2 5))
--    5
--    (0.31 secs, 541,471,280 bytes)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2.1. Definir, por recursión, la función 
--    repiteFinitaR :: Int-> a -> [a]
-- tal que (repiteFinitaR n x) es la lista con n elementos iguales a
-- x. Por ejemplo, 
--    repiteFinitaR 3 5  ==  [5,5,5]
--
-- Nota: La función repiteFinitaR es equivalente a la función replicate
-- definida en el preludio de Haskell.
-- ---------------------------------------------------------------------

repiteFinitaR :: Int -> a -> [a]
repiteFinitaR n x | n <= 0    = []
                  | otherwise = x : repiteFinitaR (n-1) x

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2.2. Definir, por comprensión, la función 
--    repiteFinitaC :: Int-> a -> [a]
-- tal que (repiteFinitaC n x) es la lista con n elementos iguales a
-- x. Por ejemplo, 
--    repiteFinitaC 3 5  ==  [5,5,5]
--
-- Nota: La función repiteFinitaC es equivalente a la función replicate
-- definida en el preludio de Haskell.
-- ---------------------------------------------------------------------

repiteFinitaC :: Int -> a -> [a]
repiteFinitaC n x = [x | _ <- [1..n]]

-- La función repiteFinitaC es más eficiente que repiteFinitaR
--    λ> last (repiteFinitaR 10000000 5)
--    5
--    (17.04 secs, 2,475,222,448 bytes)
--    λ> last (repiteFinitaC 10000000 5)
--    5
--    (5.43 secs, 1,511,227,176 bytes)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2.3. Definir, usando repite, la función 
--    repiteFinita :: Int-> a -> [a]
-- tal que (repiteFinita n x) es la lista con n elementos iguales a
-- x. Por ejemplo, 
--    repiteFinita 3 5  ==  [5,5,5]
--
-- Nota: La función repiteFinita es equivalente a la función replicate
-- definida en el preludio de Haskell.
-- ---------------------------------------------------------------------

repiteFinita :: Int -> a -> [a]
repiteFinita n x = take n (repite x)

-- La función repiteFinita es más eficiente que repiteFinitaC
--    λ> last (repiteFinitaC 10000000 5)
--    5
--    (5.43 secs, 1,511,227,176 bytes)
--    λ> last (repiteFinita 10000000 5)
--    5
--    (0.29 secs, 541,809,248 bytes)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2.4. Comprobar con QuickCheck que las funciones
-- repiteFinitaR, repiteFinitaC y repiteFinita son equivalentes a
-- replicate. 
--
-- Nota. Al hacer la comprobación limitar el tamaño de las pruebas como
-- se indica a continuación
--    quickCheckWith (stdArgs {maxSize=7}) prop_repiteFinitaEquiv
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_repiteFinitaEquiv :: Int -> Int -> Bool
prop_repiteFinitaEquiv n x =
    repiteFinitaR n x == y &&
    repiteFinitaC n x == y &&
    repiteFinita  n x == y
    where y = replicate n x

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=20}) prop_repiteFinitaEquiv
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2.5. Comprobar con QuickCheck que la longitud de
-- (repiteFinita n x) es n, si n es positivo y 0 si no lo es.
--
-- Nota. Al hacer la comprobación limitar el tamaño de las pruebas como
-- se indica a continuación
--    quickCheckWith (stdArgs {maxSize=30}) prop_repiteFinitaLongitud
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_repiteFinitaLongitud :: Int -> Int -> Bool
prop_repiteFinitaLongitud n x 
    | n > 0     = length (repiteFinita n x) == n
    | otherwise = length (repiteFinita n x) == 0

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=30}) prop_repiteFinitaLongitud
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- La expresión de la propiedad se puede simplificar
prop_repiteFinitaLongitud2 :: Int -> Int -> Bool
prop_repiteFinitaLongitud2 n x =
    length (repiteFinita n x) == (if n > 0 then n else 0)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2.6. Comprobar con QuickCheck que todos los elementos de 
-- (repiteFinita n x) son iguales a x.
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_repiteFinitaIguales :: Int -> Int -> Bool
prop_repiteFinitaIguales n x =
    all (==x) (repiteFinita n x)

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=30}) prop_repiteFinitaIguales
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3.1. Definir, por comprensión, la función
--    ecoC :: String -> String
-- tal que (ecoC xs) es la cadena obtenida a partir de la cadena xs
-- repitiendo cada elemento tantas veces como indica su posición: el
-- primer elemento se repite 1 vez, el segundo 2 veces y así
-- sucesivamente. Por ejemplo, 
--    ecoC "abcd"  ==  "abbcccdddd"
-- ---------------------------------------------------------------------

ecoC :: String -> String
ecoC xs = concat [replicate i x | (i,x) <- zip [1..] xs]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3.2. Definir, por recursión, la función
--    ecoR :: String -> String
-- tal que (ecoR xs) es la cadena obtenida a partir de la cadena xs
-- repitiendo cada elemento tantas veces como indica su posición: el
-- primer elemento se repite 1 vez, el segundo 2 veces y así
-- sucesivamente. Por ejemplo, 
--    ecoR "abcd"  ==  "abbcccdddd"
-- ---------------------------------------------------------------------

-- 1ª definición 
ecoR :: String -> String
ecoR = aux 1
    where aux n []     = []
          aux n (x:xs) = replicate n x ++ aux (n+1) xs

-- 2ª definición
ecoR2 :: String -> String
ecoR2 [x] = [x]
ecoR2 xs  = (ecoR2 . init) xs ++ repiteFinita (length xs) (last xs)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4. Definir, por recursión, la función
--    itera :: (a -> a) -> a -> [a]
-- tal que (itera f x) es la lista cuyo primer elemento es x y los
-- siguientes elementos se calculan aplicando la función f al elemento
-- anterior. Por ejemplo, 
--    ghci> itera (+1) 3
--    [3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,{Interrupted!}
--    ghci> itera (*2) 1
--    [1,2,4,8,16,32,64,{Interrupted!}
--    ghci> itera (`div` 10) 1972
--    [1972,197,19,1,0,0,0,0,0,0,{Interrupted!}
-- 
-- Nota: La función repite es equivalente a la función iterate definida
-- en el preludio de Haskell.
-- ---------------------------------------------------------------------

itera :: (a -> a) -> a -> [a]
itera f x = x : itera f (f x)

-- ----------------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5.1. Definir, por recursión, la función
--    agrupaR :: Int -> [a] -> [[a]]
-- tal que (agrupaR n xs) es la lista formada por listas de n elementos
-- consecutivos de la lista xs (salvo posiblemente la última que puede
-- tener menos de n elementos). Por ejemplo, 
--    ghci> agrupaR 2 [3,1,5,8,2,7]
--    [[3,1],[5,8],[2,7]]
--    ghci> agrupaR 2 [3,1,5,8,2,7,9] 
--    [[3,1],[5,8],[2,7],[9]]
--    ghci> agrupaR 5 "todo necio confunde valor y precio"
--    ["todo ","necio"," conf","unde ","valor"," y pr","ecio"]
-- ---------------------------------------------------------------------------- 

agrupaR :: Int -> [a] -> [[a]]
agrupaR n [] = []
agrupaR n xs = take n xs : agrupaR n (drop n xs)

-- ----------------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5.2. Definir, de manera no recursiva con iterate, la función
--    agrupa :: Int -> [a] -> [[a]]
-- tal que (agrupa n xs) es la lista formada por listas de n elementos
-- consecutivos de la lista xs (salvo posiblemente la última que puede
-- tener menos de n elementos). Por ejemplo, 
--    ghci> agrupa 2 [3,1,5,8,2,7]
--    [[3,1],[5,8],[2,7]]
--    ghci> agrupa 2 [3,1,5,8,2,7,9] 
--    [[3,1],[5,8],[2,7],[9]]
--    ghci> agrupa 5 "todo necio confunde valor y precio"
--    ["todo ","necio"," conf","unde ","valor"," y pr","ecio"]
-- ---------------------------------------------------------------------------- 

agrupa :: Int -> [a] -> [[a]]
agrupa n = takeWhile (not . null)
         . map (take n)
         . iterate (drop n)

-- Puede verse su funcionamiento en el siguiente ejemplo,
--    iterate (drop 2) [5..10]  
--    ==> [[5,6,7,8,9,10],[7,8,9,10],[9,10],[],[],...
--    map (take 2) (iterate (drop 2) [5..10])
--    ==> [[5,6],[7,8],[9,10],[],[],[],[],...
--    takeWhile (not . null) (map (take 2) (iterate (drop 2) [5..10]))
--    ==> [[5,6],[7,8],[9,10]]

-- ----------------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5.3. Comprobar con QuickCheck que todos los grupos de
-- (agrupa n xs) tienen longitud n (salvo el último que puede tener una
-- longitud menor). 
-- ---------------------------------------------------------------------------- 

-- La propiedad es
prop_AgrupaLongitud :: Int -> [Int] -> Property
prop_AgrupaLongitud n xs =
    n > 0 && not (null gs) ==>
      and [length g == n | g <- init gs] &&
      0 < length (last gs) && length (last gs) <= n
    where gs = agrupa n xs

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_AgrupaLongitud
--    OK, passed 100 tests.

-- ----------------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5.4. Comprobar con QuickCheck que combinando todos los
-- grupos de ((agrupa n xs)) se obtiene la lista xs. 
-- ---------------------------------------------------------------------------- 

-- La segunda propiedad es
prop_AgrupaCombina :: Int -> [Int] -> Property
prop_AgrupaCombina n xs =
    n > 0 ==> concat (agrupa n xs) == xs 

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_AgrupaCombina
--    OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6.1. Sea la siguiente operación, aplicable a cualquier
-- número entero positivo:  
--    * Si el número es par, se divide entre 2.
--    * Si el número es impar, se multiplica por 3 y se suma 1.
-- Dado un número cualquiera, podemos considerar su órbita, es decir,
-- las imágenes sucesivas al iterar la función. Por ejemplo, la órbita
-- de 13 es
--    13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1,...
-- Si observamos este ejemplo, la órbita de 13 es periódica, es decir,
-- se repite indefinidamente a partir de un momento dado). La conjetura
-- de Collatz dice que siempre alcanzaremos el 1 para cualquier número
-- con el que comencemos. Ejemplos:  
--    * Empezando en n = 6 se obtiene 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.
--    * Empezando en n = 11 se obtiene: 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20,
--      10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. 
--    * Empezando en n = 27, la sucesión tiene 112 pasos, llegando hasta
--      9232 antes de descender a 1:  27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47,
--      142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274,
--      137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263,
--      790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502,
--      251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958,
--      479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644,
--      1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308,
--      1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122,
--      61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5,
--      16, 8, 4, 2, 1. 
-- 
-- Definir la función
--    siguiente :: Integer -> Integer
-- tal que (siguiente n) es el siguiente de n en la sucesión de
-- Collatz. Por ejemplo,
--    siguiente 13  ==  40
--    siguiente 40  ==  20
-- ---------------------------------------------------------------------

siguiente n | even n    = n `div` 2
            | otherwise = 3*n+1

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6.2. Definir, por recursión, la función 
--    collatzR :: Integer -> [Integer]
-- tal que (collatzR n) es la órbita de CollatzR de n hasta alcanzar el
-- 1. Por ejemplo,
--    collatzR 13  ==  [13,40,20,10,5,16,8,4,2,1]
-- ---------------------------------------------------------------------

collatzR :: Integer -> [Integer]
collatzR 1 = [1]
collatzR n = n : collatzR (siguiente n)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6.3. Definir, sin recursión y con iterate, la función 
--    collatz :: Integer -> [Integer]
-- tal que (collatz n) es la órbita de Collatz d n hasta alcanzar el
-- 1. Por ejemplo,
--    collatz 13  ==  [13,40,20,10,5,16,8,4,2,1]
-- Indicación: Usar takeWhile e iterate.
-- ---------------------------------------------------------------------

collatz :: Integer -> [Integer]
collatz n = takeWhile (/=1) (iterate siguiente n) ++ [1]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6.4. Definir la función
--    menorCollatzMayor :: Int -> Integer
-- tal que (menorCollatzMayor x) es el menor número cuya órbita de
-- Collatz tiene más de x elementos. Por ejemplo,
--    menorCollatzMayor 100  ==  27
-- ---------------------------------------------------------------------

menorCollatzMayor :: Int -> Integer
menorCollatzMayor x = head [y | y <- [1..], length (collatz y) > x]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6.5. Definir la función
--    menorCollatzSupera :: Integer -> Integer
-- tal que (menorCollatzSupera x) es el menor número cuya órbita de
-- Collatz tiene algún elemento mayor que x. Por ejemplo,
--    menorCollatzSupera 100  ==  15
-- ---------------------------------------------------------------------

menorCollatzSupera :: Integer -> Integer
menorCollatzSupera x = 
    head [y | y <- [1..], maximum (collatz y) > x]

-- Otra definición alternativa es
menorCollatzSupera2 :: Integer -> Integer
menorCollatzSupera2 x = head [n | n <- [1..], t <- collatz n, t > x]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7. Definir, usando takeWhile y map, la función
--    potenciasMenores :: Int -> Int -> [Int]
-- tal que (potenciasMenores x y) es la lista de las potencias de x
-- menores que y. Por ejemplo,
--    potenciasMenores 2 1000  ==  [2,4,8,16,32,64,128,256,512]
-- ---------------------------------------------------------------------

potenciasMenores :: Int -> Int -> [Int]
potenciasMenores x y = takeWhile (<y) (map (x^) [1..])

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8.1. Definir, usando la criba de Eratóstenes, la constante
--    primos :: Integral a => [a]
-- cuyo valor es la lista de los números primos. Por ejemplo,
--    take 10 primos  ==  [2,3,5,7,11,13,17,19,23,29]
-- ---------------------------------------------------------------------

primos :: Integral a => [a]
primos = criba [2..]
    where criba []     = []
          criba (n:ns) = n : criba (elimina n ns)
          elimina n xs = [x | x <- xs, x `mod` n /= 0]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8.2. Definir la función
--    primo :: Integral a => a -> Bool
-- tal que (primo n) se verifica si n es primo. Por ejemplo,
--    primo 7  ==  True
--    primo 9  ==  False
-- ---------------------------------------------------------------------

primo :: Int -> Bool
primo n = head (dropWhile (<n) primos) == n

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8.3. Definir la función
--    sumaDeDosPrimos :: Int -> [(Int,Int)]
-- tal que (sumaDeDosPrimos n) es la lista de las distintas
-- descomposiciones de n como suma de dos números primos. Por ejemplo, 
--    sumaDeDosPrimos 30  ==  [(7,23),(11,19),(13,17)]
--    sumaDeDosPrimos 10  ==  [(3,7),(5,5)]
-- Calcular, usando la función sumaDeDosPrimos, el menor número que
-- puede escribirse de 10 formas distintas como suma de dos primos.
-- ---------------------------------------------------------------------

sumaDeDosPrimos :: Int -> [(Int,Int)]
sumaDeDosPrimos n = 
    [(x,n-x) | x <- primosN, primo (n-x)]
    where primosN = takeWhile (<= (n `div` 2)) primos

-- El cálculo es
--    ghci> head [x | x <- [1..], length (sumaDeDosPrimos x) == 10]
--    114

-- ---------------------------------------------------------------------
-- § La lista infinita de factoriales,                                --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9.1. Definir, por comprensión, la función
--    factoriales1 :: [Integer]
-- tal que factoriales1 es la lista de los factoriales. Por ejemplo,
--    take 10 factoriales1  ==  [1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880]
-- ---------------------------------------------------------------------

factoriales1 :: [Integer]
factoriales1 = [factorial n | n <- [0..]]

-- (factorial n) es el factorial de n. Por ejemplo,
--    factorial 4  ==  24
factorial :: Integer -> Integer
factorial n = product [1..n]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9.2. Definir, usando zipWith, la función
--    factoriales2 :: [Integer]
-- tal que factoriales2 es la lista de los factoriales. Por ejemplo,
--    take 10 factoriales2  ==  [1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880]
-- ---------------------------------------------------------------------

factoriales2 :: [Integer]
factoriales2 = 1 : zipWith (*) [1..] factoriales2

-- El cálculo es
--    take 4 factoriales2
--    = take 4 (1 : zipWith (*) [1..] factoriales2)
--    = 1 : take 3 (zipWith (*) [1..] factoriales2)
--    = 1 : take 3 (zipWith (*) [1..] [1|R1])           {R1 es tail factoriales2}
--    = 1 : take 3 (1 : zipWith (*) [2..] [R1])      
--    = 1 : 1 : take 2 (zipWith (*) [2..] [1|R2])       {R2 es drop 2 factoriales2}  
--    = 1 : 1 : take 2 (2 : zipWith (*) [3..] [R2])
--    = 1 : 1 : 2 : take 1 (zipWith (*) [3..] [2|R3])    {R3 es drop 3 factoriales2}  
--    = 1 : 1 : 2 : take 1 (6 : zipWith (*) [4..] [R3])  
--    = 1 : 1 : 2 : 6 : take 0 (zipWith (*) [4..] [R3])  
--    = 1 : 1 : 2 : 6 : []
--    = [1, 1, 2, 6]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9.3. Comparar el tiempo y espacio necesarios para calcular
-- las siguientes expresiones
--    let xs = take 3000 factoriales1 in (sum xs - sum xs)
--    let xs = take 3000 factoriales2 in (sum xs - sum xs)
-- ---------------------------------------------------------------------

-- El cálculo es
--    ghci> let xs = take 3000 factoriales1 in (sum xs - sum xs)
--    0
--    (17.51 secs, 5631214332 bytes)
--    ghci> let xs = take 3000 factoriales2 in (sum xs - sum xs)
--    0
--    (0.04 secs, 17382284 bytes)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9.4. Definir, por recursión, la función
--    factoriales3 :: [Integer]
-- tal que factoriales3 es la lista de los factoriales. Por ejemplo,
--    take 10 factoriales3  ==  [1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880]
-- ---------------------------------------------------------------------

factoriales3 :: [Integer]
factoriales3 = 1 : aux 1 [1..]
    where aux x (y:ys) = z : aux z ys where z = x*y

-- El cálculo es
--    take 4 factoriales3
--    = take 4 (1 : aux 1 [1..])
--    = 1 : take 3 (aux 1 [1..])
--    = 1 : take 3 (1 : aux 1 [2..])
--    = 1 : 1 : take 2 (aux 1 [2..])
--    = 1 : 1 : take 2 (2 : aux 2 [3..])
--    = 1 : 1 : 2 : take 1 (aux 2 [3..])
--    = 1 : 1 : 2 : take 1 (6 : aux 6 [4..])
--    = 1 : 1 : 2 : 6 : take 0 (aux 6 [4..])
--    = 1 : 1 : 2 : 6 : []
--    = [1,1,2,6]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9.5. Comparar el tiempo y espacio necesarios para calcular
-- las siguientes expresiones
--    let xs = take 3000 factoriales2 in (sum xs - sum xs)
--    let xs = take 3000 factoriales3 in (sum xs - sum xs)
-- ---------------------------------------------------------------------

-- El cálculo es
--    ghci> let xs = take 3000 factoriales2 in (sum xs - sum xs)
--    0
--    (0.04 secs, 17382284 bytes)
--    ghci> let xs = take 3000 factoriales3 in (sum xs - sum xs)
--    0
--    (0.04 secs, 18110224 bytes)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9.6. Definir, usando scanl1, la función
--    factoriales4 :: [Integer]
-- tal que factoriales4 es la lista de los factoriales. Por ejemplo,
--    take 10 factoriales4  ==  [1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880]
-- ---------------------------------------------------------------------

factoriales4 :: [Integer]
factoriales4 = 1 : scanl1 (*) [1..]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9.7. Comparar el tiempo y espacio necesarios para calcular
-- las siguientes expresiones
--    let xs = take 3000 factoriales3 in (sum xs - sum xs)
--    let xs = take 3000 factoriales4 in (sum xs - sum xs)
-- ---------------------------------------------------------------------

-- El cálculo es
--    ghci> let xs = take 3000 factoriales3 in (sum xs - sum xs)
--    0
--    (0.04 secs, 18110224 bytes)
--    ghci> let xs = take 3000 factoriales4 in (sum xs - sum xs)
--    0
--    (0.03 secs, 11965328 bytes)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9.8. Definir, usando iterate, la función
--    factoriales5 :: [Integer]
-- tal que factoriales5 es la lista de los factoriales. Por ejemplo,
--    take 10 factoriales5  ==  [1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880]
-- ---------------------------------------------------------------------

factoriales5 :: [Integer]
factoriales5 = map snd aux
    where aux = iterate f (1,1) where f (x,y) = (x+1,x*y)

-- El cálculo es
--    take 4 factoriales5
--    = take 4 (map snd aux)
--    = take 4 (map snd (iterate f (1,1)))
--    = take 4 (map snd [(1,1),(2,1),(3,2),(4,6),...])
--    = take 4 [1,1,2,6,...]
--    = [1,1,2,6]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9.9. Comparar el tiempo y espacio necesarios para calcular
-- las siguientes expresiones
--    let xs = take 3000 factoriales4 in (sum xs - sum xs)
--    let xs = take 3000 factoriales5 in (sum xs - sum xs)
-- ---------------------------------------------------------------------

-- El cálculo es
--    ghci> let xs = take 3000 factoriales4 in (sum xs - sum xs)
--    0
--    (0.04 secs, 18110224 bytes)
--    ghci> let xs = take 3000 factoriales5 in (sum xs - sum xs)
--    0
--    (0.03 secs, 11965760 bytes)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- § La sucesión de Fibonacci                                         --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10.1. La sucesión de Fibonacci está definida por
--    f(0) = 0
--    f(1) = 1
--    f(n) = f(n-1)+f(n-2), si n > 1.
-- 
-- Definir la función
--    fib :: Integer -> Integer
-- tal que (fib n) es el n-ésimo término de la sucesión de Fibonacci. 
-- Por ejemplo,
--    fib 8  ==  21
-- ---------------------------------------------------------------------

fib :: Integer -> Integer
fib 0 = 0
fib 1 = 1
fib n = fib (n-1) + fib (n-2)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10.2. Definir, por comprensión, la función
--    fibs1 :: [Integer]
-- tal que fibs1 es la sucesión de Fibonacci. Por ejemplo,
--    take 10 fibs1  ==  [0,1,1,2,3,5,8,13,21,34]
-- ---------------------------------------------------------------------

fibs1 :: [Integer]
fibs1 = [fib n | n <- [0..]]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10.3. Definir, por recursión, la función
--    fibs2 :: [Integer]
-- tal que fibs2 es la sucesión de Fibonacci. Por ejemplo,
--    take 10 fibs2  ==  [0,1,1,2,3,5,8,13,21,34]
-- ---------------------------------------------------------------------

fibs2 :: [Integer]
fibs2 = aux 0 1
    where aux x y = x : aux y (x+y)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10.4. Comparar el tiempo y espacio necesarios para calcular
-- las siguientes expresiones
--    let xs = take 30 fibs1 in (sum xs - sum xs)
--    let xs = take 30 fibs2 in (sum xs - sum xs)
-- ---------------------------------------------------------------------

-- El cálculo es
--    ghci> let xs = take 30 fibs1 in (sum xs - sum xs)
--    0
--    (6.02 secs, 421589672 bytes)
--    ghci> let xs = take 30 fibs2 in (sum xs - sum xs)
--    0
--    (0.01 secs, 515856 bytes)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10.5. Definir, por recursión con zipWith, la función
--    fibs3 :: [Integer]
-- tal que fibs3 es la sucesión de Fibonacci. Por ejemplo,
--    take 10 fibs3  ==  [0,1,1,2,3,5,8,13,21,34]
-- ---------------------------------------------------------------------

fibs3 :: [Integer]
fibs3 = 0 : 1: zipWith (+) fibs3 (tail fibs3)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10.6. Comparar el tiempo y espacio necesarios para calcular
-- las siguientes expresiones
--    let xs = take 40000 fibs2 in (sum xs - sum xs)
--    let xs = take 40000 fibs3 in (sum xs - sum xs)
-- ---------------------------------------------------------------------

-- El cálculo es
--    ghci> let xs = take 40000 fibs2 in (sum xs - sum xs)
--    0
--    (0.90 secs, 221634544 bytes)
--    ghci> let xs = take 40000 fibs3 in (sum xs - sum xs)
--    0
--    (1.14 secs, 219448176 bytes)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10.7. Definir, por recursión con acumuladores, la función 
--    fibs4 :: [Integer]
-- tal que fibs4 es la sucesión de Fibonacci. Por ejemplo,
--    take 10 fibs4  ==  [0,1,1,2,3,5,8,13,21,34]
-- ---------------------------------------------------------------------

fibs4 :: [Integer]
fibs4 = fs where (xs,ys,fs) = (zipWith (+) ys fs, 1:xs, 0:ys)

-- El cálculo de fibs4 es 
--   +------------------------+-----------------+-------------------+
--   | xs = zipWith (+) ys fs | ys = 1:xs       | fs = 0:ys         |
--   +------------------------+-----------------+-------------------+
--   |                        | 1:...           | 0:...             |
--   |                        | ^               | ^                 |
--   | 1:...                  | 1:1:...         | 0:1:1:...         |
--   |                        |   ^             |   ^               |
--   | 1:2:...                | 1:1:2:...       | 0:1:1:2:...       |
--   |                        |     ^           |     ^             |
--   | 1:2:3:...              | 1:1:2:3:...     | 0:1:1:2:3:...     |
--   |                        |       ^         |       ^           |
--   | 1:2:3:5:...            | 1:1:2:3:5:...   | 0:1:1:2:3:5:...   |
--   |                        |         ^       |         ^         |
--   | 1:2:3:5:8:...          | 1:1:2:3:5:8:... | 0:1:1:2:3:5:8:... |
--   +------------------------+-----------------+-------------------+
-- En la tercera columna se va construyendo la sucesión.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10.8. Comparar el tiempo y espacio necesarios para calcular
-- las siguientes expresiones
--    let xs = take 40000 fibs3 in (sum xs - sum xs)
--    let xs = take 40000 fibs4 in (sum xs - sum xs)
-- ---------------------------------------------------------------------

-- El cálculo es
--    ghci> let xs = take 40000 fibs2 in (sum xs - sum xs)
--    0
--    (0.90 secs, 221634544 bytes)
--    ghci> let xs = take 40000 fibs4 in (sum xs - sum xs)
--    0
--    (0.84 secs, 219587064 bytes)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- § El triángulo de Pascal                                           --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 11.1. El triángulo de Pascal es un triángulo de números
--          1
--         1 1
--        1 2 1
--      1  3 3  1
--     1 4  6  4 1
--    1 5 10 10 5 1
--   ...............
-- construido de la siguiente forma
-- * la primera fila está formada por el número 1;
-- * las filas siguientes se construyen sumando los números adyacentes
--   de la fila superior y añadiendo un 1 al principio y al final de la
--   fila. 
-- 
-- Definir la función
--    pascal1 :: [[Integer]]
-- tal que pascal es la lista de las líneas del triángulo de Pascal. Por
-- ejemplo, 
--    ghci> take 6 pascal1
--    [[1],[1,1],[1,2,1],[1,3,3,1],[1,4,6,4,1],[1,5,10,10,5,1]]
-- ---------------------------------------------------------------------

pascal1 :: [[Integer]]
pascal1 = iterate f [1]
    where f xs = zipWith (+) (0:xs) (xs++[0])

-- Por ejemplo,
--    xs      = [1,2,1]
--    0:xs    = [0,1,2,1]
--    xs++[0] = [1,2,1,0]
--    +       = [1,3,3,1]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 11.2. Definir la función
--    pascal2 :: [[Integer]]
-- tal que pascal es la lista de las líneas del triángulo de Pascal. Por
-- ejemplo, 
--    ghci> take 6 pascal2
--    [[1],[1,1],[1,2,1],[1,3,3,1],[1,4,6,4,1],[1,5,10,10,5,1]]
-- ---------------------------------------------------------------------

pascal2 :: [[Integer]]
pascal2 = [1] : map f pascal2
    where f xs = zipWith (+) (0:xs) (xs++[0])

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 11.3. Escribir la traza del cálculo de la expresión
--    take 4 pascal
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Nota: El cálculo es
--    take 4 pascal
--    = take 4 ([1] : map f pascal)
--    = [1] : (take 3 (map f pascal))    
--    = [1] : (take 3 (map f ([1]:R1pascal)))
--    = [1] : (take 3 ((f [1]) : map R1pascal)))
--    = [1] : (take 3 ((zipWith (+) (0:[1]) ([1]++[0]) : map R1pascal)))
--    = [1] : (take 3 ((zipWith (+) [0,1] [1,0]) : map R1pascal)))
--    = [1] : (take 3 ([1,1] : map R1pascal)))
--    = [1] : [1,1] : (take 2 (map R1pascal)))
--    = [1] : [1,1] : (take 2 (map ([1,1]:R2pascal)))
--    = [1] : [1,1] : (take 2 ((f [1,1]) : map R2pascal)))
--    = [1] : [1,1] : (take 2 ((zipWith (+) (0:[1,1]) ([1,1]++[0]) : map R2pascal)))
--    = [1] : [1,1] : (take 2 ((zipWith (+) [0,1,1] [1,1,0]) : map R2pascal)))
--    = [1] : [1,1] : (take 2 ([1,2,1] : map R2pascal)))
--    = [1] : [1,1] : [1,2,1] : (take 1 (map R2pascal)))
--    = [1] : [1,1] : [1,2,1] : (take 1 (map ([1,2,1]:R3pascal)))
--    = [1] : [1,1] : [1,2,1] : (take 1 ((f [1,2,1]) : map R3pascal)))
--    = [1] : [1,1] : [1,2,1] : (take 1 ((zipWith (+) (0:[1,2,1]) ([1,2,1]++[0]) : map R3pascal)))
--    = [1] : [1,1] : [1,2,1] : (take 1 ((zipWith (+) [0,1,2,1] [1,2,1,0]) : map R3pascal)))
--    = [1] : [1,1] : [1,2,1] : (take 1 ([1,3,3,1] : map R3pascal)))
--    = [1] : [1,1] : [1,2,1] : [1,3,3,1] : (take 0 (map R3pascal)))
--    = [1] : [1,1] : [1,2,1] : [1,3,3,1] : []
--    = [[1],[1,1],[1,2,1],[1,3,3,1]]
-- en el cálculo con R1pascal, R2pascal y R3pascal es la el triángulo de
-- Pascal si el primero, los dos primeros o los tres primeros elementos,
-- respectivamente.

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-- ---------------------------------------------------------------------

-- Introducción --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- En esta relación se presentan ejercicios con listas infinitas y

-- evaluación perezosa. Estos ejercicios corresponden al tema 10 que

-- se encuentra en

-- http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m-15/temas/tema-10.html

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Importación de librerías auxiliares

-- ---------------------------------------------------------------------

import Test.QuickCheck

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 1.1. Definir, por recursión, la función

-- repite :: a -> [a]

-- tal que (repite x) es la lista infinita cuyos elementos son x. Por

-- ejemplo,

-- repite 5 == [5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,...

-- take 3 (repite 5) == [5,5,5]

-- Nota: La función repite es equivalente a la función repeat definida

-- en el preludio de Haskell.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- 1ª definición:

repite1 :: a -> [a]

repite1 x = x : repite1 x

-- 2ª definición:

repite2 :: a -> [a]

repite2 x = ys

where ys = x:ys

-- La 2ª definición es más eficiente:

-- ghci> last (take 100000000 (repite1 5))

-- 5

-- (46.56 secs, 16001567944 bytes)

-- ghci> last (take 100000000 (repite2 5))

-- 5

-- (2.34 secs, 5601589608 bytes)

-- Usaremos como repite la 2ª definición

repite :: a -> [a]

repite = repite2

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 1.2. Definir, por comprensión, la función

-- repiteC :: a -> [a]

-- tal que (repiteC x) es la lista infinita cuyos elementos son x. Por

-- ejemplo,

-- repiteC 5 == [5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,...

-- take 3 (repiteC 5) == [5,5,5]

-- Nota: La función repiteC es equivalente a la función repeat definida

-- en el preludio de Haskell.

-- ---------------------------------------------------------------------

repiteC :: a -> [a]

repiteC x = [x | _ <- [1..]]

-- La función repite2 es más eficiente que repiteC

-- λ> last (take 10000000 (repiteC 5))

-- 5

-- (6.05 secs, 1,997,740,536 bytes)

-- λ> last (take 10000000 (repite2 5))

-- 5

-- (0.31 secs, 541,471,280 bytes)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 2.1. Definir, por recursión, la función

-- repiteFinitaR :: Int-> a -> [a]

-- tal que (repiteFinitaR n x) es la lista con n elementos iguales a

-- x. Por ejemplo,

-- repiteFinitaR 3 5 == [5,5,5]

-- Nota: La función repiteFinitaR es equivalente a la función replicate

-- definida en el preludio de Haskell.

-- ---------------------------------------------------------------------

repiteFinitaR :: Int -> a -> [a]

repiteFinitaR n x | n <= 0 = []

| otherwise = x : repiteFinitaR (n-1) x

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 2.2. Definir, por comprensión, la función

-- repiteFinitaC :: Int-> a -> [a]

-- tal que (repiteFinitaC n x) es la lista con n elementos iguales a

-- x. Por ejemplo,

-- repiteFinitaC 3 5 == [5,5,5]

-- Nota: La función repiteFinitaC es equivalente a la función replicate

-- definida en el preludio de Haskell.

-- ---------------------------------------------------------------------

repiteFinitaC :: Int -> a -> [a]

repiteFinitaC n x = [x | _ <- [1..n]]

-- La función repiteFinitaC es más eficiente que repiteFinitaR

-- λ> last (repiteFinitaR 10000000 5)

-- 5

-- (17.04 secs, 2,475,222,448 bytes)

-- λ> last (repiteFinitaC 10000000 5)

-- 5

-- (5.43 secs, 1,511,227,176 bytes)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 2.3. Definir, usando repite, la función

-- repiteFinita :: Int-> a -> [a]

-- tal que (repiteFinita n x) es la lista con n elementos iguales a

-- x. Por ejemplo,

-- repiteFinita 3 5 == [5,5,5]

-- Nota: La función repiteFinita es equivalente a la función replicate

-- definida en el preludio de Haskell.

-- ---------------------------------------------------------------------

repiteFinita :: Int -> a -> [a]

repiteFinita n x = take n (repite x)

-- La función repiteFinita es más eficiente que repiteFinitaC

-- λ> last (repiteFinitaC 10000000 5)

-- 5

-- (5.43 secs, 1,511,227,176 bytes)

-- λ> last (repiteFinita 10000000 5)

-- 5

-- (0.29 secs, 541,809,248 bytes)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 2.4. Comprobar con QuickCheck que las funciones

-- repiteFinitaR, repiteFinitaC y repiteFinita son equivalentes a

-- replicate.

-- Nota. Al hacer la comprobación limitar el tamaño de las pruebas como

-- se indica a continuación

-- quickCheckWith (stdArgs {maxSize=7}) prop_repiteFinitaEquiv

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es

prop_repiteFinitaEquiv :: Int -> Int -> Bool

prop_repiteFinitaEquiv n x =

repiteFinitaR n x == y &&

repiteFinitaC n x == y &&

repiteFinita n x == y

where y = replicate n x

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=20}) prop_repiteFinitaEquiv

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 2.5. Comprobar con QuickCheck que la longitud de

-- (repiteFinita n x) es n, si n es positivo y 0 si no lo es.

-- Nota. Al hacer la comprobación limitar el tamaño de las pruebas como

-- se indica a continuación

-- quickCheckWith (stdArgs {maxSize=30}) prop_repiteFinitaLongitud

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es

prop_repiteFinitaLongitud :: Int -> Int -> Bool

prop_repiteFinitaLongitud n x

| n > 0 = length (repiteFinita n x) == n

| otherwise = length (repiteFinita n x) == 0

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=30}) prop_repiteFinitaLongitud

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- La expresión de la propiedad se puede simplificar

prop_repiteFinitaLongitud2 :: Int -> Int -> Bool

prop_repiteFinitaLongitud2 n x =

length (repiteFinita n x) == (if n > 0 then n else 0)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 2.6. Comprobar con QuickCheck que todos los elementos de

-- (repiteFinita n x) son iguales a x.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es

prop_repiteFinitaIguales :: Int -> Int -> Bool

prop_repiteFinitaIguales n x =

all (==x) (repiteFinita n x)

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=30}) prop_repiteFinitaIguales

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 3.1. Definir, por comprensión, la función

-- ecoC :: String -> String

-- tal que (ecoC xs) es la cadena obtenida a partir de la cadena xs

-- repitiendo cada elemento tantas veces como indica su posición: el

-- primer elemento se repite 1 vez, el segundo 2 veces y así

-- sucesivamente. Por ejemplo,

-- ecoC "abcd" == "abbcccdddd"

-- ---------------------------------------------------------------------

ecoC :: String -> String

ecoC xs = concat [replicate i x | (i,x) <- zip [1..] xs]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 3.2. Definir, por recursión, la función

-- ecoR :: String -> String

-- tal que (ecoR xs) es la cadena obtenida a partir de la cadena xs

-- repitiendo cada elemento tantas veces como indica su posición: el

-- primer elemento se repite 1 vez, el segundo 2 veces y así

-- sucesivamente. Por ejemplo,

-- ecoR "abcd" == "abbcccdddd"

-- ---------------------------------------------------------------------

-- 1ª definición

ecoR :: String -> String

ecoR = aux 1

where aux n [] = []

aux n (x:xs) = replicate n x ++ aux (n+1) xs

-- 2ª definición

ecoR2 :: String -> String

ecoR2 [x] = [x]

ecoR2 xs = (ecoR2 . init) xs ++ repiteFinita (length xs) (last xs)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 4. Definir, por recursión, la función

-- itera :: (a -> a) -> a -> [a]

-- tal que (itera f x) es la lista cuyo primer elemento es x y los

-- siguientes elementos se calculan aplicando la función f al elemento

-- anterior. Por ejemplo,

-- ghci> itera (+1) 3

-- [3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,{Interrupted!}

-- ghci> itera (*2) 1

-- [1,2,4,8,16,32,64,{Interrupted!}

-- ghci> itera (`div` 10) 1972

-- [1972,197,19,1,0,0,0,0,0,0,{Interrupted!}

-- Nota: La función repite es equivalente a la función iterate definida

-- en el preludio de Haskell.

-- ---------------------------------------------------------------------

itera :: (a -> a) -> a -> [a]

itera f x = x : itera f (f x)

-- ----------------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 5.1. Definir, por recursión, la función

-- agrupaR :: Int -> [a] -> [[a]]

-- tal que (agrupaR n xs) es la lista formada por listas de n elementos

-- consecutivos de la lista xs (salvo posiblemente la última que puede

-- tener menos de n elementos). Por ejemplo,

-- ghci> agrupaR 2 [3,1,5,8,2,7]

-- [[3,1],[5,8],[2,7]]

-- ghci> agrupaR 2 [3,1,5,8,2,7,9]

-- [[3,1],[5,8],[2,7],[9]]

-- ghci> agrupaR 5 "todo necio confunde valor y precio"

-- ["todo ","necio"," conf","unde ","valor"," y pr","ecio"]

-- ----------------------------------------------------------------------------

agrupaR :: Int -> [a] -> [[a]]

agrupaR n [] = []

agrupaR n xs = take n xs : agrupaR n (drop n xs)

-- ----------------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 5.2. Definir, de manera no recursiva con iterate, la función

-- agrupa :: Int -> [a] -> [[a]]

-- tal que (agrupa n xs) es la lista formada por listas de n elementos

-- consecutivos de la lista xs (salvo posiblemente la última que puede

-- tener menos de n elementos). Por ejemplo,

-- ghci> agrupa 2 [3,1,5,8,2,7]

-- [[3,1],[5,8],[2,7]]

-- ghci> agrupa 2 [3,1,5,8,2,7,9]

-- [[3,1],[5,8],[2,7],[9]]

-- ghci> agrupa 5 "todo necio confunde valor y precio"

-- ["todo ","necio"," conf","unde ","valor"," y pr","ecio"]

-- ----------------------------------------------------------------------------

agrupa :: Int -> [a] -> [[a]]

agrupa n = takeWhile (not . null)

. map (take n)

. iterate (drop n)

-- Puede verse su funcionamiento en el siguiente ejemplo,

-- iterate (drop 2) [5..10]

-- ==> [[5,6,7,8,9,10],[7,8,9,10],[9,10],[],[],...

-- map (take 2) (iterate (drop 2) [5..10])

-- ==> [[5,6],[7,8],[9,10],[],[],[],[],...

-- takeWhile (not . null) (map (take 2) (iterate (drop 2) [5..10]))

-- ==> [[5,6],[7,8],[9,10]]

-- ----------------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 5.3. Comprobar con QuickCheck que todos los grupos de

-- (agrupa n xs) tienen longitud n (salvo el último que puede tener una

-- longitud menor).

-- ----------------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es

prop_AgrupaLongitud :: Int -> [Int] -> Property

prop_AgrupaLongitud n xs =

n > 0 && not (null gs) ==>

and [length g == n | g <- init gs] &&

0 < length (last gs) && length (last gs) <= n

where gs = agrupa n xs

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_AgrupaLongitud

-- OK, passed 100 tests.

-- ----------------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 5.4. Comprobar con QuickCheck que combinando todos los

-- grupos de ((agrupa n xs)) se obtiene la lista xs.

-- ----------------------------------------------------------------------------

-- La segunda propiedad es

prop_AgrupaCombina :: Int -> [Int] -> Property

prop_AgrupaCombina n xs =

n > 0 ==> concat (agrupa n xs) == xs

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_AgrupaCombina

-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 6.1. Sea la siguiente operación, aplicable a cualquier

-- número entero positivo:

-- * Si el número es par, se divide entre 2.

-- * Si el número es impar, se multiplica por 3 y se suma 1.

-- Dado un número cualquiera, podemos considerar su órbita, es decir,

-- las imágenes sucesivas al iterar la función. Por ejemplo, la órbita

-- de 13 es

-- 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1,...

-- Si observamos este ejemplo, la órbita de 13 es periódica, es decir,

-- se repite indefinidamente a partir de un momento dado). La conjetura

-- de Collatz dice que siempre alcanzaremos el 1 para cualquier número

-- con el que comencemos. Ejemplos:

-- * Empezando en n = 6 se obtiene 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

-- * Empezando en n = 11 se obtiene: 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20,

-- 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

-- * Empezando en n = 27, la sucesión tiene 112 pasos, llegando hasta

-- 9232 antes de descender a 1: 27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47,

-- 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274,

-- 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263,

-- 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502,

-- 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958,

-- 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644,

-- 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308,

-- 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122,

-- 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5,

-- 16, 8, 4, 2, 1.

-- Definir la función

-- siguiente :: Integer -> Integer

-- tal que (siguiente n) es el siguiente de n en la sucesión de

-- Collatz. Por ejemplo,

-- siguiente 13 == 40

-- siguiente 40 == 20

-- ---------------------------------------------------------------------

siguiente n | even n = n `div` 2

| otherwise = 3*n+1

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 6.2. Definir, por recursión, la función

-- collatzR :: Integer -> [Integer]

-- tal que (collatzR n) es la órbita de CollatzR de n hasta alcanzar el

-- 1. Por ejemplo,

-- collatzR 13 == [13,40,20,10,5,16,8,4,2,1]

-- ---------------------------------------------------------------------

collatzR :: Integer -> [Integer]

collatzR 1 = [1]

collatzR n = n : collatzR (siguiente n)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 6.3. Definir, sin recursión y con iterate, la función

-- collatz :: Integer -> [Integer]

-- tal que (collatz n) es la órbita de Collatz d n hasta alcanzar el

-- 1. Por ejemplo,

-- collatz 13 == [13,40,20,10,5,16,8,4,2,1]

-- Indicación: Usar takeWhile e iterate.

-- ---------------------------------------------------------------------

collatz :: Integer -> [Integer]

collatz n = takeWhile (/=1) (iterate siguiente n) ++ [1]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 6.4. Definir la función

-- menorCollatzMayor :: Int -> Integer

-- tal que (menorCollatzMayor x) es el menor número cuya órbita de

-- Collatz tiene más de x elementos. Por ejemplo,

-- menorCollatzMayor 100 == 27

-- ---------------------------------------------------------------------

menorCollatzMayor :: Int -> Integer

menorCollatzMayor x = head [y | y <- [1..], length (collatz y) > x]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 6.5. Definir la función

-- menorCollatzSupera :: Integer -> Integer

-- tal que (menorCollatzSupera x) es el menor número cuya órbita de

-- Collatz tiene algún elemento mayor que x. Por ejemplo,

-- menorCollatzSupera 100 == 15

-- ---------------------------------------------------------------------

menorCollatzSupera :: Integer -> Integer

menorCollatzSupera x =

head [y | y <- [1..], maximum (collatz y) > x]

-- Otra definición alternativa es

menorCollatzSupera2 :: Integer -> Integer

menorCollatzSupera2 x = head [n | n <- [1..], t <- collatz n, t > x]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 7. Definir, usando takeWhile y map, la función

-- potenciasMenores :: Int -> Int -> [Int]

-- tal que (potenciasMenores x y) es la lista de las potencias de x

-- menores que y. Por ejemplo,

-- potenciasMenores 2 1000 == [2,4,8,16,32,64,128,256,512]

-- ---------------------------------------------------------------------

potenciasMenores :: Int -> Int -> [Int]

potenciasMenores x y = takeWhile (<y) (map (x^) [1..])

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 8.1. Definir, usando la criba de Eratóstenes, la constante

-- primos :: Integral a => [a]

-- cuyo valor es la lista de los números primos. Por ejemplo,

-- take 10 primos == [2,3,5,7,11,13,17,19,23,29]

-- ---------------------------------------------------------------------

primos :: Integral a => [a]

primos = criba [2..]

where criba [] = []

criba (n:ns) = n : criba (elimina n ns)

elimina n xs = [x | x <- xs, x `mod` n /= 0]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 8.2. Definir la función

-- primo :: Integral a => a -> Bool

-- tal que (primo n) se verifica si n es primo. Por ejemplo,

-- primo 7 == True

-- primo 9 == False

-- ---------------------------------------------------------------------

primo :: Int -> Bool

primo n = head (dropWhile (<n) primos) == n

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 8.3. Definir la función

-- sumaDeDosPrimos :: Int -> [(Int,Int)]

-- tal que (sumaDeDosPrimos n) es la lista de las distintas

-- descomposiciones de n como suma de dos números primos. Por ejemplo,

-- sumaDeDosPrimos 30 == [(7,23),(11,19),(13,17)]

-- sumaDeDosPrimos 10 == [(3,7),(5,5)]

-- Calcular, usando la función sumaDeDosPrimos, el menor número que

-- puede escribirse de 10 formas distintas como suma de dos primos.

-- ---------------------------------------------------------------------

sumaDeDosPrimos :: Int -> [(Int,Int)]

sumaDeDosPrimos n =

[(x,n-x) | x <- primosN, primo (n-x)]

where primosN = takeWhile (<= (n `div` 2)) primos

-- El cálculo es

-- ghci> head [x | x <- [1..], length (sumaDeDosPrimos x) == 10]

-- 114

-- ---------------------------------------------------------------------

-- § La lista infinita de factoriales, --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 9.1. Definir, por comprensión, la función

-- factoriales1 :: [Integer]

-- tal que factoriales1 es la lista de los factoriales. Por ejemplo,

-- take 10 factoriales1 == [1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880]

-- ---------------------------------------------------------------------

factoriales1 :: [Integer]

factoriales1 = [factorial n | n <- [0..]]

-- (factorial n) es el factorial de n. Por ejemplo,

-- factorial 4 == 24

factorial :: Integer -> Integer

factorial n = product [1..n]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 9.2. Definir, usando zipWith, la función

-- factoriales2 :: [Integer]

-- tal que factoriales2 es la lista de los factoriales. Por ejemplo,

-- take 10 factoriales2 == [1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880]

-- ---------------------------------------------------------------------

factoriales2 :: [Integer]

factoriales2 = 1 : zipWith (*) [1..] factoriales2

-- El cálculo es

-- take 4 factoriales2

-- = take 4 (1 : zipWith (*) [1..] factoriales2)

-- = 1 : take 3 (zipWith (*) [1..] factoriales2)

-- = 1 : take 3 (zipWith (*) [1..] [1|R1]) {R1 es tail factoriales2}

-- = 1 : take 3 (1 : zipWith (*) [2..] [R1])

-- = 1 : 1 : take 2 (zipWith (*) [2..] [1|R2]) {R2 es drop 2 factoriales2}

-- = 1 : 1 : take 2 (2 : zipWith (*) [3..] [R2])

-- = 1 : 1 : 2 : take 1 (zipWith (*) [3..] [2|R3]) {R3 es drop 3 factoriales2}

-- = 1 : 1 : 2 : take 1 (6 : zipWith (*) [4..] [R3])

-- = 1 : 1 : 2 : 6 : take 0 (zipWith (*) [4..] [R3])

-- = 1 : 1 : 2 : 6 : []

-- = [1, 1, 2, 6]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 9.3. Comparar el tiempo y espacio necesarios para calcular

-- las siguientes expresiones

-- let xs = take 3000 factoriales1 in (sum xs - sum xs)

-- let xs = take 3000 factoriales2 in (sum xs - sum xs)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- El cálculo es

-- ghci> let xs = take 3000 factoriales1 in (sum xs - sum xs)

-- 0

-- (17.51 secs, 5631214332 bytes)

-- ghci> let xs = take 3000 factoriales2 in (sum xs - sum xs)

-- 0

-- (0.04 secs, 17382284 bytes)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 9.4. Definir, por recursión, la función

-- factoriales3 :: [Integer]

-- tal que factoriales3 es la lista de los factoriales. Por ejemplo,

-- take 10 factoriales3 == [1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880]

-- ---------------------------------------------------------------------

factoriales3 :: [Integer]

factoriales3 = 1 : aux 1 [1..]

where aux x (y:ys) = z : aux z ys where z = x*y

-- El cálculo es

-- take 4 factoriales3

-- = take 4 (1 : aux 1 [1..])

-- = 1 : take 3 (aux 1 [1..])

-- = 1 : take 3 (1 : aux 1 [2..])

-- = 1 : 1 : take 2 (aux 1 [2..])

-- = 1 : 1 : take 2 (2 : aux 2 [3..])

-- = 1 : 1 : 2 : take 1 (aux 2 [3..])

-- = 1 : 1 : 2 : take 1 (6 : aux 6 [4..])

-- = 1 : 1 : 2 : 6 : take 0 (aux 6 [4..])

-- = 1 : 1 : 2 : 6 : []

-- = [1,1,2,6]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 9.5. Comparar el tiempo y espacio necesarios para calcular

-- las siguientes expresiones

-- let xs = take 3000 factoriales2 in (sum xs - sum xs)

-- let xs = take 3000 factoriales3 in (sum xs - sum xs)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- El cálculo es

-- ghci> let xs = take 3000 factoriales2 in (sum xs - sum xs)

-- 0

-- (0.04 secs, 17382284 bytes)

-- ghci> let xs = take 3000 factoriales3 in (sum xs - sum xs)

-- 0

-- (0.04 secs, 18110224 bytes)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 9.6. Definir, usando scanl1, la función

-- factoriales4 :: [Integer]

-- tal que factoriales4 es la lista de los factoriales. Por ejemplo,

-- take 10 factoriales4 == [1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880]

-- ---------------------------------------------------------------------

factoriales4 :: [Integer]

factoriales4 = 1 : scanl1 (*) [1..]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 9.7. Comparar el tiempo y espacio necesarios para calcular

-- las siguientes expresiones

-- let xs = take 3000 factoriales3 in (sum xs - sum xs)

-- let xs = take 3000 factoriales4 in (sum xs - sum xs)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- El cálculo es

-- ghci> let xs = take 3000 factoriales3 in (sum xs - sum xs)

-- 0

-- (0.04 secs, 18110224 bytes)

-- ghci> let xs = take 3000 factoriales4 in (sum xs - sum xs)

-- 0

-- (0.03 secs, 11965328 bytes)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 9.8. Definir, usando iterate, la función

-- factoriales5 :: [Integer]

-- tal que factoriales5 es la lista de los factoriales. Por ejemplo,

-- take 10 factoriales5 == [1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880]

-- ---------------------------------------------------------------------

factoriales5 :: [Integer]

factoriales5 = map snd aux

where aux = iterate f (1,1) where f (x,y) = (x+1,x*y)

-- El cálculo es

-- take 4 factoriales5

-- = take 4 (map snd aux)

-- = take 4 (map snd (iterate f (1,1)))

-- = take 4 (map snd [(1,1),(2,1),(3,2),(4,6),...])

-- = take 4 [1,1,2,6,...]

-- = [1,1,2,6]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 9.9. Comparar el tiempo y espacio necesarios para calcular

-- las siguientes expresiones

-- let xs = take 3000 factoriales4 in (sum xs - sum xs)

-- let xs = take 3000 factoriales5 in (sum xs - sum xs)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- El cálculo es

-- ghci> let xs = take 3000 factoriales4 in (sum xs - sum xs)

-- 0

-- (0.04 secs, 18110224 bytes)

-- ghci> let xs = take 3000 factoriales5 in (sum xs - sum xs)

-- 0

-- (0.03 secs, 11965760 bytes)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- § La sucesión de Fibonacci --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 10.1. La sucesión de Fibonacci está definida por

-- f(0) = 0

-- f(1) = 1

-- f(n) = f(n-1)+f(n-2), si n > 1.

-- Definir la función

-- fib :: Integer -> Integer

-- tal que (fib n) es el n-ésimo término de la sucesión de Fibonacci.

-- Por ejemplo,

-- fib 8 == 21

-- ---------------------------------------------------------------------

fib :: Integer -> Integer

fib 0 = 0

fib 1 = 1

fib n = fib (n-1) + fib (n-2)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 10.2. Definir, por comprensión, la función

-- fibs1 :: [Integer]

-- tal que fibs1 es la sucesión de Fibonacci. Por ejemplo,

-- take 10 fibs1 == [0,1,1,2,3,5,8,13,21,34]

-- ---------------------------------------------------------------------

fibs1 :: [Integer]

fibs1 = [fib n | n <- [0..]]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 10.3. Definir, por recursión, la función

-- fibs2 :: [Integer]

-- tal que fibs2 es la sucesión de Fibonacci. Por ejemplo,

-- take 10 fibs2 == [0,1,1,2,3,5,8,13,21,34]

-- ---------------------------------------------------------------------

fibs2 :: [Integer]

fibs2 = aux 0 1

where aux x y = x : aux y (x+y)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 10.4. Comparar el tiempo y espacio necesarios para calcular

-- las siguientes expresiones

-- let xs = take 30 fibs1 in (sum xs - sum xs)

-- let xs = take 30 fibs2 in (sum xs - sum xs)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- El cálculo es

-- ghci> let xs = take 30 fibs1 in (sum xs - sum xs)

-- 0

-- (6.02 secs, 421589672 bytes)

-- ghci> let xs = take 30 fibs2 in (sum xs - sum xs)

-- 0

-- (0.01 secs, 515856 bytes)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 10.5. Definir, por recursión con zipWith, la función

-- fibs3 :: [Integer]

-- tal que fibs3 es la sucesión de Fibonacci. Por ejemplo,

-- take 10 fibs3 == [0,1,1,2,3,5,8,13,21,34]

-- ---------------------------------------------------------------------

fibs3 :: [Integer]

fibs3 = 0 : 1: zipWith (+) fibs3 (tail fibs3)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 10.6. Comparar el tiempo y espacio necesarios para calcular

-- las siguientes expresiones

-- let xs = take 40000 fibs2 in (sum xs - sum xs)

-- let xs = take 40000 fibs3 in (sum xs - sum xs)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- El cálculo es

-- ghci> let xs = take 40000 fibs2 in (sum xs - sum xs)

-- 0

-- (0.90 secs, 221634544 bytes)

-- ghci> let xs = take 40000 fibs3 in (sum xs - sum xs)

-- 0

-- (1.14 secs, 219448176 bytes)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 10.7. Definir, por recursión con acumuladores, la función

-- fibs4 :: [Integer]

-- tal que fibs4 es la sucesión de Fibonacci. Por ejemplo,

-- take 10 fibs4 == [0,1,1,2,3,5,8,13,21,34]

-- ---------------------------------------------------------------------

fibs4 :: [Integer]

fibs4 = fs where (xs,ys,fs) = (zipWith (+) ys fs, 1:xs, 0:ys)

-- El cálculo de fibs4 es

-- +------------------------+-----------------+-------------------+

-- | xs = zipWith (+) ys fs | ys = 1:xs | fs = 0:ys |

-- +------------------------+-----------------+-------------------+

-- | | 1:... | 0:... |

-- | | ^ | ^ |

-- | 1:... | 1:1:... | 0:1:1:... |

-- | | ^ | ^ |

-- | 1:2:... | 1:1:2:... | 0:1:1:2:... |

-- | | ^ | ^ |

-- | 1:2:3:... | 1:1:2:3:... | 0:1:1:2:3:... |

-- | | ^ | ^ |

-- | 1:2:3:5:... | 1:1:2:3:5:... | 0:1:1:2:3:5:... |

-- | | ^ | ^ |

-- | 1:2:3:5:8:... | 1:1:2:3:5:8:... | 0:1:1:2:3:5:8:... |

-- +------------------------+-----------------+-------------------+

-- En la tercera columna se va construyendo la sucesión.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 10.8. Comparar el tiempo y espacio necesarios para calcular

-- las siguientes expresiones

-- let xs = take 40000 fibs3 in (sum xs - sum xs)

-- let xs = take 40000 fibs4 in (sum xs - sum xs)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- El cálculo es

-- ghci> let xs = take 40000 fibs2 in (sum xs - sum xs)

-- 0

-- (0.90 secs, 221634544 bytes)

-- ghci> let xs = take 40000 fibs4 in (sum xs - sum xs)

-- 0

-- (0.84 secs, 219587064 bytes)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- § El triángulo de Pascal --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 11.1. El triángulo de Pascal es un triángulo de números

-- 1

-- 1 1

-- 1 2 1

-- 1 3 3 1

-- 1 4 6 4 1

-- 1 5 10 10 5 1

-- ...............

-- construido de la siguiente forma

-- * la primera fila está formada por el número 1;

-- * las filas siguientes se construyen sumando los números adyacentes

-- de la fila superior y añadiendo un 1 al principio y al final de la

-- fila.

-- Definir la función

-- pascal1 :: [[Integer]]

-- tal que pascal es la lista de las líneas del triángulo de Pascal. Por

-- ejemplo,

-- ghci> take 6 pascal1

-- [[1],[1,1],[1,2,1],[1,3,3,1],[1,4,6,4,1],[1,5,10,10,5,1]]

-- ---------------------------------------------------------------------

pascal1 :: [[Integer]]

pascal1 = iterate f [1]

where f xs = zipWith (+) (0:xs) (xs++[0])

-- Por ejemplo,

-- xs = [1,2,1]

-- 0:xs = [0,1,2,1]

-- xs++[0] = [1,2,1,0]

-- + = [1,3,3,1]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 11.2. Definir la función

-- pascal2 :: [[Integer]]

-- tal que pascal es la lista de las líneas del triángulo de Pascal. Por

-- ejemplo,

-- ghci> take 6 pascal2

-- [[1],[1,1],[1,2,1],[1,3,3,1],[1,4,6,4,1],[1,5,10,10,5,1]]

-- ---------------------------------------------------------------------

pascal2 :: [[Integer]]

pascal2 = [1] : map f pascal2

where f xs = zipWith (+) (0:xs) (xs++[0])

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 11.3. Escribir la traza del cálculo de la expresión

-- take 4 pascal

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Nota: El cálculo es

-- take 4 pascal

-- = take 4 ([1] : map f pascal)

-- = [1] : (take 3 (map f pascal))

-- = [1] : (take 3 (map f ([1]:R1pascal)))

-- = [1] : (take 3 ((f [1]) : map R1pascal)))

-- = [1] : (take 3 ((zipWith (+) (0:[1]) ([1]++[0]) : map R1pascal)))

-- = [1] : (take 3 ((zipWith (+) [0,1] [1,0]) : map R1pascal)))

-- = [1] : (take 3 ([1,1] : map R1pascal)))

-- = [1] : [1,1] : (take 2 (map R1pascal)))

-- = [1] : [1,1] : (take 2 (map ([1,1]:R2pascal)))

-- = [1] : [1,1] : (take 2 ((f [1,1]) : map R2pascal)))

-- = [1] : [1,1] : (take 2 ((zipWith (+) (0:[1,1]) ([1,1]++[0]) : map R2pascal)))

-- = [1] : [1,1] : (take 2 ((zipWith (+) [0,1,1] [1,1,0]) : map R2pascal)))

-- = [1] : [1,1] : (take 2 ([1,2,1] : map R2pascal)))

-- = [1] : [1,1] : [1,2,1] : (take 1 (map R2pascal)))

-- = [1] : [1,1] : [1,2,1] : (take 1 (map ([1,2,1]:R3pascal)))

-- = [1] : [1,1] : [1,2,1] : (take 1 ((f [1,2,1]) : map R3pascal)))

-- = [1] : [1,1] : [1,2,1] : (take 1 ((zipWith (+) (0:[1,2,1]) ([1,2,1]++[0]) : map R3pascal)))

-- = [1] : [1,1] : [1,2,1] : (take 1 ((zipWith (+) [0,1,2,1] [1,2,1,0]) : map R3pascal)))

-- = [1] : [1,1] : [1,2,1] : (take 1 ([1,3,3,1] : map R3pascal)))

-- = [1] : [1,1] : [1,2,1] : [1,3,3,1] : (take 0 (map R3pascal)))

-- = [1] : [1,1] : [1,2,1] : [1,3,3,1] : []

-- = [[1],[1,1],[1,2,1],[1,3,3,1]]

-- en el cálculo con R1pascal, R2pascal y R3pascal es la el triángulo de

-- Pascal si el primero, los dos primeros o los tres primeros elementos,

-- respectivamente.

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