I1M2015: División y factorización de polinomios mediante la regla de Ruffini en Haskell
En la segunda parte de la clase de hoy del curso de Informática de 1º del Grado en Matemáticas se han explicado las soluciones de los ejercicios de la relación 34. El objetivo de la relación es implementar la regla de Ruffini y sus aplicaciones utilizando las implementaciones del TAD de polinomio estudiadas en el tema 21.
Los ejercicios, y sus soluciones, se muestran a continuación.
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-- --------------------------------------------------------------------- -- Introducción -- -- --------------------------------------------------------------------- -- El objetivo de esta relación de ejercicios es implementar la regla de -- Ruffini y sus aplicaciones utilizando las implementaciones del TAD de -- polinomio estudiadas en el tema 21 que se pueden descargar desde -- http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m-15/temas/tema-21.html -- -- Para realizar los ejercicios hay que tener instalada la librería I1M -- que contiene la implementación de TAD de los polinomios. Los pasos -- para instalarla son los siguientes: -- + Descargar el paquete I1M desde http://bit.ly/1pbnDqm -- + Descomprimirlo (y se crea el directorio I1M-master.zip). -- + Cambiar al directorio I1M-master. -- + Ejecutar cabal install I1M.cabal -- -- Otra forma es descargar, en el directorio de ejercicios, la -- implementación del TAD de polinomios: -- + PolRepTDA que está en http://bit.ly/1WJnS93 -- + PolRepDispersa que está en http://bit.ly/1WJnUO8 -- + PolRepDensa que está en http://bit.ly/1WJnV4E -- + PolOperaciones que está en http://bit.ly/1WJnTd7 -- --------------------------------------------------------------------- -- Importación de librerías -- -- --------------------------------------------------------------------- import Test.QuickCheck -- Hay que elegir una librería import I1M.PolOperaciones -- import PolOperaciones -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejemplos -- -- --------------------------------------------------------------------- -- Además de los ejemplos de polinomios (ejPol1, ejPol2 y ejPol3) que se -- encuentran en PolOperaciones, usaremos el siguiente ejemplo. ejPol4 :: Polinomio Int ejPol4 = consPol 3 1 (consPol 2 2 (consPol 1 (-1) (consPol 0 (-2) polCero))) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. Definir la función -- divisores :: Int -> [Int] -- tal que (divisores n) es la lista de todos los divisores enteros de -- n. Por ejemplo, -- divisores 4 == [1,-1,2,-2,4,-4] -- divisores (-6) == [1,-1,2,-2,3,-3,6,-6] -- --------------------------------------------------------------------- divisores :: Int -> [Int] divisores n = concat [[x,-x] | x <- [1..abs n], rem n x == 0] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. Definir la función -- coeficiente :: (Num a, Eq a) => Int -> Polinomio a -> a -- tal que (coeficiente k p) es el coeficiente del término de grado k en -- p. Por ejemplo: -- coeficiente 4 ejPol1 == 3 -- coeficiente 3 ejPol1 == 0 -- coeficiente 2 ejPol1 == -5 -- coeficiente 5 ejPol1 == 0 -- --------------------------------------------------------------------- coeficiente :: (Num a, Eq a) => Int -> Polinomio a -> a coeficiente k p | k == gp = coefLider p | k > grado rp = 0 | otherwise = coeficiente k rp where gp = grado p rp = restoPol p -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. Definir la función -- terminoIndep :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> a -- tal que (terminoIndep p) es el término independiente del polinomio -- p. Por ejemplo, -- terminoIndep ejPol1 == 3 -- terminoIndep ejPol2 == 0 -- terminoIndep ejPol4 == -2 -- --------------------------------------------------------------------- terminoIndep :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> a terminoIndep = coeficiente 0 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Definir la función -- coeficientes :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> [a] -- tal que (coeficientes p) es la lista de coeficientes de p, ordenada -- según el grado. Por ejemplo, -- coeficientes ejPol1 == [3,0,-5,0,3] -- coeficientes ejPol4 == [1,2,-1,-2] -- coeficientes ejPol2 == [1,0,0,5,4,0] -- --------------------------------------------------------------------- coeficientes :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> [a] coeficientes p = [coeficiente k p | k <- [n,n-1..0]] where n = grado p -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. Definir la función -- creaPol :: (Num a, Eq a) => [a] -> Polinomio a -- tal que (creaPol cs) es el polinomio cuya lista de coeficientes es -- cs. Por ejemplo, -- creaPol [1,0,0,5,4,0] == x^5 + 5*x^2 + 4*x -- creaPol [1,2,0,3,0] == x^4 + 2*x^3 + 3*x -- --------------------------------------------------------------------- creaPol :: (Num a, Eq a) => [a] -> Polinomio a creaPol [] = polCero creaPol (a:as) = consPol n a (creaPol as) where n = length as -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6. Comprobar con QuickCheck que, dado un polinomio p, el -- polinomio obtenido mediante creaPol a partir de la lista de -- coeficientes de p coincide con p. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_coef:: Polinomio Int -> Bool prop_coef p = creaPol (coeficientes p) == p -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_coef -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7. Definir una función -- pRuffini:: Int -> [Int] -> [Int] -- tal que (pRuffini r cs) es la lista que resulta de aplicar un paso -- del regla de Ruffini al número entero r y a la lista de coeficientes -- cs. Por ejemplo, -- pRuffini 2 [1,2,-1,-2] == [1,4,7,12] -- pRuffini 1 [1,2,-1,-2] == [1,3,2,0] -- ya que -- | 1 2 -1 -2 | 1 2 -1 -2 -- 2 | 2 8 14 1 | 1 3 2 -- --+-------------- --+------------- -- | 1 4 7 12 | 1 3 2 0 -- --------------------------------------------------------------------- pRuffini :: Int -> [Int] -> [Int] pRuffini r p@(c:cs) = c : [x+r*y | (x,y) <- zip cs (pRuffini r p)] -- 2ª definición pRuffini2 :: Int -> [Int] -> [Int] pRuffini2 r = scanl1 (\s x -> s * r + x) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8. Definir la función -- cocienteRuffini:: Int -> Polinomio Int -> Polinomio Int -- tal que (cocienteRuffini r p) es el cociente de dividir el polinomio -- p por el polinomio x-r. Por ejemplo: -- cocienteRuffini 2 ejPol4 == x^2 + 4*x + 7 -- cocienteRuffini (-2) ejPol4 == x^2 + -1 -- cocienteRuffini 3 ejPol4 == x^2 + 5*x + 14 -- --------------------------------------------------------------------- cocienteRuffini :: Int -> Polinomio Int -> Polinomio Int cocienteRuffini r p = creaPol (init (pRuffini r (coeficientes p))) -- 2ª definición cocienteRuffini2 :: Int -> Polinomio Int -> Polinomio Int cocienteRuffini2 r = creaPol . pRuffini r . init . coeficientes -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9. Definir la función -- restoRuffini:: Int -> Polinomio Int -> Int -- tal que (restoRuffini r p) es el resto de dividir el polinomio p por -- el polinomio x-r. Por ejemplo, -- restoRuffini 2 ejPol4 == 12 -- restoRuffini (-2) ejPol4 == 0 -- restoRuffini 3 ejPol4 == 40 -- --------------------------------------------------------------------- restoRuffini :: Int -> Polinomio Int -> Int restoRuffini r p = last (pRuffini r (coeficientes p)) -- 2ª definición restoRuffini2 :: Int -> Polinomio Int -> Int restoRuffini2 r = last . pRuffini r . coeficientes -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10. Comprobar con QuickCheck que, dado un polinomio p y un -- número entero r, las funciones anteriores verifican la propiedad de -- la división euclídea. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_diviEuclidea:: Int -> Polinomio Int -> Bool prop_diviEuclidea r p = p == sumaPol (multPol coc div) res where coc = cocienteRuffini r p div = creaPol [1,-r] res = creaTermino 0 (restoRuffini r p) -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_diviEuclidea -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11. Definir la función -- esRaizRuffini:: Int -> Polinomio Int -> Bool -- tal que (esRaizRuffini r p) se verifica si r es una raiz de p, usando -- para ello el regla de Ruffini. Por ejemplo, -- esRaizRuffini 0 ejPol3 == True -- esRaizRuffini 1 ejPol3 == False -- --------------------------------------------------------------------- esRaizRuffini:: Int -> Polinomio Int -> Bool esRaizRuffini r p = restoRuffini r p == 0 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12. Definir la función -- raicesRuffini :: Polinomio Int -> [Int] -- tal que (raicesRuffini p) es la lista de las raices enteras de p, -- calculadas usando el regla de Ruffini. Por ejemplo, -- raicesRuffini ejPol1 == [] -- raicesRuffini ejPol2 == [0] -- raicesRuffini ejPol3 == [0] -- raicesRuffini ejPol4 == [-2,-1,1] -- raicesRuffini (creaPol [1,-2,1]) == [1,1] -- --------------------------------------------------------------------- raicesRuffini :: Polinomio Int -> [Int] raicesRuffini p | esPolCero p = [] | otherwise = aux (0 : divisores (terminoIndep p)) where aux [] = [] aux (r:rs) | esRaizRuffini r p = r : raicesRuffini (cocienteRuffini r p) | otherwise = aux rs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13. Definir la función -- factorizacion :: Polinomio Int -> [Polinomio Int] -- tal que (factorizacion p) es la lista de la descomposición del -- polinomio p en factores obtenida mediante el regla de Ruffini. Por -- ejemplo, -- ejPol2 == x^5 + 5*x^2 + 4*x -- factorizacion ejPol2 == [1*x,1*x+1,x^3+-1*x^2+1*x+4] -- ejPol4 == x^3 + 2*x^2 + -1*x + -2 -- factorizacion ejPol4 == [1*x + -1,1*x + 1,1*x + 2,1] -- factorizacion (creaPol [1,0,0,0,-1]) == [1*x + -1,1*x + 1,x^2 + 1] -- --------------------------------------------------------------------- factorizacion :: Polinomio Int -> [Polinomio Int] factorizacion p | esPolCero p = [p] | otherwise = aux (0 : divisores (terminoIndep p)) where aux [] = [p] aux (r:rs) | esRaizRuffini r p = creaPol [1,-r] : factorizacion (cocienteRuffini r p) | otherwise = aux rs |