I1M2015: Algoritmos de ordenación en Haskell
En la segunda parte de la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos comentado las soluciones a los ejercicios de la relación 32 sobre algoritmos de ordenación en Haskell
Los ejercicios y su solución se muestran a continuación
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-- --------------------------------------------------------------------- -- Introducción -- -- --------------------------------------------------------------------- -- El objetivo de esta relación es presentar una recopilación de los -- algoritmos de ordenación y el estudio de su complejidad. -- -- Para realizar los ejercicios hay que tener instalada la librería I1M -- que contiene la implementación de TAD de las colas de prioridad. Los -- pasos para instalarla son los siguientes: -- + Descargar el paquete I1M desde http://bit.ly/1pbnDqm -- + Descomprimirlo (y se crea el directorio I1M-master.zip). -- + Cambiar al directorio I1M-master. -- + Ejecutar cabal install I1M.cabal -- -- Otra forma es descargar la implementación del TAD de las colas de -- prioridad: -- + ColaDePrioridadConListas.hs que está en http://bit.ly/1TJRgv8 -- + ColaDePrioridadConMonticulos.hs que está en http://bit.ly/1TJReDn -- --------------------------------------------------------------------- -- § Librerías auxiliares -- -- --------------------------------------------------------------------- import Data.List -- Hay que elegir una implementación del TAD de las colas de prioridad: -- import qualified ColaDePrioridadConListas as CP -- import qualified ColaDePrioridadConMonticulos as CP import qualified I1M.ColaDePrioridad as CP -- --------------------------------------------------------------------- -- § Ordenación por selección -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.1. Para ordenar una lista xs mediante el algoritmo de -- ordenación por selección se selecciona el menor elemento de xs y se -- le añade a la ordenación por selección de los restantes. Por ejemplo, -- para ordenar la lista [3,1,4,1,5,9,2] el proceso es el siguiente: -- ordenaPorSeleccion [3,1,4,1,5,9,2] -- = 1 : ordenaPorSeleccion [3,4,1,5,9,2] -- = 1 : 1 : ordenaPorSeleccion [3,4,5,9,2] -- = 1 : 1 : 2 : ordenaPorSeleccion [3,4,5,9] -- = 1 : 1 : 2 : 3 : ordenaPorSeleccion [4,5,9] -- = 1 : 1 : 2 : 3 : 4 : ordenaPorSeleccion [5,9] -- = 1 : 1 : 2 : 3 : 4 : 5 : ordenaPorSeleccion [9] -- = 1 : 1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 9 : ordenaPorSeleccion [] -- = 1 : 1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 9 : [] -- = [1,1,2,3,4,5,9] -- -- Definir la función -- ordenaPorSeleccion :: Ord a => [a] -> [a] -- tal que (ordenaPorSeleccion xs) es la lista obtenida ordenando por -- selección la lista xs. Por ejemplo, -- ordenaPorSeleccion [3,1,4,1,5,9,2] == [1,1,2,3,4,5,9] -- --------------------------------------------------------------------- ordenaPorSeleccion :: Ord a => [a] -> [a] ordenaPorSeleccion [] = [] ordenaPorSeleccion xs = m : ordenaPorSeleccion (delete m xs) where m = minimum xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.2. Calcular los tiempos necesarios para calcular -- let n = k in length (ordenaPorSeleccion [n,n-1..1]) -- para k en [1000, 2000, 3000, 4000]. -- -- ¿Cuál es el orden de complejidad de ordenaPorSeleccion? -- --------------------------------------------------------------------- -- El resumen de los tiempos es -- k | segs. -- -----+----- -- 1000 | 0.05 -- 2000 | 0.25 -- 3000 | 0.58 -- 4000 | 1.13 -- La complejidad de ordenaPorSeleccion es O(n^2). -- -- Las ecuaciones de recurrencia del coste de ordenaPorSeleccion son -- T(0) = 1 -- T(n) = 1 + T(n-1) + 2n -- Luego, T(n) = (n+1)^2 (ver http://bit.ly/1DGsMeW ) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.3. Definir la función -- ordenaPorSeleccion2 :: Ord a => [a] -> [a] -- tal que (ordenaPorSeleccion2 xs) es la lista xs ordenada por el -- algoritmo de selección, pero usando un acumulador. Por ejemplo, -- ordenaPorSeleccion2 [3,1,4,1,5,9,2] == [1,1,2,3,4,5,9] -- --------------------------------------------------------------------- ordenaPorSeleccion2 :: Ord a => [a] -> [a] ordenaPorSeleccion2 [] = [] ordenaPorSeleccion2 (x:xs) = aux xs x [] where aux [] m r = m : ordenaPorSeleccion2 r aux (x:xs) m r | x < m = aux xs x (m:r) | otherwise = aux xs m (x:r) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.4. Calcular los tiempos necesarios para calcular -- let n = k in length (ordenaPorSeleccion2 [n,n-1..1]) -- para k en [1000, 2000, 3000, 4000] -- --------------------------------------------------------------------- -- El resumen de los tiempos es -- k | segs. -- -----+----- -- 1000 | 0.39 -- 2000 | 1.53 -- 3000 | 3.48 -- 4000 | 6.35 -- --------------------------------------------------------------------- -- § Ordenación rápida (Quicksort) -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.1. Para ordenar una lista xs mediante el algoritmo de -- ordenación rápida se selecciona el primer elemento x de xs, se divide -- los restantes en los menores o iguales que x y en los mayores que x, -- se ordena cada una de las dos partes y se unen los resultados. Por -- ejemplo, para ordenar la lista [3,1,4,1,5,9,2] el proceso es el -- siguiente: -- or [3,1,4,1,5,9,2] -- = or [1,1,2] ++ [3] ++ or [4,5,9] -- = (or [1] ++ [1] ++ or [2]) ++ [3] ++ (or [] ++ [4] ++ or [5,9]) -- = ((or [] ++ [1] ++ or []) ++ [1] ++ (or [] ++ [2] ++ or [])) -- ++ [3] ++ ([] ++ [4] ++ (or [] ++ [5] ++ or [9])) -- = (([] ++ [1] ++ []) ++ [1] ++ ([] ++ [2] ++ [])) -- ++ [3] ++ ([4] ++ ([] ++ [5] ++ (or [] ++ [9] ++ or []))) -- = ([1] ++ [1] ++ [2] ++ -- ++ [3] ++ ([4] ++ ([5] ++ (or [] ++ [9] ++ or []))) -- = ([1] ++ [1] ++ [2] ++ -- ++ [3] ++ ([4] ++ ([5] ++ ([] ++ [9] ++ []))) -- = ([1] ++ [1] ++ [2] ++ -- ++ [3] ++ ([4] ++ ([5] ++ [9])) -- = [1,1,2,3,4,5,9] -- -- Definir la función -- ordenaRapida :: Ord a => [a] -> [a] -- tal que (ordenaRapida xs) es la lista obtenida ordenando por -- selección la lista xs. Por ejemplo, -- ordenaRapida [3,1,4,1,5,9,2] == [1,1,2,3,4,5,9] -- --------------------------------------------------------------------- ordenaRapida :: Ord a => [a] -> [a] ordenaRapida [] = [] ordenaRapida (x:xs) = ordenaRapida menores ++ [x] ++ ordenaRapida mayores where menores = [y | y <- xs, y <= x] mayores = [y | y <- xs, y > x] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.2. Calcular los tiempos necesarios para calcular -- let n = k in length (ordenaRapida [n,n-1..1]) -- para k en [1000, 2000, 3000, 4000] -- -- ¿Cuál es el orden de complejidad de ordenaRapida? -- --------------------------------------------------------------------- -- El resumen de los tiempos es -- k | segs. -- -----+------ -- 1000 | 0.64 -- 2000 | 2.57 -- 3000 | 6.64 -- 4000 | 12.33 -- La complejidad de ordenaRapida es O(n log(n)). -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.3. Definir, usando un acumulador, la función -- ordenaRapida2 :: Ord a => [a] -> [a] -- tal que (ordenaRapida2 xs) es la lista obtenida ordenando xs -- por el procedimiento de ordenación rápida. Por ejemplo, -- ordenaRapida2 [3,1,4,1,5,9,2] == [1,1,2,3,4,5,9] -- --------------------------------------------------------------------- ordenaRapida2 :: Ord a => [a] -> [a] ordenaRapida2 xs = aux xs [] where aux [] s = s aux (x:xs) s = aux menores (x : aux mayores s) where menores = [y | y <- xs, y <= x] mayores = [y | y <- xs, y > x] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.4. Calcular los tiempos necesarios para calcular -- let n = k in length (ordenaRapida2 [n,n-1..1]) -- para k en [1000, 2000, 3000, 4000] -- --------------------------------------------------------------------- -- El resumen de los tiempos es -- k | segs. -- -----+------ -- 1000 | 0.56 -- 2000 | 2.42 -- 3000 | 5.87 -- 4000 | 10.93 -- --------------------------------------------------------------------- -- § Ordenación por inserción -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.1. Para ordenar una lista xs mediante el algoritmo de -- ordenación por inserción se selecciona el primer elemento x de xs, se -- ordena el resto de xs y se inserta x en su lugar. Por ejemplo, para -- ordenar la lista [3,1,4,1,5,9,2] el proceso es el siguiente: -- ordenaPorInsercion [3,1,4,1,5,9,2] -- = 3 : ordenaPorInsercion [1,4,1,5,9,2] -- = 3 : 1 : ordenaPorInsercion [4,1,5,9,2] -- = 3 : 1 : 4 : ordenaPorInsercion [1,5,9,2] -- = 3 : 1 : 4 : 1 : ordenaPorInsercion [5,9,2] -- = 3 : 1 : 4 : 1 : 5 : ordenaPorInsercion [9,2] -- = 3 : 1 : 4 : 1 : 5 : 9 : ordenaPorInsercion [2] -- = 3 : 1 : 4 : 1 : 5 : 9 : 2 : ordenaPorInsercion [] -- = 3 : 1 : 4 : 1 : 5 : 9 : 2 : [] -- = 3 : 1 : 4 : 1 : 5 : 9 : [2] -- = 3 : 1 : 4 : 1 : 5 : [2,9] -- = 3 : 1 : 4 : 1 : [2,5,9] -- = 3 : 1 : 4 : [1,2,5,9] -- = 3 : 1 : [1,2,4,5,9] -- = 3 : [1,1,2,4,5,9] -- = [1,1,2,3,4,5,9] -- -- Definir la función -- ordenaPorInsercion :: Ord a => [a] -> [a] -- tal que (ordenaPorInsercion xs) es la lista obtenida ordenando por -- selección la lista xs. Por ejemplo, -- ordenaPorInsercion [3,1,4,1,5,9,2] == [1,1,2,3,4,5,9] -- --------------------------------------------------------------------- ordenaPorInsercion :: Ord a => [a] -> [a] ordenaPorInsercion [] = [] ordenaPorInsercion (x:xs) = inserta x (ordenaPorInsercion xs) -- (inserta x xs) inserta el elemento x después de los elementos de xs -- que son menores o iguales que x. Por ejemplo, -- inserta 5 [3,2,6,4] == [3,2,5,6,4] inserta :: Ord a => a -> [a] -> [a] inserta y [] = [y] inserta y l@(x:xs) | y <= x = y : l | otherwise = x : inserta y xs -- 2ª definición de inserta: inserta2 :: Ord a => a -> [a] -> [a] inserta2 x xs = takeWhile (<= x) xs ++ [x] ++ dropWhile (<=x) xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.2. Calcular los tiempos necesarios para calcular -- let n = k in length (ordenaPorInsercion [n,n-1..1]) -- para k en [1000, 2000, 3000, 4000] -- -- ¿Cuál es la complejidad de ordenaPorInsercion? -- --------------------------------------------------------------------- -- El resumen de los tiempos es -- k | segs. -- -----+----- -- 1000 | 0.39 -- 2000 | 1.53 -- 3000 | 3.49 -- 4000 | 6.32 -- La complejidad de ordenaPorInsercion es O(n^2) -- -- Las ecuaciones de recurrencia del coste de ordenaPorInsercion son -- T(0) = 1 -- T(n) = 4n + T(n-1) -- Luego, T(n) = 2n(n+1)+1 (ver http://bit.ly/19FmQq4 ) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.3. Definir, por plegados, la función -- ordenaPorInsercion2 :: Ord a => [a] -> [a] -- tal que (ordenaPorInsercion2 xs) es la lista obtenida ordenando xs -- por el procedimiento de ordenación por inserción. Por ejemplo, -- ordenaPorInsercion2 [3,1,4,1,5,9,2] == [1,1,2,3,4,5,9] -- --------------------------------------------------------------------- ordenaPorInsercion2 :: Ord a => [a] -> [a] ordenaPorInsercion2 = foldr inserta [] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.2. Calcular los tiempos necesarios para calcular -- let n = k in length (ordenaPorInsercion2 [n,n-1..1]) -- para k en [1000, 2000, 3000, 4000] -- --------------------------------------------------------------------- -- El resumen de los tiempos es -- k | segs. -- -----+------ -- 1000 | 0.38 -- 2000 | 1.54 -- 3000 | 3.46 -- 4000 | 6.29 -- --------------------------------------------------------------------- -- § Ordenación por mezcla ("Mergesort") -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4.1. Para ordenar una lista xs mediante el algoritmo de -- ordenación por mezcla se divide xs por la mitad, se ordena cada una -- de las partes y se mezclan los resultados. Por ejemplo, para -- ordenar la lista [3,1,4,1,5,9,2] el proceso es el siguiente: -- om [3,1,4,1,5,9,2] -- = m (om [3,1,4]) (om 1,5,9,2]) -- = m (m (om [3]) (om [1,4])) (m (om [1,5]) (om [9,2])) -- = m (m [3] (m (om [1]) (om [4]))) -- (m (m (om [1]) (om [5])) (m (om [9]) (om [2]))) -- = m (m [3] (m [1] [4])) -- (m (m [1] [5]) (m [9] [2])) -- = m (m [3] [1,4]) (m [1,5] [2,9]) -- = m [1,3,4] [1,2,5,9] -- = [1,1,2,3,4,5,9] -- donde om es ordenaPorMezcla y m es mezcla. -- -- Definir la función -- ordenaPorMezcla :: Ord a => [a] -> [a] -- tal que (ordenaPorMezcla xs) es la lista obtenida ordenando por -- selección la lista xs. Por ejemplo, -- ordenaPorMezcla [3,1,4,1,5,9,2] == [1,1,2,3,4,5,9] -- --------------------------------------------------------------------- ordenaPorMezcla :: Ord a => [a] -> [a] ordenaPorMezcla [] = [] ordenaPorMezcla [x] = [x] ordenaPorMezcla l = mezcla (ordenaPorMezcla l1) (ordenaPorMezcla l2) where l1 = take k l l2 = drop k l k = length l `div` 2 -- (mezcla xs ys) es la lista obtenida mezclando xs e ys. Por ejemplo, -- mezcla [1,3] [2,4,6] == [1,2,3,4,6] mezcla :: Ord a => [a] -> [a] -> [a] mezcla [] b = b mezcla a [] = a mezcla a@(x:xs) b@(y:ys) | x <= y = x : mezcla xs b | otherwise = y : mezcla a ys -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4.2. Calcular los tiempos necesarios para calcular -- let n = k in length (ordenaPorMezcla [n,n-1..1]) -- para k en [1000, 2000, 3000, 4000] -- -- ¿Cuál es la complejidad de ordenaPorMezcla? -- --------------------------------------------------------------------- -- El resumen de los tiempos es -- k | segs. -- -----+----- -- 1000 | 0.02 -- 2000 | 0.03 -- 3000 | 0.05 -- 4000 | 0.06 -- La complejidad de ordenaPorMezcla es O(n log(n)). -- -- Las ecuaciones de recurrencia del coste de ordenaPorMezcla son -- T(0) = 1 -- T(1) = 1 -- T(n) = n + 2*T(n/n) -- Luego, T(n) = (c*n)/2+(n log(n))/(log(2)) (ver http://bit.ly/1EyUTYG ) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4.3. Otra forma de ordenar una lista xs mediante el -- algoritmo de ordenación por mezcla consiste en dividir xs en listas -- unitarias y mezclar los resultados. Por ejemplo, para -- ordenar la lista [3,1,4,1,5,9,2] el proceso es el siguiente: -- om [3,1,4,1,5,9,2] -- = mp [[3],[1],[4],[1],[5],[9],[2]] -- = mp [[1,3],[1,4],[5,9],[2]] -- = mp [[1,1,3,4],[2,5,9]] -- = [1,1,2,3,4,5,9] -- donde om es ordenaPorMezcla y mp es mezclaPares. -- -- Definir la función -- ordenaPorMezcla2 :: Ord a => [a] -> [a] -- tal que (ordenaPorMezcla2 xs) es la lista obtenida ordenando por -- mezcla la lista xs. Por ejemplo, -- ordenaPorMezcla2 [3,1,4,1,5,9,2] == [1,1,2,3,4,5,9] -- --------------------------------------------------------------------- ordenaPorMezcla2 :: Ord a => [a] -> [a] ordenaPorMezcla2 l = aux (divide l) where aux [r] = r aux l = aux (mezclaPares l) -- (divide xs) es la lista de de las listas unitarias formadas por los -- elementos de xs. Por ejemplo, -- divide [3,1,4,1,5,9,2,8] == [[3],[1],[4],[1],[5],[9],[2],[8]] divide :: Ord a => [a] -> [[a]] divide xs = [[x] | x <- xs] -- También se puede definir por recursión divide2 :: Ord a => [a] -> [[a]] divide2 [] = [] divide2 (x:xs) = [x] : divide2 xs -- (mezclaPares xs) es la lista obtenida mezclando los pares de -- elementos consecutivos de xs. Por ejemplo, -- ghci> mezclaPares [[3],[1],[4],[1],[5],[9],[2],[8]] -- [[1,3],[1,4],[5,9],[2,8]] -- ghci> mezclaPares [[1,3],[1,4],[5,9],[2,8]] -- [[1,1,3,4],[2,5,8,9]] -- ghci> mezclaPares [[1,1,3,4],[2,5,8,9]] -- [[1,1,2,3,4,5,8,9]] -- ghci> mezclaPares [[1],[3],[2]] -- [[1,3],[2]] mezclaPares :: (Ord a) => [[a]] -> [[a]] mezclaPares [] = [] mezclaPares [x] = [x] mezclaPares (xs:ys:zss) = mezcla xs ys : mezclaPares zss -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4.4. Calcular los tiempos necesarios para calcular -- let n = k in length (ordenaPorMezcla2 [n,n-1..1]) -- para k en [1000, 2000, 3000, 4000] -- --------------------------------------------------------------------- -- El resumen de los tiempos es -- k | segs. -- -----+----- -- 1000 | 0.02 -- 2000 | 0.03 -- 3000 | 0.03 -- 4000 | 0.05 -- --------------------------------------------------------------------- -- § Ordenación por montículos ("heapsort") -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.1. El procedimiento de ordenación de una lista por -- montículos consiste en almacenar todos los elementos del vector a -- ordenar en un montículo (heap), y luego extraer el nodo que queda -- como nodo raíz del montículo (cima) en sucesivas iteraciones -- obteniendo el conjunto ordenado. -- -- Usando la implementación de las colas de prioridad mediante -- montículos (que se encuentra en la librería I1M.ColaDePrioridad), -- definir la función -- ordenaPorMonticulos :: Ord a => [a] -> [a] -- tal que (ordenaPorMonticulos xs) es la lista obtenida ordenando xs -- por el procedimiento de ordenación por montículos. Por ejemplo, -- ordenaPorMonticulos [3,1,4,1,5,9,2] == [1,1,2,3,4,5,9] -- --------------------------------------------------------------------- ordenaPorMonticulos :: Ord a => [a] -> [a] ordenaPorMonticulos xs = aux (creaCP xs) where aux cp | CP.esVacia cp = [] | otherwise = CP.primero cp : aux (CP.resto cp) -- (creaCP xs) es la cola de prioridad correspondiente a la lista -- xs. Por ejemplo, -- ghci> creaCP [3,1,4,1,5,9,2,8] -- CP (M 1 2 -- (M 1 2 -- (M 2 2 -- (M 8 1 Vacio Vacio) -- (M 5 1 -- (M 9 1 Vacio Vacio) -- Vacio)) -- (M 4 1 Vacio Vacio)) -- (M 3 1 Vacio Vacio)) creaCP :: Ord a => [a] -> CP.CPrioridad a creaCP xs = foldr CP . inserta CP . vacia xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.2. Calcular los tiempos necesarios para calcular -- let n = k in length (ordenaPorMonticulos [n,n-1..1]) -- para k en [1000, 2000, 3000, 4000] -- -- ¿Cuál es la complejidad de ordenaPorMonticulos? -- --------------------------------------------------------------------- -- El resumen de los tiempos es -- k | segs. -- -----+----- -- 1000 | 0.02 -- 2000 | 0.03 -- 3000 | 0.04 -- 4000 | 0.05 -- La complejidad de ordenaPorMonticulos es O(n log(n)). |