I1M2014: El rompecabeza del triominó mediante divide y vencerás
En la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos comentado las soluciones a los ejercicios de la relación 35 sobre la solución del problema del triominó mediante divide y vencerás.
Los ejercicios y su solución se muestran a continuación
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-- --------------------------------------------------------------------- -- § Introducción -- -- --------------------------------------------------------------------- -- Un poliominó es una figura geométrica plana formada conectando dos o -- más cuadrados por alguno de sus lados. Los cuadrados se conectan lado -- con lado, pero no se pueden conectar ni por sus vértices, ni juntando -- solo parte de un lado de un cuadrado con parte de un lado de otro. Si -- unimos dos cuadrados se obtiene un dominó, si se juntan tres -- cuadrados se construye un triominó. -- -- Sólo existen dos triominós, el I-triomino (por tener forma de I) y el -- L-triominó (por su forma de L) como se observa en la siguiente figura -- -- X --- X X -- X XX -- -- El rompecabeza del triominó consiste en cubrir un tablero cuadrado -- con 2^n filas y 2^n columnas, en el que se ha eliminado una casilla, -- con L-triominós de formas que cubran todas las casillas excepto la -- eliminada y los triominós no se solapen. -- -- La casilla eliminada se representará con -1 y los L-triominós con -- sucesiones de tres números consecutivos en forma de L. Con esta -- representación una solución del rompecabeza del triominó con 4 filas -- y la fila eliminada en la posición (4,4) es -- ( 3 3 2 2 ) -- ( 3 1 1 2 ) -- ( 4 1 5 5 ) -- ( 4 4 5 -1 ) -- -- En esta relación resolveremos el rompecabeza del triominó mediante -- divide y vencerás, utilizando las implementaciones estudiadas en el -- tema 23 que se pueden descargar desde -- http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m-14/codigos -- -- Las transparencias del tema 23 se encuentran en -- http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m-14/temas/tema-23.pdf -- -- La técnica "divide y vencerás" consta de los siguientes pasos: -- 1. Dividir el problema en subproblemas menores. -- 2. Resolver por separado cada uno de los subproblemas; si los -- subproblemas son complejos, usar la misma técnica recursivamente; -- si son simples, resolverlos directamente. -- 3. Combinar todas las soluciones de los subproblemas en una solución -- simple. -- -- Con (divideVenceras ind resuelve divide combina pbInicial) se -- resuelve el problema pbInicial mediante la técnica de divide y -- vencerás, donde -- * (ind pb) se verifica si el problema pb es indivisible -- * (resuelve pb) es la solución del problema indivisible pb -- * (divide pb) es la lista de subproblemas de pb -- * (combina pb ss) es la combinación de las soluciones ss de los -- subproblemas del problema pb. -- * pbInicial es el problema inicial -- -- En los distintos apartados de esta relación se irán definiendo las -- anteriores funciones. -- --------------------------------------------------------------------- -- § Librerías auxiliares -- -- --------------------------------------------------------------------- import I1M.DivideVenceras import Data.Matrix import Data.List (delete) -- --------------------------------------------------------------------- -- § Tipos -- -- --------------------------------------------------------------------- -- Los tableros son matrices de números enteros donde -1 representa el -- hueco, 0 las posiciones sin rellenar y los números mayores que 0 -- representan los triominós. type Tablero = Matrix Int -- Los problemas se representarán mediante pares formados por un número -- natural mayor que 0 (que indica el número con el que se formará el -- siguiente triominó que se coloque) y un tablero. type Problema = (Int,Tablero) -- Las posiciones son pares de números enteros type Posicion = (Int,Int) -- --------------------------------------------------------------------- -- § Problema inicial -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. Definir la función -- tablero :: Int -> Posicion -> Tablero -- tal que (tablero n p) es el tablero inicial del problema del triominó -- en un cuadrado nxn en el que se ha eliminado la casilla de la -- posición (i,j). Por ejemplo, -- ghci> tablero 4 (3,4) -- ( 0 0 0 0 ) -- ( 0 0 0 0 ) -- ( 0 0 0 -1 ) -- ( 0 0 0 0 ) -- --------------------------------------------------------------------- tablero :: Int -> Posicion -> Tablero tablero n (i,j) = setElem (-1) (i,j) (zero n n) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. Definir la función -- pbInicial :: Int -> Posicion -> Problema -- tal que (pbInicial n p) es el problema inicial del rompecabeza del -- triominó en un cuadrado nxn en el que se ha eliminado la casilla de -- la posición p. Por ejemplo, -- ghci> pbInicial 4 (4,4) -- (1,( 0 0 0 0 ) -- ( 0 0 0 0 ) -- ( 0 0 0 0 ) -- ( 0 0 0 -1 )) -- --------------------------------------------------------------------- pbInicial :: Int -> Posicion -> Problema pbInicial n p = (1,tablero n p) -- --------------------------------------------------------------------- -- § Problemas indivisibles -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. Definir la función -- ind :: Problema -> Bool -- tal que (ind pb) se verifica si el problema pb es indivisible. Por -- ejemplo, -- ind (pbInicial 2 (1,2)) == True -- ind (pbInicial 4 (1,2)) == False -- --------------------------------------------------------------------- ind :: Problema -> Bool ind (_,p) = ncols p == 2 -- --------------------------------------------------------------------- -- § Resolución de problemas indivisibles -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Definir la función -- posicionHueco :: Tablero -> Posicion -- tal que (posicionHueco t) es la posición del hueco en el tablero -- t. Por ejemplo, -- posicionHueco (tablero 8 (5,2)) == (5,2) -- --------------------------------------------------------------------- posicionHueco :: Tablero -> Posicion posicionHueco p = head [(i,j) | i <- [1..nrows p], j <- [1..ncols p], p!(i,j) /= 0] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. Definir la función -- cuadranteHueco :: Tablero -> Int -- tal que (cuadranteHueco p) es el cuadrante donde se encuentra el -- hueco del tablero t (donde la numeración de los cuadrantes es 1 el -- superior izquierdo, 2 el inferior izquierdo, 3 el superior derecho y 4 -- el inferior derecho). Por ejemplo, -- cuadranteHueco (tablero 8 (4,4)) == 1 -- cuadranteHueco (tablero 8 (5,2)) == 2 -- cuadranteHueco (tablero 8 (3,6)) == 3 -- cuadranteHueco (tablero 8 (6,6)) == 4 -- --------------------------------------------------------------------- cuadranteHueco :: Tablero -> Int cuadranteHueco t | i <= x && j <= x = 1 | i > x && j <= x = 2 | i <= x && j > x = 3 | otherwise = 4 where (i,j) = posicionHueco t x = nrows t `div` 2 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6. Definir la función -- centralHueco :: Tablero -> Posicion -- tal que (centralHueco t) es la casilla central del cuadrante del -- tablero t donde se encuentra el hueco. Por ejemplo, -- centralHueco (tablero 8 (5,2)) == (5,4) -- centralHueco (tablero 8 (4,4)) == (4,4) -- centralHueco (tablero 8 (3,6)) == (4,5) -- centralHueco (tablero 8 (6,6)) == (5,5) -- --------------------------------------------------------------------- centralHueco :: Tablero -> Posicion centralHueco t = case (cuadranteHueco t) of 1 -> (x,x) 2 -> (x+1,x) 3 -> (x,x+1) 4 -> (x+1,x+1) where x = nrows t `div` 2 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7. Definir la función -- centralesSinHueco :: Tablero -> [Posicion] -- (centralesSinHueco t) son las posiciones centrales del tablero t de -- los cuadrantes sin hueco. Por ejemplo, -- centralesSinHueco (tablero 8 (5,2)) == [(4,4),(4,5),(5,5)] -- --------------------------------------------------------------------- centralesSinHueco :: Tablero -> [Posicion] centralesSinHueco t = delete (i,j) [(x,x),(x+1,x),(x,x+1),(x+1,x+1)] where x = nrows t `div` 2 (i,j) = centralHueco t -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8. Definir la función -- actualiza :: Matrix a -> [((Int,Int),a)] -> Matrix a -- tal que (actualiza t ps) es la matriz obtenida cambiando en t los -- valores del las posiciones indicadas en ps por sus correspondientes -- valores. Por ejemplo, -- ghci> actualiza (identity 3) [((1,2),4),((3,1),5)] -- ( 1 4 0 ) -- ( 0 1 0 ) -- ( 5 0 1 ) -- --------------------------------------------------------------------- actualiza :: Matrix a -> [((Int,Int),a)] -> Matrix a actualiza p [] = p actualiza p (((i,j),x):zs) = setElem x (i,j) (actualiza p zs) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9. Definir la función -- triominoCentral :: Problema -> Tablero -- tal que (triominoCentral (n,t) es el tablero obtenido colocando el -- triominó formado por el número n en las posiciones centrales de los 3 -- cuadrantes que no contienen el hueco. Por ejemplo, -- ghci> triominoCentral (7,tablero 4 (4,4)) -- ( 0 0 0 0 ) -- ( 0 7 7 0 ) -- ( 0 7 0 0 ) -- ( 0 0 0 -1 ) -- --------------------------------------------------------------------- triominoCentral :: Problema -> Tablero triominoCentral (n,t) = actualiza t [((i,j),n) | (i,j) <- centralesSinHueco t] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10. Definir la función -- resuelve :: Problema -> Tablero -- tal que (resuelve p) es la solución del problema indivisible p. Por -- ejemplo, -- ghci> tablero 2 (2,2) -- ( 0 0 ) -- ( 0 -1 ) -- -- ghci> resuelve (5,tablero 2 (2,2)) -- ( 5 5 ) -- ( 5 -1 ) -- --------------------------------------------------------------------- resuelve :: Problema -> Tablero resuelve = triominoCentral -- --------------------------------------------------------------------- -- § División en subproblemas -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11. Definir la función -- divide :: Problema -> [Problema] -- tal que (divide (n,t)) es la lista de de los problemas obtenidos -- colocando el triominó n en las casillas centrales de t que no -- contienen el hueco y dividir el tablero en sus cuatros cuadrantes y -- aumentar en uno el número del correspondiente triominó. Por ejemplo, -- ghci> divide (3,tablero 4 (4,4)) -- [(4,( 0 0 ) -- ( 3 0 )), -- (5,( 0 0 ) -- ( 0 3 )), -- (6,( 0 3 ) -- ( 0 0 )), -- (7,( 0 0 ) -- ( 0 -1 ))] -- --------------------------------------------------------------------- divide :: Problema -> [Problema] divide (n,t) = [(n+1, submatrix 1 x (x+1) m q), (n+2, submatrix 1 x 1 x q), (n+3, submatrix (x+1) m 1 x q), (n+4, submatrix (x+1) m (x+1) m q)] where q = triominoCentral (n,t) m = nrows t x = m `div` 2 -- --------------------------------------------------------------------- -- § Combinación de soluciones -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12. Definir la función -- combina :: Problema -> [Tablero] -> Tablero -- tal que (combina p ts) es la combinación de las soluciones ts de los -- subproblemas del problema p. Por ejemplo, -- ghci> let inicial = (1,tablero 4 (4,4)) :: (Int,Matrix Int) -- ghci> let [p1,p2,p3,p4] = divide inicial -- ghci> let [s1,s2,s3,s4] = map resuelve [p1,p2,p3,p4] -- ghci> combina 1 [s1,s2,s3,s4] -- ( 3 3 2 2 ) -- ( 3 1 1 2 ) -- ( 4 1 5 5 ) -- ( 4 4 5 -1 ) -- --------------------------------------------------------------------- combina :: Problema -> [Tablero] -> Tablero combina _ [s1,s2,s3,s4] = joinBlocks (s2,s1,s3,s4) -- --------------------------------------------------------------------- -- § Solución mediante divide y vencerás -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13. Definir la función -- triomino :: Int -> Posicion -> Tablero -- tal que (triomino n p) es la solución, mediante divide y vencerás, -- del rompecabeza del triominó en un cuadrado nxn en el que se ha -- eliminado la casilla de la posición p. Por ejemplo, -- ghci> triomino 4 (4,4) -- ( 3 3 2 2 ) -- ( 3 1 1 2 ) -- ( 4 1 5 5 ) -- ( 4 4 5 -1 ) -- -- ghci> triomino 4 (2,3) -- ( 3 3 2 2 ) -- ( 3 1 -1 2 ) -- ( 4 1 1 5 ) -- ( 4 4 5 5 ) -- -- ghci> triomino 16 (5,6) -- ( 7 7 6 6 6 6 5 5 6 6 5 5 5 5 4 4 ) -- ( 7 5 5 6 6 4 4 5 6 4 4 5 5 3 3 4 ) -- ( 8 5 9 9 7 7 4 8 7 4 8 8 6 6 3 7 ) -- ( 8 8 9 3 3 7 8 8 7 7 8 2 2 6 7 7 ) -- ( 8 8 7 3 9 -1 8 8 7 7 6 6 2 8 7 7 ) -- ( 8 6 7 7 9 9 7 8 7 5 5 6 8 8 6 7 ) -- ( 9 6 6 10 10 7 7 11 8 8 5 9 9 6 6 10 ) -- ( 9 9 10 10 10 10 11 11 1 8 9 9 9 9 10 10 ) -- ( 8 8 7 7 7 7 6 1 1 9 8 8 8 8 7 7 ) -- ( 8 6 6 7 7 5 6 6 9 9 7 8 8 6 6 7 ) -- ( 9 6 10 10 8 5 5 9 10 7 7 11 9 9 6 10 ) -- ( 9 9 10 4 8 8 9 9 10 10 11 11 5 9 10 10 ) -- ( 9 9 8 4 4 10 9 9 10 10 9 5 5 11 10 10 ) -- ( 9 7 8 8 10 10 8 9 10 8 9 9 11 11 9 10 ) -- ( 10 7 7 11 11 8 8 12 11 8 8 12 12 9 9 13 ) -- ( 10 10 11 11 11 11 12 12 11 11 12 12 12 12 13 13 ) triomino :: Int -> Posicion -> Tablero triomino n p = divideVenceras ind resuelve divide combina (pbInicial n p) |