I1M2014: Ejercicios de definiciones con condicionales, guardas o patrones
En la clase de hoy del curso de Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos comentado las soluciones de los ejercicios de la 2ª relación sobre definiciones con condicionales, guardas o patrones.
Los ejercicios y su solución se muestran a continuación
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-- --------------------------------------------------------------------- -- Introducción -- -- --------------------------------------------------------------------- -- En esta relación se presentan ejercicios con definiciones elementales -- (no recursivas) de funciones que usan condicionales, guardas o -- patrones. -- -- Estos ejercicios se corresponden con el tema 4 cuyas transparencias -- se encuentran en -- http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m-14/temas/tema-4t.pdf -- --------------------------------------------------------------------- -- § Librerías auxiliares -- -- --------------------------------------------------------------------- import Test.QuickCheck -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. Definir la función -- divisionSegura :: Double -> Double -> Double -- tal que (divisionSegura x y) es x/y si y no es cero y 9999 en caso -- contrario. Por ejemplo, -- divisionSegura 7 2 == 3.5 -- divisionSegura 7 0 == 9999.0 -- --------------------------------------------------------------------- divisionSegura :: Double -> Double -> Double divisionSegura _ 0 = 9999 divisionSegura x y = x/y -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.1. La disyunción excluyente xor de dos fórmulas se -- verifica si una es verdadera y la otra es falsa. Su tabla de verdad -- es -- x | y | xor x y -- ------+-------+--------- -- True | True | False -- True | False | True -- False | True | True -- False | False | False -- -- Definir la función -- xor1 :: Bool -> Bool -> Bool -- tal que (xor1 x y) es la disyunción excluyente de x e y, calculada a -- partir de la tabla de verdad. Usar 4 ecuaciones, una por cada línea -- de la tabla. -- --------------------------------------------------------------------- xor1 :: Bool -> Bool -> Bool xor1 True True = False xor1 True False = True xor1 False True = True xor1 False False = False -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.2. Definir la función -- xor2 :: Bool -> Bool -> Bool -- tal que (xor2 x y) es la disyunción excluyente de x e y, calculada a -- partir de la tabla de verdad y patrones. Usar 2 ecuaciones, una por -- cada valor del primer argumento. -- --------------------------------------------------------------------- xor2 :: Bool -> Bool -> Bool xor2 True y = not y xor2 False y = y -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.3. Definir la función -- xor3 :: Bool -> Bool -> Bool -- tal que (xor3 x y) es la disyunción excluyente de x e y, calculada -- a partir de la disyunción (||), conjunción (&&) y negación (not). -- Usar 1 ecuación. -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª definición: xor3 :: Bool -> Bool -> Bool xor3 x y = (x || y) && not (x && y) -- 2ª definición: xor3b :: Bool -> Bool -> Bool xor3b x y = (x && not y) || (y && not x) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.4. Definir la función -- xor4 :: Bool -> Bool -> Bool -- tal que (xor3 x y) es la disyunción excluyente de x e y, calculada -- a partir de desigualdad (/=). Usar 1 ecuación. -- --------------------------------------------------------------------- xor4 :: Bool -> Bool -> Bool xor4 x y = x /= y -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.5. Comprobar con QuickCheck que las cuatros definiciones -- de xor son equivalentes. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_xor_equivalentes :: Bool -> Bool -> Bool prop_xor_equivalentes x y = xor1 x y == xor2 x y && xor2 x y == xor3 x y && xor3 x y == xor4 x y -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_xor_equivalentes -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. Las dimensiones de los rectángulos puede representarse -- por pares; por ejemplo, (5,3) representa a un rectángulo de base 5 y -- altura 3. -- -- Definir la función -- mayorRectangulo :: (Num a, Ord a) => (a,a) -> (a,a) -> (a,a) -- tal que (mayorRectangulo r1 r2) es el rectángulo de mayor área ente -- r1 y r2. Por ejemplo, -- mayorRectangulo (4,6) (3,7) == (4,6) -- mayorRectangulo (4,6) (3,8) == (4,6) -- mayorRectangulo (4,6) (3,9) == (3,9) -- --------------------------------------------------------------------- mayorRectangulo :: (Num a, Ord a) => (a,a) -> (a,a) -> (a,a) mayorRectangulo (a,b) (c,d) | a*b >= c*d = (a,b) | otherwise = (c,d) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4.1. Definir la función -- intercambia :: (a,b) -> (b,a) -- tal que (intercambia p) es el punto obtenido intercambiando las -- coordenadas del punto p. Por ejemplo, -- intercambia (2,5) == (5,2) -- intercambia (5,2) == (2,5) -- --------------------------------------------------------------------- intercambia :: (a,b) -> (b,a) intercambia (x,y) = (y,x) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4.2. Comprobar con QuickCheck que la función intercambia es -- idempotente; es decir, si se aplica dos veces es lo mismo que no -- aplicarla ninguna. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_intercambia :: (Int,Int) -> Bool prop_intercambia p = intercambia (intercambia p) == p -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_intercambia -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.1. Definir la función -- distancia :: (Double,Double) -> (Double,Double) -> Double -- tal que (distancia p1 p2) es la distancia entre los puntos p1 y -- p2. Por ejemplo, -- distancia (1,2) (4,6) == 5.0 -- --------------------------------------------------------------------- distancia :: (Double,Double) -> (Double,Double) -> Double distancia (x1,y1) (x2,y2) = sqrt((x1-x2)^2+(y1-y2)^2) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.2. Comprobar con QuickCheck que se verifica la propiedad -- triangular de la distancia; es decir, dados tres puntos p1, p2 y p3, -- la distancia de p1 a p3 es menor o igual que la suma de la distancia -- de p1 a p2 y la de p2 a p3. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_triangular :: (Double,Double) -> (Double,Double) -> (Double,Double) -> Bool prop_triangular p1 p2 p3 = distancia p1 p3 <= distancia p1 p2 + distancia p2 p3 -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_triangular -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6.1. Definir una función -- ciclo :: [a] -> [a] -- tal que (ciclo xs) es la lista obtenida permutando cíclicamente los -- elementos de la lista xs, pasando el último elemento al principio de -- la lista. Por ejemplo, -- ciclo [2,5,7,9] == [9,2,5,7] -- ciclo [] == [] -- ciclo [2] == [2] -- --------------------------------------------------------------------- ciclo :: [a] -> [a] ciclo [] = [] ciclo xs = last xs : init xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6.2. Comprobar que la longitud es un invariante de la -- función ciclo; es decir, la longitud de (ciclo xs) es la misma que la -- de xs. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_ciclo :: [Int] -> Bool prop_ciclo xs = length (ciclo xs) == length xs -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_ciclo -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7. Definir la función -- numeroMayor :: (Num a, Ord a) => a -> a -> a -- tal que (numeroMayor x y) es el mayor número de dos cifras que puede -- construirse con los dígitos x e y. Por ejemplo, -- numeroMayor 2 5 == 52 -- numeroMayor 5 2 == 52 -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª definición: numeroMayor :: (Num a, Ord a) => a -> a -> a numeroMayor x y = 10 * max x y + min x y -- 2ª definición: numeroMayor2 :: (Num a, Ord a) => a -> a -> a numeroMayor2 x y | x > y = 10*x+y | otherwise = 10*y+x -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8. Definir la función -- numeroDeRaices :: (Num t, Ord t) => t -> t -> t -> Int -- tal que (numeroDeRaices a b c) es el número de raíces reales de la -- ecuación a*x^2 + b*x + c = 0. Por ejemplo, -- numeroDeRaices 2 0 3 == 0 -- numeroDeRaices 4 4 1 == 1 -- numeroDeRaices 5 23 12 == 2 -- --------------------------------------------------------------------- numeroDeRaices :: (Num t, Ord t) => t -> t -> t -> Int numeroDeRaices a b c | d < 0 = 0 | d == 0 = 1 | otherwise = 2 where d = b^2-4*a*c -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9.1. Definir la función -- raices :: Double -> Double -> Double -> [Double] -- tal que (raices a b c) es la lista de las raíces reales de la -- ecuación ax^2 + bx + c = 0. Por ejemplo, -- raices 1 3 2 == [-1.0,-2.0] -- raices 1 (-2) 1 == [1.0,1.0] -- raices 1 0 1 == [] -- --------------------------------------------------------------------- raices :: Double -> Double -> Double -> [Double] raices a b c | d >= 0 = [(-b+e)/t,(-b-e)/t] | otherwise = [] where d = b^2 - 4*a*c e = sqrt d t = 2*a -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9.2. Definir el operador -- (~=) :: (Fractional a, Ord a) => a -> a -> Bool -- tal que (x ~= y) se verifica si x e y son casi iguales; es decir si -- el valor absoluto de su diferencia es menor que una milésima. Por -- ejemplo, -- 12.3457 ~= 12.3459 == True -- 12.3457 ~= 12.3479 == False -- --------------------------------------------------------------------- (~=) :: (Fractional a, Ord a) => a -> a -> Bool x ~= y = abs (x-y) < 0.001 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9.3. Comprobar con QuickCheck que la suma de las raíces -- de la ecuación ax^2 + bx + c = 0 (con a no nulo) es -b/a y su -- producto es c/a. -- -- Nota. En la comparación usar ~= en lugar de == -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_raices :: Double -> Double -> Double -> Property prop_raices a b c = a /= 0 && not (null xs) ==> sum xs ~= (-b/a) && product xs ~= (c/a) where xs = raices a b c -- La comprobación es -- λ> quickCheck prop_raices -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10. En geometría, la fórmula de Herón, descubierta por -- Herón de Alejandría, dice que el área de un triángulo cuyo lados -- miden a, b y c es la raíz cuadrada de s(s-a)(s-b)(s-c) donde s es el -- semiperímetro -- s = (a+b+c)/2 -- -- Definir la función -- area :: Double -> Double -> Double -> Double -- tal que (area a b c) es el área del triángulo de lados a, b y c. Por -- ejemplo, -- area 3 4 5 == 6.0 -- --------------------------------------------------------------------- area :: Double -> Double -> Double -> Double area a b c = sqrt (s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) where s = (a+b+c)/2 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11.1. Los intervalos cerrados se pueden representar mediante -- una lista de dos números (el primero es el extremo inferior del -- intervalo y el segundo el superior). -- -- Definir la función -- interseccion :: Ord a => [a] -> [a] -> [a] -- tal que (interseccion i1 i2) es la intersección de los intervalos i1 e -- i2. Por ejemplo, -- interseccion [] [3,5] == [] -- interseccion [3,5] [] == [] -- interseccion [2,4] [6,9] == [] -- interseccion [2,6] [6,9] == [6,6] -- interseccion [2,6] [0,9] == [2,6] -- interseccion [2,6] [0,4] == [2,4] -- interseccion [4,6] [0,4] == [4,4] -- interseccion [5,6] [0,4] == [] -- --------------------------------------------------------------------- interseccion :: Ord a => [a] -> [a] -> [a] interseccion [] _ = [] interseccion _ [] = [] interseccion [a1,b1] [a2,b2] | a <= b = [a,b] | otherwise = [] where a = max a1 a2 b = min b1 b2 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11.2. Comprobar con QuickCheck que la intersección de -- intervalos es conmutativa. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_interseccion :: Int -> Int -> Int -> Int -> Property prop_interseccion a1 b1 a2 b2 = a1 <= b1 && a2 <= b2 ==> interseccion [a1,b1] [a2,b2] == interseccion [a2,b2] [a1,b1] -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_interseccion -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12.1. Los números racionales pueden representarse mediante -- pares de números enteros. Por ejemplo, el número 2/5 puede -- representarse mediante el par (2,5). -- -- Definir la función -- formaReducida :: (Integer,Integer) -> (Integer,Integer) -- tal que (formaReducida x) es la forma reducida del número racional -- x. Por ejemplo, -- formaReducida (4,10) == (2,5) -- formaReducida (0,5) == (0,1) -- --------------------------------------------------------------------- formaReducida :: (Integer,Integer) -> (Integer,Integer) formaReducida (0,_) = (0,1) formaReducida (a,b) = (a `div` c, b `div` c) where c = gcd a b -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12.2. Definir la función -- sumaRacional :: (Integer,Integer) -> (Integer,Integer) -> (Integer,Integer) -- tal que (sumaRacional x y) es la suma de los números racionales x e -- y, expresada en forma reducida. Por ejemplo, -- sumaRacional (2,3) (5,6) == (3,2) -- sumaRacional (3,5) (-3,5) == (0,1) -- --------------------------------------------------------------------- sumaRacional :: (Integer,Integer) -> (Integer,Integer) -> (Integer,Integer) sumaRacional (a,b) (c,d) = formaReducida (a*d+b*c, b*d) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12.3. Definir la función -- productoRacional :: (Integer,Integer) -> (Integer,Integer) -- -> (Integer,Integer) -- tal que (productoRacional x y) es el producto de los números -- racionales x e y, expresada en forma reducida. Por ejemplo, -- productoRacional (2,3) (5,6) == (5,9) -- --------------------------------------------------------------------- productoRacional :: (Integer,Integer) -> (Integer,Integer) -> (Integer,Integer) productoRacional (a,b) (c,d) = formaReducida (a*c, b*d) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12.4. Definir la función -- igualdadRacional :: (Integer,Integer) -> (Integer,Integer) -> Bool -- tal que (igualdadRacional x y) se verifica si los números racionales -- x e y son iguales. Por ejemplo, -- igualdadRacional (6,9) (10,15) == True -- igualdadRacional (6,9) (11,15) == False -- igualdadRacional (0,2) (0,-5) == True -- --------------------------------------------------------------------- igualdadRacional :: (Integer,Integer) -> (Integer,Integer) -> Bool igualdadRacional (a,b) (c,d) = a*d == b*c -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12.5. Comprobar con QuickCheck la propiedad distributiva -- del producto racional respecto de la suma. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_distributiva :: (Integer,Integer) -> (Integer,Integer) -> (Integer,Integer) -> Property prop_distributiva x y z = snd x /= 0 && snd y /= 0 && snd z /= 0 ==> igualdadRacional (productoRacional x (sumaRacional y z)) (sumaRacional (productoRacional x y) (productoRacional x z)) -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_distributiva -- +++ OK, passed 100 tests. |