I1M2014: Ejercicios con el TAD de grafos en Haskell
En la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos comentado las soluciones de los ejercicios sobre grafos de la 23ª relación.
Los ejercicios y su solución se muestran a continuación
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-- --------------------------------------------------------------------- -- Introducción -- -- --------------------------------------------------------------------- -- El objetivo de esta relación de ejercicios es definir funciones sobre -- el TAD de los grafos estudiado en el tema 22 que se pueden descargar desde -- http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m-14/codigos/I1M2014.zip -- -- Las transparencias del tema se encuentran en -- http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m-14/temas/tema-22.pdf -- --------------------------------------------------------------------- -- Importación de librerías -- -- --------------------------------------------------------------------- {-# LANGUAGE FlexibleInstances, TypeSynonymInstances #-} import Data.Array import Data.List (nub) import Test.QuickCheck import I1M.Grafo -- Se instala con http://bit.ly/1AKmUQB -- En lugar de I1M.Grafos, se puede seleccionar una implementación del -- TAD de los grafos -- import GrafoConVectorDeAdyacencia -- import GrafoConMatrizDeAdyacencia -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejemplos -- -- --------------------------------------------------------------------- -- Para los ejemplos se usarán los siguientes grafos. g1, g2, g3, g4, g5, g6, g7, g8, g9, g10, g11, g12 :: Grafo Int Int g1 = creaGrafo ND (1,5) [(1,2,12),(1,3,34),(1,5,78), (2,4,55),(2,5,32), (3,4,61),(3,5,44), (4,5,93)] g2 = creaGrafo D (1,5) [(1,2,12),(1,3,34),(1,5,78), (2,4,55),(2,5,32), (4,3,61),(4,5,93)] g3 = creaGrafo D (1,3) [(1,2,0),(2,2,0),(3,1,0),(3,2,0)] g4 = creaGrafo D (1,4) [(1,2,3),(2,1,5)] g5 = creaGrafo D (1,1) [(1,1,0)] g6 = creaGrafo D (1,4) [(1,3,0),(3,1,0),(3,3,0),(4,2,0)] g7 = creaGrafo ND (1,4) [(1,3,0)] g8 = creaGrafo D (1,5) [(1,1,0),(1,2,0),(1,3,0),(2,4,0),(3,1,0), (4,1,0),(4,2,0),(4,4,0),(4,5,0)] g9 = creaGrafo D (1,5) [(4,1,1),(4,3,2),(5,1,0)] g10 = creaGrafo ND (1,3) [(1,2,1),(1,3,1),(2,3,1),(3,3,1)] g11 = creaGrafo D (1,3) [(1,2,1),(1,3,1),(2,3,1),(3,3,1)] g12 = creaGrafo ND (1,4) [(1,1,0),(1,2,0),(3,3,0)] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. El grafo completo de orden n, K(n), es un grafo no -- dirigido cuyos conjunto de vértices es {1,..n} y tiene una arista -- entre cada par de vértices distintos. Definir la función, -- completo :: Int -> Grafo Int Int -- tal que (completo n) es el grafo completo de orden n. Por ejemplo, -- ghci> completo 4 -- G ND (array (1,4) [(1,[(2,0),(3,0),(4,0)]), -- (2,[(1,0),(3,0),(4,0)]), -- (3,[(1,0),(2,0),(4,0)]), -- (4,[(1,0),(2,0),(3,0)])]) -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª definición completo1 :: Int -> Grafo Int Int completo1 n = creaGrafo ND (1,n) xs where xs = [(x,y,0) | x <- [1..n], y <- [1..n], x < y] -- 2ª definición completo2 :: Int -> Grafo Int Int completo2 n = creaGrafo ND (1,n) [(a,b,0) | a <- [1..n], b <- [1..a-1]] -- La 2ª es más eficiente -- ghci> length (nodos (completo 2000)) -- 2000 -- (7.21 secs, 1137479656 bytes) -- ghci> length (nodos (completo' 2000)) -- 2000 -- (4.81 secs, 785507504 bytes) -- Usaremos la 2ª completo :: Int -> Grafo Int Int completo = completo2 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. El ciclo de orden n, C(n), es un grafo no dirigido -- cuyo conjunto de vértices es {1,...,n} y las aristas son -- (1,2), (2,3), ..., (n-1,n), (n,1) -- Definir la función -- grafoCiclo :: Int -> Grafo Int Int -- tal que (grafoCiclo n) es el grafo ciclo de orden n. Por ejemplo, -- ghci> grafoCiclo 3 -- G ND (array (1,3) [(1,[(3,0),(2,0)]),(2,[(1,0),(3,0)]),(3,[(2,0),(1,0)])]) -- --------------------------------------------------------------------- grafoCiclo :: Int -> Grafo Int Int grafoCiclo n = creaGrafo ND (1,n) xs where xs = [(x,x+1,0) | x <- [1..n-1]] ++ [(n,1,0)] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. Definir la función -- nVertices :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> Int -- tal que (nVertices g) es el número de vértices del grafo g. Por -- ejemplo, -- nVertices (completo 4) == 4 -- nVertices (completo 5) == 5 -- --------------------------------------------------------------------- nVertices :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> Int nVertices = length . nodos -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Definir la función -- noDirigido :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> Bool -- tal que (noDirigido g) se verifica si el grafo g es no dirigido. Por -- ejemplo, -- noDirigido g1 == True -- noDirigido g2 == False -- noDirigido (completo 4) == True -- --------------------------------------------------------------------- noDirigido :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> Bool noDirigido = not . dirigido -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. En un un grafo g, los incidentes de un vértice v es el -- conjuntos de vértices x de g para los que hay un arco (o una arista) -- de x a v; es decir, que v es adyacente a x. Definir la función -- incidentes :: (Ix v,Num p) => (Grafo v p) -> v -> [v] -- tal que (incidentes g v) es la lista de los vértices incidentes en el -- vértice v. Por ejemplo, -- incidentes g2 5 == [1,2,4] -- adyacentes g2 5 == [] -- incidentes g1 5 == [1,2,3,4] -- adyacentes g1 5 == [1,2,3,4] -- --------------------------------------------------------------------- incidentes :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> v -> [v] incidentes g v = [x | x <- nodos g, v `elem` adyacentes g x] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6. En un un grafo g, los contiguos de un vértice v es el -- conjuntos de vértices x de g tales que x es adyacente o incidente con -- v. Definir la función -- contiguos :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> v -> [v] -- tal que (contiguos g v) es el conjunto de los vértices de g contiguos -- con el vértice v. Por ejemplo, -- contiguos g2 5 == [1,2,4] -- contiguos g1 5 == [1,2,3,4] -- --------------------------------------------------------------------- contiguos :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> v -> [v] contiguos g v = nub (adyacentes g v ++ incidentes g v) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7. Definir la función -- lazos :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> [(v,v)] -- tal que (lazos g) es el conjunto de los lazos (es decir, aristas -- cuyos extremos son iguales) del grafo g. Por ejemplo, -- ghci> lazos g3 -- [(2,2)] -- ghci> lazos g2 -- [] -- --------------------------------------------------------------------- lazos :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> [(v,v)] lazos g = [(x,x) | x <- nodos g, aristaEn g (x,x)] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8. Definir la función -- nLazos :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> Int -- tal que (nLazos g) es el número de lazos del grafo g. Por -- ejemplo, -- nLazos g3 == 1 -- nLazos g2 == 0 -- --------------------------------------------------------------------- nLazos :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> Int nLazos = length . lazos -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9. Definir la función -- nAristas :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> Int -- tal que (nAristas g) es el número de aristas del grafo g. Si g es no -- dirigido, las aristas de v1 a v2 y de v2 a v1 sólo se cuentan una -- vez. Por ejemplo, -- nAristas g1 == 8 -- nAristas g2 == 7 -- nAristas g10 == 4 -- nAristas g12 == 3 -- nAristas (completo 4) == 6 -- nAristas (completo 5) == 10 -- --------------------------------------------------------------------- nAristas :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> Int nAristas g | dirigido g = length $ aristas g | otherwise = (length (aristas g) + nLazos g) `div` 2 -- 2ª definición nAristas2 :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> Int nAristas2 g | dirigido g = length (aristas g) | otherwise = length [(x,y) | (x,y,_) <- aristas g, x <= y] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10. Definir la función -- prop_nAristasCompleto :: Int -> Bool -- tal que (prop_nAristasCompleto n) se verifica si el número de aristas -- del grafo completo de orden n es n*(n-1)/2 y, usando la función, -- comprobar que la propiedad se cumple para n de 1 a 20. -- --------------------------------------------------------------------- prop_nAristasCompleto :: Int -> Bool prop_nAristasCompleto n = nAristas (completo n) == n*(n-1) `div` 2 -- La comprobación es -- ghci> and [prop_nAristasCompleto n | n <- [1..20]] -- True -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11. El grado positivo de un vértice v de un grafo dirigido -- g, es el número de vértices de g adyacentes con v. Definir la función -- gradoPos :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> v -> Int -- tal que (gradoPos g v) es el grado positivo del vértice v en el grafo -- g. Por ejemplo, -- gradoPos g1 5 == 4 -- gradoPos g2 5 == 0 -- gradoPos g2 1 == 3 -- --------------------------------------------------------------------- gradoPos :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> v -> Int gradoPos g v = length (adyacentes g v) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12. El grado negativo de un vértice v de un grafo dirigido -- g, es el número de vértices de g incidentes con v. Definir la función -- gradoNeg :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> v -> Int -- tal que (gradoNeg g v) es el grado negativo del vértice v en el grafo -- g. Por ejemplo, -- gradoNeg g1 5 == 4 -- gradoNeg g2 5 == 3 -- gradoNeg g2 1 == 0 -- --------------------------------------------------------------------- gradoNeg :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> v -> Int gradoNeg g v = length (incidentes g v) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13. El grado de un vértice v de un grafo dirigido g, es el -- número de aristas de g que contiene a v. Si g es no dirigido, el -- grado de un vértice v es el número de aristas incidentes en v, teniendo -- en cuenta que los lazos se cuentan dos veces. Definir la función -- grado :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> v -> Int -- tal que (grado g v) es el grado del vértice v en el grafo g. Por -- ejemplo, -- grado g1 5 == 4 -- grado g2 5 == 3 -- grado g2 1 == 3 -- grado g3 2 == 4 -- grado g3 1 == 2 -- grado g3 3 == 2 -- grado g5 1 == 2 -- grado g10 3 == 4 -- grado g11 3 == 4 -- --------------------------------------------------------------------- grado :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> v -> Int grado g v | dirigido g = gradoNeg g v + gradoPos g v | (v,v) `elem` lazos g = length (incidentes g v) + 1 | otherwise = length (incidentes g v) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14. Comprobar con QuickCheck que para cualquier grafo g, la -- suma de los grados positivos de los vértices de g es igual que la -- suma de los grados negativos de los vértices de g. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_sumaGrados:: Grafo Int Int -> Bool prop_sumaGrados g = sum [gradoPos g v | v <- vs] == sum [gradoNeg g v | v <- vs] where vs = nodos g -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_sumaGrados -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 15. En la teoría de grafos, se conoce como "Lema del -- apretón de manos" la siguiente propiedad: la suma de los grados de -- los vértices de g es el doble del número de aristas de g. -- Comprobar con QuickCheck que para cualquier grafo g, se verifica -- dicha propiedad. -- --------------------------------------------------------------------- prop_apretonManos:: Grafo Int Int -> Bool prop_apretonManos g = sum [grado g v | v <- nodos g] == 2 * nAristas g -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_apretonManos -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16. Comprobar con QuickCheck que en todo grafo, el número -- de nodos de grado impar es par. -- --------------------------------------------------------------------- prop_numNodosGradoImpar :: Grafo Int Int -> Bool prop_numNodosGradoImpar g = even m where vs = nodos g m = length [v | v <- vs, odd(grado g v)] -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_numNodosGradoImpar -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 17. Definir la propiedad -- prop_GradoCompleto :: Int -> Bool -- tal que (prop_GradoCompleto n) se verifica si todos los vértices del -- grafo completo K(n) tienen grado n-1. Usarla para comprobar que dicha -- propiedad se verifica para los grafos completos de grados 1 hasta 30. -- --------------------------------------------------------------------- prop_GradoCompleto :: Int -> Bool prop_GradoCompleto n = and [grado g v == (n-1) | v <- nodos g] where g = completo n -- La comprobación es -- ghci> and [prop_GradoCompleto n | n <- [1..30]] -- True -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 18. Un grafo es regular si todos sus vértices tienen el -- mismo grado. Definir la función -- regular :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> Bool -- tal que (regular g) se verifica si todos los nodos de g tienen el -- mismo grado. -- regular g1 == False -- regular g2 == False -- regular (completo 4) == True -- --------------------------------------------------------------------- regular :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> Bool regular g = and [grado g v == k | v <- vs] where vs = nodos g k = grado g (head vs) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 19. Definir la propiedad -- prop_CompletoRegular :: Int -> Int -> Bool -- tal que (prop_CompletoRegular m n) se verifica si todos los grafos -- completos desde el de orden m hasta el de orden m son regulares y -- usarla para comprobar que todos los grafos completo desde el de orden -- 1 hasta el de orden 30 son regulares. -- --------------------------------------------------------------------- prop_CompletoRegular :: Int -> Int -> Bool prop_CompletoRegular m n = and [regular (completo x) | x <- [m..n]] -- La comprobación es -- ghci> prop_CompletoRegular 1 30 -- True -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 20. Un grafo es k-regular si todos sus vértices son de -- grado k. Definir la función -- regularidad :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> Maybe Int -- tal que (regularidad g) es la regularidad de g. Por ejemplo, -- regularidad g1 == Nothing -- regularidad (completo 4) == Just 3 -- regularidad (completo 5) == Just 4 -- regularidad (grafoCiclo 4) == Just 2 -- regularidad (grafoCiclo 5) == Just 2 -- --------------------------------------------------------------------- regularidad :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> Maybe Int regularidad g | regular g = Just (grado g (head (nodos g))) | otherwise = Nothing -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 21. Definir la propiedad -- prop_completoRegular :: Int -> Bool -- tal que (prop_completoRegular n) se verifica si el grafo completo de -- orden n es (n-1)-regular. Por ejemplo, -- prop_completoRegular 5 == True -- y usarla para comprobar que la cumplen todos los grafos completos -- desde orden 1 hasta 20. -- --------------------------------------------------------------------- prop_completoRegular :: Int -> Bool prop_completoRegular n = regularidad (completo n) == Just (n-1) -- La comprobación es -- ghci> and [prop_completoRegular n | n <- [1..20]] -- True -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 22. Definir la propiedad -- prop_cicloRegular :: Int -> Bool -- tal que (prop_cicloRegular n) se verifica si el grafo ciclo de orden -- n es 2-regular. Por ejemplo, -- prop_cicloRegular 2 == True -- y usarla para comprobar que la cumplen todos los grafos ciclos -- desde orden 3 hasta 20. -- --------------------------------------------------------------------- prop_cicloRegular :: Int -> Bool prop_cicloRegular n = regularidad (grafoCiclo n) == Just 2 -- La comprobación es -- ghci> and [prop_cicloRegular n | n <- [3..20]] -- True -- --------------------------------------------------------------------- -- § Generador de grafos -- -- --------------------------------------------------------------------- -- (generaGND n ps) es el grafo completo de orden n tal que los pesos -- están determinados por ps. Por ejemplo, -- ghci> generaGND 3 [4,2,5] -- (ND,array (1,3) [(1,[(2,4),(3,2)]), -- (2,[(1,4),(3,5)]), -- 3,[(1,2),(2,5)])]) -- ghci> generaGND 3 [4,-2,5] -- (ND,array (1,3) [(1,[(2,4)]),(2,[(1,4),(3,5)]),(3,[(2,5)])]) generaGND :: Int -> [Int] -> Grafo Int Int generaGND n ps = creaGrafo ND (1,n) l3 where l1 = [(x,y) | x <- [1..n], y <- [1..n], x < y] l2 = zip l1 ps l3 = [(x,y,z) | ((x,y),z) <- l2, z > 0] -- (generaGD n ps) es el grafo completo de orden n tal que los pesos -- están determinados por ps. Por ejemplo, -- ghci> generaGD 3 [4,2,5] -- (D,array (1,3) [(1,[(1,4),(2,2),(3,5)]), -- (2,[]), -- (3,[])]) -- ghci> generaGD 3 [4,2,5,3,7,9,8,6] -- (D,array (1,3) [(1,[(1,4),(2,2),(3,5)]), -- (2,[(1,3),(2,7),(3,9)]), -- (3,[(1,8),(2,6)])]) generaGD :: Int -> [Int] -> Grafo Int Int generaGD n ps = creaGrafo D (1,n) l3 where l1 = [(x,y) | x <- [1..n], y <- [1..n]] l2 = zip l1 ps l3 = [(x,y,z) | ((x,y),z) <- l2, z > 0] -- genGD es un generador de grafos dirigidos. Por ejemplo, -- ghci> sample genGD -- (D,array (1,4) [(1,[(1,1)]),(2,[(3,1)]),(3,[(2,1),(4,1)]),(4,[(4,1)])]) -- (D,array (1,2) [(1,[(1,6)]),(2,[])]) -- ... genGD :: Gen (Grafo Int Int) genGD = do n <- choose (1,10) xs <- vectorOf (n*n) arbitrary return (generaGD n xs) -- genGND es un generador de grafos dirigidos. Por ejemplo, -- ghci> sample genGND -- (ND,array (1,1) [(1,[])]) -- (ND,array (1,3) [(1,[(2,3),(3,13)]),(2,[(1,3)]),(3,[(1,13)])]) -- ... genGND :: Gen (Grafo Int Int) genGND = do n <- choose (1,10) xs <- vectorOf (n*n) arbitrary return (generaGND n xs) -- genG es un generador de grafos. Por ejemplo, -- ghci> sample genG -- (D,array (1,3) [(1,[(2,1)]),(2,[(1,1),(2,1)]),(3,[(3,1)])]) -- (ND,array (1,3) [(1,[(2,2)]),(2,[(1,2)]),(3,[])]) -- ... genG :: Gen (Grafo Int Int) genG = do d <- choose (True,False) n <- choose (1,10) xs <- vectorOf (n*n) arbitrary if d then return (generaGD n xs) else return (generaGND n xs) -- Los grafos está contenido en la clase de los objetos generables -- aleatoriamente. instance Arbitrary (Grafo Int Int) where arbitrary = genG |