I1M2013: Operaciones con el TAD de los polinomios en Haskell
En la primera parte de la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos estudiado las operaciones con los polinomios usando el TAD de los polinomios presentados en la clase anterior.
Las transparencias usadas en la clase son las páginas 42-55 del tema 21
El código de las operaciones con el TAD de los polinomios es
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module PolOperaciones (module Pol, module PolOperaciones) where -- --------------------------------------------------------------------- -- Importación de librerías -- -- --------------------------------------------------------------------- -- Nota: Hay que elegir una implementación del TAD de los polinomios. import PolRepTDA as Pol -- import PolRepDispersa as Pol -- import PolRepDensa as Pol import Test.QuickCheck -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejemplos -- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejemplos de polinomios con coeficientes enteros: ejPol1, ejPol2, ejPol3, ejTerm:: Polinomio Int ejPol1 = consPol 4 3 (consPol 2 (-5) (consPol 0 3 polCero)) ejPol2 = consPol 5 1 (consPol 2 5 (consPol 1 4 polCero)) ejPol3 = consPol 4 6 (consPol 1 2 polCero) ejTerm = consPol 1 4 polCero -- --------------------------------------------------------------------- -- Generador de polinomios -- -- --------------------------------------------------------------------- -- (genPol n) es un generador de polinomios. Por ejemplo, -- ghci> sample (genPol 1) -- 7*x^9 + 9*x^8 + 10*x^7 + -14*x^5 + -15*x^2 + -10 -- -4*x^8 + 2*x -- -8*x^9 + 4*x^8 + 2*x^6 + 4*x^5 + -6*x^4 + 5*x^2 + -8*x -- -9*x^9 + x^5 + -7 -- 8*x^10 + -9*x^7 + 7*x^6 + 9*x^5 + 10*x^3 + -1*x^2 -- 7*x^10 + 5*x^9 + -5 -- -8*x^10 + -7 -- -5*x -- 5*x^10 + 4*x^4 + -3 -- 3*x^3 + -4 -- 10*x genPol :: (Arbitrary a, Num a, Eq a) => Int -> Gen (Polinomio a) genPol 0 = return polCero genPol n = do n <- choose (0,10) b <- arbitrary p <- genPol (div n 2) return (consPol n b p) instance (Arbitrary a, Num a, Eq a) => Arbitrary (Polinomio a) where arbitrary = sized genPol -- --------------------------------------------------------------------- -- Funciones sobre términos -- -- --------------------------------------------------------------------- -- (creaTermino n a) es el término a*x^n. Por ejemplo, -- creaTermino 2 5 == 5*x^2 creaTermino:: (Num t, Eq t) => Int -> t -> Polinomio t creaTermino n a = consPol n a polCero -- (termLider p) es el término líder del polinomio p. Por ejemplo, -- ejPol2 == x^5 + 5*x^2 + 4*x -- termLider ejPol2 == x^5 termLider:: (Num t, Eq t) => Polinomio t -> Polinomio t termLider p = creaTermino (grado p) (coefLider p) -- --------------------------------------------------------------------- -- Suma de polinomios -- -- --------------------------------------------------------------------- -- (sumaPol p q) es la suma de los polinomios p y q. Por ejemplo, -- ejPol1 == 3*x^4 + -5*x^2 + 3 -- ejPol2 == x^5 + 5*x^2 + 4*x -- sumaPol ejPol1 ejPol2 == x^5 + 3*x^4 + 4*x + 3 sumaPol:: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> Polinomio a -> Polinomio a sumaPol p q | esPolCero p = q | esPolCero q = p | n1 > n2 = consPol n1 a1 (sumaPol r1 q) | n1 < n2 = consPol n2 a2 (sumaPol p r2) | a1+a2 /= 0 = consPol n1 (a1+a2) (sumaPol r1 r2) | otherwise = sumaPol r1 r2 where n1 = grado p a1 = coefLider p r1 = restoPol p n2 = grado q a2 = coefLider q r2 = restoPol q -- Propiedad. El polinomio cero es el elemento neutro de la suma. prop_neutroSumaPol :: Polinomio Int -> Bool prop_neutroSumaPol p = sumaPol polCero p == p -- Comprobación con QuickCheck. -- ghci> quickCheck prop_neutroSumaPol -- OK, passed 100 tests. -- Propiedad. La suma es conmutativa. prop_conmutativaSuma :: Polinomio Int -> Polinomio Int -> Bool prop_conmutativaSuma p q = sumaPol p q == sumaPol q p -- Comprobación: -- ghci> quickCheck prop_conmutativaSuma -- OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Producto de polinomios -- -- --------------------------------------------------------------------- -- (multPorTerm t p) es el producto del término t por el polinomio -- p. Por ejemplo, -- ejTerm == 4*x -- ejPol2 == x^5 + 5*x^2 + 4*x -- multPorTerm ejTerm ejPol2 == 4*x^6 + 20*x^3 + 16*x^2 multPorTerm :: (Num t, Eq t) => Polinomio t -> Polinomio t -> Polinomio t multPorTerm term pol | esPolCero pol = polCero | otherwise = consPol (n+m) (a*b) (multPorTerm term r) where n = grado term a = coefLider term m = grado pol b = coefLider pol r = restoPol pol -- (multPol p q) es el producto de los polinomios p y q. Por -- ejemplo, -- ghci> ejPol1 -- 3*x^4 + -5*x^2 + 3 -- ghci> ejPol2 -- x^5 + 5*x^2 + 4*x -- ghci> multPol ejPol1 ejPol2 -- 3*x^9 + -5*x^7 + 15*x^6 + 15*x^5 + -25*x^4 + -20*x^3 + 15*x^2 + 12*x multPol :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> Polinomio a -> Polinomio a multPol p q | esPolCero p = polCero | otherwise = sumaPol (multPorTerm (termLider p) q) (multPol (restoPol p) q) -- Propiedad. El producto de polinomios es conmutativo. prop_conmutativaProducto :: Polinomio Int -> Polinomio Int -> Bool prop_conmutativaProducto p q = multPol p q == multPol q p -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_conmutativaProducto -- OK, passed 100 tests. -- El producto es distributivo respecto de la suma. prop_distributivaProductoSuma :: Polinomio Int -> Polinomio Int -> Polinomio Int -> Bool prop_distributivaProductoSuma p q r = multPol p (sumaPol q r) == sumaPol (multPol p q) (multPol p r) -- Comprobación: -- ghci> quickCheck prop_distributivaProductoSuma -- OK, passed 100 tests. -- polUnidad es el polinomio unidad. Por ejemplo, -- ghci> polUnidad -- 1 polUnidad:: (Num t, Eq t) => Polinomio t polUnidad = consPol 0 1 polCero -- Propiedad. El polinomio unidad es el elemento neutro del producto. prop_polUnidad :: Polinomio Int -> Bool prop_polUnidad p = multPol p polUnidad == p -- Comprobación: -- ghci> quickCheck prop_polUnidad -- OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Valor de un polinomio en un punto -- -- --------------------------------------------------------------------- -- (valor p c) es el valor del polinomio p al sustituir su variable por -- c. Por ejemplo, -- ejPol1 == 3*x^4 + -5*x^2 + 3 -- valor ejPol1 0 == 3 -- valor ejPol1 1 == 1 -- valor ejPol1 (-2) == 31 valor:: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> a -> a valor p c | esPolCero p = 0 | otherwise = b*c^n + valor r c where n = grado p b = coefLider p r = restoPol p -- --------------------------------------------------------------------- -- Verificación de raices de polinomios -- -- --------------------------------------------------------------------- -- (esRaiz c p) se verifica si c es una raiz del polinomio p. por -- ejemplo, -- ejPol3 == 6*x^4 + 2*x -- esRaiz 1 ejPol3 == False -- esRaiz 0 ejPol3 == True esRaiz:: (Num a, Eq a) => a -> Polinomio a -> Bool esRaiz c p = valor p c == 0 -- --------------------------------------------------------------------- -- Derivación de polinomios -- -- --------------------------------------------------------------------- -- (derivada p) es la derivada del polinomio p. Por ejemplo, -- ejPol2 == x^5 + 5*x^2 + 4*x -- derivada ejPol2 == 5*x^4 + 10*x + 4 derivada :: Polinomio Int -> Polinomio Int derivada p | n == 0 = polCero | otherwise = consPol (n-1) (n*b) (derivada r) where n = grado p b = coefLider p r = restoPol p -- Propiedad. La derivada de la suma es la suma de las derivadas. prop_derivada :: Polinomio Int -> Polinomio Int -> Bool prop_derivada p q = derivada (sumaPol p q) == sumaPol (derivada p) (derivada q) -- Comprobación -- ghci> quickCheck prop_derivada -- OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Resta de polinomios -- -- --------------------------------------------------------------------- -- (resta p q) es la el polinomio obtenido restándole a p el q. Por -- ejemplo, -- ejPol1 == 3*x^4 + -5*x^2 + 3 -- ejPol2 == x^5 + 5*x^2 + 4*x -- restaPol ejPol1 ejPol2 == -1*x^5 + 3*x^4 + -10*x^2 + -4*x + 3 restaPol :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> Polinomio a -> Polinomio a restaPol p q = sumaPol p (multPorTerm (creaTermino 0 (-1)) q) |