I1M2013: Ejercicios sobre vectores y matrices en Haskell (2)
En las clase hoy Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos comentado las soluciones de los ejercicios 11 a 24 sobre vectores y matrices en Haskell de la relación 24.
Los ejercicios y su solución se muestran a continuación de los 24 primeros ejercicios de la relación es
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-- --------------------------------------------------------------------- -- Introducción -- -- --------------------------------------------------------------------- -- El objetivo de esta relación es hacer ejercicios sobre vectores y -- matrices con el tipo de tablas de las tablas, definido en el módulo -- Data.Array y explicado en el tema 18 cuyas transparencias se -- encuentran en -- http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m-13/temas/tema-18t.pdf -- Además, en algunos ejemplos de usan matrices con números racionales. -- En Haskell, el número racional x/y se representa por x%y. El TAD de -- los números racionales está definido en el módulo Data.Ratio. -- --------------------------------------------------------------------- -- Importación de librerías -- -- --------------------------------------------------------------------- import Data.Array import Data.Ratio -- --------------------------------------------------------------------- -- Tipos de los vectores y de las matrices -- -- --------------------------------------------------------------------- -- Los vectores son tablas cuyos índices son números naturales. type Vector a = Array Int a -- Las matrices son tablas cuyos índices son pares de números -- naturales. type Matriz a = Array (Int,Int) a -- --------------------------------------------------------------------- -- Operaciones básicas con matrices -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. Definir la función -- listaVector :: Num a => [a] -> Vector a -- tal que (listaVector xs) es el vector correspondiente a la lista -- xs. Por ejemplo, -- ghci> listaVector [3,2,5] -- array (1,3) [(1,3),(2,2),(3,5)] -- --------------------------------------------------------------------- listaVector :: Num a => [a] -> Vector a listaVector xs = listArray (1,n) xs where n = length xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. Definir la función -- listaMatriz :: Num a => [[a]] -> Matriz a -- tal que (listaMatriz xss) es la matriz cuyas filas son los elementos -- de xss. Por ejemplo, -- ghci> listaMatriz [[1,3,5],[2,4,7]] -- array ((1,1),(2,3)) [((1,1),1),((1,2),3),((1,3),5), -- ((2,1),2),((2,2),4),((2,3),7)] -- --------------------------------------------------------------------- listaMatriz :: Num a => [[a]] -> Matriz a listaMatriz xss = listArray ((1,1),(m,n)) (concat xss) where m = length xss n = length (head xss) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. Definir la función -- numFilas :: Num a => Matriz a -> Int -- tal que (numFilas m) es el número de filas de la matriz m. Por -- ejemplo, -- numFilas (listaMatriz [[1,3,5],[2,4,7]]) == 2 -- --------------------------------------------------------------------- numFilas :: Num a => Matriz a -> Int numFilas = fst . snd . bounds -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Definir la función -- numColumnas :: Num a => Matriz a -> Int -- tal que (numColumnas m) es el número de columnas de la matriz -- m. Por ejemplo, -- numColumnas (listaMatriz [[1,3,5],[2,4,7]]) == 3 -- --------------------------------------------------------------------- numColumnas:: Num a => Matriz a -> Int numColumnas = snd . snd . bounds -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. Definir la función -- dimension :: Num a => Matriz a -> (Int,Int) -- tal que (dimension m) es el número de columnas de la matriz m. Por -- ejemplo, -- dimension (listaMatriz [[1,3,5],[2,4,7]]) == (2,3) -- --------------------------------------------------------------------- dimension :: Num a => Matriz a -> (Int,Int) dimension p = (numFilas p, numColumnas p) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6. Definir la función -- separa :: Int -> [a] -> [[a]] -- tal que (separa n xs) es la lista obtenida separando los elementos de -- xs en grupos de n elementos (salvo el último que puede tener menos de -- n elementos). Por ejemplo, -- separa 3 [1..11] == [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9],[10,11]] -- --------------------------------------------------------------------- separa :: Int -> [a] -> [[a]] separa _ [] = [] separa n xs = take n xs : separa n (drop n xs) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7. Definir la función -- matrizLista :: Num a => Matriz a -> [[a]] -- tal que (matrizLista x) es la lista de las filas de la matriz x. Por -- ejemplo, -- ghci> let m = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6]] -- ghci> m -- array ((1,1),(2,3)) [((1,1),5),((1,2),1),((1,3),0), -- ((2,1),3),((2,2),2),((2,3),6)] -- ghci> matrizLista m -- [[5,1,0],[3,2,6]] -- --------------------------------------------------------------------- matrizLista :: Num a => Matriz a -> [[a]] matrizLista p = separa (numColumnas p) (elems p) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8. Definir la función -- vectorLista :: Num a => Vector a -> [a] -- tal que (vectorLista x) es la lista de los elementos del vector -- v. Por ejemplo, -- ghci> let v = listaVector [3,2,5] -- ghci> v -- array (1,3) [(1,3),(2,2),(3,5)] -- ghci> vectorLista v -- [3,2,5] -- --------------------------------------------------------------------- vectorLista :: Num a => Vector a -> [a] vectorLista = elems -- --------------------------------------------------------------------- -- Suma de matrices -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9. Definir la función -- sumaMatrices:: Num a => Matriz a -> Matriz a -> Matriz a -- tal que (sumaMatrices x y) es la suma de las matrices x e y. Por -- ejemplo, -- ghci> let m1 = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6]] -- ghci> let m2 = listaMatriz [[4,6,3],[1,5,2]] -- ghci> matrizLista (sumaMatrices m1 m2) -- [[9,7,3],[4,7,8]] -- --------------------------------------------------------------------- sumaMatrices:: Num a => Matriz a -> Matriz a -> Matriz a sumaMatrices p q = array ((1,1),(m,n)) [((i,j),p!(i,j)+q!(i,j)) | i <- [1..m], j <- [1..n]] where (m,n) = dimension p -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10. Definir la función -- filaMat :: Num a => Int -> Matriz a -> Vector a -- tal que (filaMat i p) es el vector correspondiente a la fila i-ésima -- de la matriz p. Por ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,5,7]] -- ghci> filaMat 2 p -- array (1,3) [(1,3),(2,2),(3,6)] -- ghci> vectorLista (filaMat 2 p) -- [3,2,6] -- --------------------------------------------------------------------- filaMat :: Num a => Int -> Matriz a -> Vector a filaMat i p = array (1,n) [(j,p!(i,j)) | j <- [1..n]] where n = numColumnas p -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11. Definir la función -- columnaMat :: Num a => Int -> Matriz a -> Vector a -- tal que (columnaMat j p) es el vector correspondiente a la columna -- j-ésima de la matriz p. Por ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,5,7]] -- ghci> columnaMat 2 p -- array (1,3) [(1,1),(2,2),(3,5)] -- ghci> vectorLista (columnaMat 2 p) -- [1,2,5] -- --------------------------------------------------------------------- columnaMat :: Num a => Int -> Matriz a -> Vector a columnaMat j p = array (1,m) [(i,p!(i,j)) | i <- [1..m]] where m = numFilas p -- --------------------------------------------------------------------- -- Producto de matrices -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12. Definir la función -- prodEscalar :: Num a => Vector a -> Vector a -> a -- tal que (prodEscalar v1 v2) es el producto escalar de los vectores v1 -- y v2. Por ejemplo, -- ghci> let v = listaVector [3,1,10] -- ghci> prodEscalar v v -- 110 -- --------------------------------------------------------------------- prodEscalar :: Num a => Vector a -> Vector a -> a prodEscalar v1 v2 = sum [i*j | (i,j) <- zip (elems v1) (elems v2)] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13. Definir la función -- prodMatrices:: Num a => Matriz a -> Matriz a -> Matriz a -- tal que (prodMatrices p q) es el producto de las matrices p y q. Por -- ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[3,1],[2,4]] -- ghci> prodMatrices p p -- array ((1,1),(2,2)) [((1,1),11),((1,2),7),((2,1),14),((2,2),18)] -- ghci> matrizLista (prodMatrices p p) -- [[11,7],[14,18]] -- ghci> let q = listaMatriz [[7],[5]] -- ghci> prodMatrices p q -- array ((1,1),(2,1)) [((1,1),26),((2,1),34)] -- ghci> matrizLista (prodMatrices p q) -- [[26],[34]] -- --------------------------------------------------------------------- prodMatrices:: Num a => Matriz a -> Matriz a -> Matriz a prodMatrices p q = array ((1,1),(m,n)) [((i,j), prodEscalar (filaMat i p) (columnaMat j q)) | i <- [1..m], j <- [1..n]] where m = numFilas p n = numColumnas q -- --------------------------------------------------------------------- -- Traspuestas y simétricas -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14. Definir la función -- traspuesta :: Num a => Matriz a -> Matriz a -- tal que (traspuesta p) es la traspuesta de la matriz p. Por ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6]] -- ghci> traspuesta p -- array ((1,1),(3,2)) [((1,1),5),((1,2),3), -- ((2,1),1),((2,2),2), -- ((3,1),0),((3,2),6)] -- ghci> matrizLista (traspuesta p) -- [[5,3],[1,2],[0,6]] -- --------------------------------------------------------------------- traspuesta :: Num a => Matriz a -> Matriz a traspuesta p = array ((1,1),(n,m)) [((i,j), p!(j,i)) | i <- [1..n], j <- [1..m]] where (m,n) = dimension p -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 15. Definir la función -- esCuadrada :: Num a => Matriz a -> Bool -- tal que (esCuadrada p) se verifica si la matriz p es cuadrada. Por -- ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6]] -- ghci> esCuadrada p -- False -- ghci> let q = listaMatriz [[5,1],[3,2]] -- ghci> esCuadrada q -- True -- --------------------------------------------------------------------- esCuadrada :: Num a => Matriz a -> Bool esCuadrada x = numFilas x == numColumnas x -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16. Definir la función -- esSimetrica :: (Num a, Eq a) => Matriz a -> Bool -- tal que (esSimetrica p) se verifica si la matriz p es simétrica. Por -- ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,3],[1,4,7],[3,7,2]] -- ghci> esSimetrica p -- True -- ghci> let q = listaMatriz [[5,1,3],[1,4,7],[3,4,2]] -- ghci> esSimetrica q -- False -- --------------------------------------------------------------------- esSimetrica :: (Num a, Eq a) => Matriz a -> Bool esSimetrica x = x == traspuesta x -- --------------------------------------------------------------------- -- Diagonales de una matriz -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 17. Definir la función -- diagonalPral :: Num a => Matriz a -> Vector a -- tal que (diagonalPral p) es la diagonal principal de la matriz p. Por -- ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6]] -- ghci> diagonalPral p -- array (1,2) [(1,5),(2,2)] -- ghci> vectorLista (diagonalPral p) -- [5,2] -- --------------------------------------------------------------------- diagonalPral :: Num a => Matriz a -> Vector a diagonalPral p = array (1,n) [(i,p!(i,i)) | i <- [1..n]] where n = min (numFilas p) (numColumnas p) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 18. Definir la función -- diagonalSec :: Num a => Matriz a -> Vector a -- tal que (diagonalSec p) es la diagonal secundaria de la matriz p. Por -- ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6]] -- ghci> diagonalSec p -- array (1,2) [(1,1),(2,3)] -- ghci> vectorLista (diagonalSec p) -- [1,3] -- ghci> let q = traspuesta p -- ghci> matrizLista q -- [[5,3],[1,2],[0,6]] -- ghci> vectorLista (diagonalSec q) -- [3,1] -- --------------------------------------------------------------------- diagonalSec :: Num a => Matriz a -> Vector a diagonalSec p = array (1,n) [(i,p!(i,n+1-i)) | i <- [1..n]] where n = min (numFilas p) (numColumnas p) -- --------------------------------------------------------------------- -- Submatrices -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 19. Definir la función -- submatriz :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a -- tal que (submatriz i j p) es la matriz obtenida a partir de la p -- eliminando la fila i y la columna j. Por ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]] -- ghci> submatriz 2 3 p -- array ((1,1),(2,2)) [((1,1),5),((1,2),1),((2,1),4),((2,2),6)] -- ghci> matrizLista (submatriz 2 3 p) -- [[5,1],[4,6]] -- --------------------------------------------------------------------- submatriz :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a submatriz i j p = array ((1,1), (m-1,n -1)) [((k,l), p ! f k l) | k <- [1..m-1], l <- [1.. n-1]] where (m,n) = dimension p f k l | k < i && l < j = (k,l) | k >= i && l < j = (k+1,l) | k < i && l >= j = (k,l+1) | otherwise = (k+1,l+1) -- --------------------------------------------------------------------- -- Transformaciones elementales -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 20. Definir la función -- intercambiaFilas :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a -- tal que (intercambiaFilas k l p) es la matriz obtenida intercambiando -- las filas k y l de la matriz p. Por ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]] -- ghci> intercambiaFilas 1 3 p -- array ((1,1),(3,3)) [((1,1),4),((1,2),6),((1,3),9), -- ((2,1),3),((2,2),2),((2,3),6), -- ((3,1),5),((3,2),1),((3,3),0)] -- ghci> matrizLista (intercambiaFilas 1 3 p) -- [[4,6,9],[3,2,6],[5,1,0]] -- --------------------------------------------------------------------- intercambiaFilas :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a intercambiaFilas k l p = array ((1,1), (m,n)) [((i,j), p! f i j) | i <- [1..m], j <- [1..n]] where (m,n) = dimension p f i j | i == k = (l,j) | i == l = (k,j) | otherwise = (i,j) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 21. Definir la función -- intercambiaColumnas :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a -- tal que (intercambiaColumnas k l p) es la matriz obtenida -- intercambiando las columnas k y l de la matriz p. Por ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]] -- ghci> matrizLista (intercambiaColumnas 1 3 p) -- [[0,1,5],[6,2,3],[9,6,4]] -- --------------------------------------------------------------------- intercambiaColumnas :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a intercambiaColumnas k l p = array ((1,1), (m,n)) [((i,j), p ! f i j) | i <- [1..m], j <- [1..n]] where (m,n) = dimension p f i j | j == k = (i,l) | j == l = (i,k) | otherwise = (i,j) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 22. Definir la función -- multFilaPor :: Num a => Int -> a -> Matriz a -> Matriz a -- tal que (multFilaPor k x p) es a matriz obtenida multiplicando la -- fila k de la matriz p por el número x. Por ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]] -- ghci> matrizLista (multFilaPor 2 3 p) -- [[5,1,0],[9,6,18],[4,6,9]] -- --------------------------------------------------------------------- multFilaPor :: Num a => Int -> a -> Matriz a -> Matriz a multFilaPor k x p = array ((1,1), (m,n)) [((i,j), f i j) | i <- [1..m], j <- [1..n]] where (m,n) = dimension p f i j | i == k = x*(p!(i,j)) | otherwise = p!(i,j) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 23. Definir la función -- sumaFilaFila :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a -- tal que (sumaFilaFila k l p) es la matriz obtenida sumando la fila l -- a la fila k d la matriz p. Por ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]] -- ghci> matrizLista (sumaFilaFila 2 3 p) -- [[5,1,0],[7,8,15],[4,6,9]] -- --------------------------------------------------------------------- sumaFilaFila :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a sumaFilaFila k l p = array ((1,1), (m,n)) [((i,j), f i j) | i <- [1..m], j <- [1..n]] where (m,n) = dimension p f i j | i == k = p!(i,j) + p!(l,j) | otherwise = p!(i,j) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 24. Definir la función -- sumaFilaPor :: Num a => Int -> Int -> a -> Matriz a -> Matriz a -- tal que (sumaFilaPor k l x p) es la matriz obtenida sumando a la fila -- k de la matriz p la fila l multiplicada por x. Por ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]] -- ghci> matrizLista (sumaFilaPor 2 3 10 p) -- [[5,1,0],[43,62,96],[4,6,9]] -- --------------------------------------------------------------------- sumaFilaPor :: Num a => Int -> Int -> a -> Matriz a -> Matriz a sumaFilaPor k l x p = array ((1,1), (m,n)) [((i,j), f i j) | i <- [1..m], j <- [1..n]] where (m,n) = dimension p f i j | i == k = p!(i,j) + x*p!(l,j) | otherwise = p!(i,j) |