I1M2013: Ejercicios de relaciones binarias en Haskell
En la segunda parte de la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos comentado las soluciones de los ejercicios sobre relaciones binarias de la 29ª relación.
Los ejercicios y su solución se muestran a continuación
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 |
-- --------------------------------------------------------------------- -- Introducción -- -- --------------------------------------------------------------------- -- El objetivo de esta relación de ejercicios es definir propiedades y -- operaciones sobre las relaciones binarias (homogéneas). -- -- Como referencia se puede usar el artículo de la wikipedia -- http://bit.ly/HVHOPS -- --------------------------------------------------------------------- -- § Librerías auxiliares -- -- --------------------------------------------------------------------- import Test.QuickCheck import Data.List -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. Una relación binaria R sobre un conjunto A puede -- representar mediante un par (xs,ps) donde xs es la lista de los -- elementos de A (el universo de R) y ps es la lista de pares de R (el -- grafo de R). Definir el tipo de dato (Rel a) para representar las -- relaciones binarias sobre a. -- --------------------------------------------------------------------- type Rel a = ([a],[(a,a)]) -- --------------------------------------------------------------------- -- Nota. En los ejemplos usaremos las siguientes relaciones binarias: -- r1, r2, r3 :: Rel Int -- r1 = ([1..9],[(1,3), (2,6), (8,9), (2,7)]) -- r2 = ([1..9],[(1,3), (2,6), (8,9), (3,7)]) -- r3 = ([1..9],[(1,3), (2,6), (8,9), (3,6)]) -- --------------------------------------------------------------------- r1, r2, r3 :: Rel Int r1 = ([1..9],[(1,3), (2,6), (8,9), (2,7)]) r2 = ([1..9],[(1,3), (2,6), (8,9), (3,7)]) r3 = ([1..9],[(1,3), (2,6), (8,9), (3,6)]) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. Definir la función -- universo :: Eq a => Rel a -> [a] -- tal que (universo r) es el universo de la relación r. Por ejemplo, -- r1 == ([1,2,3,4,5,6,7,8,9],[(1,3),(2,6),(8,9),(2,7)]) -- universo r1 == [1,2,3,4,5,6,7,8,9] -- --------------------------------------------------------------------- universo :: Eq a => Rel a -> [a] universo (us,_) = us -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. Definir la función -- grafo :: Eq a => ([a],[(a,a)]) -> [(a,a)] -- tal que (grafo r) es el grafo de la relación r. Por ejemplo, -- r1 == ([1,2,3,4,5,6,7,8,9],[(1,3),(2,6),(8,9),(2,7)]) -- grafo r1 == [(1,3),(2,6),(8,9),(2,7)] -- --------------------------------------------------------------------- grafo :: Eq a => ([a],[(a,a)]) -> [(a,a)] grafo (_,ps) = ps -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Definir la función -- reflexiva :: Eq a => Rel a -> Bool -- tal que (reflexiva r) se verifica si la relación r es reflexiva. Por -- ejemplo, -- reflexiva ([1,3],[(1,1),(1,3),(3,3)]) == True -- reflexiva ([1,2,3],[(1,1),(1,3),(3,3)]) == False -- --------------------------------------------------------------------- reflexiva :: Eq a => Rel a -> Bool reflexiva (us,ps) = and [elem (x,x) ps | x <- us] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. Definir la función -- simetrica :: Eq a => Rel a -> Bool -- tal que (simetrica r) se verifica si la relación r es simétrica. Por -- ejemplo, -- simetrica ([1,3],[(1,1),(1,3),(3,1)]) == True -- simetrica ([1,3],[(1,1),(1,3),(3,2)]) == False -- simetrica ([1,3],[]) == True -- --------------------------------------------------------------------- simetrica :: Eq a => Rel a -> Bool simetrica (us,ps) = and [(y,x) `elem` ps | (x,y) <- ps] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6. Definir la función -- subconjunto :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool -- tal que (subconjunto xs ys) se verifica si xs es un subconjunto de -- xs. Por ejemplo, -- subconjunto [1,3] [3,1,5] == True -- subconjunto [3,1,5] [1,3] == False -- --------------------------------------------------------------------- subconjunto :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool subconjunto xs ys = and [elem x ys | x <- xs] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7. Definir la función -- composicion :: Eq a => Rel a -> Rel a -> Rel a -- tal que (composicion r s) es la composición de las relaciones r y -- s. Por ejemplo, -- ghci> composicion ([1,2],[(1,2),(2,2)]) ([1,2],[(2,1)]) -- ([1,2],[(1,1),(2,1)]) -- --------------------------------------------------------------------- composicion :: Eq a => Rel a -> Rel a -> Rel a composicion (xs,ps) (_,qs) = (xs,[(x,z) | (x,y) <- ps, (y1,z) <- qs, y == y1]) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8. Definir la función -- transitiva :: Eq a => Rel a -> Bool -- tal que (transitiva r) se verifica si la relación r es transitiva. -- Por ejemplo, -- transitiva ([1,3,5],[(1,1),(1,3),(3,1),(3,3),(5,5)]) == True -- transitiva ([1,3,5],[(1,1),(1,3),(3,1),(5,5)]) == False -- --------------------------------------------------------------------- transitiva :: Eq a => Rel a -> Bool transitiva r@(xs,ps) = subconjunto (grafo (composicion r r)) ps -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9. Definir la función -- esEquivalencia :: Eq a => Rel a -> Bool -- tal que (esEquivalencia r) se verifica si la relación r es de -- equivalencia. Por ejemplo, -- ghci> esEquivalencia ([1,3,5],[(1,1),(1,3),(3,1),(3,3),(5,5)]) -- True -- ghci> esEquivalencia ([1,2,3,5],[(1,1),(1,3),(3,1),(3,3),(5,5)]) -- False -- ghci> esEquivalencia ([1,3,5],[(1,1),(1,3),(3,3),(5,5)]) -- False -- --------------------------------------------------------------------- esEquivalencia :: Eq a => Rel a -> Bool esEquivalencia r = reflexiva r && simetrica r && transitiva r -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10. Definir la función -- irreflexiva :: Eq a => Rel a -> Bool -- tal que (irreflexiva r) se verifica si la relación r es irreflexiva; -- es decir, si ningún elemento de su universo está relacionado con -- él mismo. Por ejemplo, -- irreflexiva ([1,2,3],[(1,2),(2,1),(2,3)]) == True -- irreflexiva ([1,2,3],[(1,2),(2,1),(3,3)]) == False -- --------------------------------------------------------------------- irreflexiva :: Eq a => Rel a -> Bool irreflexiva (xs,ps) = and [(x,x) `notElem` ps | x <- xs] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11. Definir la función -- antisimetrica :: Eq a => Rel a -> Bool -- tal que (antisimetrica r) se verifica si la relación r es -- antisimétrica; es decir, si (x,y) e (y,x) están relacionado, entonces -- x=y. Por ejemplo, -- antisimetrica ([1,2],[(1,2)]) == True -- antisimetrica ([1,2],[(1,2),(2,1)]) == False -- antisimetrica ([1,2],[(1,1),(2,1)]) == True -- --------------------------------------------------------------------- antisimetrica :: Eq a => Rel a -> Bool antisimetrica (_,ps) = null [(x,y) | (x,y) <- ps, x /= y, (y,x) `elem` ps] -- Otra definición es antisimetrica2 :: Eq a => Rel a -> Bool antisimetrica2 (xs,ps) = and [((x,y) `elem` ps && (y,x) `elem` ps) --> (x == y) | x <- xs, y <- xs] where p --> q = not p || q -- Las dos definiciones son equivalentes prop_antisimetrica :: Rel Int -> Bool prop_antisimetrica r = antisimetrica r == antisimetrica2 r -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_antisimetrica -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12. Definir la función -- total :: Eq a => Rel a -> Bool -- tal que (total r) se verifica si la relación r es total; es decir, si -- para cualquier par x, y de elementos del universo de r, se tiene que -- x está relacionado con y ó y etá relacionado con x. Por ejemplo, -- total ([1,3],[(1,1),(3,1),(3,3)]) == True -- total ([1,3],[(1,1),(3,1)]) == False -- total ([1,3],[(1,1),(3,3)]) == False -- --------------------------------------------------------------------- total :: Eq a => Rel a -> Bool total (xs,ps) = and [(x,y) `elem` ps || (y,x) `elem` ps | x <- xs, y <- xs] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13. Comprobar con QuickCheck que las relaciones totales son -- reflexivas. -- --------------------------------------------------------------------- prop_total_reflexiva :: Rel Int -> Property prop_total_reflexiva r = total r ==> reflexiva r -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_total_reflexiva -- *** Gave up! Passed only 19 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- § Clausuras -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14. Definir la función -- clausuraReflexiva :: Eq a => Rel a -> Rel a -- tal que (clausuraReflexiva r) es la clausura reflexiva de r; es -- decir, la menor relación reflexiva que contiene a r. Por ejemplo, -- ghci> clausuraReflexiva ([1,3],[(1,1),(3,1)]) -- ([1,3],[(1,1),(3,1),(3,3)]) -- --------------------------------------------------------------------- clausuraReflexiva :: Eq a => Rel a -> Rel a clausuraReflexiva (xs,ps) = (xs, ps `union` [(x,x) | x <- xs]) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 15. Comprobar con QuickCheck que clausuraReflexiva es -- reflexiva. -- --------------------------------------------------------------------- prop_ClausuraReflexiva :: Rel Int -> Bool prop_ClausuraReflexiva r = reflexiva (clausuraReflexiva r) -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_ClausuraRefl -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16. Definir la función -- clausuraSimetrica :: Eq a => Rel a -> Rel a -- tal que (clausuraSimetrica r) es la clausura simétrica de r; es -- decir, la menor relación simétrica que contiene a r. Por ejemplo, -- ghci> clausuraSimetrica ([1,3,5],[(1,1),(3,1),(1,5)]) -- ([1,3,5],[(1,1),(3,1),(1,5),(1,3),(5,1)]) -- --------------------------------------------------------------------- clausuraSimetrica :: Eq a => Rel a -> Rel a clausuraSimetrica (xs,ps) = (xs, ps `union` [(y,x) | (x,y) <- ps]) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 17. Comprobar con QuickCheck que clausuraSimetrica es -- simétrica. -- --------------------------------------------------------------------- prop_ClausuraSimetrica :: Rel Int -> Bool prop_ClausuraSimetrica r = simetrica (clausuraSimetrica r) -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_ClausuraSimetrica -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 18. Definir la función -- clausuraTransitiva :: Eq a => Rel a -> Rel a -- tal que (clausuraTransitiva r) es la clausura transitiva de r; es -- decir, la menor relación transitiva que contiene a r. Por ejemplo, -- ghci> clausuraTransitiva ([1..6],[(1,2),(2,5),(5,6)]) -- ([1,2,3,4,5,6],[(1,2),(2,5),(5,6),(1,5),(2,6),(1,6)]) -- --------------------------------------------------------------------- clausuraTransitiva :: Eq a => Rel a -> Rel a clausuraTransitiva (xs,ps) = (xs, aux ps) where aux xs | cerradoTr xs = xs | otherwise = aux (xs `union` (comp xs xs)) cerradoTr r = subconjunto (comp r r) r comp r s = [(x,z) | (x,y) <- r, (y1,z) <- s, y == y1] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 19. Comprobar con QuickCheck que clausuraTransitiva es -- transitiva. -- --------------------------------------------------------------------- prop_ClausuraTransitiva :: Rel Int -> Bool prop_ClausuraTransitiva r = transitiva (clausuraTransitiva r) -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_ClausuraTransitiva -- +++ OK, passed 100 tests. |