I1M2013: Ejercicios de definiciones por comprensión (5)
En la clase de hoy del curso Informática (de 1º de Grado en Matemáticas) se han comentado las soluciones de los ejercicios 8 a 14 de la 5ª relación sobre definiciones por comprensión.
Los ejercicios y sus soluciones se muestran a continuación
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-- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8. La bases de datos sobre actividades de personas pueden -- representarse mediante listas de elementos de la forma (a,b,c,d), -- donde a es el nombre de la persona, b su actividad, c su fecha de -- nacimiento y d la de su fallecimiento. Un ejemplo es la siguiente que -- usaremos a lo largo de este ejercicio, -- --------------------------------------------------------------------- personas :: [(String,String,Int,Int)] personas = [("Cervantes","Literatura",1547,1616), ("Velazquez","Pintura",1599,1660), ("Picasso","Pintura",1881,1973), ("Beethoven","Musica",1770,1823), ("Poincare","Ciencia",1854,1912), ("Quevedo","Literatura",1580,1654), ("Goya","Pintura",1746,1828), ("Einstein","Ciencia",1879,1955), ("Mozart","Musica",1756,1791), ("Botticelli","Pintura",1445,1510), ("Borromini","Arquitectura",1599,1667), ("Bach","Musica",1685,1750)] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8.1. Definir la función nombres tal que (nombres bd) es -- la lista de los nombres de las personas de la base de datos bd. Por -- ejemplo, -- ghci> nombres personas -- ["Cervantes","Velazquez","Picasso","Beethoven","Poincare", -- "Quevedo","Goya","Einstein","Mozart","Botticelli","Borromini","Bach"] -- --------------------------------------------------------------------- nombres :: [(String,String,Int,Int)] -> [String] nombres bd = [x | (x,_,_,_) <- bd] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8.2. Definir la función musicos tal que (musicos bd) es -- la lista de los nombres de los músicos de la base de datos bd. Por -- ejemplo, -- ghci> musicos personas -- ["Beethoven","Mozart","Bach"] -- --------------------------------------------------------------------- musicos :: [(String,String,Int,Int)] -> [String] musicos bd = [x | (x,"Musica",_,_) <- bd] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8.3. Definir la función seleccion tal que (seleccion bd m) -- es la lista de los nombres de las personas de la base de datos bd -- cuya actividad es m. Por ejemplo, -- ghci> seleccion personas "Pintura" -- ["Velazquez","Picasso","Goya","Botticelli"] -- ghci> seleccion personas "Musica" -- ["Beethoven","Mozart","Bach"] -- --------------------------------------------------------------------- seleccion :: [(String,String,Int,Int)] -> String -> [String] seleccion bd m = [ x | (x,m',_,_) <- bd, m == m' ] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8.4. Definir, usando el apartado anterior, la función -- musicos' tal que (musicos' bd) es la lista de los nombres de los -- músicos de la base de datos bd. Por ejemplo, -- ghci> musicos' personas -- ["Beethoven","Mozart","Bach"] -- --------------------------------------------------------------------- musicos' :: [(String,String,Int,Int)] -> [String] musicos' bd = seleccion bd "Musica" -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8.5. Definir la función vivas tal que (vivas bd a) es la -- lista de los nombres de las personas de la base de datos bd que -- estaban vivas en el año a. Por ejemplo, -- ghci> vivas personas 1600 -- ["Cervantes","Velazquez","Quevedo","Borromini"] -- --------------------------------------------------------------------- vivas :: [(String,String,Int,Int)] -> Int -> [String] vivas ps a = [x | (x,_,a1,a2) <- ps, a1 <= a, a <= a2] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9.1. En este esjercicio se consideran listas de ternas de -- la forma (nombre, edad, población). -- -- Definir la función puedenVotar tal que (puedenVotar t) es la -- lista de las personas de t que tienen edad para votar. Por ejemplo, -- ghci> :{ -- *Main| puedenVotar [("Ana", 16, "Sevilla"), ("Juan", 21, "Coria"), -- *Main| ("Alba", 19, "Camas"), ("Pedro",18,"Sevilla")] -- *Main| :} -- ["Juan","Alba","Pedro"] -- --------------------------------------------------------------------- puedenVotar t = [x | (x,y,_) <- t, y >= 18] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9.2. Definir la función puedenVotarEn tal que (puedenVotar -- t p) es la lista de las personas de t que pueden votar en la -- población p. Por ejemplo, -- ghci> :{ -- *Main| puedenVotarEn [("Ana", 16, "Sevilla"), ("Juan", 21, "Coria"), -- *Main| ("Alba", 19, "Camas"),("Pedro",18,"Sevilla")] -- *Main| "Sevilla" -- *Main| :} -- ["Pedro"] -- --------------------------------------------------------------------- puedenVotarEn t c = [x | (x,y,z) <- t, y >= 18, z == c] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10. Dos listas xs, ys de la misma longitud son -- perpendiculares si el producto escalar de ambas es 0, donde el -- producto escalar de dos listas de enteros xs e ys viene -- dado por la suma de los productos de los elementos correspondientes. -- -- Definir la función perpendiculares tal que (perpendiculares xs yss) -- es la lista de los elementos de yss que son perpendiculares a xs. -- Por ejemplo, -- ghci> perpendiculares [1,0,1] [[0,1,0], [2,3,1], [-1,7,1],[3,1,0]] -- [[0,1,0],[-1,7,1]] -- --------------------------------------------------------------------- perpendiculares xs yss = [ys | ys <-yss, productoEscalar xs ys == 0] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11. La suma de la serie -- 1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ... -- es pi^2/6. Por tanto, pi se puede aproximar mediante la raíz cuadrada -- de 6 por la suma de la serie. -- -- Definir la función aproximaPi tal que (aproximaPi n) es la aproximación -- de pi obtenida mediante n términos de la serie. Por ejemplo, -- aproximaPi 4 == 2.9226129861250305 -- aproximaPi 1000 == 3.1406380562059946 -- --------------------------------------------------------------------- aproximaPi n = sqrt (6 * sum [1/x^2 | x <- [1..n]]) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12.1. [Problema 357 del Project Euler] Un número natural n -- es especial si para todo divisor d de n, d+n/d es primo. Definir la -- función -- especial :: Integer -> Bool -- tal que (especial x) se verifica si x es especial. Por ejemplo, -- especial 30 == True -- especial 20 == False -- --------------------------------------------------------------------- especial :: Integer -> Bool especial x = and [esPrimo (d + x `div` d) | d <- divisores x] -- (divisores x) es la lista de los divisores de x. Por ejemplo, -- divisores 30 == [1,2,3,5,6,10,15,30] divisores :: Integer -> [Integer] divisores x = [d | d <- [1..x], x `rem` d == 0] -- (esPrimo x) se verifica si x es primo. Por ejemplo, -- esPrimo 7 == True -- esPrimo 8 == False esPrimo :: Integer -> Bool esPrimo x = divisores x == [1,x] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12.2. Definir la función -- sumaEspeciales :: Integer -> Integer -- tal que (sumaEspeciales n) es la suma de los números especiales -- menores o iguales que n. Por ejemplo, -- sumaEspeciales 100 == 401 -- --------------------------------------------------------------------- sumaEspeciales :: Integer -> Integer sumaEspeciales n = sum [x | x <- [1..n], especial x] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13.1. Un número es muy compuesto si tiene más divisores que -- sus anteriores. Por ejemplo, 12 es muy compuesto porque tiene 6 -- divisores (1, 2, 3, 4, 6, 12) y todos los números del 1 al 11 tienen -- menos de 6 divisores. -- -- Definir la función -- esMuyCompuesto :: Int -> Bool -- tal que (esMuyCompuesto x) se verifica si x es un número muy -- compuesto. Por ejemplo, -- esMuyCompuesto 24 == True -- esMuyCompuesto 25 == False -- Calcular el menor número muy compuesto de 4 cifras. -- --------------------------------------------------------------------- esMuyCompuesto :: Int -> Bool esMuyCompuesto x = and [numeroDivisores y < n | y <- [1..x-1]] where n = numeroDivisores x -- (numeroDivisores x) es el número de divisores de x. Por ejemplo, -- numeroDivisores 24 == 8 numeroDivisores :: Int -> Int numeroDivisores = length . divisores' -- (divisores' x) es la lista de los divisores de x. Por ejemplo, -- divisores 24 == [1,2,3,4,6,8,12,24] divisores' :: Int -> [Int] divisores' x = [y | y <- [1..x], mod x y == 0] -- Los primeros números muy compuestos son -- ghci> take 14 [x | x <- [1..], esMuyCompuesto x] -- [1,2,4,6,12,24,36,48,60,120,180,240,360,720] -- El cálculo del menor número muy compuesto de 4 cifras es -- ghci> head [x | x <- [1000..], esMuyCompuesto x] -- 1260 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13.2. Definir la función -- muyCompuesto :: Int -> Int -- tal que (muyCompuesto n) es el n-ésimo número muy compuesto. Por -- ejemplo, -- muyCompuesto 10 == 180 -- --------------------------------------------------------------------- muyCompuesto :: Int -> Int muyCompuesto n = [x | x <- [1..], esMuyCompuesto x] !! n -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14. Definir la función -- todosIguales :: Eq a => [a] -> Bool -- tal que (todosIguales xs) se verifica si los elementos de la -- lista xs son todos iguales. Por ejemplo, -- todosIguales [1..5] == False -- todosIguales [2,2,2] == True -- todosIguales ["a","a"] == True -- --------------------------------------------------------------------- todosIguales:: Eq a => [a] -> Bool todosIguales xs = and [x==y | (x,y) <- zip xs (tail xs)] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14.1. Una lista social es una lista de números enteros -- x_1,...,x_n tales que para cada índice i se tiene que la suma de los -- divisores propios de x_i es x_(i+1), para i=1,...,n−1 y la suma de -- los divisores propios de x_n es x_1. Por ejemplo, -- [12496,14288,15472,14536,14264] es una lista social. -- -- Definir la función -- esListaSocial :: [Int] -> Bool -- tal que (esListaSocial xs) se verifica si xs es una lista social. -- Por ejemplo, -- esListaSocial [12496, 14288, 15472, 14536, 14264] == True -- esListaSocial [12, 142, 154] == False -- --------------------------------------------------------------------- esListaSocial :: [Int] -> Bool esListaSocial xs = (and [asociados x y | (x,y) <- zip xs (tail xs)]) && asociados (last xs) (head xs) where asociados :: Int -> Int -> Bool asociados x y = sum [k | k <- [1..x-1], rem x k == 0] == y -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14.2. ¿Existen listas sociales de un único elemento? Si -- crees que existen, busca una de ellas. -- --------------------------------------------------------------------- listasSocialesUnitarias :: [[Int]] listasSocialesUnitarias = [[n] | n <- [1..], esListaSocial [n]] -- El cálculo es -- ghci> take 4 listasSocialesUnitarias -- [[6],[28],[496],[8128]] -- Se observa que [n] es una lista social syss n es un número perfecto. |