I1M2013: Ejercicios de árboles binarios en Haskell

p>En la segunda parte de la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos comentando soluciones de los ejercicios de la relación 19 sobre árboles binarios. En concreto, se definen funciones para calcular:

el número de hojas de un árbol,
el número de nodos de un árbol,
la profundidad de un árbol,
el recorrido preorden de un árbol,
el recorrido postorden de un árbol,
el recorrido preorden de forma iterativa,
la imagen especular de un árbol,
el subárbol de profundidad dada,
el árbol infinito generado con un elemento y
el árbol de profundidad dada cuyos nodos son iguales a un elemento.

p>Los ejercicios y sus soluciones se muestran a continuación

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Importación de librerías auxiliares                                  
-- ---------------------------------------------------------------------

import Data.List

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Nota. En los siguientes ejercicios se trabajará con los árboles
-- binarios definidos como sigue 
--    data Arbol a = Hoja 
--                 | Nodo a (Arbol a) (Arbol a)
--                 deriving (Show, Eq)
-- En los ejemplos se usará el siguiente árbol
--    arbol = Nodo 9
--                   (Nodo 3 
--                         (Nodo 2 Hoja Hoja) 
--                         (Nodo 4 Hoja Hoja)) 
--                   (Nodo 7 Hoja Hoja)
-- ---------------------------------------------------------------------

data Arbol a = Hoja 
             | Nodo a (Arbol a) (Arbol a)
             deriving (Show, Eq)

arbol = Nodo 9
               (Nodo 3 
                     (Nodo 2 Hoja Hoja) 
                     (Nodo 4 Hoja Hoja)) 
               (Nodo 7 Hoja Hoja)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1. Definir la función
--    nHojas :: Arbol a -> Int
-- tal que (nHojas x) es el número de hojas del árbol x. Por ejemplo,
--    ghci> arbol
--    Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)
--    ghci> nHojas arbol
--    6
-- ---------------------------------------------------------------------

nHojas :: Arbol a -> Int
nHojas Hoja         = 1
nHojas (Nodo x i d) = nHojas i + nHojas d

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2. Definir la función
--    nNodos :: Arbol a -> Int
-- tal que (nNodos x) es el número de nodos del árbol x. Por ejemplo,
--    ghci> arbol
--    Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)
--    ghci> nNodos arbol
--    5
-- ---------------------------------------------------------------------

nNodos :: Arbol a -> Int
nNodos Hoja         = 0
nNodos (Nodo x i d) = 1 + nNodos i + nNodos d

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3. Definir la función
--    profundidad :: Arbol a -> Int
-- tal que (profundidad x) es la profundidad del árbol x. Por ejemplo,
--    ghci> arbol
--    Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)
--    ghci> profundidad arbol
--    3
-- ---------------------------------------------------------------------

profundidad :: Arbol a -> Int
profundidad Hoja = 0
profundidad (Nodo x i d) = 1 + max (profundidad i) (profundidad d)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4. Definir la función
--    preorden :: Arbol a -> [a]
-- tal que (preorden x) es la lista correspondiente al recorrido
-- preorden del árbol x; es decir, primero visita la raíz del árbol, a
-- continuación recorre el subárbol izquierdo y, finalmente, recorre el
-- subárbol derecho. Por ejemplo,
--    ghci> arbol
--    Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)
--    ghci> preorden arbol
--    [9,3,2,4,7]
-- ---------------------------------------------------------------------

preorden :: Arbol a -> [a]
preorden Hoja         = []
preorden (Nodo x i d) = x : (preorden i ++ preorden d)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5. Definir la función
--    postorden :: Arbol a -> [a]
-- tal que (postorden x) es la lista correspondiente al recorrido
-- postorden del árbol x; es decir, primero recorre el subárbol
-- izquierdo, a continuación el subárbol derecho y, finalmente, la raíz
-- del árbol. Por ejemplo,
--    ghci> arbol
--    Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)
--    ghci> postorden arbol
--    [2,4,3,7,9]
-- ---------------------------------------------------------------------

postorden :: Arbol a -> [a]
postorden Hoja         = []
postorden (Nodo x i d) = postorden i ++ postorden d ++ [x]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6. Definir, usando un acumulador, la función
--    preordenIt :: Arbol a -> [a]
-- tal que (preordenIt x) es la lista correspondiente al recorrido
-- preorden del árbol x; es decir, primero visita la raíz del árbol, a
-- continuación recorre el subárbol izquierdo y, finalmente, recorre el
-- subárbol derecho. Por ejemplo,
--    ghci> arbol
--    Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)
--    ghci> preordenIt arbol
--    [9,3,2,4,7]
-- Nota: No usar (++) en la definición
-- ---------------------------------------------------------------------

preordenIt :: Arbol a -> [a]
preordenIt x = preordenItAux x []
    where preordenItAux Hoja xs         = xs
          preordenItAux (Nodo x i d) xs = 
              x : preordenItAux i (preordenItAux d xs)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7. Definir la función
--    espejo :: Arbol a -> Arbol a
-- tal que (espejo x) es la imagen especular del árbol x. Por ejemplo,
--    ghci> espejo arbol
--    Nodo 9 
--         (Nodo 7 Hoja Hoja) 
--         (Nodo 3 
--               (Nodo 4 Hoja Hoja) 
--               (Nodo 2 Hoja Hoja))
-- ---------------------------------------------------------------------

espejo :: Arbol a -> Arbol a
espejo Hoja         = Hoja
espejo (Nodo x i d) = Nodo x (espejo d) (espejo i)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8. La función take está definida por
--    take :: Int -> [a] -> [a]
--    take 0            = []
--    take (n+1) []     = []
--    take (n+1) (x:xs) = x : take n xs
-- Definir la función 
--    takeArbol ::  Int -> Arbol a -> Arbol a
-- tal que (takeArbol n t) es el subárbol de t de profundidad n. Por
-- ejemplo,
--    ghci> takeArbol 0 (Nodo 6 Hoja (Nodo 7 (Nodo 5 Hoja Hoja) Hoja))
--    Hoja
--    ghci> takeArbol 1 (Nodo 6 Hoja (Nodo 7 (Nodo 5 Hoja Hoja) Hoja))
--    Nodo 6 Hoja Hoja
--    ghci> takeArbol 2 (Nodo 6 Hoja (Nodo 7 (Nodo 5 Hoja Hoja) Hoja))
--    Nodo 6 Hoja (Nodo 7 Hoja Hoja)
--    ghci> takeArbol 3 (Nodo 6 Hoja (Nodo 7 (Nodo 5 Hoja Hoja) Hoja))
--    Nodo 6 Hoja (Nodo 7 (Nodo 5 Hoja Hoja) Hoja)
--    ghci> takeArbol 4 (Nodo 6 Hoja (Nodo 7 (Nodo 5 Hoja Hoja) Hoja))
--    Nodo 6 Hoja (Nodo 7 (Nodo 5 Hoja Hoja) Hoja)
-- ---------------------------------------------------------------------
 
takeArbol :: Int -> Arbol a -> Arbol a
takeArbol 0     _  = Hoja
takeArbol _ Hoja   = Hoja
takeArbol n (Nodo x i d) = 
    Nodo x (takeArbol (n-1) i) (takeArbol (n-1) d)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9. La función
--    repeat :: a -> [a]
-- está definida de forma que (repeat x) es la lista formada por
-- infinitos elementos x. Por ejemplo,
--    repeat 3  ==  [3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,...
-- La definición de repeat es
--    repeat x = xs where xs = x:xs
-- Definir la función
--    repeatArbol :: a -> Arbol a
-- tal que (repeatArbol x) es es árbol con infinitos nodos x. Por
-- ejemplo, 
--    ghci> takeArbol 0 (repeatArbol 3)
--    Hoja
--    ghci> takeArbol 1 (repeatArbol 3)
--    Nodo 3 Hoja Hoja
--    ghci> takeArbol 2 (repeatArbol 3)
--    Nodo 3 (Nodo 3 Hoja Hoja) (Nodo 3 Hoja Hoja)
-- ---------------------------------------------------------------------

repeatArbol :: a -> Arbol a
repeatArbol x = Nodo x t t
                where t = repeatArbol x

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10. La función 
--    replicate :: Int -> a -> [a]
-- está definida por 
--    replicate n = take n . repeat
-- es tal que (replicate n x) es la lista de longitud n cuyos elementos
-- son x. Por ejemplo,
--    replicate 3 5  ==  [5,5,5]
-- Definir la función 
--    replicateArbol :: Int -> a -> Arbol a
-- tal que (replicate n x) es el árbol de profundidad n cuyos nodos son
-- x. Por ejemplo,
--    ghci> replicateArbol 0 5
--    Hoja
--    ghci> replicateArbol 1 5
--    Nodo 5 Hoja Hoja
--    ghci> replicateArbol 2 5
--    Nodo 5 (Nodo 5 Hoja Hoja) (Nodo 5 Hoja Hoja)
-- ---------------------------------------------------------------------

replicateArbol :: Int -> a -> Arbol a
replicateArbol n = takeArbol n . repeatArbol

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-- Importación de librerías auxiliares

-- ---------------------------------------------------------------------

import Data.List

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Nota. En los siguientes ejercicios se trabajará con los árboles

-- binarios definidos como sigue

-- data Arbol a = Hoja

-- | Nodo a (Arbol a) (Arbol a)

-- deriving (Show, Eq)

-- En los ejemplos se usará el siguiente árbol

-- arbol = Nodo 9

-- (Nodo 3

-- (Nodo 2 Hoja Hoja)

-- (Nodo 4 Hoja Hoja))

-- (Nodo 7 Hoja Hoja)

-- ---------------------------------------------------------------------

data Arbol a = Hoja

| Nodo a (Arbol a) (Arbol a)

deriving (Show, Eq)

arbol = Nodo 9

(Nodo 3

(Nodo 2 Hoja Hoja)

(Nodo 4 Hoja Hoja))

(Nodo 7 Hoja Hoja)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 1. Definir la función

-- nHojas :: Arbol a -> Int

-- tal que (nHojas x) es el número de hojas del árbol x. Por ejemplo,

-- ghci> arbol

-- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)

-- ghci> nHojas arbol

-- 6

-- ---------------------------------------------------------------------

nHojas :: Arbol a -> Int

nHojas Hoja = 1

nHojas (Nodo x i d) = nHojas i + nHojas d

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 2. Definir la función

-- nNodos :: Arbol a -> Int

-- tal que (nNodos x) es el número de nodos del árbol x. Por ejemplo,

-- ghci> arbol

-- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)

-- ghci> nNodos arbol

-- 5

-- ---------------------------------------------------------------------

nNodos :: Arbol a -> Int

nNodos Hoja = 0

nNodos (Nodo x i d) = 1 + nNodos i + nNodos d

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 3. Definir la función

-- profundidad :: Arbol a -> Int

-- tal que (profundidad x) es la profundidad del árbol x. Por ejemplo,

-- ghci> arbol

-- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)

-- ghci> profundidad arbol

-- 3

-- ---------------------------------------------------------------------

profundidad :: Arbol a -> Int

profundidad Hoja = 0

profundidad (Nodo x i d) = 1 + max (profundidad i) (profundidad d)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 4. Definir la función

-- preorden :: Arbol a -> [a]

-- tal que (preorden x) es la lista correspondiente al recorrido

-- preorden del árbol x; es decir, primero visita la raíz del árbol, a

-- continuación recorre el subárbol izquierdo y, finalmente, recorre el

-- subárbol derecho. Por ejemplo,

-- ghci> arbol

-- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)

-- ghci> preorden arbol

-- [9,3,2,4,7]

-- ---------------------------------------------------------------------

preorden :: Arbol a -> [a]

preorden Hoja = []

preorden (Nodo x i d) = x : (preorden i ++ preorden d)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 5. Definir la función

-- postorden :: Arbol a -> [a]

-- tal que (postorden x) es la lista correspondiente al recorrido

-- postorden del árbol x; es decir, primero recorre el subárbol

-- izquierdo, a continuación el subárbol derecho y, finalmente, la raíz

-- del árbol. Por ejemplo,

-- ghci> arbol

-- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)

-- ghci> postorden arbol

-- [2,4,3,7,9]

-- ---------------------------------------------------------------------

postorden :: Arbol a -> [a]

postorden Hoja = []

postorden (Nodo x i d) = postorden i ++ postorden d ++ [x]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 6. Definir, usando un acumulador, la función

-- preordenIt :: Arbol a -> [a]

-- tal que (preordenIt x) es la lista correspondiente al recorrido

-- preorden del árbol x; es decir, primero visita la raíz del árbol, a

-- continuación recorre el subárbol izquierdo y, finalmente, recorre el

-- subárbol derecho. Por ejemplo,

-- ghci> arbol

-- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)

-- ghci> preordenIt arbol

-- [9,3,2,4,7]

-- Nota: No usar (++) en la definición

-- ---------------------------------------------------------------------

preordenIt :: Arbol a -> [a]

preordenIt x = preordenItAux x []

where preordenItAux Hoja xs = xs

preordenItAux (Nodo x i d) xs =

x : preordenItAux i (preordenItAux d xs)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 7. Definir la función

-- espejo :: Arbol a -> Arbol a

-- tal que (espejo x) es la imagen especular del árbol x. Por ejemplo,

-- ghci> espejo arbol

-- Nodo 9

-- (Nodo 7 Hoja Hoja)

-- (Nodo 3

-- (Nodo 4 Hoja Hoja)

-- (Nodo 2 Hoja Hoja))

-- ---------------------------------------------------------------------

espejo :: Arbol a -> Arbol a

espejo Hoja = Hoja

espejo (Nodo x i d) = Nodo x (espejo d) (espejo i)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 8. La función take está definida por

-- take :: Int -> [a] -> [a]

-- take 0 = []

-- take (n+1) [] = []

-- take (n+1) (x:xs) = x : take n xs

-- Definir la función

-- takeArbol :: Int -> Arbol a -> Arbol a

-- tal que (takeArbol n t) es el subárbol de t de profundidad n. Por

-- ejemplo,

-- ghci> takeArbol 0 (Nodo 6 Hoja (Nodo 7 (Nodo 5 Hoja Hoja) Hoja))

-- Hoja

-- ghci> takeArbol 1 (Nodo 6 Hoja (Nodo 7 (Nodo 5 Hoja Hoja) Hoja))

-- Nodo 6 Hoja Hoja

-- ghci> takeArbol 2 (Nodo 6 Hoja (Nodo 7 (Nodo 5 Hoja Hoja) Hoja))

-- Nodo 6 Hoja (Nodo 7 Hoja Hoja)

-- ghci> takeArbol 3 (Nodo 6 Hoja (Nodo 7 (Nodo 5 Hoja Hoja) Hoja))

-- Nodo 6 Hoja (Nodo 7 (Nodo 5 Hoja Hoja) Hoja)

-- ghci> takeArbol 4 (Nodo 6 Hoja (Nodo 7 (Nodo 5 Hoja Hoja) Hoja))

-- Nodo 6 Hoja (Nodo 7 (Nodo 5 Hoja Hoja) Hoja)

-- ---------------------------------------------------------------------

takeArbol :: Int -> Arbol a -> Arbol a

takeArbol 0 _ = Hoja

takeArbol _ Hoja = Hoja

takeArbol n (Nodo x i d) =

Nodo x (takeArbol (n-1) i) (takeArbol (n-1) d)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 9. La función

-- repeat :: a -> [a]

-- está definida de forma que (repeat x) es la lista formada por

-- infinitos elementos x. Por ejemplo,

-- repeat 3 == [3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,...

-- La definición de repeat es

-- repeat x = xs where xs = x:xs

-- Definir la función

-- repeatArbol :: a -> Arbol a

-- tal que (repeatArbol x) es es árbol con infinitos nodos x. Por

-- ejemplo,

-- ghci> takeArbol 0 (repeatArbol 3)

-- Hoja

-- ghci> takeArbol 1 (repeatArbol 3)

-- Nodo 3 Hoja Hoja

-- ghci> takeArbol 2 (repeatArbol 3)

-- Nodo 3 (Nodo 3 Hoja Hoja) (Nodo 3 Hoja Hoja)

-- ---------------------------------------------------------------------

repeatArbol :: a -> Arbol a

repeatArbol x = Nodo x t t

where t = repeatArbol x

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 10. La función

-- replicate :: Int -> a -> [a]

-- está definida por

-- replicate n = take n . repeat

-- es tal que (replicate n x) es la lista de longitud n cuyos elementos

-- son x. Por ejemplo,

-- replicate 3 5 == [5,5,5]

-- Definir la función

-- replicateArbol :: Int -> a -> Arbol a

-- tal que (replicate n x) es el árbol de profundidad n cuyos nodos son

-- x. Por ejemplo,

-- ghci> replicateArbol 0 5

-- Hoja

-- ghci> replicateArbol 1 5

-- Nodo 5 Hoja Hoja

-- ghci> replicateArbol 2 5

-- Nodo 5 (Nodo 5 Hoja Hoja) (Nodo 5 Hoja Hoja)

-- ---------------------------------------------------------------------

replicateArbol :: Int -> a -> Arbol a

replicateArbol n = takeArbol n . repeatArbol

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