I1M2013: 1º examen del curso
En la clase de hoy del curso Informática (de 1º de Grado en Matemáticas) se ha realizado el 1º examen del curso.
Los ejercicios y sus soluciones se muestran a continuación
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-- Informática (1º del Grado en Matemáticas) -- 1º examen de evaluación continua (5 de noviembre de 2012) -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. [2.5 puntos] Definir la función -- divisoresPrimos :: Integer -> [Integer] -- tal que (divisoresPrimos x) es la lista de los divisores primos de x. -- Por ejemplo, -- divisoresPrimos 40 == [2,5] -- divisoresPrimos 70 == [2,5,7] -- ------------------------------------------------------------------------ divisoresPrimos :: Integer -> [Integer] divisoresPrimos x = [n | n <- divisores x, primo n] -- (divisores n) es la lista de los divisores del número n. Por ejemplo, -- divisores 30 == [1,2,3,5,6,10,15,30] divisores :: Integer -> [Integer] divisores n = [x | x <- [1..n], n `mod` x == 0] -- (primo n) se verifica si n es primo. Por ejemplo, -- primo 30 == False -- primo 31 == True primo :: Integer -> Bool primo n = divisores n == [1, n] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. [2.5 puntos] La multiplicidad de x en y es la mayor -- potencia de x que divide a y. Por ejemplo, la multiplicidad de 2 en -- 40 es 3 porque 40 es divisible por 2^3 y no lo es por 2^4. Además, la -- multiplicidad de 1 en cualquier número se supone igual a 1. -- -- Definir la función -- multiplicidad :: Integer -> Integer -> Integer -- tal que (multiplicidad x y) es la -- multiplicidad de x en y. Por ejemplo, -- multiplicidad 2 40 == 3 -- multiplicidad 5 40 == 1 -- multiplicidad 3 40 == 0 -- multiplicidad 1 40 == 1 -- --------------------------------------------------------------------- multiplicidad :: Integer -> Integer -> Integer multiplicidad 1 _ = 1 multiplicidad x y = head [n | n <- [0..], y `rem` (x^n) == 0, y `rem` (x^(n+1)) /= 0] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. [2.5 puntos] Un número es libre de cuadrados si no es -- divisible el cuadrado de ningún entero mayor que 1. Por ejemplo, 70 -- es libre de cuadrado porque sólo es divisible por 1, 2, 5, 7 y 70; en -- cambio, 40 no es libre de cuadrados porque es divisible por 2^2. -- -- Definir la función -- libreDeCuadrados :: Integer -> Bool -- tal que (libreDeCuadrados x) se verifica si x es libre de cuadrados. -- Por ejemplo, -- libreDeCuadrados 70 == True -- libreDeCuadrados 40 == False -- Calcular los 10 primeros números libres de cuadrado de 3 cifras. -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª definición: libreDeCuadrados :: Integer -> Bool libreDeCuadrados x = x == product (divisoresPrimos x) -- NOTA: La función primo está definida en el ejercicio 1. -- 2ª definición libreDeCuadrados2 :: Integer -> Bool libreDeCuadrados2 x = and [multiplicidad n x == 1 | n <- divisores x] -- 3ª definición libreDeCuadrados3 :: Integer -> Bool libreDeCuadrados3 n = null [x | x <- [2..n], rem n (x^2) == 0] -- El cálculo es -- ghci> take 10 [n | n <- [100..], libreDeCuadrados n] -- [101,102,103,105,106,107,109,110,111,113] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. [2.5 puntos] La distancia entre dos números es el valor -- absoluto de su diferencia. Por ejemplo, la distancia entre 2 y 5 es -- 3. -- -- Definir la función -- cercanos :: [Int] -> [Int] -> [(Int,Int)] -- tal que (cercanos xs ys) es la lista de pares de elementos de xs e ys -- cuya distancia es mínima. Por ejemplo, -- cercanos [3,7,2,1] [5,11,9] == [(3,5),(7,5),(7,9)] -- --------------------------------------------------------------------- cercanos :: [Int] -> [Int] -> [(Int,Int)] cercanos xs ys = [(x,y) | (x,y) <- pares, abs (x-y) == m] where pares = [(x,y) | x <- xs, y <- ys] m = minimum [abs (x-y) | (x,y) <- pares] |