I1M2012: Ejercicios sobre vectores y matrices en Haskell
En las clase hoy Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos comentado las soluciones de los 13 primeros ejercicios sobre vectores y matrices en Haskell de la relación 26.
Los ejercicios y su solución se muestran a continuación
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-- --------------------------------------------------------------------- -- Introducción -- -- --------------------------------------------------------------------- -- El objetivo de esta relación es hacer ejercicios sobre vectores y -- matrices con el tipo de tablas de las tablas, definido en el módulo -- Data.Array y explicado en el tema 18 cuyas transparencias se -- encuentran en -- http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m-12/temas/tema-18t.pdf -- Además, en algunos ejemplos de usan matrices con números racionales. -- En Haskell, el número racional x/y se representa por x%y. El TAD de -- los números racionales está definido en el módulo Data.Ratio. -- --------------------------------------------------------------------- -- Importación de librerías -- -- --------------------------------------------------------------------- import Data.Array import Data.Ratio -- --------------------------------------------------------------------- -- Tipos de los vectores y de las matrices -- -- --------------------------------------------------------------------- -- Los vectores son tablas cuyos índices son números naturales. type Vector a = Array Int a -- Las matrices son tablas cuyos índices son pares de números -- naturales. type Matriz a = Array (Int,Int) a -- --------------------------------------------------------------------- -- Operaciones básicas con matrices -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. Definir la función -- listaVector :: Num a => [a] -> Vector a -- tal que (listaVector xs) es el vector correspondiente a la lista -- xs. Por ejemplo, -- ghci> listaVector [3,2,5] -- array (1,3) [(1,3),(2,2),(3,5)] -- --------------------------------------------------------------------- listaVector :: Num a => [a] -> Vector a listaVector xs = listArray (1,n) xs where n = length xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. Definir la función -- listaMatriz :: Num a => [[a]] -> Matriz a -- tal que (listaMatriz xss) es la matriz cuyas filas son los elementos -- de xss. Por ejemplo, -- ghci> listaMatriz [[1,3,5],[2,4,7]] -- array ((1,1),(2,3)) [((1,1),1),((1,2),3),((1,3),5), -- ((2,1),2),((2,2),4),((2,3),7)] -- --------------------------------------------------------------------- listaMatriz :: Num a => [[a]] -> Matriz a listaMatriz xss = listArray ((1,1),(m,n)) (concat xss) where m = length xss n = length (head xss) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. Definir la función -- numFilas :: Num a => Matriz a -> Int -- tal que (numFilas m) es el número de filas de la matriz m. Por -- ejemplo, -- numFilas (listaMatriz [[1,3,5],[2,4,7]]) == 2 -- --------------------------------------------------------------------- numFilas :: Num a => Matriz a -> Int numFilas = fst . snd . bounds -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Definir la función -- numColumnas :: Num a => Matriz a -> Int -- tal que (numColumnas m) es el número de columnas de la matriz -- m. Por ejemplo, -- numColumnas (listaMatriz [[1,3,5],[2,4,7]]) == 3 -- --------------------------------------------------------------------- numColumnas:: Num a => Matriz a -> Int numColumnas = snd . snd . bounds -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. Definir la función -- dimension :: Num a => Matriz a -> (Int,Int) -- tal que (dimension m) es el número de columnas de la matriz m. Por -- ejemplo, -- dimension (listaMatriz [[1,3,5],[2,4,7]]) == (2,3) -- --------------------------------------------------------------------- dimension :: Num a => Matriz a -> (Int,Int) dimension p = (numFilas p, numColumnas p) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6. Definir la función -- separa :: Int -> [a] -> [[a]] -- tal que (separa n xs) es la lista obtenida separando los elementos de -- xs en grupos de n elementos (salvo el último que puede tener menos de -- n elementos). Por ejemplo, -- separa 3 [1..11] == [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9],[10,11]] -- --------------------------------------------------------------------- separa :: Int -> [a] -> [[a]] separa _ [] = [] separa n xs = take n xs : separa n (drop n xs) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7. Definir la función -- matrizLista :: Num a => Matriz a -> [[a]] -- tal que (matrizLista x) es la lista de las filas de la matriz x. Por -- ejemplo, -- ghci> let m = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6]] -- ghci> m -- array ((1,1),(2,3)) [((1,1),5),((1,2),1),((1,3),0), -- ((2,1),3),((2,2),2),((2,3),6)] -- ghci> matrizLista m -- [[5,1,0],[3,2,6]] -- --------------------------------------------------------------------- matrizLista :: Num a => Matriz a -> [[a]] matrizLista p = separa (numColumnas p) (elems p) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8. Definir la función -- vectorLista :: Num a => Vector a -> [a] -- tal que (vectorLista x) es la lista de los elementos del vector -- v. Por ejemplo, -- ghci> let v = listaVector [3,2,5] -- ghci> v -- array (1,3) [(1,3),(2,2),(3,5)] -- ghci> vectorLista v -- [3,2,5] -- --------------------------------------------------------------------- vectorLista :: Num a => Vector a -> [a] vectorLista = elems -- --------------------------------------------------------------------- -- Suma de matrices -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9. Definir la función -- sumaMatrices:: Num a => Matriz a -> Matriz a -> Matriz a -- tal que (sumaMatrices x y) es la suma de las matrices x e y. Por -- ejemplo, -- ghci> let m1 = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6]] -- ghci> let m2 = listaMatriz [[4,6,3],[1,5,2]] -- ghci> matrizLista (sumaMatrices m1 m2) -- [[9,7,3],[4,7,8]] -- --------------------------------------------------------------------- sumaMatrices:: Num a => Matriz a -> Matriz a -> Matriz a sumaMatrices p q = array ((1,1),(m,n)) [((i,j),p!(i,j)+q!(i,j)) | i <- [1..m], j <- [1..n]] where (m,n) = dimension p -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10. Definir la función -- filaMat :: Num a => Int -> Matriz a -> Vector a -- tal que (filaMat i p) es el vector correspondiente a la fila i-ésima -- de la matriz p. Por ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,5,7]] -- ghci> filaMat 2 p -- array (1,3) [(1,3),(2,2),(3,6)] -- ghci> vectorLista (filaMat 2 p) -- [3,2,6] -- --------------------------------------------------------------------- filaMat :: Num a => Int -> Matriz a -> Vector a filaMat i p = array (1,n) [(j,p!(i,j)) | j <- [1..n]] where n = numColumnas p -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11. Definir la función -- columnaMat :: Num a => Int -> Matriz a -> Vector a -- tal que (columnaMat j p) es el vector correspondiente a la columna -- j-ésima de la matriz p. Por ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,5,7]] -- ghci> columnaMat 2 p -- array (1,3) [(1,1),(2,2),(3,5)] -- ghci> vectorLista (columnaMat 2 p) -- [1,2,5] -- --------------------------------------------------------------------- columnaMat :: Num a => Int -> Matriz a -> Vector a columnaMat j p = array (1,m) [(i,p!(i,j)) | i <- [1..m]] where m = numFilas p -- --------------------------------------------------------------------- -- Producto de matrices -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12. Definir la función -- prodEscalar :: Num a => Vector a -> Vector a -> a -- tal que (prodEscalar v1 v2) es el producto escalar de los vectores v1 -- y v2. Por ejemplo, -- ghci> let v = listaVector [3,1,10] -- ghci> prodEscalar v v -- 110 -- --------------------------------------------------------------------- prodEscalar :: Num a => Vector a -> Vector a -> a prodEscalar v1 v2 = sum [i*j | (i,j) <- zip (elems v1) (elems v2)] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13. Definir la función -- prodMatrices:: Num a => Matriz a -> Matriz a -> Matriz a -- tal que (prodMatrices p q) es el producto de las matrices p y q. Por -- ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[3,1],[2,4]] -- ghci> prodMatrices p p -- array ((1,1),(2,2)) [((1,1),11),((1,2),7),((2,1),14),((2,2),18)] -- ghci> matrizLista (prodMatrices p p) -- [[11,7],[14,18]] -- ghci> let q = listaMatriz [[7],[5]] -- ghci> prodMatrices p q -- array ((1,1),(2,1)) [((1,1),26),((2,1),34)] -- ghci> matrizLista (prodMatrices p q) -- [[26],[34]] -- --------------------------------------------------------------------- prodMatrices:: Num a => Matriz a -> Matriz a -> Matriz a prodMatrices p q = array ((1,1),(m,n)) [((i,j), prodEscalar (filaMat i p) (columnaMat j q)) | i <- [1..m], j <- [1..n]] where m = numFilas p n = numColumnas q -- --------------------------------------------------------------------- -- Traspuestas y simétricas -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14. Definir la función -- traspuesta :: Num a => Matriz a -> Matriz a -- tal que (traspuesta p) es la traspuesta de la matriz p. Por ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6]] -- ghci> traspuesta p -- array ((1,1),(3,2)) [((1,1),5),((1,2),3), -- ((2,1),1),((2,2),2), -- ((3,1),0),((3,2),6)] -- ghci> matrizLista (traspuesta p) -- [[5,3],[1,2],[0,6]] -- --------------------------------------------------------------------- traspuesta :: Num a => Matriz a -> Matriz a traspuesta p = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 15. Definir la función -- esCuadrada :: Num a => Matriz a -> Bool -- tal que (esCuadrada p) se verifica si la matriz p es cuadrada. Por -- ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6]] -- ghci> esCuadrada p -- False -- ghci> let q = listaMatriz [[5,1],[3,2]] -- ghci> esCuadrada q -- True -- --------------------------------------------------------------------- esCuadrada :: Num a => Matriz a -> Bool esCuadrada x = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16. Definir la función -- esSimetrica :: (Num a, Eq a) => Matriz a -> Bool -- tal que (esSimetrica p) se verifica si la matriz p es simétrica. Por -- ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,3],[1,4,7],[3,7,2]] -- ghci> esSimetrica p -- True -- ghci> let q = listaMatriz [[5,1,3],[1,4,7],[3,4,2]] -- ghci> esSimetrica q -- False -- --------------------------------------------------------------------- esSimetrica :: (Num a, Eq a) => Matriz a -> Bool esSimetrica x = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Diagonales de una matriz -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 17. Definir la función -- diagonalPral :: Num a => Matriz a -> Vector a -- tal que (diagonalPral p) es la diagonal principal de la matriz p. Por -- ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6]] -- ghci> diagonalPral p -- array (1,2) [(1,5),(2,2)] -- ghci> vectorLista (diagonalPral p) -- [5,2] -- --------------------------------------------------------------------- diagonalPral :: Num a => Matriz a -> Vector a diagonalPral p = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 18. Definir la función -- diagonalSec :: Num a => Matriz a -> Vector a -- tal que (diagonalSec p) es la diagonal secundaria de la matriz p. Por -- ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6]] -- ghci> diagonalSec p -- array (1,2) [(1,1),(2,3)] -- ghci> vectorLista (diagonalPral p) -- [5,2] -- --------------------------------------------------------------------- diagonalSec :: Num a => Matriz a -> Vector a diagonalSec p = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Submatrices -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 19. Definir la función -- submatriz :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a -- tal que (submatriz i j p) es la matriz obtenida a partir de la p -- eliminando la fila i y la columna j. Por ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]] -- ghci> submatriz 2 3 p -- array ((1,1),(2,2)) [((1,1),5),((1,2),1),((2,1),4),((2,2),6)] -- ghci> matrizLista (submatriz 2 3 p) -- [[5,1],[4,6]] -- --------------------------------------------------------------------- submatriz :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a submatriz i j p = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Transformaciones elementales -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 20. Definir la función -- intercambiaFilas :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a -- tal que (intercambiaFilas k l p) es la matriz obtenida intercambiando -- las filas k y l de la matriz p. Por ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]] -- ghci> intercambiaFilas 1 3 p -- array ((1,1),(3,3)) [((1,1),4),((1,2),6),((1,3),9), -- ((2,1),3),((2,2),2),((2,3),6), -- ((3,1),5),((3,2),1),((3,3),0)] -- ghci> matrizLista (intercambiaFilas 1 3 p) -- [[4,6,9],[3,2,6],[5,1,0]] -- --------------------------------------------------------------------- intercambiaFilas :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a intercambiaFilas k l p = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 21. Definir la función -- intercambiaColumnas :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a -- tal que (intercambiaColumnas k l p) es la matriz obtenida -- intercambiando las columnas k y l de la matriz p. Por ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]] -- ghci> matrizLista (intercambiaColumnas 1 3 p) -- [[0,1,5],[6,2,3],[9,6,4]] -- --------------------------------------------------------------------- intercambiaColumnas :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a intercambiaColumnas k l p = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 22. Definir la función -- multFilaPor :: Num a => Int -> a -> Matriz a -> Matriz a -- tal que (multFilaPor k x p) es a matriz obtenida multiplicando la -- fila k de la matriz p por el número x. Por ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]] -- ghci> matrizLista (multFilaPor 2 3 p) -- [[5,1,0],[9,6,18],[4,6,9]] -- --------------------------------------------------------------------- multFilaPor :: Num a => Int -> a -> Matriz a -> Matriz a multFilaPor k x p = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 23. Definir la función -- sumaFilaFila :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a -- tal que (sumaFilaFila k l p) es la matriz obtenida sumando la fila l -- a la fila k d la matriz p. Por ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]] -- ghci> matrizLista (sumaFilaFila 2 3 p) -- [[5,1,0],[7,8,15],[4,6,9]] -- --------------------------------------------------------------------- sumaFilaFila :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a sumaFilaFila k l p = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 24. Definir la función -- sumaFilaPor :: Num a => Int -> Int -> a -> Matriz a -> Matriz a -- tal que (sumaFilaPor k l x p) es la matriz obtenida sumando a la fila -- k de la matriz p la fila l multiplicada por x. Por ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]] -- ghci> matrizLista (sumaFilaPor 2 3 10 p) -- [[5,1,0],[43,62,96],[4,6,9]] -- --------------------------------------------------------------------- sumaFilaPor :: Num a => Int -> Int -> a -> Matriz a -> Matriz a sumaFilaPor k l x p = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Triangularización de matrices -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 25. Definir la función -- buscaIndiceDesde :: (Num a, Eq a) => -- Matriz a -> Int -> Int -> Maybe Int -- tal que (buscaIndiceDesde p j i) es el menor índice k, mayor o igual -- que i, tal que el elemento de la matriz p en la posición (k,j) es no -- nulo. Por ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]] -- ghci> buscaIndiceDesde p 3 2 -- Just 2 -- ghci> let q = listaMatriz [[5,1,1],[3,2,0],[4,6,0]] -- ghci> buscaIndiceDesde q 3 2 -- Nothing -- --------------------------------------------------------------------- buscaIndiceDesde :: (Num a, Eq a) => Matriz a -> Int -> Int -> Maybe Int buscaIndiceDesde p j i = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 26. Definir la función -- buscaPivoteDesde :: (Num a, Eq a) => -- Matriz a -> Int -> Int -> Maybe a -- tal que (buscaPivoteDesde p j i) es el elemento de la matriz p en la -- posición (k,j) donde k es (buscaIndiceDesde p j i). Por ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]] -- ghci> buscaPivoteDesde p 3 2 -- Just 6 -- ghci> let q = listaMatriz [[5,1,1],[3,2,0],[4,6,0]] -- ghci> buscaPivoteDesde q 3 2 -- Nothing -- --------------------------------------------------------------------- buscaPivoteDesde :: (Num a, Eq a) => Matriz a -> Int -> Int -> Maybe a buscaPivoteDesde p j i = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 27. Definir la función -- anuladaColumnaDesde :: (Num a, Eq a) => -- Int -> Int -> Matriz a -> Bool -- tal que (anuladaColumnaDesde j i p) se verifica si todos los -- elementos de la columna j de la matriz p desde i+1 en adelante son -- nulos. Por ejemplo, -- ghci> let q = listaMatriz [[5,1,1],[3,2,0],[4,6,0]] -- ghci> anuladaColumnaDesde q 3 2 -- True -- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]] -- ghci> anuladaColumnaDesde p 3 2 -- False -- --------------------------------------------------------------------- anuladaColumnaDesde :: (Num a, Eq a) => Matriz a -> Int -> Int -> Bool anuladaColumnaDesde p j i = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 28. Definir la función -- anulaEltoColumnaDesde :: (Fractional a, Eq a) => -- Matriz a -> Int -> Int -> Matriz a -- tal que (anulaEltoColumnaDesde p j i) es la matriz obtenida a partir -- de p anulando el primer elemento de la columna j por debajo de la -- fila i usando el elemento de la posición (i,j). Por ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[2,3,1],[5,0,5],[8,6,9]] :: Matriz Double -- ghci> matrizLista (anulaEltoColumnaDesde p 2 1) -- [[2.0,3.0,1.0],[5.0,0.0,5.0],[4.0,0.0,7.0]] -- --------------------------------------------------------------------- anulaEltoColumnaDesde :: (Fractional a, Eq a) => Matriz a -> Int -> Int -> Matriz a anulaEltoColumnaDesde p j i = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 29. Definir la función -- anulaColumnaDesde :: (Fractional a, Eq a) => -- Matriz a -> Int -> Int -> Matriz a -- tal que (anulaColumnaDesde p j i) es la matriz obtenida anulando -- todos los elementos de la columna j de la matriz p por debajo del la -- posición (i,j) (se supone que el elemnto p_(i,j) es no nulo). Por -- ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[2,2,1],[5,4,5],[10,8,9]] :: Matriz Double -- ghci> matrizLista (anulaColumnaDesde p 2 1) -- [[2.0,2.0,1.0],[1.0,0.0,3.0],[2.0,0.0,5.0]] -- ghci> let p = listaMatriz [[4,5],[2,7%2],[6,10]] -- ghci> matrizLista (anulaColumnaDesde p 1 1) -- [[4 % 1,5 % 1],[0 % 1,1 % 1],[0 % 1,5 % 2]] -- --------------------------------------------------------------------- anulaColumnaDesde :: (Fractional a, Eq a) => Matriz a -> Int -> Int -> Matriz a anulaColumnaDesde p j i = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Algoritmo de Gauss para triangularizar matrices -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 30. Definir la función -- elementosNoNulosColDesde :: (Num a, Eq a) => -- Matriz a -> Int -> Int -> [a] -- tal que (elementosNoNulosColDesde p j i) es la lista de los elementos -- no nulos de la columna j a partir de la fila i. Por ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[3,2],[5,1],[0,4]] -- ghci> elementosNoNulosColDesde p 1 2 -- [5] -- --------------------------------------------------------------------- elementosNoNulosColDesde :: (Num a, Eq a) => Matriz a -> Int -> Int -> [a] elementosNoNulosColDesde p j i = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 31. Definir la función -- existeColNoNulaDesde :: (Num a, Eq a) => -- Matriz a -> Int -> Int -> Bool -- tal que (existeColNoNulaDesde p j i) se verifica si la matriz p tiene -- una columna a partir de la j tal que tiene algún elemento no nulo por -- debajo de la j; es decir, si la submatriz de p obtenida eliminando -- las i-1 primeras filas y las j-1 primeras columnas es no nula. Por -- ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[3,2,5],[5,0,0],[6,0,0]] -- ghci> existeColNoNulaDesde p 2 2 -- False -- ghci> let q = listaMatriz [[3,2,5],[5,7,0],[6,0,0]] -- ghci> existeColNoNulaDesde q 2 2 -- --------------------------------------------------------------------- existeColNoNulaDesde :: (Num a, Eq a) => Matriz a -> Int -> Int -> Bool existeColNoNulaDesde p j i = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 32. Definir la función -- menorIndiceColNoNulaDesde :: (Num a, Eq a) => -- Matriz a -> Int -> Int -> Maybe Int -- tal que (menorIndiceColNoNulaDesde p j i) es el índice de la primera -- columna, a partir de la j, en el que la matriz p tiene un elemento no -- nulo a partir de la fila i. Por ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[3,2,5],[5,7,0],[6,0,0]] -- ghci> menorIndiceColNoNulaDesde p 2 2 -- Just 2 -- ghci> let q = listaMatriz [[3,2,5],[5,0,0],[6,0,2]] -- ghci> menorIndiceColNoNulaDesde q 2 2 -- Just 3 -- ghci> let r = listaMatriz [[3,2,5],[5,0,0],[6,0,0]] -- ghci> menorIndiceColNoNulaDesde r 2 2 -- Nothing -- --------------------------------------------------------------------- menorIndiceColNoNulaDesde :: (Num a, Eq a) => Matriz a -> Int -> Int -> Maybe Int menorIndiceColNoNulaDesde p j i = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 33. Definir la función -- gaussAux :: (Fractional a, Eq a) => -- Matriz a -> Int -> Int -> Matriz a -- tal que (gauss p) es la matriz que en el que las i-1 primeras filas y -- las j-1 primeras columnas son las de p y las restantes están -- triangularizadas por el método de Gauss; es decir, -- 1. Si la dimensión de p es (i,j), entonces p. -- 2. Si la submatriz de p sin las i-1 primeras filas y las j-1 -- primeras columnas es nulas, entonces p. -- 3. En caso contrario, (gaussAux p' (i+1) (j+1)) siendo -- 3.1. j' la primera columna a partir de la j donde p tiene -- algún elemento no nulo a partir de la fila i, -- 3.2. p1 la matriz obtenida intercambiando las columnas j y j' -- de p, -- 3.3. i' la primera fila a partir de la i donde la columna j de -- p1 tiene un elemento no nulo, -- 3.4. p2 la matriz obtenida intercambiando las filas i e i' de -- la matriz p1 y -- 3.5. p' la matriz obtenida anulando todos los elementos de la -- columna j de p2 por debajo de la fila i. -- Por ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[1.0,2,3],[1,2,4],[3,2,5]] -- ghci> matrizLista (gaussAux p 2 2) -- [[1.0,2.0,3.0],[1.0,2.0,4.0],[2.0,0.0,1.0]] -- --------------------------------------------------------------------- gaussAux :: (Fractional a, Eq a) => Matriz a -> Int -> Int -> Matriz a gaussAux p i j = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 34. Definir la función -- gauss :: (Fractional a, Eq a) => Matriz a -> Matriz a -- tal que (gauss p) es la triangularización de la matriz p por el método -- de Gauss. Por ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[1.0,2,3],[1,2,4],[1,2,5]] -- ghci> gauss p -- array ((1,1),(3,3)) [((1,1),1.0),((1,2),3.0),((1,3),2.0), -- ((2,1),0.0),((2,2),1.0),((2,3),0.0), -- ((3,1),0.0),((3,2),0.0),((3,3),0.0)] -- ghci> matrizLista (gauss p) -- [[1.0,3.0,2.0],[0.0,1.0,0.0],[0.0,0.0,0.0]] -- ghci> let p = listaMatriz [[3.0,2,3],[1,2,4],[1,2,5]] -- ghci> matrizLista (gauss p) -- [[3.0,2.0,3.0],[0.0,1.3333333333333335,3.0],[0.0,0.0,1.0]] -- ghci> let p = listaMatriz [[3%1,2,3],[1,2,4],[1,2,5]] -- ghci> matrizLista (gauss p) -- [[3 % 1,2 % 1,3 % 1],[0 % 1,4 % 3,3 % 1],[0 % 1,0 % 1,1 % 1]] -- ghci> let p = listaMatriz [[1.0,0,3],[1,0,4],[3,0,5]] -- ghci> matrizLista (gauss p) -- [[1.0,3.0,0.0],[0.0,1.0,0.0],[0.0,0.0,0.0]] -- --------------------------------------------------------------------- gauss :: (Fractional a, Eq a) => Matriz a -> Matriz a gauss p = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Determinante -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 35. Definir la función -- determinante :: (Fractional a, Eq a) => Matriz a -> a -- tal que (determinante p) es el determinante de la matriz p. Por -- ejemplo, -- ghci> let p = listaMatriz [[1.0,2,3],[1,2,4],[1,2,5]] -- ghci> determinante p -- 0.0 -- ghci> let p = listaMatriz [[1.0,2,3],[1,3,4],[1,2,5]] -- ghci> determinante p -- 2.0 -- --------------------------------------------------------------------- determinante :: (Fractional a, Eq a) => Matriz a -> a determinante p = undefined |