I1M2012: Ejercicios de razonamiento sobre programas

En las clases de ayer y hoy Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos comentado las soluciones de la relación 31 en la que se plantean ejercicios de demostración por inducción de propiedades de programas. En concreto,

la suma de los n primeros impares es n^2,
1 + 2^0 + 2^1 + 2^2 + … + 2^n = 2^(n+1),
todos los elementos de (copia n x) son iguales a x,
la equivalencia de las definiciones de factorial con y sin
acumulador,
amplia xs y = xs ++ [y].
numeroDeListasConSuma n = 2^(n-1),
fibItAux n (fib k) (fib (k+1)) = fib (k+n),
potencia x n == x^n,
reverse (xs ++ ys) == reverse ys ++ reverse xs,
reverse (reverse xs) = xs,

y por inducción sobre árboles binarios

espejo (espejo x) = x,
postorden (espejo x) = reverse (preorden x),
reverse (preorden (espejo x)) = postorden x,
nNodos (espejo x) == nNodos x,
length (preorden x) == nNodos x,
nNodos x <= 2^(profundidad x) - 1,
nHojas x = nNodos x + 1,
preordenItAux x ys = preorden x ++ ys

Estos ejercicios corresponden al tema 8 del curso.

Los ejercicios de la relación, junto con sus soluciones, se muestran a continuación

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-- Importación de librerías                                           --
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import Test.QuickCheck
import Control.Monad

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-- Ejercicio 1.1. Definir por recursión la función
--    sumaImpares :: Int -> Int
-- tal que (sumaImpares n) es la suma de los n primeros números
-- impares. Por ejemplo,
--    sumaImpares 5  ==  25
-- ---------------------------------------------------------------------

sumaImpares :: Int -> Int
sumaImpares 0 = 0
sumaImpares n = sumaImpares (n-1) + (2*n-1) 


sumaImpares2 :: Int -> Int
sumaImpares2 0 = 0
sumaImpares2 n = 2*n+1 + sumaImpares2 (n-1)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1.2. Definir, sin usar recursión, la función
--    sumaImpares' :: Int -> Int
-- tal que (sumaImpares' n) es la suma de los n primeros números
-- impares. Por ejemplo,
--    ghci> sumaImpares' 5  ==  25
-- ---------------------------------------------------------------------

sumaImpares' :: Int -> Int
sumaImpares' n = sum [1,3..(2*n-1)]

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-- Ejercicio 1.3. Definir la función
--    sumaImparesIguales :: Int -> Int -> Bool
-- tal que (sumaImparesIguales m n) se verifica si para todo x entre m y
-- n se tiene que (sumaImpares x) y (sumaImpares' x) son iguales.
-- 
-- Comprobar que (sumaImpares x) y (sumaImpares' x) son iguales para
-- todos los números x entre 1 y 100.
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La definición es
sumaImparesIguales :: Int -> Int -> Bool
sumaImparesIguales m n = 
    and [sumaImpares x == sumaImpares' x | x <- [m..n]]

-- La comprobación es
--    ghci>  sumaImparesIguales 1 100
--    True

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1.4. Definir la función 
--    grafoSumaImpares :: Int -> Int -> [(Int,Int)]
-- tal que (grafoSumaImpares m n) es la lista formadas por los números x
-- entre m y n y los valores de (sumaImpares x).
--
-- Calcular (grafoSumaImpares 1 9).
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La definición es
grafoSumaImpares :: Int -> Int -> [(Int,Int)]
grafoSumaImpares m n =
    [(x,sumaImpares x) | x <- [m..n]]

-- El cálculo es
--    ghci> grafoSumaImpares 1 9
--    [(1,1),(2,4),(3,9),(4,16),(5,25),(6,36),(7,49),(8,64),(9,81)]

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-- Ejercicio 1.5. Demostrar por inducción que para todo n, 
-- (sumaImpares n) es igual a n^2.
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
 Caso base: Hay que demostrar que
    sumaImpares 0 = 0^2 
 En efecto,
    sumaImpares 0   [por hipótesis]  
    = 0               [por sumaImpares.1]
    = 0^2             [por aritmética]
 
  Caso inductivo: Se supone la hipótesis de inducción (H.I.)
     sumaImpares n = n^2
  Hay que demostrar que
     sumaImpares (n+1) = (n+1)^2
  En efecto,
     sumaImpares (n+1) = 
     = (sumaImpares n) + (2*n+1)        [por sumaImpares.2]
     = n^2 + (2*n+1)                    [por H.I.]
     = (n+1)^2                          [por álgebra]
-} 

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2.1. Definir por recursión la función
--    sumaPotenciasDeDosMasUno :: Int -> Int
-- tal que 
--    sumaPotenciasDeDosMasUno n = 1 + 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n. 
-- Por ejemplo, 
--    sumaPotenciasDeDosMasUno 3 == 16
-- ---------------------------------------------------------------------

sumaPotenciasDeDosMasUno :: Int -> Int
sumaPotenciasDeDosMasUno 0 = 2
sumaPotenciasDeDosMasUno n = sumaPotenciasDeDosMasUno (n-1) + 2^n

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2.2. Definir por comprensión la función
--    sumaPotenciasDeDosMasUno' :: Int -> Int
-- tal que 
--    (sumaPotenciasDeDosMasUno' n) = 1 + 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n. 
-- Por ejemplo, 
--    sumaPotenciasDeDosMasUno' 3  ==  16
-- ---------------------------------------------------------------------

sumaPotenciasDeDosMasUno' :: Int -> Int
sumaPotenciasDeDosMasUno' n = 1 + sum [2^x | x <- [0..n]]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2.3. Demostrar por inducción que
--    sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
  Caso base: Hay que demostrar que 
     sumaPotenciasDeDosMasUno 0 = 2^(0+1)
  En efecto,
       sumaPotenciasDeDosMasUno 0 
     = 2                              [por sumaPotenciasDeDosMasUno.1]
     = 2^(0+1)                        [por aritmética]

  Caso inductivo: Se supone la hipótesis de inducción (H.I.)
     sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)
  Hay que demostrar que 
     sumaPotenciasDeDosMasUno (n+1) = 2^((n+1)+1)
  En efecto, 
       sumaPotenciasDeDosMasUno (n+1)
     = (sumaPotenciasDeDosMasUno n) + 2^(n+1)  [por sumaPotenciasDeDosMasUno.2]
     = 2^(n+1) + 2^(n+1)                       [por H.I.]
     = 2^((n+1)+1)                             [por aritmética]
-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3.1. Definir por recursión la función
--    copia :: Int -> a -> [a]
-- tal que (copia n x) es la lista formado por n copias del elemento
-- x. Por ejemplo, 
--    copia 3 2  ==  [2,2,2]
-- ---------------------------------------------------------------------
 
copia :: Int -> a -> [a]
copia 0 _ = []                  -- copia.1
copia n x = x : copia (n-1) x   -- copia.2

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3.2. Definir por recursión la función 
--    todos :: (a -> Bool) -> [a] -> Bool
-- tal que (todos p xs) se verifica si todos los elementos de xs cumplen
-- la propiedad p. Por ejemplo,
--    todos even [2,6,4]  ==  True
--    todos even [2,5,4]  ==  False
-- ---------------------------------------------------------------------

todos :: (a -> Bool) -> [a] -> Bool
todos p []       = True                -- todos.1
todos p (x : xs) = p x && todos p xs   -- todos.2

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3.3. Comprobar con QuickCheck que todos los elementos de 
-- (copia n x) son iguales a x.
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_copia :: Eq a => Int -> a -> Bool
prop_copia n x =
    todos (==x) (copia n' x)
    where n' = abs n

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_copia
--    OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3.4. Demostrar, por inducción en n, que todos los elementos
-- de (copia n x) son iguales a x.
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
  Hay que demostrar que para todo n y todo x,
     todos (==x) (copia n x)

  Caso base: Hay que demostrar que
     todos (==x) (copia 0 x) = True 
  En efecto, 
       todos (== x) (copia 0 x)
     = todos (== x) []            [por copia.1] 
     = True                       [por todos.1] 

  Caso inductivo: Se supone la hipótesis de inducción (H.I.)
     todos (==x) (copia n x) = True
  Hay que demostrar que
     todos (==x) (copia (n+1) x) = True
  En efecto, 
       todos (==x) (copia (n+1) x)
     = todos (==x) (x : copia n x )         [por copia.2]
     = x == x && todos (==x) (copia n x )   [por todos.2] 
     = True && todos (==x) (copia n x )     [por def. de ==] 
     = todos (==x) (copia n x )             [por def. de &&] 
     = True                                 [por H.I.]
-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4.1. Definir por recursión la función 
--   factR :: Integer -> Integer
-- tal que (factR n) es el factorial de n. Por ejemplo,
--   factR 4  ==  24
-- ---------------------------------------------------------------------

factR :: Integer -> Integer
factR 0 = 1
factR n = n * factR (n-1)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4.2. Definir por comprensión la función 
--   factC :: Integer -> Integer
-- tal que (factR n) es el factorial de n. Por ejemplo,
--   factC 4  ==  24
-- ---------------------------------------------------------------------

factC :: Integer -> Integer
factC n = product [1..n]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4.3. Comprobar con QuickCheck que las funciones factR y
-- factC son equivalentes sobre los números naturales.
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_factR_factC :: Integer -> Bool
prop_factR_factC n = 
    factR n' == factC n'
    where n' = abs n

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_factR_factC
--    OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4.4. Comprobar con QuickCheck si las funciones factR y
-- factC son equivalentes sobre los números enteros.
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_factR_factC_Int :: Integer -> Bool
prop_factR_factC_Int n = 
    factR n == factC n

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_factR_factC_Int
--    *** Exception: Non-exhaustive patterns in function factR

-- No son iguales ya que factR no está definida para los números
-- negativos y factC de cualquier número negativo es 0.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4.5. Se considera la siguiente definición iterativa de la
-- función factorial 
--    factI :: Integer -> Integer
--    factI n = factI' n 1
--    
--    factI' :: Integer -> Integer -> Integer
--    factI' 0 x = x                  -- factI'.1
--    factI' n x = factI' (n-1) n*x   -- factI'.2
-- Comprobar con QuickCheck que factI y factR son equivalentes sobre los
-- números naturales.
-- ---------------------------------------------------------------------

factI :: Integer -> Integer
factI n = factI' n 1

factI' :: Integer -> Integer -> Integer
factI' 0 x = x
factI' n x = factI' (n-1) n*x 

-- La propiedad es
prop_factI_factR n = 
    factI n' == factR n'
    where n' = abs n

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_factI_factR
--    OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4.6. Comprobar con QuickCheck que para todo número natural
-- n, (factI' n x) es igual al producto de x y (factR n).
-- --------------------------------------------------------------------- 

-- La propiedad es
prop_factI' :: Integer -> Integer -> Bool
prop_factI' n  x =
    factI' n' x == x * factR n'
    where n' = abs n

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_factI'
--    OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4.7. Demostrar por inducción que para todo número natural
-- n, (factI' n x) es igual x*n!
-- --------------------------------------------------------------------- 

{-
  Demostración (por inducción en n)

  Caso base: Hay que demostrar que factI' 0 x = x*0!
  En efecto,
     factI' 0 x 
     = x           [por factI'.1]
     = x*0!        [por álgebra]

  Caso inductivo: Se supone la hipótesis de inducción: para todo x,
     factI' n x = x*n!
  hay que demostrar que para todo x
     factI' (n+1) x = x*(n+1)!
  En efecto,
     factI' (n+1) x
     = factI' n (n+1)*x    [por factI'.2]
     = (n+1)*x*n!          [por hipótesis de inducción]
     = x*(n+1)!            [por álgebra]
-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5.1. Definir, recursivamente y sin usar (++). la función
--    amplia :: [a] -> a -> [a]
-- tal que (amplia xs y) es la lista obtenida añadiendo el elemento y al
-- final de la lista xs. Por ejemplo,
--    amplia [2,5] 3  ==  [2,5,3]
-- ---------------------------------------------------------------------

amplia :: [a] -> a -> [a]
amplia []     y = [y]               -- amplia.1
amplia (x:xs) y = x : amplia xs y   -- amplia.2

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5.2. Definir, mediante plegado. la función
--    ampliaF :: [a] -> a -> [a]
-- tal que (ampliaF xs y) es la lista obtenida añadiendo el elemento y al
-- final de la lista xs. Por ejemplo,
--    ampliaF [2,5] 3  ==  [2,5,3]
-- ---------------------------------------------------------------------

ampliaF :: [a] -> a -> [a]
ampliaF xs y = foldr (:) [y] xs

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5.3. Comprobar con QuickCheck que amplia y ampliaF son
-- equivalentes. 
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_amplia_ampliaF :: Eq a => [a] -> a -> Bool
prop_amplia_ampliaF xs y =
    amplia xs y == ampliaF xs y

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_amplia_ampliaF
--    OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5.4. Comprobar con QuickCheck que
--    amplia xs y = xs ++ [y]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_amplia :: Eq a => [a] -> a -> Bool
prop_amplia xs y =
    amplia xs y == xs ++ [y]

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_amplia
--    OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5.5. Demostrar por inducción que
--    amplia xs y = xs ++ [y]
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
  Demostración: Por inducción en xs.

  Caso base: Hay que demostrar que 
     amplia [] y = [] ++ [y]
  En efecto,
     amplia [] y 
     = [y]         [por amplia.1]
     = [] ++ [y]   [por (++).1]

  Caso inductivo: Se supone la hipótesis de inducción
     amplia xs y = xs ++ [y]
  Hay que demostrar que
     amplia (x:xs) y = (x:xs) ++ [y]
  En efecto,
     amplia (x:xs) y
     = x : amplia xs y    [por amplia.2]
     = x : (xs ++ [y])    [por hipótesis de inducción]
     = (x:xs) ++ [y]      [por (++).2]
-}

-- ----------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6.1. Definir la función 
--    listaConSuma :: Int -> [[Int]] 
-- que, dado un número natural n, devuelve todas las listas de enteros
-- positivos (esto es, enteros mayores o iguales que 1) cuya suma sea
-- n. Por ejemplo,
--    Main> listaConSuma 4
--    [[1,1,1,1],[1,1,2],[1,2,1],[1,3],[2,1,1],[2,2],[3,1],[4]]
-- ---------------------------------------------------------------------

listaConSuma :: Int -> [[Int]]
listaConSuma 0 = [[]]
listaConSuma n = [x:xs | x <- [1..n], xs <- listaConSuma (n-x)]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6.2. Definir la función
--    numeroDeListasConSuma :: Int -> Int
-- tal que (numeroDeListasConSuma n) es el número de elementos de
-- (listaConSuma n). Por ejemplo,
--    numeroDeListasConSuma 10  =  512
-- ---------------------------------------------------------------------

numeroDeListasConSuma :: Int -> Int
numeroDeListasConSuma = length . listaConSuma

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6.2. Definir la constante
--    numerosDeListasConSuma :: [(Int,Int)]
-- tal que numerosDeListasConSuma es la lista de los pares formado por un
-- número natural n mayor que 0 y el número de elementos de 
-- (listaConSuma n). 
--
-- Calcular el valor de
--    take 10 numerosDeListasConSuma
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La constante es
numerosDeListasConSuma :: [(Int,Int)]
numerosDeListasConSuma = [(n,numeroDeListasConSuma n) | n <- [1..]] 

-- El cálculo es
--    ghci> take 10 numerosDeListasConSuma
--    [(1,1),(2,2),(3,4),(4,8),(5,16),(6,32),(7,64),(8,128),(9,256),(10,512)]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6.4. A partir del ejercicio anterior, encontrar una fórmula
-- para calcular el valor de (numeroDeListasConSuma n) paras los
-- números n mayores que 0. 
-- 
-- Demostrar dicha fórmula por inducción fuerte.
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
 La fórmula es
    numeroDeListasConSuma n = 2^(n-1)
 La demostración, por inducción fuerte en n, es la siguiente:

 Caso base (n=1):
    numeroDeListasConSuma 1 
    = length (listaConSuma 1)    
         [por numeroDeListasConSuma]
    = length [[x:xs | x <- [1..1], xs <- listaConSuma [[]]]
         [por listaConSuma.2]
    = length [[1]]
         [por def. de listas de comprensión]
    = 1
         [por def. de length] 
    = 2^(1-1)
         [por aritmética] 

 Paso de inducción: Se supone que
    para todo x en [1..n-1], 
       numeroDeListasConSuma x = 2^(x-1)
 Hay que demostrar que
    numeroDeListasConSuma n = 2^(n-1)
 En efecto,
    numeroDeListasConSuma n
    = length (listaConSuma n)   
         [por numeroDeListasConSuma]
    = length [x:xs | x <- [1..n], xs <- listaConSuma (n-x)]
         [por listaConSuma.2]
    = sum [numeroDeListasConSuma (n-x) | x <- [1..n]]
         [por length y listas de comprensión]
    = sum [2^(n-x-1) | x <- [1..n-1]] + 1
         [por hip. de inducción y numeroDeListasConSuma]
    = 2^(n-2) + 2^(n-3) + ... + 2^1 + 2^0 + 1
    = 2^(n-1)
         [por el ejercicio 2c de la relación 15]
-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6.4. A partir del ejercicio anterior, definir de manera más
-- eficiente la función numeroDeListasConSuma.
-- ---------------------------------------------------------------------

numeroDeListasConSuma' :: Int -> Int
numeroDeListasConSuma' 0 = 1
numeroDeListasConSuma' n = 2^(n-1)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6.5. Comparar la eficiencia de las dos definiciones
-- comparando el tiempo y el espacio usado para calcular 
-- (numeroDeListasConSuma 20) y (numeroDeListasConSuma' 20).
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La comparación es
--    ghci> :set +s
--    ghci> numeroDeListasConSuma 20
--    524288
--    (9.99 secs, 519419824 bytes)
--    ghci> numeroDeListasConSuma' 20
--    524288
--    (0.01 secs, 0 bytes)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7.0. La sucesión de Fibonacci 
--    0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...
-- puede definirse por recursión como
--    fib :: Int -> Int
--    fib 0 = 0                           -- fib.1
--    fib 1 = 1                           -- fib.2
--    fib n = (fib (n-11)) + fib (n-2)    -- fib.3
-- También puede definirse por recursición iterativa como
--    fibIt :: Int -> Int
--    fibIt n = fibItAux n 0 1
-- donde la función auxiliar se define por
--    fibItAux :: Int -> Int -> Int -> Int
--    fibItAux 0 a b = a                        -- fibItAux.1
--    fibItAux n a b = fibItAux (n-1) b (a+b)   -- fibItAux.2 
-- ---------------------------------------------------------------------

fib :: Int -> Int
fib 0 = 0
fib 1 = 1
fib n = fib (n-1) + fib (n-2) 

fibIt :: Int -> Int
fibIt n = fibItAux n 0 1

fibItAux :: Int -> Int -> Int -> Int
fibItAux 0 a b = a
fibItAux n a b = fibItAux (n-1) b (a+b) 

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7.1. Comprobar con QuickCheck que para todo número natural
-- n tal que n <= 20, se tiene que
--    fib n = fibIt n
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_fib :: Int -> Property
prop_fib n =
    n >= 0 && n <= 20 ==> fib n == fibIt n

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_fib
--    OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7.2. Sea f la función definida por
--    f :: Int -> Int -> Int
--    f n k = fibItAux n (fib k) (fib (k+1))
-- Definir la función 
--    grafoDeF :: Int -> [(Int,Int)]
-- tal que (grafoDeF n)
--    ghci> take 7 (grafoDeF 3)
--    [(1,3),(2,5),(3,8),(4,13),(5,21),(6,34),(7,55)]
--    ghci> take 7 (grafoDeF 5)
--    [(1,8),(2,13),(3,21),(4,34),(5,55),(6,89),(7,144)]
-- ---------------------------------------------------------------------

f :: Int -> Int -> Int
f n k = fibItAux n (fib k) (fib (k+1))

grafoDeF :: Int -> [(Int,Int)]
grafoDeF n = [(k, f n k) | k <- [1..]]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7.3. Comprobar con QuickCheck que para todo par de números
-- naturales n, k tales que n+k <= 20, se tiene que
--    fibItAux n (fib k) (fib (k+1)) = fib (k+n)
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_fibItAux :: Int -> Int -> Property
prop_fibItAux n k =
    n >= 0 && k >= 0 && n+k <= 20 ==>
    fibItAux n (fib k) (fib (k+1)) == fib (k+n)

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_fibItAux
--    OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7.4. Demostrar por inducción que para todo n y todo k,
--    fibItAux n (fib k) (fib (k+1)) = fib (k+n)
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
 Demostración: Por inducción en n se prueba que
    para todo k, fibItAux n (fib k) (fib (k+1)) = fib (k+n)

 Caso base (n=0): Hay que demostrar que
    para todo k, fibItAux 0 (fib k) (fib (k+1)) = fib k
 En efecto, sea k un número natural. Se tiene
    fibItAux 0 (fib k) (fib (k+1))
    = fib k                          [por fibItAux.1]

 Paso de inducción: Se supone la hipótesis de inducción
    para todo k, fibItAux n (fib k) (fib (k+1)) = fib (k+n)
 Hay que demostrar que
    para todo k, fibItAux (n+1) (fib k) (fib (k+1)) = fib (k+n+1)
 En efecto. Sea k un número natural,
    fibItAux (n+1) (fib k) (fib (k+1))
    = fibItAux n (fib (k+1)) ((fib k) + (fib (k+1)))
         [por fibItAux.2]
    = fibItAux n (fib (k+1)) (fib (k+2))
         [por fib.3]
    = fib (n+k+1)
         [por hipótesis de inducción]
-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7.5. Demostrar que para todo n,
--    fibIt n = fib n
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
 Demostración
    fibIt n 
    = fibItAux n 0 1               [por fibIt]
    = fibItAux n (fib 0) (fib 1)   [por fib.1 y fib.2]
    = fib n                        [por ejercicio 5.4]
-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8.1. La función potencia puede definirse por
--    potencia :: Int -> Int -> Int
--    potencia x 0 = 1
--    potencia x n | even n    = potencia (x*x) (div n 2)
--                 | otherwise = x * potencia (x*x) (div n 2)
-- Comprobar con QuickCheck que para todo número natural n y todo
-- número entero x, (potencia x n) es x^n.
-- ---------------------------------------------------------------------

potencia :: Integer -> Integer -> Integer
potencia x 0 = 1
potencia x n | even n    = potencia (x*x) (div n 2)
             | otherwise = x * potencia (x*x) (div n 2)

-- La propiedad es
prop_potencia :: Integer -> Integer -> Property
prop_potencia x n =
    n >= 0 ==> potencia x n == x^n

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_potencia
--    OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8.2. Demostrar por inducción que que para todo número
-- natural n y todo número entero x, (potencia x n) es x^n
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
 Demostración: Por inducción en n.

 Caso base: Hay que demostrar que 
    para todo x, potencia x 0 = 2^0
 Sea x un número entero, entonces
    potencia x 0 
    = 1              [por potencia.1]
    = 2^0            [por aritmética]

 Paso de inducción: Se supone que n>0 y la hipótesis de inducción: 
    para todo m<n y para todo x, potencia x (n-1) = x^(n-1)
 Tenemos que demostrar que 
    para todo x, potencia x n = x^n
 Lo haremos distinguiendo casos según la paridad de n.

 Caso 1: Supongamos que n es par. Entonces, existe un k tal que 
    n = 2*k.                    (1)
 Por tanto, 
    potencia  n 
    = potencia (x*x) (div n 2)  [por potencia.2]
    = potencia (x*x) k          [por (1)]
    = (x*x)^k                   [por hip. de inducción]
    = x^(2*k)                   [por aritmética]
    = x^n                       [por (1)]

 Caso 2: Supongamos que n es impar. Entonces, existe un k tal que 
    n = 2*k+1.                       (2)
 Por tanto, 
    potencia  n 
    = x * potencia (x*x) (div n 2)   [por potencia.3]
    = x * potencia (x*x) k           [por (1)]
    = x * (x*x)^k                    [por hip. de inducción]
    = x^(2*k+1)                      [por aritmética]
    = x^n                            [por (1)]
-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9.1. Comprobar con QuickCheck que para todo par de listas
-- xs, ys se tiene que
--    reverse (xs ++ ys) == reverse ys ++ reverse xs
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_reverse_conc :: [Int] -> [Int] -> Bool
prop_reverse_conc xs ys =
    reverse (xs ++ ys) == reverse ys ++ reverse xs

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_reverse_conc
--    OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9.2. Demostrar por inducción que para todo par de listas
-- xs, ys se tiene que
--    reverse (xs ++ ys) == reverse ys ++ reverse xs
-- 
-- Las definiciones de reverse y (++) son
--    reverse [] = []                      -- reverse.1
--    reverse (x:xs) = reverse xs ++ [x]   -- reverse.2
-- 
--    [] ++ ys     = ys                    -- ++.1
--    (x:xs) ++ ys = x : (xs ++ ys)        -- ++.2
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
 Demostración por inducción en xs.

 Caso base: Hay que demostrar que para toda ys,
    reverse ([] ++ ys) == reverse ys ++ reverse []
 En efecto,
    reverse ([] ++ ys)
    = reverse ys                  [por ++.1] 
    = reverse ys ++ []            [por propiedad de ++]
    = reverse ys ++ reverse []    [por reverse.1]

 Paso de inducción: Se supone que para todo ys,
    reverse (xs ++ ys) == reverse ys ++ reverse xs
 Hay que demostrar que para todo ys,   
    reverse ((x:xs) ++ ys) == reverse ys ++ reverse (x:xs)
 En efecto,
    reverse ((x:xs) ++ ys)
    = reverse (x:(xs ++ ys))               [por ++.2]
    = reverse (xs ++ ys) ++ [x]            [por reverse.2]
    = (reverse ys ++ reverse xs) ++ [x]    [por hip. de inducción]
    = reverse ys ++ (reverse xs ++ [x])    [por asociativa de ++]
    = reverse ys ++ reverse (x:xs)         [por reverse.2]  
-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9.3. Demostrar por inducción que para toda lista xs,
--    reverse (reverse xs) = xs
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
 Demostración por inducción en xs.

 Caso Base: Hay que demostrar que 
    reverse (reverse []) = []
 En efecto, 
    reverse (reverse [])
    = reverse []           [por reverse.1]
    = []                   [por reverse.1]

 Paso de inducción: Se supone que
    reverse (reverse xs) = xs
 Hay que demostrar que
    reverse (reverse (x:xs)) = x:xs
 En efecto,
    reverse (reverse (x:xs))
    = reverse (reverse xs ++ [x])           [por reverse.2]
    = reverse [x] ++ reverse (reverse xs)   [por ejercicio 7.2]
    = [x] ++ reverse (reverse xs)           [por reverse]
    = [x] ++ xs                             [por hip. de inducción]
    = x:xs                                  [por ++.2]
-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10.0. En los siguientes ejercicios se demostrarán
-- propiedades de los árboles binarios definidos como sigue
--    data Arbol a = Hoja 
--                 | Nodo a (Arbol a) (Arbol a)
--                 deriving (Show, Eq)
-- En los ejemplos se usará el siguiente árbol
--    arbol = Nodo 9
--                   (Nodo 3 
--                         (Nodo 2 Hoja Hoja) 
--                         (Nodo 4 Hoja Hoja)) 
--                   (Nodo 7 Hoja Hoja)
-- ---------------------------------------------------------------------

data Arbol a = Hoja 
             | Nodo a (Arbol a) (Arbol a)
             deriving (Show, Eq)

arbol = Nodo 9
               (Nodo 3 
                     (Nodo 2 Hoja Hoja) 
                     (Nodo 4 Hoja Hoja)) 
               (Nodo 7 Hoja Hoja)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Nota. Para comprobar propiedades de árboles con QuickCheck se
-- utilizará el siguiente generador.
-- ---------------------------------------------------------------------

instance Arbitrary a => Arbitrary (Arbol a) where
  arbitrary = sized arbol
    where
      arbol 0       = return Hoja 
      arbol n | n>0 = oneof [return Hoja,
                             liftM3 Nodo arbitrary subarbol subarbol]
                      where subarbol = arbol (div n 2)
  -- coarbitrary = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10.1. Definir la función
--    espejo :: Arbol a -> Arbol a
-- tal que (espejo x) es la imagen especular del árbol x. Por ejemplo,
--    ghci> espejo arbol
--    Nodo 9 
--         (Nodo 7 Hoja Hoja) 
--         (Nodo 3 
--               (Nodo 4 Hoja Hoja) 
--               (Nodo 2 Hoja Hoja))
-- ---------------------------------------------------------------------

espejo :: Arbol a -> Arbol a
espejo Hoja         = Hoja
espejo (Nodo x i d) = Nodo x (espejo d) (espejo i)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10.2. Comprobar con QuickCheck que para todo árbol x,
--    espejo (espejo x) = x
-- ---------------------------------------------------------------------

prop_espejo :: Arbol Int -> Bool
prop_espejo x =
    espejo (espejo x) == x

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10.3. Demostrar por inducción que para todo árbol x,
--    espejo (espejo x) = x
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
 Demostración por inducción en x

 Caso base: Hay que demostrar que
    espejo (espejo Hoja) = Hoja
 En efecto,
    espejo (espejo Hoja)
    = espejo Hoja          [por espejo.1]
    = Hoja                 [por espejo.1]

 Paso de inducción: Se supone la hipótesis de inducción
    espejo (espejo i) = i
    espejo (espejo d) = d
 Hay que demostrar que
    espejo (espejo (Nodo x i d)) = Nodo x i d
 En efecto,
    espejo (espejo (Nodo x i d))
    = espejo (Nodo x (espejo d) (espejo i))             [por espejo.2]
    = Nodo x (espejo (espejo i)) (espejo (espejo d))    [por espejo.2]
    = Nodo x i d                                        [por hip. inducción]
-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10.4. Definir la función
--    preorden :: Arbol a -> [a]
-- tal que (preorden x) es la lista correspondiente al recorrido
-- preorden del árbol x; es decir, primero visita la raíz del árbol, a
-- continuación recorre el subárbol izquierdo y, finalmente, recorre el
-- subárbol derecho. Por ejemplo,
--    ghci> arbol
--    Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)
--    ghci> preorden arbol
--    [9,3,2,4,7]
-- ---------------------------------------------------------------------

preorden :: Arbol a -> [a]
preorden Hoja         = []
preorden (Nodo x i d) = x : (preorden i ++ preorden d)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10.5. Definir la función
--    postorden :: Arbol a -> [a]
-- tal que (postorden x) es la lista correspondiente al recorrido
-- postorden del árbol x; es decir, primero recorre el subárbol
-- izquierdo, a continuación el subárbol derecho y, finalmente, la raíz
-- del árbol. Por ejemplo,
--    ghci> arbol
--    Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)
--    ghci> postorden arbol
--    [2,4,3,7,9]
-- ---------------------------------------------------------------------

postorden :: Arbol a -> [a]
postorden Hoja         = []
postorden (Nodo x i d) = postorden i ++ postorden d ++ [x]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10.6. Comprobar con QuickCheck que para todo árbol x,
--    postorden (espejo x) = reverse (preorden x)
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_recorrido :: Arbol Int -> Bool
prop_recorrido x =
   postorden (espejo x) == reverse (preorden x)

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_recorrido
--    OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10.7. Demostrar por inducción que para todo árbol x,
--    postorden (espejo x) = reverse (preorden x)
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
 Demostración por inducción en x.

 Caso base: Hay que demostrar que 
    postorden (espejo Hoja) = reverse (preorden Hoja)
 En efecto,
    postorden (espejo Hoja)
    = postorden Hoja           [por espejo.1]
    = []                       [por postorden.1]
    = reverse []               [por reverse.1]
    = reverse (preorden Hoja)  [por preorden.1]

 Paso de inducción: Se supone la hipótesis de inducción
    postorden (espejo i) = reverse (preorden i)
    postorden (espejo d) = reverse (preorden d)
 Hay que demostrar que
    postorden (espejo (Nodo x i d)) = reverse (preorden (Nodo x i d))
 En efecto,
    postorden (espejo (Nodo x i d))
    = postorden (Nodo x (espejo d) (espejo i))   [por espejo.2]
    = postorden (espejo d) ++ postorden (espejo i) ++ [x]                
                                                 [por postorden.2]
    = reverse (preorden d) ++ reverse (preorden i) ++ [x]
                                                 [por hip. inducción]
    = reverse ([x] ++ preorden (espejo i) ++ preorden (espejo d))      
                                                 [por ejercicio 7.1]
    = reverse (preorden (Nodo x i d))            [por preorden.1]
-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10.8. Comprobar con QuickCheck que para todo árbol binario
-- x, se tiene que
--    reverse (preorden (espejo x)) = postorden x
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_reverse_preorden_espejo :: Arbol Int -> Bool
prop_reverse_preorden_espejo x =
   reverse (preorden (espejo x)) == postorden x

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_reverse_preorden_espejo
--    OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10.9. Demostrar que para todo árbol binario x, se tiene que
--    reverse (preorden (espejo x)) = preorden x
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
 Demostración:
    reverse (preorden (espejo x))
    = postorden (espejo (espejo x))    [por ejercicio 8.7]
    = postorden x                      [por ejercicio 8.3]
-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10.10. Definir la función
--    nNodos :: Arbol a -> Int
-- tal que (nNodos x) es el número de nodos del árbol x. Por ejemplo,
--    ghci> arbol
--    Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)
--    ghci> nNodos arbol
--    5
-- ---------------------------------------------------------------------

nNodos :: Arbol a -> Int
nNodos Hoja         = 0
nNodos (Nodo x i d) = 1 + nNodos i + nNodos d

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10.11. Comprobar con QuickCheck que el número de nodos de la
-- imagen especular de un árbol es el mismo que el número de nodos del
-- árbol. 
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_nNodos_espejo :: Arbol Int -> Bool
prop_nNodos_espejo x =
   nNodos (espejo x) == nNodos x

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_nNodos_espejo
--    OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10.12. Demostrar por inducción que el número de nodos de la
-- imagen especular de un árbol es el mismo que el número de nodos del
-- árbol. 
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
 Demostración: Hay que demostrar, por inducción en x, que 
    nNodos (espejo x) == nNodos x
 
 Caso base: Hay que demostrar que
    nNodos (espejo Hoja) == nNodos Hoja
 En efecto,
    nNodos (espejo Hoja)
    = nNodos Hoja          [por espejo.1]

 Paso de inducción: Se supone la hipótesis de inducción
    nNodos (espejo i) == nNodos i
    nNodos (espejo d) == nNodos d
 Hay que demostrar que
    nNodos (espejo (Nodo x i d)) == nNodos (Nodo x i d)
 En esfecto,
    nNodos (espejo (Nodo x i d))
    = nNodos (Nodo x (espejo d) (espejo i))       [por espejo.2]
    = 1 + nNodos (espejo d) + nNodos (espejo i)   [por nNodos.2]
    = 1 + nNodos d + nNodos i                     [por hip.de inducción]
    = 1 + nNodos i + nNodos d                     [por aritmética]
    = nNodos (Nodo x i d)                         [por nNodos.2]
-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10.13. Comprobar con QuickCheck que la longitud de la lista
-- obtenida recorriendo un árbol en sentido preorden es igual al número
-- de nodos del árbol.
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_length_preorden :: Arbol Int -> Bool
prop_length_preorden x =
   length (preorden x) == nNodos x

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_length_preorden
--    OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10.14. Demostrar por inducción que la longitud de la lista
-- obtenida recorriendo un árbol en sentido preorden es igual al número
-- de nodos del árbol.
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
 Demostración: Por inducción en x, hay que demostrar que
    length (preorden x) == nNodos x
  
 Caso base: Hay que demostrar que 
    length (preorden Hoja) = nNodos Hoja
 En efecto,
    length (preorden Hoja)
    = length []              [por preorden.1]
    = 0                      [por length.1]
    = nNodos Hoja            [por nNodos.1]

 Paso de inducción: Se supone la hipótesis de inducción
    length (preorden i) == nNodos i
    length (preorden d) == nNodos d
 Hay que demostrar que
    length (preorden (Nodo x i d)) == nNodos (Nodo x i d)
 En efecto,
    length (preorden (Nodo x i d))
    = length ([x] ++ (peorden i) ++ (preorden d))   
         [por preorden.2]
    = length [x] + length (preorden i) + length (preorden d) 
         [propiedad de length: length (xs++ys) = length xs + length ys]
    = 1 + length (preorden i) + length (preorden d) 
         [por def. de length]
    = 1 + nNodos i + nNodos d
         [por hip. de inducción]
    = nNodos (x i d)
         [por nNodos.2]
-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10.15. Definir la función
--    profundidad :: Arbol a -> Int
-- tal que (profundidad x) es la profundidad del árbol x. Por ejemplo,
--    ghci> arbol
--    Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)
--    ghci> profundidad arbol
--    3
-- ---------------------------------------------------------------------

profundidad :: Arbol a -> Int
profundidad Hoja = 0
profundidad (Nodo x i d) = 1 + max (profundidad i) (profundidad d)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10.16. Comprobar con QuickCheck que para todo árbol biario
-- x, se tiene que
--    nNodos x <= 2^(profundidad x) - 1
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_nNodosProfundidad :: Arbol Int -> Bool
prop_nNodosProfundidad x =
   nNodos x <= 2^(profundidad x) - 1

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_nNodosProfundidad
--    OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10.17. Demostrar por inducción que para todo árbol binario
-- x, se tiene que
--    nNodos x <= 2^(profundidad x) - 1
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
 Demostración por inducción en x
 
 Caso base: Hay que demostrar que 
    nNodos Hoja <= 2^(profundidad Hoja) - 1
 En efecto,
    nNodos Hoja
    = 0                            [por nNodos.1]
    = 2^0 - 1                      [por aritmética]
    = 2^(profundidad Hoja) - 1     [por profundidad.1]

 Paso de inducción: Se supone la hipótesis de inducción
    nNodos i <= 2^(profundidad i) - 1    
    nNodos d <= 2^(profundidad d) - 1    
 Hay que demostrar que 
    nNodos (Nodo x i d) <= 2^(profundidad (Nodo x i d)) - 1    
 En efecto,
    nNodos (Nodo x i d)
    =  1 + nNodos i + nNodos d    
          [por nNodos.1]
    <= 1 + (2^(profundidad i) - 1) + (2^(profundidad d) - 1)
          [por hip. de inducción]
    =  2^(profundidad i) + 2^(profundidad d) - 1   
          [por aritmética]
    <= 2^máx(profundidad i,profundidad d)+2^máx(profundidad i,profundidad d)-1
          [por aritmética]
    =  2*2^máx(profundidad i,profundidad d) - 1
          [por aritmética]
    =  2^(1+máx(profundidad i,profundidad d)) - 1
          [por aritmética]
    =  2^profundidad(Nodo x i d) - 1
          [por profundidad.2]
-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10.18. Definir la función
--    nHojas :: Arbol a -> Int
-- tal que (nHojas x) es el número de hojas del árbol x. Por ejemplo,
--    ghci> arbol
--    Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)
--    ghci> nHojas arbol
--    6
-- ---------------------------------------------------------------------

nHojas :: Arbol a -> Int
nHojas Hoja         = 1
nHojas (Nodo x i d) = nHojas i + nHojas d

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10.19. Comprobar con QuickCheck que en todo árbol binario el
-- número de sus hojas es igual al número de sus nodos más uno.
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_nHojas :: Arbol Int -> Bool
prop_nHojas x =
    nHojas x == nNodos x + 1

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_nHojas
--    OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10.20. Demostrar por inducción que en todo árbol binario el
-- número de sus hojas es igual al número de sus nodos más uno.
-- ---------------------------------------------------------------------

{-
 Demostración: Hay que demostrar, por inducción en x, que
    nHojas x = nNodos x + 1

 Caso base: Hay que demotrar que
    nHojas Hoja = nNodos Hoja + 1
 En efecto, 
    nHojas Hoja
    = 1                 [por nHojas.1]
    = 0 + 1             [por aritmética]
    = nNodos Hoja + 1   [por nNodos.1]

 Paso de inducción: Se supone la hipótesis de inducción
    nHojas i = nNodos i + 1
    nHojas d = nNodos d + 1
 Hay que demostrar que
    nHojas (Nodo x i d) = nNodos (Nodo x i d) + 1
 En efecto,
    nHojas (Nodo x i d)
    = nHojas i + nHojas d               [por nHojas.2]
    = (nNodos i + 1) + (nNodos d +1)    [por hip. de inducción]
    = (1 + nNodos i + nNodos d) + 1     [por aritmética]
    = nNodos (Nodo x i d) + 1           [por nNodos.2]
-}

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10.21. Definir, usando un acumulador, la función
--    preordenIt :: Arbol a -> [a]
-- tal que (preordenIt x) es la lista correspondiente al recorrido
-- preorden del árbol x; es decir, primero visita la raíz del árbol, a
-- continuación recorre el subárbol izquierdo y, finalmente, recorre el
-- subárbol derecho. Por ejemplo,
--    ghci> arbol
--    Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)
--    ghci> preordenIt arbol
--    [9,3,2,4,7]
-- Nota: No usar (++) en la definición
-- ---------------------------------------------------------------------

preordenIt :: Arbol a -> [a]
preordenIt x = preordenItAux x []

preordenItAux :: Arbol a -> [a] -> [a]
preordenItAux Hoja xs         = xs
preordenItAux (Nodo x i d) xs = x : preordenItAux i (preordenItAux d xs)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10.22. Comprobar con QuickCheck que preordenIt es
-- equivalente a preorden.
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_preordenIt :: Arbol Int -> Bool
prop_preordenIt x =
    preordenIt x == preorden x

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_preordenIt
--    OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10.22. Demostrar que preordenIt es equivalente a preorden.
-- ---------------------------------------------------------------------

prop_preordenItAux :: Arbol Int -> [Int] -> Bool
prop_preordenItAux x ys =
   preordenItAux x ys == preorden x ++ ys

{-
 Demostración: La propiedad es consecuencia del siguiente lema:
 
 Lema: Para todo árbol binario x, se tiene que 
    para toda ys, preordenItAux x ys = preorden x ++ ys

 Demostración de la propiedad usando el lema:
    preordenIt x
    = preordenItAux x []    [por preordnIt]
    = preorden x ++ []      [por el lema]
    = preorden x            [propiedad de ++]

 Demostración del lema: Por inducción en x.

 Caso base: Hay que demotrar que
    para toda ys, preordenItAux Hoja ys = preorden Hoja ++ ys
 En efecto, 
    preordenItAux Hoja ys
    = ys                     [por preordenItAux.1]
    = [] ++ ys               [por propiedad de ++]
    = preorden Hoja ++ ys    [por preorden.1]
    
 Paso de inducción: Se supone la hipótesis de inducción
    para toda ys, preordenItAux i ys = preorden i ++ ys
    para toda ys, preordenItAux d ys = preorden d ++ ys
 Hay que demostrar que
    para toda ys, preordenItAux (Nodo x i d) ys = preorden (Nodo x i d) ++ ys
 En efecto,
    preordenItAux (Nodo x i d) ys
    = x : (preordenItAux i (preordenItAux d ys))   [por preordenItAux.2]
    = x : (preordenItAux i (preorden d ++ ys))     [por hip. de inducción]
    = x : (preorden i ++ (preorden d ++ ys))       [por hip. de inducción]
    = ([x] ++ preorden i ++ preorden d) ++ ys      [por prop. de listas]
    = preorden (Nodo x i d) ++ ys                  [por preorden.2]
-}

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-- Importación de librerías --

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import Test.QuickCheck

import Control.Monad

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 1.1. Definir por recursión la función

-- sumaImpares :: Int -> Int

-- tal que (sumaImpares n) es la suma de los n primeros números

-- impares. Por ejemplo,

-- sumaImpares 5 == 25

-- ---------------------------------------------------------------------

sumaImpares :: Int -> Int

sumaImpares 0 = 0

sumaImpares n = sumaImpares (n-1) + (2*n-1)

sumaImpares2 :: Int -> Int

sumaImpares2 0 = 0

sumaImpares2 n = 2*n+1 + sumaImpares2 (n-1)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 1.2. Definir, sin usar recursión, la función

-- sumaImpares' :: Int -> Int

-- tal que (sumaImpares' n) es la suma de los n primeros números

-- impares. Por ejemplo,

-- ghci> sumaImpares' 5 == 25

-- ---------------------------------------------------------------------

sumaImpares' :: Int -> Int

sumaImpares' n = sum [1,3..(2*n-1)]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 1.3. Definir la función

-- sumaImparesIguales :: Int -> Int -> Bool

-- tal que (sumaImparesIguales m n) se verifica si para todo x entre m y

-- n se tiene que (sumaImpares x) y (sumaImpares' x) son iguales.

-- Comprobar que (sumaImpares x) y (sumaImpares' x) son iguales para

-- todos los números x entre 1 y 100.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La definición es

sumaImparesIguales :: Int -> Int -> Bool

sumaImparesIguales m n =

and [sumaImpares x == sumaImpares' x | x <- [m..n]]

-- La comprobación es

-- ghci> sumaImparesIguales 1 100

-- True

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 1.4. Definir la función

-- grafoSumaImpares :: Int -> Int -> [(Int,Int)]

-- tal que (grafoSumaImpares m n) es la lista formadas por los números x

-- entre m y n y los valores de (sumaImpares x).

-- Calcular (grafoSumaImpares 1 9).

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La definición es

grafoSumaImpares :: Int -> Int -> [(Int,Int)]

grafoSumaImpares m n =

[(x,sumaImpares x) | x <- [m..n]]

-- El cálculo es

-- ghci> grafoSumaImpares 1 9

-- [(1,1),(2,4),(3,9),(4,16),(5,25),(6,36),(7,49),(8,64),(9,81)]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 1.5. Demostrar por inducción que para todo n,

-- (sumaImpares n) es igual a n^2.

-- ---------------------------------------------------------------------

Caso base: Hay que demostrar que

sumaImpares 0 = 0^2

En efecto,

sumaImpares 0 [por hipótesis]

= 0 [por sumaImpares.1]

= 0^2 [por aritmética]

Caso inductivo: Se supone la hipótesis de inducción (H.I.)

sumaImpares n = n^2

Hay que demostrar que

sumaImpares (n+1) = (n+1)^2

En efecto,

sumaImpares (n+1) =

= (sumaImpares n) + (2*n+1) [por sumaImpares.2]

= n^2 + (2*n+1) [por H.I.]

= (n+1)^2 [por álgebra]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 2.1. Definir por recursión la función

-- sumaPotenciasDeDosMasUno :: Int -> Int

-- tal que

-- sumaPotenciasDeDosMasUno n = 1 + 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n.

-- Por ejemplo,

-- sumaPotenciasDeDosMasUno 3 == 16

-- ---------------------------------------------------------------------

sumaPotenciasDeDosMasUno :: Int -> Int

sumaPotenciasDeDosMasUno 0 = 2

sumaPotenciasDeDosMasUno n = sumaPotenciasDeDosMasUno (n-1) + 2^n

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 2.2. Definir por comprensión la función

-- sumaPotenciasDeDosMasUno' :: Int -> Int

-- tal que

-- (sumaPotenciasDeDosMasUno' n) = 1 + 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n.

-- Por ejemplo,

-- sumaPotenciasDeDosMasUno' 3 == 16

-- ---------------------------------------------------------------------

sumaPotenciasDeDosMasUno' :: Int -> Int

sumaPotenciasDeDosMasUno' n = 1 + sum [2^x | x <- [0..n]]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 2.3. Demostrar por inducción que

-- sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)

-- ---------------------------------------------------------------------

Caso base: Hay que demostrar que

sumaPotenciasDeDosMasUno 0 = 2^(0+1)

En efecto,

sumaPotenciasDeDosMasUno 0

= 2 [por sumaPotenciasDeDosMasUno.1]

= 2^(0+1) [por aritmética]

Caso inductivo: Se supone la hipótesis de inducción (H.I.)

sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)

Hay que demostrar que

sumaPotenciasDeDosMasUno (n+1) = 2^((n+1)+1)

En efecto,

sumaPotenciasDeDosMasUno (n+1)

= (sumaPotenciasDeDosMasUno n) + 2^(n+1) [por sumaPotenciasDeDosMasUno.2]

= 2^(n+1) + 2^(n+1) [por H.I.]

= 2^((n+1)+1) [por aritmética]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 3.1. Definir por recursión la función

-- copia :: Int -> a -> [a]

-- tal que (copia n x) es la lista formado por n copias del elemento

-- x. Por ejemplo,

-- copia 3 2 == [2,2,2]

-- ---------------------------------------------------------------------

copia :: Int -> a -> [a]

copia 0 _ = [] -- copia.1

copia n x = x : copia (n-1) x -- copia.2

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 3.2. Definir por recursión la función

-- todos :: (a -> Bool) -> [a] -> Bool

-- tal que (todos p xs) se verifica si todos los elementos de xs cumplen

-- la propiedad p. Por ejemplo,

-- todos even [2,6,4] == True

-- todos even [2,5,4] == False

-- ---------------------------------------------------------------------

todos :: (a -> Bool) -> [a] -> Bool

todos p [] = True -- todos.1

todos p (x : xs) = p x && todos p xs -- todos.2

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 3.3. Comprobar con QuickCheck que todos los elementos de

-- (copia n x) son iguales a x.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es

prop_copia :: Eq a => Int -> a -> Bool

prop_copia n x =

todos (==x) (copia n' x)

where n' = abs n

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_copia

-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 3.4. Demostrar, por inducción en n, que todos los elementos

-- de (copia n x) son iguales a x.

-- ---------------------------------------------------------------------

Hay que demostrar que para todo n y todo x,

todos (==x) (copia n x)

Caso base: Hay que demostrar que

todos (==x) (copia 0 x) = True

En efecto,

todos (== x) (copia 0 x)

= todos (== x) [] [por copia.1]

= True [por todos.1]

Caso inductivo: Se supone la hipótesis de inducción (H.I.)

todos (==x) (copia n x) = True

Hay que demostrar que

todos (==x) (copia (n+1) x) = True

En efecto,

todos (==x) (copia (n+1) x)

= todos (==x) (x : copia n x ) [por copia.2]

= x == x && todos (==x) (copia n x ) [por todos.2]

= True && todos (==x) (copia n x ) [por def. de ==]

= todos (==x) (copia n x ) [por def. de &&]

= True [por H.I.]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 4.1. Definir por recursión la función

-- factR :: Integer -> Integer

-- tal que (factR n) es el factorial de n. Por ejemplo,

-- factR 4 == 24

-- ---------------------------------------------------------------------

factR :: Integer -> Integer

factR 0 = 1

factR n = n * factR (n-1)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 4.2. Definir por comprensión la función

-- factC :: Integer -> Integer

-- tal que (factR n) es el factorial de n. Por ejemplo,

-- factC 4 == 24

-- ---------------------------------------------------------------------

factC :: Integer -> Integer

factC n = product [1..n]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 4.3. Comprobar con QuickCheck que las funciones factR y

-- factC son equivalentes sobre los números naturales.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es

prop_factR_factC :: Integer -> Bool

prop_factR_factC n =

factR n' == factC n'

where n' = abs n

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_factR_factC

-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 4.4. Comprobar con QuickCheck si las funciones factR y

-- factC son equivalentes sobre los números enteros.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es

prop_factR_factC_Int :: Integer -> Bool

prop_factR_factC_Int n =

factR n == factC n

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_factR_factC_Int

-- *** Exception: Non-exhaustive patterns in function factR

-- No son iguales ya que factR no está definida para los números

-- negativos y factC de cualquier número negativo es 0.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 4.5. Se considera la siguiente definición iterativa de la

-- función factorial

-- factI :: Integer -> Integer

-- factI n = factI' n 1

-- factI' :: Integer -> Integer -> Integer

-- factI' 0 x = x -- factI'.1

-- factI' n x = factI' (n-1) n*x -- factI'.2

-- Comprobar con QuickCheck que factI y factR son equivalentes sobre los

-- números naturales.

-- ---------------------------------------------------------------------

factI :: Integer -> Integer

factI n = factI' n 1

factI' :: Integer -> Integer -> Integer

factI' 0 x = x

factI' n x = factI' (n-1) n*x

-- La propiedad es

prop_factI_factR n =

factI n' == factR n'

where n' = abs n

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_factI_factR

-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 4.6. Comprobar con QuickCheck que para todo número natural

-- n, (factI' n x) es igual al producto de x y (factR n).

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es

prop_factI' :: Integer -> Integer -> Bool

prop_factI' n x =

factI' n' x == x * factR n'

where n' = abs n

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_factI'

-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 4.7. Demostrar por inducción que para todo número natural

-- n, (factI' n x) es igual x*n!

-- ---------------------------------------------------------------------

Demostración (por inducción en n)

Caso base: Hay que demostrar que factI' 0 x = x*0!

En efecto,

factI' 0 x

= x [por factI'.1]

= x*0! [por álgebra]

Caso inductivo: Se supone la hipótesis de inducción: para todo x,

factI' n x = x*n!

hay que demostrar que para todo x

factI' (n+1) x = x*(n+1)!

En efecto,

factI' (n+1) x

= factI' n (n+1)*x [por factI'.2]

= (n+1)*x*n! [por hipótesis de inducción]

= x*(n+1)! [por álgebra]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 5.1. Definir, recursivamente y sin usar (++). la función

-- amplia :: [a] -> a -> [a]

-- tal que (amplia xs y) es la lista obtenida añadiendo el elemento y al

-- final de la lista xs. Por ejemplo,

-- amplia [2,5] 3 == [2,5,3]

-- ---------------------------------------------------------------------

amplia :: [a] -> a -> [a]

amplia [] y = [y] -- amplia.1

amplia (x:xs) y = x : amplia xs y -- amplia.2

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 5.2. Definir, mediante plegado. la función

-- ampliaF :: [a] -> a -> [a]

-- tal que (ampliaF xs y) es la lista obtenida añadiendo el elemento y al

-- final de la lista xs. Por ejemplo,

-- ampliaF [2,5] 3 == [2,5,3]

-- ---------------------------------------------------------------------

ampliaF :: [a] -> a -> [a]

ampliaF xs y = foldr (:) [y] xs

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 5.3. Comprobar con QuickCheck que amplia y ampliaF son

-- equivalentes.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es

prop_amplia_ampliaF :: Eq a => [a] -> a -> Bool

prop_amplia_ampliaF xs y =

amplia xs y == ampliaF xs y

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_amplia_ampliaF

-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 5.4. Comprobar con QuickCheck que

-- amplia xs y = xs ++ [y]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es

prop_amplia :: Eq a => [a] -> a -> Bool

prop_amplia xs y =

amplia xs y == xs ++ [y]

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_amplia

-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 5.5. Demostrar por inducción que

-- amplia xs y = xs ++ [y]

-- ---------------------------------------------------------------------

Demostración: Por inducción en xs.

Caso base: Hay que demostrar que

amplia [] y = [] ++ [y]

En efecto,

amplia [] y

= [y] [por amplia.1]

= [] ++ [y] [por (++).1]

Caso inductivo: Se supone la hipótesis de inducción

amplia xs y = xs ++ [y]

Hay que demostrar que

amplia (x:xs) y = (x:xs) ++ [y]

En efecto,

amplia (x:xs) y

= x : amplia xs y [por amplia.2]

= x : (xs ++ [y]) [por hipótesis de inducción]

= (x:xs) ++ [y] [por (++).2]

-- ----------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 6.1. Definir la función

-- listaConSuma :: Int -> [[Int]]

-- que, dado un número natural n, devuelve todas las listas de enteros

-- positivos (esto es, enteros mayores o iguales que 1) cuya suma sea

-- n. Por ejemplo,

-- Main> listaConSuma 4

-- [[1,1,1,1],[1,1,2],[1,2,1],[1,3],[2,1,1],[2,2],[3,1],[4]]

-- ---------------------------------------------------------------------

listaConSuma :: Int -> [[Int]]

listaConSuma 0 = [[]]

listaConSuma n = [x:xs | x <- [1..n], xs <- listaConSuma (n-x)]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 6.2. Definir la función

-- numeroDeListasConSuma :: Int -> Int

-- tal que (numeroDeListasConSuma n) es el número de elementos de

-- (listaConSuma n). Por ejemplo,

-- numeroDeListasConSuma 10 = 512

-- ---------------------------------------------------------------------

numeroDeListasConSuma :: Int -> Int

numeroDeListasConSuma = length . listaConSuma

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 6.2. Definir la constante

-- numerosDeListasConSuma :: [(Int,Int)]

-- tal que numerosDeListasConSuma es la lista de los pares formado por un

-- número natural n mayor que 0 y el número de elementos de

-- (listaConSuma n).

-- Calcular el valor de

-- take 10 numerosDeListasConSuma

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La constante es

numerosDeListasConSuma :: [(Int,Int)]

numerosDeListasConSuma = [(n,numeroDeListasConSuma n) | n <- [1..]]

-- El cálculo es

-- ghci> take 10 numerosDeListasConSuma

-- [(1,1),(2,2),(3,4),(4,8),(5,16),(6,32),(7,64),(8,128),(9,256),(10,512)]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 6.4. A partir del ejercicio anterior, encontrar una fórmula

-- para calcular el valor de (numeroDeListasConSuma n) paras los

-- números n mayores que 0.

-- Demostrar dicha fórmula por inducción fuerte.

-- ---------------------------------------------------------------------

La fórmula es

numeroDeListasConSuma n = 2^(n-1)

La demostración, por inducción fuerte en n, es la siguiente:

Caso base (n=1):

numeroDeListasConSuma 1

= length (listaConSuma 1)

[por numeroDeListasConSuma]

= length [[x:xs | x <- [1..1], xs <- listaConSuma [[]]]

[por listaConSuma.2]

= length [[1]]

[por def. de listas de comprensión]

= 1

[por def. de length]

= 2^(1-1)

[por aritmética]

Paso de inducción: Se supone que

para todo x en [1..n-1],

numeroDeListasConSuma x = 2^(x-1)

Hay que demostrar que

numeroDeListasConSuma n = 2^(n-1)

En efecto,

numeroDeListasConSuma n

= length (listaConSuma n)

[por numeroDeListasConSuma]

= length [x:xs | x <- [1..n], xs <- listaConSuma (n-x)]

[por listaConSuma.2]

= sum [numeroDeListasConSuma (n-x) | x <- [1..n]]

[por length y listas de comprensión]

= sum [2^(n-x-1) | x <- [1..n-1]] + 1

[por hip. de inducción y numeroDeListasConSuma]

= 2^(n-2) + 2^(n-3) + ... + 2^1 + 2^0 + 1

= 2^(n-1)

[por el ejercicio 2c de la relación 15]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 6.4. A partir del ejercicio anterior, definir de manera más

-- eficiente la función numeroDeListasConSuma.

-- ---------------------------------------------------------------------

numeroDeListasConSuma' :: Int -> Int

numeroDeListasConSuma' 0 = 1

numeroDeListasConSuma' n = 2^(n-1)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 6.5. Comparar la eficiencia de las dos definiciones

-- comparando el tiempo y el espacio usado para calcular

-- (numeroDeListasConSuma 20) y (numeroDeListasConSuma' 20).

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La comparación es

-- ghci> :set +s

-- ghci> numeroDeListasConSuma 20

-- 524288

-- (9.99 secs, 519419824 bytes)

-- ghci> numeroDeListasConSuma' 20

-- 524288

-- (0.01 secs, 0 bytes)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 7.0. La sucesión de Fibonacci

-- 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...

-- puede definirse por recursión como

-- fib :: Int -> Int

-- fib 0 = 0 -- fib.1

-- fib 1 = 1 -- fib.2

-- fib n = (fib (n-11)) + fib (n-2) -- fib.3

-- También puede definirse por recursición iterativa como

-- fibIt :: Int -> Int

-- fibIt n = fibItAux n 0 1

-- donde la función auxiliar se define por

-- fibItAux :: Int -> Int -> Int -> Int

-- fibItAux 0 a b = a -- fibItAux.1

-- fibItAux n a b = fibItAux (n-1) b (a+b) -- fibItAux.2

-- ---------------------------------------------------------------------

fib :: Int -> Int

fib 0 = 0

fib 1 = 1

fib n = fib (n-1) + fib (n-2)

fibIt :: Int -> Int

fibIt n = fibItAux n 0 1

fibItAux :: Int -> Int -> Int -> Int

fibItAux 0 a b = a

fibItAux n a b = fibItAux (n-1) b (a+b)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 7.1. Comprobar con QuickCheck que para todo número natural

-- n tal que n <= 20, se tiene que

-- fib n = fibIt n

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es

prop_fib :: Int -> Property

prop_fib n =

n >= 0 && n <= 20 ==> fib n == fibIt n

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_fib

-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 7.2. Sea f la función definida por

-- f :: Int -> Int -> Int

-- f n k = fibItAux n (fib k) (fib (k+1))

-- Definir la función

-- grafoDeF :: Int -> [(Int,Int)]

-- tal que (grafoDeF n)

-- ghci> take 7 (grafoDeF 3)

-- [(1,3),(2,5),(3,8),(4,13),(5,21),(6,34),(7,55)]

-- ghci> take 7 (grafoDeF 5)

-- [(1,8),(2,13),(3,21),(4,34),(5,55),(6,89),(7,144)]

-- ---------------------------------------------------------------------

f :: Int -> Int -> Int

f n k = fibItAux n (fib k) (fib (k+1))

grafoDeF :: Int -> [(Int,Int)]

grafoDeF n = [(k, f n k) | k <- [1..]]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 7.3. Comprobar con QuickCheck que para todo par de números

-- naturales n, k tales que n+k <= 20, se tiene que

-- fibItAux n (fib k) (fib (k+1)) = fib (k+n)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es

prop_fibItAux :: Int -> Int -> Property

prop_fibItAux n k =

n >= 0 && k >= 0 && n+k <= 20 ==>

fibItAux n (fib k) (fib (k+1)) == fib (k+n)

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_fibItAux

-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 7.4. Demostrar por inducción que para todo n y todo k,

-- fibItAux n (fib k) (fib (k+1)) = fib (k+n)

-- ---------------------------------------------------------------------

Demostración: Por inducción en n se prueba que

para todo k, fibItAux n (fib k) (fib (k+1)) = fib (k+n)

Caso base (n=0): Hay que demostrar que

para todo k, fibItAux 0 (fib k) (fib (k+1)) = fib k

En efecto, sea k un número natural. Se tiene

fibItAux 0 (fib k) (fib (k+1))

= fib k [por fibItAux.1]

Paso de inducción: Se supone la hipótesis de inducción

para todo k, fibItAux n (fib k) (fib (k+1)) = fib (k+n)

Hay que demostrar que

para todo k, fibItAux (n+1) (fib k) (fib (k+1)) = fib (k+n+1)

En efecto. Sea k un número natural,

fibItAux (n+1) (fib k) (fib (k+1))

= fibItAux n (fib (k+1)) ((fib k) + (fib (k+1)))

[por fibItAux.2]

= fibItAux n (fib (k+1)) (fib (k+2))

[por fib.3]

= fib (n+k+1)

[por hipótesis de inducción]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 7.5. Demostrar que para todo n,

-- fibIt n = fib n

-- ---------------------------------------------------------------------

Demostración

fibIt n

= fibItAux n 0 1 [por fibIt]

= fibItAux n (fib 0) (fib 1) [por fib.1 y fib.2]

= fib n [por ejercicio 5.4]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 8.1. La función potencia puede definirse por

-- potencia :: Int -> Int -> Int

-- potencia x 0 = 1

-- potencia x n | even n = potencia (x*x) (div n 2)

-- | otherwise = x * potencia (x*x) (div n 2)

-- Comprobar con QuickCheck que para todo número natural n y todo

-- número entero x, (potencia x n) es x^n.

-- ---------------------------------------------------------------------

potencia :: Integer -> Integer -> Integer

potencia x 0 = 1

potencia x n | even n = potencia (x*x) (div n 2)

| otherwise = x * potencia (x*x) (div n 2)

-- La propiedad es

prop_potencia :: Integer -> Integer -> Property

prop_potencia x n =

n >= 0 ==> potencia x n == x^n

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_potencia

-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 8.2. Demostrar por inducción que que para todo número

-- natural n y todo número entero x, (potencia x n) es x^n

-- ---------------------------------------------------------------------

Demostración: Por inducción en n.

Caso base: Hay que demostrar que

para todo x, potencia x 0 = 2^0

Sea x un número entero, entonces

potencia x 0

= 1 [por potencia.1]

= 2^0 [por aritmética]

Paso de inducción: Se supone que n>0 y la hipótesis de inducción:

para todo m<n y para todo x, potencia x (n-1) = x^(n-1)

Tenemos que demostrar que

para todo x, potencia x n = x^n

Lo haremos distinguiendo casos según la paridad de n.

Caso 1: Supongamos que n es par. Entonces, existe un k tal que

n = 2*k. (1)

Por tanto,

potencia n

= potencia (x*x) (div n 2) [por potencia.2]

= potencia (x*x) k [por (1)]

= (x*x)^k [por hip. de inducción]

= x^(2*k) [por aritmética]

= x^n [por (1)]

Caso 2: Supongamos que n es impar. Entonces, existe un k tal que

n = 2*k+1. (2)

Por tanto,

potencia n

= x * potencia (x*x) (div n 2) [por potencia.3]

= x * potencia (x*x) k [por (1)]

= x * (x*x)^k [por hip. de inducción]

= x^(2*k+1) [por aritmética]

= x^n [por (1)]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 9.1. Comprobar con QuickCheck que para todo par de listas

-- xs, ys se tiene que

-- reverse (xs ++ ys) == reverse ys ++ reverse xs

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es

prop_reverse_conc :: [Int] -> [Int] -> Bool

prop_reverse_conc xs ys =

reverse (xs ++ ys) == reverse ys ++ reverse xs

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_reverse_conc

-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 9.2. Demostrar por inducción que para todo par de listas

-- xs, ys se tiene que

-- reverse (xs ++ ys) == reverse ys ++ reverse xs

-- Las definiciones de reverse y (++) son

-- reverse [] = [] -- reverse.1

-- reverse (x:xs) = reverse xs ++ [x] -- reverse.2

-- [] ++ ys = ys -- ++.1

-- (x:xs) ++ ys = x : (xs ++ ys) -- ++.2

-- ---------------------------------------------------------------------

Demostración por inducción en xs.

Caso base: Hay que demostrar que para toda ys,

reverse ([] ++ ys) == reverse ys ++ reverse []

En efecto,

reverse ([] ++ ys)

= reverse ys [por ++.1]

= reverse ys ++ [] [por propiedad de ++]

= reverse ys ++ reverse [] [por reverse.1]

Paso de inducción: Se supone que para todo ys,

reverse (xs ++ ys) == reverse ys ++ reverse xs

Hay que demostrar que para todo ys,

reverse ((x:xs) ++ ys) == reverse ys ++ reverse (x:xs)

En efecto,

reverse ((x:xs) ++ ys)

= reverse (x:(xs ++ ys)) [por ++.2]

= reverse (xs ++ ys) ++ [x] [por reverse.2]

= (reverse ys ++ reverse xs) ++ [x] [por hip. de inducción]

= reverse ys ++ (reverse xs ++ [x]) [por asociativa de ++]

= reverse ys ++ reverse (x:xs) [por reverse.2]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 9.3. Demostrar por inducción que para toda lista xs,

-- reverse (reverse xs) = xs

-- ---------------------------------------------------------------------

Demostración por inducción en xs.

Caso Base: Hay que demostrar que

reverse (reverse []) = []

En efecto,

reverse (reverse [])

= reverse [] [por reverse.1]

= [] [por reverse.1]

Paso de inducción: Se supone que

reverse (reverse xs) = xs

Hay que demostrar que

reverse (reverse (x:xs)) = x:xs

En efecto,

reverse (reverse (x:xs))

= reverse (reverse xs ++ [x]) [por reverse.2]

= reverse [x] ++ reverse (reverse xs) [por ejercicio 7.2]

= [x] ++ reverse (reverse xs) [por reverse]

= [x] ++ xs [por hip. de inducción]

= x:xs [por ++.2]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 10.0. En los siguientes ejercicios se demostrarán

-- propiedades de los árboles binarios definidos como sigue

-- data Arbol a = Hoja

-- | Nodo a (Arbol a) (Arbol a)

-- deriving (Show, Eq)

-- En los ejemplos se usará el siguiente árbol

-- arbol = Nodo 9

-- (Nodo 3

-- (Nodo 2 Hoja Hoja)

-- (Nodo 4 Hoja Hoja))

-- (Nodo 7 Hoja Hoja)

-- ---------------------------------------------------------------------

data Arbol a = Hoja

| Nodo a (Arbol a) (Arbol a)

deriving (Show, Eq)

arbol = Nodo 9

(Nodo 3

(Nodo 2 Hoja Hoja)

(Nodo 4 Hoja Hoja))

(Nodo 7 Hoja Hoja)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Nota. Para comprobar propiedades de árboles con QuickCheck se

-- utilizará el siguiente generador.

-- ---------------------------------------------------------------------

instance Arbitrary a => Arbitrary (Arbol a) where

arbitrary = sized arbol

where

arbol 0 = return Hoja

arbol n | n>0 = oneof [return Hoja,

liftM3 Nodo arbitrary subarbol subarbol]

where subarbol = arbol (div n 2)

-- coarbitrary = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 10.1. Definir la función

-- espejo :: Arbol a -> Arbol a

-- tal que (espejo x) es la imagen especular del árbol x. Por ejemplo,

-- ghci> espejo arbol

-- Nodo 9

-- (Nodo 7 Hoja Hoja)

-- (Nodo 3

-- (Nodo 4 Hoja Hoja)

-- (Nodo 2 Hoja Hoja))

-- ---------------------------------------------------------------------

espejo :: Arbol a -> Arbol a

espejo Hoja = Hoja

espejo (Nodo x i d) = Nodo x (espejo d) (espejo i)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 10.2. Comprobar con QuickCheck que para todo árbol x,

-- espejo (espejo x) = x

-- ---------------------------------------------------------------------

prop_espejo :: Arbol Int -> Bool

prop_espejo x =

espejo (espejo x) == x

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 10.3. Demostrar por inducción que para todo árbol x,

-- espejo (espejo x) = x

-- ---------------------------------------------------------------------

Demostración por inducción en x

Caso base: Hay que demostrar que

espejo (espejo Hoja) = Hoja

En efecto,

espejo (espejo Hoja)

= espejo Hoja [por espejo.1]

= Hoja [por espejo.1]

Paso de inducción: Se supone la hipótesis de inducción

espejo (espejo i) = i

espejo (espejo d) = d

Hay que demostrar que

espejo (espejo (Nodo x i d)) = Nodo x i d

En efecto,

espejo (espejo (Nodo x i d))

= espejo (Nodo x (espejo d) (espejo i)) [por espejo.2]

= Nodo x (espejo (espejo i)) (espejo (espejo d)) [por espejo.2]

= Nodo x i d [por hip. inducción]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 10.4. Definir la función

-- preorden :: Arbol a -> [a]

-- tal que (preorden x) es la lista correspondiente al recorrido

-- preorden del árbol x; es decir, primero visita la raíz del árbol, a

-- continuación recorre el subárbol izquierdo y, finalmente, recorre el

-- subárbol derecho. Por ejemplo,

-- ghci> arbol

-- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)

-- ghci> preorden arbol

-- [9,3,2,4,7]

-- ---------------------------------------------------------------------

preorden :: Arbol a -> [a]

preorden Hoja = []

preorden (Nodo x i d) = x : (preorden i ++ preorden d)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 10.5. Definir la función

-- postorden :: Arbol a -> [a]

-- tal que (postorden x) es la lista correspondiente al recorrido

-- postorden del árbol x; es decir, primero recorre el subárbol

-- izquierdo, a continuación el subárbol derecho y, finalmente, la raíz

-- del árbol. Por ejemplo,

-- ghci> arbol

-- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)

-- ghci> postorden arbol

-- [2,4,3,7,9]

-- ---------------------------------------------------------------------

postorden :: Arbol a -> [a]

postorden Hoja = []

postorden (Nodo x i d) = postorden i ++ postorden d ++ [x]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 10.6. Comprobar con QuickCheck que para todo árbol x,

-- postorden (espejo x) = reverse (preorden x)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es

prop_recorrido :: Arbol Int -> Bool

prop_recorrido x =

postorden (espejo x) == reverse (preorden x)

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_recorrido

-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 10.7. Demostrar por inducción que para todo árbol x,

-- postorden (espejo x) = reverse (preorden x)

-- ---------------------------------------------------------------------

Demostración por inducción en x.

Caso base: Hay que demostrar que

postorden (espejo Hoja) = reverse (preorden Hoja)

En efecto,

postorden (espejo Hoja)

= postorden Hoja [por espejo.1]

= [] [por postorden.1]

= reverse [] [por reverse.1]

= reverse (preorden Hoja) [por preorden.1]

Paso de inducción: Se supone la hipótesis de inducción

postorden (espejo i) = reverse (preorden i)

postorden (espejo d) = reverse (preorden d)

Hay que demostrar que

postorden (espejo (Nodo x i d)) = reverse (preorden (Nodo x i d))

En efecto,

postorden (espejo (Nodo x i d))

= postorden (Nodo x (espejo d) (espejo i)) [por espejo.2]

= postorden (espejo d) ++ postorden (espejo i) ++ [x]

[por postorden.2]

= reverse (preorden d) ++ reverse (preorden i) ++ [x]

[por hip. inducción]

= reverse ([x] ++ preorden (espejo i) ++ preorden (espejo d))

[por ejercicio 7.1]

= reverse (preorden (Nodo x i d)) [por preorden.1]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 10.8. Comprobar con QuickCheck que para todo árbol binario

-- x, se tiene que

-- reverse (preorden (espejo x)) = postorden x

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es

prop_reverse_preorden_espejo :: Arbol Int -> Bool

prop_reverse_preorden_espejo x =

reverse (preorden (espejo x)) == postorden x

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_reverse_preorden_espejo

-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 10.9. Demostrar que para todo árbol binario x, se tiene que

-- reverse (preorden (espejo x)) = preorden x

-- ---------------------------------------------------------------------

Demostración:

reverse (preorden (espejo x))

= postorden (espejo (espejo x)) [por ejercicio 8.7]

= postorden x [por ejercicio 8.3]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 10.10. Definir la función

-- nNodos :: Arbol a -> Int

-- tal que (nNodos x) es el número de nodos del árbol x. Por ejemplo,

-- ghci> arbol

-- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)

-- ghci> nNodos arbol

-- 5

-- ---------------------------------------------------------------------

nNodos :: Arbol a -> Int

nNodos Hoja = 0

nNodos (Nodo x i d) = 1 + nNodos i + nNodos d

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 10.11. Comprobar con QuickCheck que el número de nodos de la

-- imagen especular de un árbol es el mismo que el número de nodos del

-- árbol.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es

prop_nNodos_espejo :: Arbol Int -> Bool

prop_nNodos_espejo x =

nNodos (espejo x) == nNodos x

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_nNodos_espejo

-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 10.12. Demostrar por inducción que el número de nodos de la

-- imagen especular de un árbol es el mismo que el número de nodos del

-- árbol.

-- ---------------------------------------------------------------------

Demostración: Hay que demostrar, por inducción en x, que

nNodos (espejo x) == nNodos x

Caso base: Hay que demostrar que

nNodos (espejo Hoja) == nNodos Hoja

En efecto,

nNodos (espejo Hoja)

= nNodos Hoja [por espejo.1]

Paso de inducción: Se supone la hipótesis de inducción

nNodos (espejo i) == nNodos i

nNodos (espejo d) == nNodos d

Hay que demostrar que

nNodos (espejo (Nodo x i d)) == nNodos (Nodo x i d)

En esfecto,

nNodos (espejo (Nodo x i d))

= nNodos (Nodo x (espejo d) (espejo i)) [por espejo.2]

= 1 + nNodos (espejo d) + nNodos (espejo i) [por nNodos.2]

= 1 + nNodos d + nNodos i [por hip.de inducción]

= 1 + nNodos i + nNodos d [por aritmética]

= nNodos (Nodo x i d) [por nNodos.2]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 10.13. Comprobar con QuickCheck que la longitud de la lista

-- obtenida recorriendo un árbol en sentido preorden es igual al número

-- de nodos del árbol.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es

prop_length_preorden :: Arbol Int -> Bool

prop_length_preorden x =

length (preorden x) == nNodos x

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_length_preorden

-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 10.14. Demostrar por inducción que la longitud de la lista

-- obtenida recorriendo un árbol en sentido preorden es igual al número

-- de nodos del árbol.

-- ---------------------------------------------------------------------

Demostración: Por inducción en x, hay que demostrar que

length (preorden x) == nNodos x

Caso base: Hay que demostrar que

length (preorden Hoja) = nNodos Hoja

En efecto,

length (preorden Hoja)

= length [] [por preorden.1]

= 0 [por length.1]

= nNodos Hoja [por nNodos.1]

Paso de inducción: Se supone la hipótesis de inducción

length (preorden i) == nNodos i

length (preorden d) == nNodos d

Hay que demostrar que

length (preorden (Nodo x i d)) == nNodos (Nodo x i d)

En efecto,

length (preorden (Nodo x i d))

= length ([x] ++ (peorden i) ++ (preorden d))

[por preorden.2]

= length [x] + length (preorden i) + length (preorden d)

[propiedad de length: length (xs++ys) = length xs + length ys]

= 1 + length (preorden i) + length (preorden d)

[por def. de length]

= 1 + nNodos i + nNodos d

[por hip. de inducción]

= nNodos (x i d)

[por nNodos.2]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 10.15. Definir la función

-- profundidad :: Arbol a -> Int

-- tal que (profundidad x) es la profundidad del árbol x. Por ejemplo,

-- ghci> arbol

-- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)

-- ghci> profundidad arbol

-- 3

-- ---------------------------------------------------------------------

profundidad :: Arbol a -> Int

profundidad Hoja = 0

profundidad (Nodo x i d) = 1 + max (profundidad i) (profundidad d)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 10.16. Comprobar con QuickCheck que para todo árbol biario

-- x, se tiene que

-- nNodos x <= 2^(profundidad x) - 1

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es

prop_nNodosProfundidad :: Arbol Int -> Bool

prop_nNodosProfundidad x =

nNodos x <= 2^(profundidad x) - 1

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_nNodosProfundidad

-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 10.17. Demostrar por inducción que para todo árbol binario

-- x, se tiene que

-- nNodos x <= 2^(profundidad x) - 1

-- ---------------------------------------------------------------------

Demostración por inducción en x

Caso base: Hay que demostrar que

nNodos Hoja <= 2^(profundidad Hoja) - 1

En efecto,

nNodos Hoja

= 0 [por nNodos.1]

= 2^0 - 1 [por aritmética]

= 2^(profundidad Hoja) - 1 [por profundidad.1]

Paso de inducción: Se supone la hipótesis de inducción

nNodos i <= 2^(profundidad i) - 1

nNodos d <= 2^(profundidad d) - 1

Hay que demostrar que

nNodos (Nodo x i d) <= 2^(profundidad (Nodo x i d)) - 1

En efecto,

nNodos (Nodo x i d)

= 1 + nNodos i + nNodos d

[por nNodos.1]

<= 1 + (2^(profundidad i) - 1) + (2^(profundidad d) - 1)

[por hip. de inducción]

= 2^(profundidad i) + 2^(profundidad d) - 1

[por aritmética]

<= 2^máx(profundidad i,profundidad d)+2^máx(profundidad i,profundidad d)-1

[por aritmética]

= 2*2^máx(profundidad i,profundidad d) - 1

[por aritmética]

= 2^(1+máx(profundidad i,profundidad d)) - 1

[por aritmética]

= 2^profundidad(Nodo x i d) - 1

[por profundidad.2]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 10.18. Definir la función

-- nHojas :: Arbol a -> Int

-- tal que (nHojas x) es el número de hojas del árbol x. Por ejemplo,

-- ghci> arbol

-- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)

-- ghci> nHojas arbol

-- 6

-- ---------------------------------------------------------------------

nHojas :: Arbol a -> Int

nHojas Hoja = 1

nHojas (Nodo x i d) = nHojas i + nHojas d

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 10.19. Comprobar con QuickCheck que en todo árbol binario el

-- número de sus hojas es igual al número de sus nodos más uno.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es

prop_nHojas :: Arbol Int -> Bool

prop_nHojas x =

nHojas x == nNodos x + 1

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_nHojas

-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 10.20. Demostrar por inducción que en todo árbol binario el

-- número de sus hojas es igual al número de sus nodos más uno.

-- ---------------------------------------------------------------------

Demostración: Hay que demostrar, por inducción en x, que

nHojas x = nNodos x + 1

Caso base: Hay que demotrar que

nHojas Hoja = nNodos Hoja + 1

En efecto,

nHojas Hoja

= 1 [por nHojas.1]

= 0 + 1 [por aritmética]

= nNodos Hoja + 1 [por nNodos.1]

Paso de inducción: Se supone la hipótesis de inducción

nHojas i = nNodos i + 1

nHojas d = nNodos d + 1

Hay que demostrar que

nHojas (Nodo x i d) = nNodos (Nodo x i d) + 1

En efecto,

nHojas (Nodo x i d)

= nHojas i + nHojas d [por nHojas.2]

= (nNodos i + 1) + (nNodos d +1) [por hip. de inducción]

= (1 + nNodos i + nNodos d) + 1 [por aritmética]

= nNodos (Nodo x i d) + 1 [por nNodos.2]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 10.21. Definir, usando un acumulador, la función

-- preordenIt :: Arbol a -> [a]

-- tal que (preordenIt x) es la lista correspondiente al recorrido

-- preorden del árbol x; es decir, primero visita la raíz del árbol, a

-- continuación recorre el subárbol izquierdo y, finalmente, recorre el

-- subárbol derecho. Por ejemplo,

-- ghci> arbol

-- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)

-- ghci> preordenIt arbol

-- [9,3,2,4,7]

-- Nota: No usar (++) en la definición

-- ---------------------------------------------------------------------

preordenIt :: Arbol a -> [a]

preordenIt x = preordenItAux x []

preordenItAux :: Arbol a -> [a] -> [a]

preordenItAux Hoja xs = xs

preordenItAux (Nodo x i d) xs = x : preordenItAux i (preordenItAux d xs)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 10.22. Comprobar con QuickCheck que preordenIt es

-- equivalente a preorden.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es

prop_preordenIt :: Arbol Int -> Bool

prop_preordenIt x =

preordenIt x == preorden x

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_preordenIt

-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 10.22. Demostrar que preordenIt es equivalente a preorden.

-- ---------------------------------------------------------------------

prop_preordenItAux :: Arbol Int -> [Int] -> Bool

prop_preordenItAux x ys =

preordenItAux x ys == preorden x ++ ys

Demostración: La propiedad es consecuencia del siguiente lema:

Lema: Para todo árbol binario x, se tiene que

para toda ys, preordenItAux x ys = preorden x ++ ys

Demostración de la propiedad usando el lema:

preordenIt x

= preordenItAux x [] [por preordnIt]

= preorden x ++ [] [por el lema]

= preorden x [propiedad de ++]

Demostración del lema: Por inducción en x.

Caso base: Hay que demotrar que

para toda ys, preordenItAux Hoja ys = preorden Hoja ++ ys

En efecto,

preordenItAux Hoja ys

= ys [por preordenItAux.1]

= [] ++ ys [por propiedad de ++]

= preorden Hoja ++ ys [por preorden.1]

Paso de inducción: Se supone la hipótesis de inducción

para toda ys, preordenItAux i ys = preorden i ++ ys

para toda ys, preordenItAux d ys = preorden d ++ ys

Hay que demostrar que

para toda ys, preordenItAux (Nodo x i d) ys = preorden (Nodo x i d) ++ ys

En efecto,

preordenItAux (Nodo x i d) ys

= x : (preordenItAux i (preordenItAux d ys)) [por preordenItAux.2]

= x : (preordenItAux i (preorden d ++ ys)) [por hip. de inducción]

= x : (preorden i ++ (preorden d ++ ys)) [por hip. de inducción]

= ([x] ++ preorden i ++ preorden d) ++ ys [por prop. de listas]

= preorden (Nodo x i d) ++ ys [por preorden.2]

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