I1M2012: Combinatoria en Haskell (2)

En la primera parte de la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas se ha completado las soluciones de los ejercicios de la relación 22 que se empezó en la clase de la semana pasada.

El objetivo de esta relación es estudiar la generación y el número de
las principales operaciones de la combinatoria. En concreto, se
estudia

Permutaciones.
Combinaciones sin repetición..
Combinaciones con repetición
Variaciones sin repetición.
Variaciones con repetición.

Además, se estudia dos temas relacionados:

Reconocimiento y generación de subconjuntos y
El triángulo de Pascal

Los ejercicios, y sus soluciones, se muestran a continuación.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Importación de librerías                                           --
-- ---------------------------------------------------------------------
 
import Test.QuickCheck
import Data.List (genericLength)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- § Subconjuntos
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1. Definir, por recursión, la función 
--    subconjunto :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool
-- tal que (subconjunto xs ys) se verifica si xs es un subconjunto de
-- ys. Por ejemplo,
--    subconjunto [1,3,2,3] [1,2,3]  ==  True
--    subconjunto [1,3,4,3] [1,2,3]  ==  False
-- ---------------------------------------------------------------------
 
subconjunto :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool
subconjunto []     _ = True
subconjunto (x:xs) ys = elem x ys && subconjunto xs ys
 
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2. Definir, mediante all, la función 
--    subconjunto' :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool
-- tal que (subconjunto' xs ys) se verifica si xs es un subconjunto de
-- ys. Por ejemplo,
--    subconjunto' [1,3,2,3] [1,2,3]  ==  True
--    subconjunto' [1,3,4,3] [1,2,3]  ==  False
-- ---------------------------------------------------------------------
 
subconjunto' :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool
subconjunto' xs ys = all (`elem` ys) xs
 
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3. Comprobar con QuickCheck que las funciones subconjunto
-- y subconjunto' son equivalentes.
-- ---------------------------------------------------------------------
 
-- La propiedad es
prop_equivalencia :: [Int] -> [Int] -> Bool
prop_equivalencia xs ys =
    subconjunto xs ys == subconjunto' xs ys  
 
-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_equivalencia
--    OK, passed 100 tests.
 
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4. Definir la función 
--    igualConjunto :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool
-- tal que (igualConjunto xs ys) se verifica si las listas xs e ys,
-- vistas como conjuntos, son iguales. Por ejemplo,
--    igualConjunto [1..10] [10,9..1]   ==  True
--    igualConjunto [1..10] [11,10..1]  ==  False
-- ---------------------------------------------------------------------
 
igualConjunto :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool
igualConjunto xs ys = subconjunto xs ys && subconjunto ys xs
 
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5. Definir la función 
--    subconjuntos :: [a] -> [[a]]
-- tal que (subconjuntos xs) es la lista de las subconjuntos de la lista
-- xs. Por ejemplo, 
--    ghci> subconjuntos [2,3,4]
--    [[2,3,4],[2,3],[2,4],[2],[3,4],[3],[4],[]]
--    ghci> subconjuntos [1,2,3,4]
--    [[1,2,3,4],[1,2,3],[1,2,4],[1,2],[1,3,4],[1,3],[1,4],[1],
--       [2,3,4],  [2,3],  [2,4],  [2],  [3,4],  [3],  [4], []]
-- ---------------------------------------------------------------------

subconjuntos :: [a] -> [[a]]
subconjuntos []     = [[]]
subconjuntos (x:xs) = [x:ys | ys <- sub] ++ sub
    where sub = subconjuntos xs  

-- Cambiando la comprensión por map se obtiene
subconjuntos' :: [a] -> [[a]]
subconjuntos' []     = [[]]
subconjuntos' (x:xs) = sub ++ map (x:) sub
    where sub = subconjuntos xs  
 
-- ---------------------------------------------------------------------
-- § Permutaciones
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6. Definir la función
--    intercala :: a -> [a] -> [[a]]
-- tal que (intercala x ys) es la lista de las listas obtenidas
-- intercalando x entre los elementos de ys. Por ejemplo,
--    intercala 1 [2,3]  ==  [[1,2,3],[2,1,3],[2,3,1]]
-- ---------------------------------------------------------------------

intercala :: a -> [a] -> [[a]]
intercala x [] = [[x]]
intercala x (y:ys) = (x:y:ys) : [y:zs | zs <- intercala x ys]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7. Definir la función 
--    permutaciones :: [a] -> [[a]]  
-- tal que (permutaciones xs) es la lista de las permutaciones de la
-- lista xs. Por ejemplo,
--    permutaciones "bc"   ==  ["bc","cb"]
--    permutaciones "abc"  ==  ["abc","bac","bca","acb","cab","cba"]
-- ---------------------------------------------------------------------
 
permutaciones :: [a] -> [[a]]
permutaciones []     = [[]]
permutaciones (x:xs) = 
    concat [intercala x ys | ys <- permutaciones xs]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8. Definir la función
--    permutacionesN :: Integer -> [[Integer]]
-- tal que (permutacionesN n) es la lista de las permutaciones de los n
-- primeros números. Por ejemplo,
--    ghci> permutacionesN 3
--    [[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]
-- ---------------------------------------------------------------------  

permutacionesN :: Integer -> [[Integer]]
permutacionesN n = permutaciones [1..n]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9. Definir, usando permutacionesN, la función
--    numeroPermutacionesN :: Integer -> Integer
-- tal que (numeroPermutacionesN n) es el número de permutaciones de un
-- conjunto con n elementos. Por ejemplo,
--    numeroPermutacionesN 3  ==  6
--    numeroPermutacionesN 4  ==  24
-- ---------------------------------------------------------------------

numeroPermutacionesN :: Integer -> Integer
numeroPermutacionesN = genericLength . permutacionesN 

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10. Definir la función
--    fact :: Integer -> Integer
-- tal que (fact n) es el factorial de n. Por ejemplo,
--    fact 3  ==  6
-- ---------------------------------------------------------------------

fact :: Integer -> Integer
fact n = product [1..n]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 11. Definir, usando fact, la función
--    numeroPermutacionesN' :: Integer -> Integer
-- tal que (numeroPermutacionesN' n) es el número de permutaciones de un
-- conjunto con n elementos. Por ejemplo,
--    numeroPermutacionesN' 3  ==  6
--    numeroPermutacionesN' 4  ==  24
-- ---------------------------------------------------------------------

numeroPermutacionesN' :: Integer -> Integer
numeroPermutacionesN' = fact

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 12. Definir la función
--    prop_numeroPermutacionesN :: Integer -> Bool
-- tal que (prop_numeroPermutacionesN n) se verifica si las funciones
-- numeroPermutacionesN y numeroPermutacionesN' son equivalentes para
-- los n primeros números. Por ejemplo,
--    prop_numeroPermutacionesN 5  ==  True
-- ---------------------------------------------------------------------

prop_numeroPermutacionesN :: Integer -> Bool
prop_numeroPermutacionesN n = 
    and [numeroPermutacionesN x == numeroPermutacionesN' x | x <- [1..n]] 

-- ---------------------------------------------------------------------
-- § Combinaciones          
-- ---------------------------------------------------------------------  

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13. Definir la función 
--    combinaciones :: Integer -> [a] -> [[a]]
-- tal que (combinaciones k xs) es la lista de las combinaciones de
-- orden k de los elementos de la lista xs. Por ejemplo,
--    ghci> combinaciones 2 "bcde"
--    ["bc","bd","be","cd","ce","de"]
--    ghci> combinaciones 3 "bcde"
--    ["bcd","bce","bde","cde"]
--    ghci> combinaciones 3 "abcde"
--    ["abc","abd","abe","acd","ace","ade","bcd","bce","bde","cde"]
-- ---------------------------------------------------------------------
 
-- 1ª definición
combinaciones_1 :: Integer -> [a] -> [[a]]
combinaciones_1 n xs = 
    [ys | ys <- subconjuntos xs, genericLength ys == n]  
 
-- 2ª definición
combinaciones_2 :: Integer -> [a] -> [[a]]
combinaciones_2 0 _          = [[]]
combinaciones_2 _ []         = []
combinaciones_2 k (x:xs) = 
    [x:ys | ys <- combinaciones_2 (k-1) xs] ++ combinaciones_2 k xs  

-- La anterior definición se puede escribir usando map:
combinaciones_3 :: Integer -> [a] -> [[a]]
combinaciones_3 0 _ = [[]]
combinaciones_3 _ [] = []
combinaciones_3 (k+1) (x:xs) = 
    map (x:) (combinaciones_3 k xs) ++ combinaciones_3 (k+1) xs
 
-- Nota. La segunda definición es más eficiente como se comprueba en la
-- siguiente sesión
--    ghci> :set +s
--    ghci> length (combinaciones_1 2 [1..15])
--    105
--    (0.19 secs, 6373848 bytes)
--    ghci> length (combinaciones_2 2 [1..15])
--    105
--    (0.01 secs, 525360 bytes)
--    ghci> length (combinaciones_3 2 [1..15])
--    105
--    (0.02 secs, 528808 bytes)

-- En lo que sigue, usaremos combinaciones como combinaciones_2
combinaciones :: Integer -> [a] -> [[a]]
combinaciones = combinaciones_2

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 14. Definir la función
--    combinacionesN :: Integer -> Integer -> [[Int]]
-- tal que (combinacionesN n k) es la lista de las combinaciones de
-- orden k de los n primeros números. Por ejemplo,
--    ghci> combinacionesN 4 2
--    [[1,2],[1,3],[1,4],[2,3],[2,4],[3,4]]
--    ghci> combinacionesN 4 3
--    [[1,2,3],[1,2,4],[1,3,4],[2,3,4]]
-- ---------------------------------------------------------------------  

combinacionesN :: Integer -> Integer -> [[Integer]]
combinacionesN n k = combinaciones k [1..n]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 15. Definir, usando combinacionesN, la función
--    numeroCombinaciones :: Integer -> Integer -> Integer
-- tal que (numeroCombinaciones n k) es el número de combinaciones de
-- orden k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo,
--    numeroCombinaciones 4 2  ==  6
--    numeroCombinaciones 4 3  ==  4
-- ---------------------------------------------------------------------

numeroCombinaciones :: Integer -> Integer -> Integer
numeroCombinaciones n k = genericLength (combinacionesN n k)

-- Puede definirse por composición
numeroCombinaciones_2 :: Integer -> Integer -> Integer
numeroCombinaciones_2 = (genericLength .) . combinacionesN

-- Para facilitar la escritura de las definiciones por composición de
-- funciones con dos argumentos, se puede definir 
(.:) :: (c -> d) -> (a -> b -> c) -> a -> b -> d
(.:) = (.) . (.)

-- con lo que la definición anterior se simplifica a
numeroCombinaciones_3 :: Integer -> Integer -> Integer
numeroCombinaciones_3 = genericLength .: combinacionesN

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 16. Definir la función
--    comb :: Integer -> Integer -> Integer
-- tal que (comb n k) es el número combinatorio n sobre k; es decir, . 
--    (comb n k) = n! / (k!(n-k)!).
-- Por ejemplo,
--    comb 4 2  ==  6
--    comb 4 3  ==  4
-- ---------------------------------------------------------------------
 
comb :: Integer -> Integer -> Integer
comb n k = (fact n) `div` ((fact k) * (fact (n-k)))
 
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 17. Definir, usando comb, la función
--    numeroCombinaciones' :: Integer -> Integer -> Integer
-- tal que (numeroCombinaciones' n k) es el número de combinaciones de
-- orden k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo,
--    numeroCombinaciones' 4 2  ==  6
--    numeroCombinaciones' 4 3  ==  4
-- ---------------------------------------------------------------------

numeroCombinaciones' :: Integer -> Integer -> Integer
numeroCombinaciones' = comb 

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 18. Definir la función
--    prop_numeroCombinaciones :: Integer -> Bool
-- tal que (prop_numeroCombinaciones n) se verifica si las funciones
-- numeroCombinaciones y numeroCombinaciones' son equivalentes para
-- los n primeros números y todo k entre 1 y n. Por ejemplo,
--    prop_numeroCombinaciones 5  ==  True
-- ---------------------------------------------------------------------

prop_numeroCombinaciones :: Integer -> Bool
prop_numeroCombinaciones n =
  and [numeroCombinaciones n k == numeroCombinaciones' n k | k <- [1..n]]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- § Combinaciones con repetición
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 19. Definir la función
--    combinacionesR :: Integer -> [a] -> [[a]]
-- tal que (combinacionesR k xs) es la lista de las combinaciones orden
-- k de los elementos de xs con repeticiones. Por ejemplo,
--    ghci> combinacionesR 2 "abc"
--    ["aa","ab","ac","bb","bc","cc"]
--    ghci> combinacionesR 3 "bc"
--    ["bbb","bbc","bcc","ccc"]
--    ghci> combinacionesR 3 "abc"
--    ["aaa","aab","aac","abb","abc","acc","bbb","bbc","bcc","ccc"]
-- ---------------------------------------------------------------------

combinacionesR :: Integer -> [a] -> [[a]]
combinacionesR _ [] = []
combinacionesR 0 _  = [[]]
combinacionesR k (x:xs) =
    [x:ys | ys <- combinacionesR (k-1) (x:xs)] ++ combinacionesR k xs

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 20. Definir la función
--    combinacionesRN :: Integer -> Integer -> [[Integer]]    
-- tal que (combinacionesRN n k) es la lista de las combinaciones orden
-- k de los primeros n números naturales. Por ejemplo,
--    ghci> combinacionesRN 3 2
--    [[1,1],[1,2],[1,3],[2,2],[2,3],[3,3]]
--    ghci> combinacionesRN 2 3
--    [[1,1,1],[1,1,2],[1,2,2],[2,2,2]]
-- ---------------------------------------------------------------------

combinacionesRN :: Integer -> Integer -> [[Integer]]    
combinacionesRN n k = combinacionesR k [1..n]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 21. Definir, usando combinacionesRN, la función
--    numeroCombinacionesR :: Integer -> Integer -> Integer
-- tal que (numeroCombinacionesR n k) es el número de combinaciones con
-- repetición de orden k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo,
--    numeroCombinacionesR 3 2  ==  6
--    numeroCombinacionesR 2 3  ==  4
-- ---------------------------------------------------------------------

numeroCombinacionesR :: Integer -> Integer -> Integer
numeroCombinacionesR n k = genericLength (combinacionesRN n k)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 22. Definir, usando comb, la función
--    numeroCombinacionesR' :: Integer -> Integer -> Integer
-- tal que (numeroCombinacionesR' n k) es el número de combinaciones con
-- repetición de orden k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo,
--    numeroCombinacionesR' 3 2  ==  6
--    numeroCombinacionesR' 2 3  ==  4
-- ---------------------------------------------------------------------

numeroCombinacionesR' :: Integer -> Integer -> Integer
numeroCombinacionesR' n k = comb (n+k-1) k

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 23. Definir la función
--    prop_numeroCombinacionesR :: Integer -> Bool
-- tal que (prop_numeroCombinacionesR n) se verifica si las funciones
-- numeroCombinacionesR y numeroCombinacionesR' son equivalentes para
-- los n primeros números y todo k entre 1 y n. Por ejemplo,
--    prop_numeroCombinacionesR 5  ==  True
-- ---------------------------------------------------------------------

prop_numeroCombinacionesR :: Integer -> Bool
prop_numeroCombinacionesR n =
  and [numeroCombinacionesR n k == numeroCombinacionesR' n k | 
       k <- [1..n]]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- § Variaciones
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 24. Definir la función 
--    variaciones :: Integer -> [a] -> [[a]]
-- tal que (variaciones n xs) es la lista de las variaciones n-arias
-- de la lista xs. Por ejemplo,
--    variaciones 2 "abc"  ==  ["ab","ba","ac","ca","bc","cb"]
-- ---------------------------------------------------------------------
 
variaciones :: Integer -> [a] -> [[a]]
variaciones k xs = 
  concat (map permutaciones (combinaciones k xs))

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 25. Definir la función
--    variacionesN :: Integer -> Integer -> [[Integer]]
-- tal que (variacionesN n k) es la lista de las variaciones de orden k
-- de los n primeros números. Por ejemplo,
--    variacionesN 3 2  ==  [[1,2],[2,1],[1,3],[3,1],[2,3],[3,2]]
-- ---------------------------------------------------------------------  

variacionesN :: Integer -> Integer -> [[Integer]]
variacionesN n k = variaciones k [1..n]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 26. Definir, usando variacionesN, la función
--    numeroVariaciones :: Integer -> Integer -> Integer
-- tal que (numeroVariaciones n k) es el número de variaciones de orden
-- k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo,
--    numeroVariaciones 4 2  ==  12
--    numeroVariaciones 4 3  ==  24
-- ---------------------------------------------------------------------

numeroVariaciones :: Integer -> Integer -> Integer
numeroVariaciones n k = genericLength (variacionesN n k)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 27. Definir, usando product, la función
--    numeroVariaciones' :: Integer -> Integer -> Integer
-- tal que (numeroVariaciones' n k) es el número de variaciones de orden
-- k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo,
--    numeroVariaciones' 4 2  ==  12
--    numeroVariaciones' 4 3  ==  24
-- ---------------------------------------------------------------------

numeroVariaciones' :: Integer -> Integer -> Integer
numeroVariaciones' n k = product [(n-k+1)..n]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 28. Definir la función
--    prop_numeroVariaciones :: Integer -> Bool
-- tal que (prop_numeroVariaciones n) se verifica si las funciones
-- numeroVariaciones y numeroVariaciones' son equivalentes para
-- los n primeros números y todo k entre 1 y n. Por ejemplo,
--    prop_numeroVariaciones 5  ==  True
-- ---------------------------------------------------------------------

prop_numeroVariaciones :: Integer -> Bool
prop_numeroVariaciones n =
  and [numeroVariaciones n k == numeroVariaciones' n k | k <- [1..n]]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- § Variaciones con repetición
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 28. Definir la función
--    variacionesR :: Integer -> [a] -> [[a]]
-- tal que (variacionesR k xs) es la lista de las variaciones de orden
-- k de los elementos de xs con repeticiones. Por ejemplo,
--    ghci> variacionesR 1 "ab"
--    ["a","b"]
--    ghci> variacionesR 2 "ab"
--    ["aa","ab","ba","bb"]
--    ghci> variacionesR 3 "ab"
--    ["aaa","aab","aba","abb","baa","bab","bba","bbb"]
-- ---------------------------------------------------------------------

variacionesR :: Integer -> [a] -> [[a]]
variacionesR _ [] = [[]]
variacionesR 0 _  = [[]] 
variacionesR k xs =
    [z:ys | z <- xs, ys <- variacionesR (k-1) xs]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 30. Definir la función
--    variacionesRN :: Integer -> Integer -> [[Integer]]    
-- tal que (variacionesRN n k) es la lista de las variaciones orden
-- k de los primeros n números naturales. Por ejemplo,
--    ghci> variacionesRN 3 2
--    [[1,1],[1,2],[1,3],[2,1],[2,2],[2,3],[3,1],[3,2],[3,3]]
--    ghci> variacionesRN 2 3
--    [[1,1,1],[1,1,2],[1,2,1],[1,2,2],[2,1,1],[2,1,2],[2,2,1],[2,2,2]]
-- ---------------------------------------------------------------------

variacionesRN :: Integer -> Integer -> [[Integer]]    
variacionesRN n k = variacionesR k [1..n]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 31. Definir, usando variacionesR, la función
--    numeroVariacionesR :: Integer -> Integer -> Integer
-- tal que (numeroVariacionesR n k) es el número de variaciones con
-- repetición de orden k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo,
--    numeroVariacionesR 3 2  ==  9
--    numeroVariacionesR 2 3  ==  8
-- ---------------------------------------------------------------------

numeroVariacionesR :: Integer -> Integer -> Integer
numeroVariacionesR n k = genericLength (variacionesRN n k)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 32. Definir, usando (^), la función
--    numeroVariacionesR' :: Integer -> Integer -> Integer
-- tal que (numeroVariacionesR' n k) es el número de variaciones con
-- repetición de orden k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo,
--    numeroVariacionesR' 3 2  ==  9
--    numeroVariacionesR' 2 3  ==  8
-- ---------------------------------------------------------------------

numeroVariacionesR' :: Integer -> Integer -> Integer
numeroVariacionesR' n k = n^k

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 33. Definir la función
--    prop_numeroVariacionesR :: Integer -> Bool
-- tal que (prop_numeroVariacionesR n) se verifica si las funciones
-- numeroVariacionesR y numeroVariacionesR' son equivalentes para
-- los n primeros números y todo k entre 1 y n. Por ejemplo,
--    prop_numeroVariacionesR 5  ==  True
-- ---------------------------------------------------------------------

prop_numeroVariacionesR :: Integer -> Bool
prop_numeroVariacionesR n =
  and [numeroVariacionesR n k == numeroVariacionesR' n k | 
       k <- [1..n]]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- § El triángulo de Pascal
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 34.1. El triángulo de Pascal es un triángulo de números
--          1
--         1 1
--        1 2 1
--      1  3 3  1
--     1 4  6  4 1
--    1 5 10 10 5 1
--   ...............
-- construido de la siguiente forma
-- * la primera fila está formada por el número 1;
-- * las filas siguientes se construyen sumando los números adyacentes
--   de la fila superior y añadiendo un 1 al principio y al final de la
--   fila. 
-- 
-- Definir la función 
--    pascal :: Integer -> [Integer]
-- tal que (pascal n) es la n-ésima fila del triángulo de Pascal. Por
-- ejemplo, 
--    pascal 6  ==  [1,5,10,10,5,1]  
-- ----------------------------------------------------------------------------
 
pascal :: Integer -> [Integer]
pascal 1 = [1]
pascal n = [1] ++ [x+y | (x,y) <- pares (pascal (n-1))] ++ [1]
 
-- (pares xs) es la lista formada por los pares de elementos adyacentes
-- de la lista xs. Por ejemplo, 
--    pares [1,4,6,4,1]  ==  [(1,4),(4,6),(6,4),(4,1)]  
pares :: [a] -> [(a,a)]
pares (x:y:xs) = (x,y) : pares (y:xs)
pares _        = []  
 
-- otra definición de pares, usando zip, es
pares' :: [a] -> [(a,a)]
pares' xs = zip xs (tail xs)
 
-- las definiciones son equivalentes
prop_pares :: [Integer] -> Bool
prop_pares xs =
    pares xs == pares' xs  

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_pares
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 34.2. Comprobar con QuickCheck, que la fila n-ésima del
-- triángulo de Pascal tiene n elementos.
-- ---------------------------------------------------------------------
 
-- La propiedad es
prop_Pascal :: Integer -> Property
prop_Pascal n =
    n >= 1 ==> genericLength (pascal n) == n
 
-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_Pascal
--    OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 34.3. Comprobar con QuickCheck, que la suma de los
-- elementos de la fila n-ésima del triángulo de Pascal es igual a
-- 2^(n-1). 
-- ---------------------------------------------------------------------
 
-- la propiedad es
prop_sumaPascal :: Integer -> Property
prop_sumaPascal n =
    n >= 1 ==> sum (pascal n) == 2^(n-1)
 
-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_sumaPascal
--    OK, passed 100 tests.
 
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 34.4. Comprobar con QuickCheck, que el m-ésimo elemento de
-- la fila (n+1)-ésima del triángulo de Pascal es el número combinatorio 
-- (comb n m).
-- ---------------------------------------------------------------------
 
--  La propiedad es
prop_Combinaciones :: Integer -> Property
prop_Combinaciones n =
    n >= 1 ==> pascal n == [comb (n-1) m | m <- [0..n-1]]
 
-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_Combinaciones
--    OK, passed 100 tests.

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

131

132

133

134

135

136

137

138

139

140

141

142

143

144

145

146

147

148

149

150

151

152

153

154

155

156

157

158

159

160

161

162

163

164

165

166

167

168

169

170

171

172

173

174

175

176

177

178

179

180

181

182

183

184

185

186

187

188

189

190

191

192

193

194

195

196

197

198

199

200

201

202

203

204

205

206

207

208

209

210

211

212

213

214

215

216

217

218

219

220

221

222

223

224

225

226

227

228

229

230

231

232

233

234

235

236

237

238

239

240

241

242

243

244

245

246

247

248

249

250

251

252

253

254

255

256

257

258

259

260

261

262

263

264

265

266

267

268

269

270

271

272

273

274

275

276

277

278

279

280

281

282

283

284

285

286

287

288

289

290

291

292

293

294

295

296

297

298

299

300

301

302

303

304

305

306

307

308

309

310

311

312

313

314

315

316

317

318

319

320

321

322

323

324

325

326

327

328

329

330

331

332

333

334

335

336

337

338

339

340

341

342

343

344

345

346

347

348

349

350

351

352

353

354

355

356

357

358

359

360

361

362

363

364

365

366

367

368

369

370

371

372

373

374

375

376

377

378

379

380

381

382

383

384

385

386

387

388

389

390

391

392

393

394

395

396

397

398

399

400

401

402

403

404

405

406

407

408

409

410

411

412

413

414

415

416

417

418

419

420

421

422

423

424

425

426

427

428

429

430

431

432

433

434

435

436

437

438

439

440

441

442

443

444

445

446

447

448

449

450

451

452

453

454

455

456

457

458

459

460

461

462

463

464

465

466

467

468

469

470

471

472

473

474

475

476

477

478

479

480

481

482

483

484

485

486

487

488

489

490

491

492

493

494

495

496

497

498

499

500

501

502

503

504

505

506

507

508

509

510

511

512

513

514

515

516

517

518

519

520

521

522

523

524

525

526

527

528

529

530

531

532

533

534

535

536

537

538

539

540

541

542

543

544

545

546

547

548

549

550

551

552

553

554

555

556

557

558

559

560

561

562

563

564

565

566

567

568

569

570

571

572

573

574

575

576

577

578

579

580

581

582

583

584

585

586

587

588

589

590

591

592

593

594

595

596

597

598

599

600

601

602

603

604

605

606

607

608

609

610

611

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Importación de librerías --

-- ---------------------------------------------------------------------

import Test.QuickCheck

import Data.List (genericLength)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- § Subconjuntos

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 1. Definir, por recursión, la función

-- subconjunto :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool

-- tal que (subconjunto xs ys) se verifica si xs es un subconjunto de

-- ys. Por ejemplo,

-- subconjunto [1,3,2,3] [1,2,3] == True

-- subconjunto [1,3,4,3] [1,2,3] == False

-- ---------------------------------------------------------------------

subconjunto :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool

subconjunto [] _ = True

subconjunto (x:xs) ys = elem x ys && subconjunto xs ys

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 2. Definir, mediante all, la función

-- subconjunto' :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool

-- tal que (subconjunto' xs ys) se verifica si xs es un subconjunto de

-- ys. Por ejemplo,

-- subconjunto' [1,3,2,3] [1,2,3] == True

-- subconjunto' [1,3,4,3] [1,2,3] == False

-- ---------------------------------------------------------------------

subconjunto' :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool

subconjunto' xs ys = all (`elem` ys) xs

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 3. Comprobar con QuickCheck que las funciones subconjunto

-- y subconjunto' son equivalentes.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es

prop_equivalencia :: [Int] -> [Int] -> Bool

prop_equivalencia xs ys =

subconjunto xs ys == subconjunto' xs ys

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_equivalencia

-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 4. Definir la función

-- igualConjunto :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool

-- tal que (igualConjunto xs ys) se verifica si las listas xs e ys,

-- vistas como conjuntos, son iguales. Por ejemplo,

-- igualConjunto [1..10] [10,9..1] == True

-- igualConjunto [1..10] [11,10..1] == False

-- ---------------------------------------------------------------------

igualConjunto :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool

igualConjunto xs ys = subconjunto xs ys && subconjunto ys xs

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 5. Definir la función

-- subconjuntos :: [a] -> [[a]]

-- tal que (subconjuntos xs) es la lista de las subconjuntos de la lista

-- xs. Por ejemplo,

-- ghci> subconjuntos [2,3,4]

-- [[2,3,4],[2,3],[2,4],[2],[3,4],[3],[4],[]]

-- ghci> subconjuntos [1,2,3,4]

-- [[1,2,3,4],[1,2,3],[1,2,4],[1,2],[1,3,4],[1,3],[1,4],[1],

-- [2,3,4], [2,3], [2,4], [2], [3,4], [3], [4], []]

-- ---------------------------------------------------------------------

subconjuntos :: [a] -> [[a]]

subconjuntos [] = [[]]

subconjuntos (x:xs) = [x:ys | ys <- sub] ++ sub

where sub = subconjuntos xs

-- Cambiando la comprensión por map se obtiene

subconjuntos' :: [a] -> [[a]]

subconjuntos' [] = [[]]

subconjuntos' (x:xs) = sub ++ map (x:) sub

where sub = subconjuntos xs

-- ---------------------------------------------------------------------

-- § Permutaciones

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 6. Definir la función

-- intercala :: a -> [a] -> [[a]]

-- tal que (intercala x ys) es la lista de las listas obtenidas

-- intercalando x entre los elementos de ys. Por ejemplo,

-- intercala 1 [2,3] == [[1,2,3],[2,1,3],[2,3,1]]

-- ---------------------------------------------------------------------

intercala :: a -> [a] -> [[a]]

intercala x [] = [[x]]

intercala x (y:ys) = (x:y:ys) : [y:zs | zs <- intercala x ys]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 7. Definir la función

-- permutaciones :: [a] -> [[a]]

-- tal que (permutaciones xs) es la lista de las permutaciones de la

-- lista xs. Por ejemplo,

-- permutaciones "bc" == ["bc","cb"]

-- permutaciones "abc" == ["abc","bac","bca","acb","cab","cba"]

-- ---------------------------------------------------------------------

permutaciones :: [a] -> [[a]]

permutaciones [] = [[]]

permutaciones (x:xs) =

concat [intercala x ys | ys <- permutaciones xs]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 8. Definir la función

-- permutacionesN :: Integer -> [[Integer]]

-- tal que (permutacionesN n) es la lista de las permutaciones de los n

-- primeros números. Por ejemplo,

-- ghci> permutacionesN 3

-- [[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]

-- ---------------------------------------------------------------------

permutacionesN :: Integer -> [[Integer]]

permutacionesN n = permutaciones [1..n]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 9. Definir, usando permutacionesN, la función

-- numeroPermutacionesN :: Integer -> Integer

-- tal que (numeroPermutacionesN n) es el número de permutaciones de un

-- conjunto con n elementos. Por ejemplo,

-- numeroPermutacionesN 3 == 6

-- numeroPermutacionesN 4 == 24

-- ---------------------------------------------------------------------

numeroPermutacionesN :: Integer -> Integer

numeroPermutacionesN = genericLength . permutacionesN

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 10. Definir la función

-- fact :: Integer -> Integer

-- tal que (fact n) es el factorial de n. Por ejemplo,

-- fact 3 == 6

-- ---------------------------------------------------------------------

fact :: Integer -> Integer

fact n = product [1..n]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 11. Definir, usando fact, la función

-- numeroPermutacionesN' :: Integer -> Integer

-- tal que (numeroPermutacionesN' n) es el número de permutaciones de un

-- conjunto con n elementos. Por ejemplo,

-- numeroPermutacionesN' 3 == 6

-- numeroPermutacionesN' 4 == 24

-- ---------------------------------------------------------------------

numeroPermutacionesN' :: Integer -> Integer

numeroPermutacionesN' = fact

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 12. Definir la función

-- prop_numeroPermutacionesN :: Integer -> Bool

-- tal que (prop_numeroPermutacionesN n) se verifica si las funciones

-- numeroPermutacionesN y numeroPermutacionesN' son equivalentes para

-- los n primeros números. Por ejemplo,

-- prop_numeroPermutacionesN 5 == True

-- ---------------------------------------------------------------------

prop_numeroPermutacionesN :: Integer -> Bool

prop_numeroPermutacionesN n =

and [numeroPermutacionesN x == numeroPermutacionesN' x | x <- [1..n]]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- § Combinaciones

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 13. Definir la función

-- combinaciones :: Integer -> [a] -> [[a]]

-- tal que (combinaciones k xs) es la lista de las combinaciones de

-- orden k de los elementos de la lista xs. Por ejemplo,

-- ghci> combinaciones 2 "bcde"

-- ["bc","bd","be","cd","ce","de"]

-- ghci> combinaciones 3 "bcde"

-- ["bcd","bce","bde","cde"]

-- ghci> combinaciones 3 "abcde"

-- ["abc","abd","abe","acd","ace","ade","bcd","bce","bde","cde"]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- 1ª definición

combinaciones_1 :: Integer -> [a] -> [[a]]

combinaciones_1 n xs =

[ys | ys <- subconjuntos xs, genericLength ys == n]

-- 2ª definición

combinaciones_2 :: Integer -> [a] -> [[a]]

combinaciones_2 0 _ = [[]]

combinaciones_2 _ [] = []

combinaciones_2 k (x:xs) =

[x:ys | ys <- combinaciones_2 (k-1) xs] ++ combinaciones_2 k xs

-- La anterior definición se puede escribir usando map:

combinaciones_3 :: Integer -> [a] -> [[a]]

combinaciones_3 0 _ = [[]]

combinaciones_3 _ [] = []

combinaciones_3 (k+1) (x:xs) =

map (x:) (combinaciones_3 k xs) ++ combinaciones_3 (k+1) xs

-- Nota. La segunda definición es más eficiente como se comprueba en la

-- siguiente sesión

-- ghci> :set +s

-- ghci> length (combinaciones_1 2 [1..15])

-- 105

-- (0.19 secs, 6373848 bytes)

-- ghci> length (combinaciones_2 2 [1..15])

-- 105

-- (0.01 secs, 525360 bytes)

-- ghci> length (combinaciones_3 2 [1..15])

-- 105

-- (0.02 secs, 528808 bytes)

-- En lo que sigue, usaremos combinaciones como combinaciones_2

combinaciones :: Integer -> [a] -> [[a]]

combinaciones = combinaciones_2

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 14. Definir la función

-- combinacionesN :: Integer -> Integer -> [[Int]]

-- tal que (combinacionesN n k) es la lista de las combinaciones de

-- orden k de los n primeros números. Por ejemplo,

-- ghci> combinacionesN 4 2

-- [[1,2],[1,3],[1,4],[2,3],[2,4],[3,4]]

-- ghci> combinacionesN 4 3

-- [[1,2,3],[1,2,4],[1,3,4],[2,3,4]]

-- ---------------------------------------------------------------------

combinacionesN :: Integer -> Integer -> [[Integer]]

combinacionesN n k = combinaciones k [1..n]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 15. Definir, usando combinacionesN, la función

-- numeroCombinaciones :: Integer -> Integer -> Integer

-- tal que (numeroCombinaciones n k) es el número de combinaciones de

-- orden k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo,

-- numeroCombinaciones 4 2 == 6

-- numeroCombinaciones 4 3 == 4

-- ---------------------------------------------------------------------

numeroCombinaciones :: Integer -> Integer -> Integer

numeroCombinaciones n k = genericLength (combinacionesN n k)

-- Puede definirse por composición

numeroCombinaciones_2 :: Integer -> Integer -> Integer

numeroCombinaciones_2 = (genericLength .) . combinacionesN

-- Para facilitar la escritura de las definiciones por composición de

-- funciones con dos argumentos, se puede definir

(.:) :: (c -> d) -> (a -> b -> c) -> a -> b -> d

(.:) = (.) . (.)

-- con lo que la definición anterior se simplifica a

numeroCombinaciones_3 :: Integer -> Integer -> Integer

numeroCombinaciones_3 = genericLength .: combinacionesN

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 16. Definir la función

-- comb :: Integer -> Integer -> Integer

-- tal que (comb n k) es el número combinatorio n sobre k; es decir, .

-- (comb n k) = n! / (k!(n-k)!).

-- Por ejemplo,

-- comb 4 2 == 6

-- comb 4 3 == 4

-- ---------------------------------------------------------------------

comb :: Integer -> Integer -> Integer

comb n k = (fact n) `div` ((fact k) * (fact (n-k)))

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 17. Definir, usando comb, la función

-- numeroCombinaciones' :: Integer -> Integer -> Integer

-- tal que (numeroCombinaciones' n k) es el número de combinaciones de

-- orden k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo,

-- numeroCombinaciones' 4 2 == 6

-- numeroCombinaciones' 4 3 == 4

-- ---------------------------------------------------------------------

numeroCombinaciones' :: Integer -> Integer -> Integer

numeroCombinaciones' = comb

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 18. Definir la función

-- prop_numeroCombinaciones :: Integer -> Bool

-- tal que (prop_numeroCombinaciones n) se verifica si las funciones

-- numeroCombinaciones y numeroCombinaciones' son equivalentes para

-- los n primeros números y todo k entre 1 y n. Por ejemplo,

-- prop_numeroCombinaciones 5 == True

-- ---------------------------------------------------------------------

prop_numeroCombinaciones :: Integer -> Bool

prop_numeroCombinaciones n =

and [numeroCombinaciones n k == numeroCombinaciones' n k | k <- [1..n]]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- § Combinaciones con repetición

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 19. Definir la función

-- combinacionesR :: Integer -> [a] -> [[a]]

-- tal que (combinacionesR k xs) es la lista de las combinaciones orden

-- k de los elementos de xs con repeticiones. Por ejemplo,

-- ghci> combinacionesR 2 "abc"

-- ["aa","ab","ac","bb","bc","cc"]

-- ghci> combinacionesR 3 "bc"

-- ["bbb","bbc","bcc","ccc"]

-- ghci> combinacionesR 3 "abc"

-- ["aaa","aab","aac","abb","abc","acc","bbb","bbc","bcc","ccc"]

-- ---------------------------------------------------------------------

combinacionesR :: Integer -> [a] -> [[a]]

combinacionesR _ [] = []

combinacionesR 0 _ = [[]]

combinacionesR k (x:xs) =

[x:ys | ys <- combinacionesR (k-1) (x:xs)] ++ combinacionesR k xs

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 20. Definir la función

-- combinacionesRN :: Integer -> Integer -> [[Integer]]

-- tal que (combinacionesRN n k) es la lista de las combinaciones orden

-- k de los primeros n números naturales. Por ejemplo,

-- ghci> combinacionesRN 3 2

-- [[1,1],[1,2],[1,3],[2,2],[2,3],[3,3]]

-- ghci> combinacionesRN 2 3

-- [[1,1,1],[1,1,2],[1,2,2],[2,2,2]]

-- ---------------------------------------------------------------------

combinacionesRN :: Integer -> Integer -> [[Integer]]

combinacionesRN n k = combinacionesR k [1..n]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 21. Definir, usando combinacionesRN, la función

-- numeroCombinacionesR :: Integer -> Integer -> Integer

-- tal que (numeroCombinacionesR n k) es el número de combinaciones con

-- repetición de orden k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo,

-- numeroCombinacionesR 3 2 == 6

-- numeroCombinacionesR 2 3 == 4

-- ---------------------------------------------------------------------

numeroCombinacionesR :: Integer -> Integer -> Integer

numeroCombinacionesR n k = genericLength (combinacionesRN n k)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 22. Definir, usando comb, la función

-- numeroCombinacionesR' :: Integer -> Integer -> Integer

-- tal que (numeroCombinacionesR' n k) es el número de combinaciones con

-- repetición de orden k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo,

-- numeroCombinacionesR' 3 2 == 6

-- numeroCombinacionesR' 2 3 == 4

-- ---------------------------------------------------------------------

numeroCombinacionesR' :: Integer -> Integer -> Integer

numeroCombinacionesR' n k = comb (n+k-1) k

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 23. Definir la función

-- prop_numeroCombinacionesR :: Integer -> Bool

-- tal que (prop_numeroCombinacionesR n) se verifica si las funciones

-- numeroCombinacionesR y numeroCombinacionesR' son equivalentes para

-- los n primeros números y todo k entre 1 y n. Por ejemplo,

-- prop_numeroCombinacionesR 5 == True

-- ---------------------------------------------------------------------

prop_numeroCombinacionesR :: Integer -> Bool

prop_numeroCombinacionesR n =

and [numeroCombinacionesR n k == numeroCombinacionesR' n k |

k <- [1..n]]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- § Variaciones

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 24. Definir la función

-- variaciones :: Integer -> [a] -> [[a]]

-- tal que (variaciones n xs) es la lista de las variaciones n-arias

-- de la lista xs. Por ejemplo,

-- variaciones 2 "abc" == ["ab","ba","ac","ca","bc","cb"]

-- ---------------------------------------------------------------------

variaciones :: Integer -> [a] -> [[a]]

variaciones k xs =

concat (map permutaciones (combinaciones k xs))

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 25. Definir la función

-- variacionesN :: Integer -> Integer -> [[Integer]]

-- tal que (variacionesN n k) es la lista de las variaciones de orden k

-- de los n primeros números. Por ejemplo,

-- variacionesN 3 2 == [[1,2],[2,1],[1,3],[3,1],[2,3],[3,2]]

-- ---------------------------------------------------------------------

variacionesN :: Integer -> Integer -> [[Integer]]

variacionesN n k = variaciones k [1..n]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 26. Definir, usando variacionesN, la función

-- numeroVariaciones :: Integer -> Integer -> Integer

-- tal que (numeroVariaciones n k) es el número de variaciones de orden

-- k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo,

-- numeroVariaciones 4 2 == 12

-- numeroVariaciones 4 3 == 24

-- ---------------------------------------------------------------------

numeroVariaciones :: Integer -> Integer -> Integer

numeroVariaciones n k = genericLength (variacionesN n k)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 27. Definir, usando product, la función

-- numeroVariaciones' :: Integer -> Integer -> Integer

-- tal que (numeroVariaciones' n k) es el número de variaciones de orden

-- k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo,

-- numeroVariaciones' 4 2 == 12

-- numeroVariaciones' 4 3 == 24

-- ---------------------------------------------------------------------

numeroVariaciones' :: Integer -> Integer -> Integer

numeroVariaciones' n k = product [(n-k+1)..n]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 28. Definir la función

-- prop_numeroVariaciones :: Integer -> Bool

-- tal que (prop_numeroVariaciones n) se verifica si las funciones

-- numeroVariaciones y numeroVariaciones' son equivalentes para

-- los n primeros números y todo k entre 1 y n. Por ejemplo,

-- prop_numeroVariaciones 5 == True

-- ---------------------------------------------------------------------

prop_numeroVariaciones :: Integer -> Bool

prop_numeroVariaciones n =

and [numeroVariaciones n k == numeroVariaciones' n k | k <- [1..n]]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- § Variaciones con repetición

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 28. Definir la función

-- variacionesR :: Integer -> [a] -> [[a]]

-- tal que (variacionesR k xs) es la lista de las variaciones de orden

-- k de los elementos de xs con repeticiones. Por ejemplo,

-- ghci> variacionesR 1 "ab"

-- ["a","b"]

-- ghci> variacionesR 2 "ab"

-- ["aa","ab","ba","bb"]

-- ghci> variacionesR 3 "ab"

-- ["aaa","aab","aba","abb","baa","bab","bba","bbb"]

-- ---------------------------------------------------------------------

variacionesR :: Integer -> [a] -> [[a]]

variacionesR _ [] = [[]]

variacionesR 0 _ = [[]]

variacionesR k xs =

[z:ys | z <- xs, ys <- variacionesR (k-1) xs]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 30. Definir la función

-- variacionesRN :: Integer -> Integer -> [[Integer]]

-- tal que (variacionesRN n k) es la lista de las variaciones orden

-- k de los primeros n números naturales. Por ejemplo,

-- ghci> variacionesRN 3 2

-- [[1,1],[1,2],[1,3],[2,1],[2,2],[2,3],[3,1],[3,2],[3,3]]

-- ghci> variacionesRN 2 3

-- [[1,1,1],[1,1,2],[1,2,1],[1,2,2],[2,1,1],[2,1,2],[2,2,1],[2,2,2]]

-- ---------------------------------------------------------------------

variacionesRN :: Integer -> Integer -> [[Integer]]

variacionesRN n k = variacionesR k [1..n]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 31. Definir, usando variacionesR, la función

-- numeroVariacionesR :: Integer -> Integer -> Integer

-- tal que (numeroVariacionesR n k) es el número de variaciones con

-- repetición de orden k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo,

-- numeroVariacionesR 3 2 == 9

-- numeroVariacionesR 2 3 == 8

-- ---------------------------------------------------------------------

numeroVariacionesR :: Integer -> Integer -> Integer

numeroVariacionesR n k = genericLength (variacionesRN n k)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 32. Definir, usando (^), la función

-- numeroVariacionesR' :: Integer -> Integer -> Integer

-- tal que (numeroVariacionesR' n k) es el número de variaciones con

-- repetición de orden k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo,

-- numeroVariacionesR' 3 2 == 9

-- numeroVariacionesR' 2 3 == 8

-- ---------------------------------------------------------------------

numeroVariacionesR' :: Integer -> Integer -> Integer

numeroVariacionesR' n k = n^k

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 33. Definir la función

-- prop_numeroVariacionesR :: Integer -> Bool

-- tal que (prop_numeroVariacionesR n) se verifica si las funciones

-- numeroVariacionesR y numeroVariacionesR' son equivalentes para

-- los n primeros números y todo k entre 1 y n. Por ejemplo,

-- prop_numeroVariacionesR 5 == True

-- ---------------------------------------------------------------------

prop_numeroVariacionesR :: Integer -> Bool

prop_numeroVariacionesR n =

and [numeroVariacionesR n k == numeroVariacionesR' n k |

k <- [1..n]]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- § El triángulo de Pascal

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 34.1. El triángulo de Pascal es un triángulo de números

-- 1

-- 1 1

-- 1 2 1

-- 1 3 3 1

-- 1 4 6 4 1

-- 1 5 10 10 5 1

-- ...............

-- construido de la siguiente forma

-- * la primera fila está formada por el número 1;

-- * las filas siguientes se construyen sumando los números adyacentes

-- de la fila superior y añadiendo un 1 al principio y al final de la

-- fila.

-- Definir la función

-- pascal :: Integer -> [Integer]

-- tal que (pascal n) es la n-ésima fila del triángulo de Pascal. Por

-- ejemplo,

-- pascal 6 == [1,5,10,10,5,1]

-- ----------------------------------------------------------------------------

pascal :: Integer -> [Integer]

pascal 1 = [1]

pascal n = [1] ++ [x+y | (x,y) <- pares (pascal (n-1))] ++ [1]

-- (pares xs) es la lista formada por los pares de elementos adyacentes

-- de la lista xs. Por ejemplo,

-- pares [1,4,6,4,1] == [(1,4),(4,6),(6,4),(4,1)]

pares :: [a] -> [(a,a)]

pares (x:y:xs) = (x,y) : pares (y:xs)

pares _ = []

-- otra definición de pares, usando zip, es

pares' :: [a] -> [(a,a)]

pares' xs = zip xs (tail xs)

-- las definiciones son equivalentes

prop_pares :: [Integer] -> Bool

prop_pares xs =

pares xs == pares' xs

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_pares

-- +++ OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 34.2. Comprobar con QuickCheck, que la fila n-ésima del

-- triángulo de Pascal tiene n elementos.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es

prop_Pascal :: Integer -> Property

prop_Pascal n =

n >= 1 ==> genericLength (pascal n) == n

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_Pascal

-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 34.3. Comprobar con QuickCheck, que la suma de los

-- elementos de la fila n-ésima del triángulo de Pascal es igual a

-- 2^(n-1).

-- ---------------------------------------------------------------------

-- la propiedad es

prop_sumaPascal :: Integer -> Property

prop_sumaPascal n =

n >= 1 ==> sum (pascal n) == 2^(n-1)

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_sumaPascal

-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 34.4. Comprobar con QuickCheck, que el m-ésimo elemento de

-- la fila (n+1)-ésima del triángulo de Pascal es el número combinatorio

-- (comb n m).

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es

prop_Combinaciones :: Integer -> Property

prop_Combinaciones n =

n >= 1 ==> pascal n == [comb (n-1) m | m <- [0..n-1]]

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_Combinaciones

-- OK, passed 100 tests.

Se puede imprimir o compartir con